Двухкомпонентное многомерное распределение Лапласа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2

ДВУХКОМПОНЕНТНОЕ МНОГОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЛАПЛАСА И.В.Золотухин

Российский государственный педагогический университет им. А.И.Герцена, Санкт-Петербург,

igor.zolotukhin@gmail. com

Исследуется модель векторных случайных процессов, порождающая новый класс многомерных распределений, включающий как частный случай многомерное симметричное распределение Лапласа. Найдены характеристическая функция и плотность распределений этого класса, исследованы свойства.

Ключевые слова: распределение Лапласа, многомерное экспоненциальное распределение Маршалла — Олкина, векторные случайные процессы

Some model of vector stochastic processes is under consideration. The model generates a new class of multivariate distributions, which includes the multivariate symmetric Laplace distribution as a special case. The characteristic function and the density of this class of distributions as well as some properties have been found.

Keywords: Laplace distribution, Marshall — Olkin multivariate exponential distribution, vector stochastic processes

1. Введение

Функционирование многих технических систем в процессе их испытаний и эксплуатации наиболее полно может быть описано векторным случайным процессом, характеризующимся рядом параметров.

Параметры процесса обычно считают детерминированными величинами. Однако на практике процессы со случайными параметрами нередко оказываются более адекватными моделями функционирования реальных систем, так как учитывают влияние на изменение параметров случайных внешних и внутренних факторов.

В настоящей работе рассматривается одна из возможных моделей функционирования технических систем, описываемая двумерным случайным процессом. Она порождает новый тип вероятностных распределений, который в работе назван двухкомпонентным многомерным распределением Лапласа.

Круг прикладных задач, в которых возникает распределение Лапласа, весьма широк [1-6].

Теоретическим обоснованием применения распределения Лапласа вместо традиционно используемого нормального может служить энтропийный подход, который состоит в следующем.

Известно, что если измерения проводятся в одних и тех же условиях, причем Е^ = 0, D£¡ = с2 (здесь 4 — ошибка измерений), то нормальное распределение имеет наибольшую энтропию [7]. Если же при фиксированных условиях измерений реализуется нормальное распределение, но сами условия меняются так, что дисперсия является случайной величиной с фиксированным математическим ожиданием (тогда она будет распределена экспоненциально), то энтропия достигает максимума на распределении Лапласа [8].

В более общем случае случайные явления, меняющиеся во времени, описываются векторными случайными процессами.

Наиболее простым и распространенным методом изучения векторных процессов является анализ отдельных компонент, что естественно в случае их независимости. Однако такой подход не исчерпывает

все практические случаи, поскольку нередко возмущающие факторы могут влиять одновременно на несколько компонент.

В работе исследуется следующая модель векторных процессов с зависимыми компонентами. Имеется стационарный процесс (X^), Х2()) с

ЕХ^) = ЕХ2(0 = 0, ЕХ2(/) = с2, ЕХ 2(/) = с2, г^) и г2 (^) — нормированные корреляционные функции Х^О и Х2(0 соответственно. При фиксированных (о?,о2) рассматриваемый процесс является гауссовским с независимыми составляющими, а сам вектор (о?,о2) случаен и имеет двумерное экспоненциальное

распределение типа Маршала—Олкина (см. [9,10]).

Распределение и-мерных сечений процесса, порождаемого этой моделью, является предметом исследования данной работы.

2. Характеристическая функция и-мерных сечений процесса

Рассмотрим и сечений процесса в точках ^,t2,...,t , при этом аргументы ti для упрощения изложения будем опускать. При фиксированных (с2,с2) характеристическая функция 2и-мерного распределения такого процесса в сечениях ^,t2,...,tn равна

ф|2С)=Ц- 1°12^Дг - }

где 01 = (0(1),-,0П1)) , 02 = (0(2)>- •,0П2)),

1 r1(t1,t2) - r1(t1,tn) ^ Ч r2(t1,t2) • • r (t ,t) A 2у P n

*1= 1 - r1(t2,tn) • *2= 1 2V 2 n

V 1 V V 1 V

Если параметры (с2,с2) считать случайными с

функцией распределения F(x,y), то характеристическая функция двухкомпонентного процесса представится в виде

ф(01,02) = ]]ехр{-1 х01Л101г -1 у^^ у). (1)

0 0

2

2'

По аналогии с одномерным случаем предположим, что случайный вектор (а^^) имеет двумерное экспоненциальное распределение типа Маршала— Олкина с функцией надежности

F(x, у) = РЦ2 > х,с2 > у) = ехр{-Х1х - Х2у - Х12тах{х, у}}.

Это распределение выбрано среди множества других двумерных экспоненциальных распределений (подробный список которых приведен в [11]), поскольку оно включает в себя два важных для практики крайних случая:

— при Х12 = 0 случайные величины и а2

независимы и, следовательно, независимы процессы Х^/) и Х2(/);

— при Х1 = Х2 = 0 на оба процесса влияют одни

и те же факторы, вызывающие случайность масштабного параметра.

Кроме того, это двумерное распределение обладает свойствами, аналогичными свойствам одномерного экспоненциального распределения, в том числе характеристическим для него свойством отсутствия последствия [9].

В [9] выведено следующее выражение для преобразования Лапласа двумерного экспоненциального распределения типа Маршала—Олкина:

адад

М(2„2.) = Г \e Z'íX Z2УdF(x,у) ----------------^

\ ± ^12 ± 21 Х2 ± Х12 ± 22

0 0

±

Х122122

----------, (2)

(Х ± 21 ± 22)(Х1 ± Х12 ± ^)(Х2 ± ^2 ± 22)

где Х = X ± Х2 ± Х12. Нетрудно заметить, что правую

часть (2) можно представить в виде

X

м (2р22) = :

Х ± 21 ± 22

Х12 ± Х1 X

Х2 ± Х12 Х Х2 ± Х12 ± 22

Х1 ± Х12

Х Х1 ± Х12 ± 21

(3)

Используя (3), интегралы в правой части (1) вычисляются в явном виде. Если ввести обозначения

Ру

А

Х

, Р 2

А

Х

, Рз

Е1 = ^, Е2 = ^, Е =

. Х12 ' Х ’

Е1 0

0 Е„

то получим:

ф(01,02) =

1

1-------------т’

1± 2Х(01,02)^Г01,02)Т

Рз ± Ру

1

"± Р2

1

1±-

1 - -т Г2 1 - -т

--------0,Х0,т 1±------- -------0,20'

1 1 2 2

(4)

2(Х1± Х12) 1 1 2(Х2 ± Х12)

При этом характеристические функции и-мерных распределений составляющих процесса Х^) и X2(t)

Ф1(01) = ф(0р0) =-

1

*± 2(Х1±Х12) 01Ь0Т

ф2(02) = ф(0,02) =

1

(5)

2’ 1

*± 2(Х2± Х12) 02^02

представляют собой характеристические функции и-мерного симметричного распределения Лапласа, которое является частным случаем контурных эллиптических законов распределения [12,13], а множитель

Ф(0Д)=— 1 _ _ (6)

1± 2Х(01,02)Е(01,02)Т

представляет собой характеристическую функцию 2и-мерного симметричного распределения Лапласа.

Из выражения (4) следует, что в общем случае 2и-мерное распределение процесса (Х^), Х2(-))

представляет собой дискретную смесь 2и-мерного симметричного распределения Лапласа и его сверток с и-мерными плотностями его составляющих.

Определение. Распределение с характеристической функцией (4) назовем двухкомпонентным многомерным распределением Лапласа.

Класс двухкомпонентных многомерных распределений Лапласа обозначим TCMVL.

При п = 1 из (4) получается характеристическая функция обобщенного двумерного распределения Лапласа, введенного в [14].

3. Плотность двухкомпонетного многомерного распределения Лапласа

Используя выражения для плотности многомерного симметричного распределения Лапласа [13], можно получить следующие результаты.

1. Распределениям с характеристическими функциями (5) соответствуют плотности распределений вида

V

-п V±1 1 (ХИ1ХТ ^2

I(х) = ад2(Х. ±Х,2)2 Е -2 -Щ-

XК(V2(Х. ±^Е-^!

(7)

где V = 1 -П;х = (х(,),х®..,х(,)), , = 1,2; К (и) — мо-

^ 2 , 4 1 ’ 2 ’ ’ П У’ 55 V4''

дифицированная функция Бесселя третьего рода:

2

V ад и

Ку(и) =11 и И Гч-Хе‘ ^tdt, и > 0, Kv(-u) = Ку (и).

0

2. Распределению с характеристической функцией (6) соответствует плотность распределений вида

I(X,,х2) = 2(2п)-пХ 2 Е1-2|Е2Г2

Н±1

2

Х К112Х(х1Е1 Х1 ± Х2Е2 Х2 )),

........... 2 2 _ (8)

где Н = 1 - п.

Из представления (4) следует, что плотность двухкомпонентного 2и-мерного распределения Лапласа имеет вид

2

Х

2

±

X

X

X

g(x1, х2) = р3/(хр х2) ± р1(/ * /Щ, х2) ± р2(/ * /2)(Х1, х2), (9)

где * — знак свертки; р1±р2±р3=1, р, > 0, , =1,2,3;

/(х1, х2) задается формулой (8); / (X.) задаются

формулой (7).

Рассмотрим крайние случаи введенного двухкомпонентного 2и-мерного распределения Лапласа:

— при Х12 = 0 составляющие Х1(-) и Х2(-)

двумерного процесса независимы, и их и-мерными распределениями являются и-мерные симметрические распределения Лапласа, так что плотность их совместного распределения равна

g(X1, х2) = / (х1) / (х2),

где / (X.) задаются (7);

— при Х1 = Х2 = 0, Х = Х12 на процессы Х1(-) и

Х1(-) влияют одни и те же факторы, вызывающие

случайность масштабного параметра, при этом характеристическая функция имеет вид

ф<5л> = 1 _! _ _ т •

1±

4. Некоторые свойства плотности двухкомпонетного многомерного распределения Лапласа

I. =

■-Z

k, l = — ¡k’ i 1

k=1 jj

( i- ^

j zLí likljk

V k=1

CT.

i = 2, w, j < i,

т=|£р.

На основании этого делаем замену: у = Т2Х-т ^ -^-^==yZГ1, у = (n1,n2,.,nn),

Т-Ч/--Х п п 1

= 2-^2 Х-^2 ЕЬ Б(у) 1 1

'Е-1,т = ± ус 'те (С )-1 ут = ± £ „2.

2Х

Получаем:

i=1

w w

— -w— __ __

с/*.Щ0) = 2 2п 2(Хі+ Xj2) 2 X 2 |SJ 21У,| 2)

(

1 1

:Лі’

х її ñ«V i=1 У

K

Х1 + Х1

X

i=1

K

L'í

i=1

dado? ••••• dqw.

Далее, перейдем к и-мерным сферическим координатам (г,уру2, — ,¥„_і):

П1 = г соєур П2 = г smy1cosy2,

4.1. Покажем, что g(0,0) = ад при п > 2 .

Для начала рассмотрим /(0,0). Известно, что УХ КХ (и) ^ ад при и ^ 0± и при п > 2

УЧгГ + г УЧгГ \2 11 А1 ТЛ2 2 2

^ад при (х1, x2) ^ (0,0) (по-

скольку н = 1- п < 0). Следовательно, / (0,0) = ад. Далее, рассмотрим (/ * /1)(0,0):

W

~П~~ — |-11,

(/*/1X0,0) = 4(2п) 2(Х1 + Х12) 2 X 2 |У^‘у2і_2 :

ífI 2 KvÍ¡2(Х1 + Х12>У-^Г )kw{і2Х1У-11т )dt,

где V =1--, W = 1-П, t = (^2,...,y

^O11 O12

Пусть 2j 1 =

G1 ^ 1w

Воспользуемся разложением Холецкого:

У-1 = LLT,

где L =

(l l — l Л

*11 12 1w

0 L — L

22 2w

0 0 — 1

CT.,

l = —i1 »•,•1 . n

V1 = r sinV1 sinV2 • • • • •cos Vn- 1,

Пп = r sin^ slny2 • • • • • slnyn- 1,

D(ni,n2,-,n„) n-1 ■ n-2 ■ n-3

------ — ----------= r sin w, sin ... • sinw ..

D(r,Vi,V2.^.¥n-i) -2

Отсюда получим с учетом, что W > 0 и У и > 0 K-v (и) = К»:

(/*/р(0,0) = 2 2п 2(Х1 + Х12) 2 Х 2 У1Р2|У^2

V+1 1-w-V

Т" Х 2 ■

11

2л п

í d^w- 1Í sin^w-2«¥w-2

<í sinw 2^1d^1J,

w

0 0

ад w f

r 2 K

w- 1V

2 V

Х1 +Х12

Х

Kw- 1(r)dr.

0 0 Совершенно очевидно, что интегралы по у, конечны. Посему рассмотрим интеграл по г :

ад 1 п ( я Гт л

ír'

r 2 K

w- 1V 2 V

Х1 + Х1: Х

Kw- 1(r)dr

и воспользуемся свойствами функции Бесселя для оценки снизу для этого интеграла:

í

K

Х1 + Х12 -----------1

Х

Л

Х + Х10

> Kw 1 (r), поскольку -1-------12 < 1,

w 4 2

1 w

1 w

1

r 2 4 K (r) > r 2 4 K 1 (r) =-----------------

w- 1W w+1- dx

42

r2 4 Kw 1 (r)

w 1 4 2 У

Отсюда

CT

V+1 1-w-V

w

2

ww — -w-

X

X

V+ w

X

a12 °22

O

r

OO

V 1w 2w

O

1

2

w

l

Г 1 - (\

fr 2K=—1 f

Kn— 1(r)dr >

г 1 n f 1 n \

>—f r2 4 Kn 1 (r)d r2 4 Kn 1(r)

0 4 2 V 4 2 J

r2 4K (r)

n1

n

4 2

Следовательно, g (0,0) = да.

4.2. Рассмотрим теперь случай n = 1. Имеем:

21 = °12, 22 = 4 W = 0 V = ^

4Ï f 1 Л-2 ~2^

f( x1, x2) =---------------------к

2Х

xx

+--2

«2 _2 Vа1 а2 J

Vх,-+X1

•\/2о.

V2(X,+ X12) I

i = 1,2.

Известно, что -Ki/м) ~ log М, поэтому /(хрХ2) ^да при (Xj, x2) ^ (0,0).

( f * /1)(0,0)

Vx(X + X12) +Г —

к,

/2 2 f е л/2яала~ J

1 2 —Г

^Х(Х1 + X12) +fe-к 0 (Æ d

dt =

= V х(х1+х12)

X1 + Х12

(интеграл посчитан в Wolfram Mathematica 8.0) Аналогично:

( f * f,)(0,0) = -

Х2 + Х12

,= УХ(Х9. ± Х19) . агссо^^-Х-

С1С2 л/Х1 '

Получаем, что g(0,0) конечна только при п = 1 и ХХ2 = 0. И в этом случае

,------------- arccos..

д/Х, (X + Х->) \

g (0,0) = P1 ^-----------

X1 + Х2

-P2

VX2(X1 + X2)

arccos

X1 + X2

Рис.1. Л = 0, Л = Л = 1

12 ’12

Рис.2. Л = Л = Л =

12 1 2

4.3. Известно, что одномерные распределения Лапласа унимодальны с модой в нуле. Естественным обобщением понятия унимодальности на многомерный случай является понятие линейной унимодальности. Случайный вектор Y называется линейно унимодальным в нуле, если распределение скалярного произведения cY (с — произвольный вектор) унимодально с модой в нуле [15]. Используя аппарат характеристических функций, нетрудно убедиться, что для Х е ТСМУС распределение линейной комбинации сХ является смесью одномерного распределения Лапласа и сверток таких распределений, также унимодальных. Следовательно, распределения класса TCMVL обладают указанным свойством.

5. Заключение

В результате проведенного расследования найдены характеристическая функция и плотность распределения и-мерных сечений процесса, порождаемого рассматриваемой нами моделью. Исследованы свойства плотности. Также исследованы важные частные случаи. Показано, что:

— многомерное симметричное распределение Лапласа является частным случаем введенного распределения;

— введенное распределение представляет собой дискретную смесь 2и-мерного симметричного распределения Лапласа и его сверток с и-мерными плотностями составляющих.

Hsu D.A. Long-tailed distibutions for position errors in navigation // Appl. Stat. 1979. V.28. P.62-72.

Okuba T., Narita N. On the distribution of extreme winds expected in Japan // National Bureau of Standards Special Publication. 1980. V.560-1. Р.12.

Dadi M.I., Marks R.J. Detector relative efficiencies in presence of Laplace noise // IEEE Trans. in Aerospace Electronic Systems. 1987. V.23. Р.568-582.

Kozubowski T.J., Podgorski K. Asymmetric Laplace laws and modeling financial data // Math. Comput. Modeling. 2001. V.34. Р.1003-1021.

Bandorf-Nielsen O.E. Models for non-Gaussian variation with applications to turbulence // Proc. Royal Soc. A. 1979. V.353. Р.401-419.

Королев В.Ю. Вероятностно-статистический анализ хаотических процессов с помощью смешанных гауссовских моделей. М.: ИПИ РАН, 2007. 363 с.

Каган А.М., Линник Ю.В., Рао С.Р. Характеризационные задачи математической статистики. М.: Наука, 1972. 656 с. Мудров В.И., Кушко В.Л. Методы обработки наблюдений. М.: Радио и связь, 1983. 303 с.

r

Г

2

1n

= Г

0

а

па1а2

X

+

X

2

1.

Па1а2

2.

3

4.

5

6.

7

8.

9. Marshall A.W., Olkin I. A multivariate exponential distribution // Y. Amer. Statis. Assoc. 1967. V.62. Р.30-34.

10. Барлоу Р., Прошан Ф. Статистическая теория надежности и испытания на безотказность. М.: Наука, 1984. 327 с.

11. Галамбош Я. Асимптотическая теория экстремальных порядковых статистик. М., Наука, 1984. 303 с.

12. Fang K.T., Kotz S., Ng K.V. Symmetric multivariate and related distributions. L.: Chapman Hall, 1990. Monographs on Statistics and Probability. V.36. 224 р.

13. Anderson D.N. A multivariate Linnik distribution // Statist. Probab. Lett. 1992. V.14. Р.333-336.

14. Zolotukhin I.V., Zolotukhina L.A. New Class of Multivariate Generalized Laplace distribution // Transactions of XXIV International Seminar of Stability Problems for Stochastic Models. Latvia, 2004. Р.267.

15. Dhamadhikari S., Joag-Dev K. Unimodality, Convexity and Applications. San Diego: Academic Press, 1998. 278 р.

Bibliography (Transliterated)

1. Hsu D.A. Long-tailed distibutions for position errors in navigation // Appl. Stat. 1979. V.28. P.62-72.

2. Okuba T., Narita N. On the distribution of extreme winds expected in Japan // National Bureau of Standards Special Publication. 1980. V.560-1. Р.12.

3. Dadi M.I., Marks R.J. Detector relative efficiencies in presence of Laplace noise // IEEE Trans. in Aerospace Electronic Systems. 1987. V.23. Р.568-582.

4. Kozubowski T.J., Podgorski K. Asymmetric Laplace laws and modeling financial data // Math. Comput. Modeling. 2001. V.34. P.1003-1021.

5. Bandorf-Nielsen O.E. Models for non-Gaussian variation with applications to turbulence // Proc. Royal Soc. A. 1979. V.353. P.401-419.

6. Korolev V.Ju. Verojatnostno-statisticheskijj analiz kha-

oticheskikh processov s pomoshh'ju smeshannykh gaussovskikh modelejj. M.: IPI RAN, 2007. 363 s.

7. Kagan A.M., Linnik Ju.V., Rao S.R. Kharakterizacionnye zadachi matematicheskojj statistiki. M.: Nauka, 1972. 656 s.

8. Mudrov V.I., Kushko V.L. Metody obrabotki nabljudenijj. M.: Radio i svjaz', 1983. 303 s.

9. Marshall A.W., Olkin I. A multivariate exponential distribution // Y. Amer. Statis. Assoc. 1967. V.62. P.30-34.

10. Barlou R., Proshan F. Statisticheskaja teorija nadezhnosti i ispytanija na bezotkaznost'. M.: Nauka, 1984. 327 s.

11. Galambosh Ja. Asimptoticheskaja teorija ehkstremal'nykh

porjadkovykh statistik. M., Nauka, 1984. 303 s.

12. Fang K.T., Kotz S., Ng K.V. Symmetric multivariate and related distributions. L.: Chapman Hall, 1990. Monographs on Statistics and Probability. V.36. 224 p.

13. Anderson D.N. A multivariate Linnik distribution // Statist. Probab. Lett. 1992. V.14. P.333-336.

14. Zolotukhin I.V., Zolotukhina L.A. New Class of Multivariate Generalized Laplace distribution // Transactions of XXIV International Seminar of Stability Problems for Stochastic Models. Latvia, 2004. P.267.

15. Dhamadhikari S., Joag-Dev K. Unimodality, Convexity and Applications. San Diego: Academic Press, 1998. 278 p.