CC BY
5
И нформационные технологии в управлении
УДК 004.724.2 + 004.272.43 РС!: http://doi.org/10.25728/pu.2021.1.7
ДВУХКАСКАДНЫЕ ДУАЛЬНЫЕ ФОТОННЫЕ КОММУТАТОРЫ В РАСШИРЕННОМ СХЕМНОМ БАЗИСЕ
Е.А. Барабанова, К.А. Вытовтов, В.С. Подлазов
Аннотация. Предложен новый метод построения двухкаскадного дуального фотонного коммутатора с повышенными функциональными характеристиками в системном базисе из малоканальных фотонных коммутаторов и фотонных мультиплексоров и демультип-лексоров. В дуальном коммутаторе совмещены шинный и коммутаторный способы разрешения конфликтов. Метод обеспечивает построение неблокируемых коммутаторов со статической самомаршрутизацией, а также обеспечивает существенное повышение быстродействия коммутаторов при одинаковом числе каналов и существенное увеличение ч исла каналов при одинаковом быстродействии по сравнению с ранее построенными неблокируемыми дуальными коммутаторами. Построенные неблокируемые коммутаторы имеют максимальное возможное для них быстродействие и широкую масштабируемость по числу каналов. Показано, что дуальные коммутаторы имеют сопоставимую коммутационную сложность по сравнению с полными коммутаторами и имеют м еньшую канальную сложность, чем полные коммутаторы.
Ключевые слова: физический уровень, фотонный коммутатор, дуальный коммутатор, многокаскадный коммутатор, бесконфликтная самомаршрутизация, неблокируемый коммутатор, статическая самомаршрутизация, квазиполный орграф, коммутационные свойства, прямые каналы, масштабируемость и быстродействие.
рестраиваемые многокаскадные сети Клоза [4, 5]. В перестраиваемых сетях [4] возможна бесконфликтная реализация любой перестановки пакетов данных, но бесконфликтное расписание для каждой перестановки приходится составлять отдельно, и оно не является самомаршрутизируемым.
Известны неблокируемые сети Клоза [6]. Однако для них до сих пор не предложено процедур ни статической, ни хотя бы динамической маршрутизации. Кроме того, они имеют значительно большую сложность, чем перестраиваемые сети Клоза, и на практике не применяются.
В качестве системной сети широко применяется р-ичный г-мерный обобщенный гиперкуб [7, 8]. Однако при г > 2 он не является ни неблокируе-мым, ни даже перестраиваемым. Для превращения его в перестраиваемую сеть приходится увеличивать в нем число каналов. Так, при р = 2 достаточно удвоить число каналов одного измерения [9]. При этом сдвоенный гиперкуб, в котором все ка-
ВВЕДЕНИЕ
В работах [1—3] предложена методика построения неблокируемых фотонных коммутаторов со статической самомаршрутизацией для оптических суперкомпьютерных систем. Системная сеть является неблокируемой, если в ней для любой перестановки пакетов можно проложить бесконфликтные пути от источников к приемникам. Системная сеть является самомаршрутизируемой, если бесконфликтные пути можно проложить локально по узлам сети без их взаимодействия только на основе маршрутной информации в пакетах. Наконец, самомаршрутизация является статической, если любой источник может самостоятельно наметить бесконфликтные пути к своему приемнику без взаимодействия с другими источниками.
Задача построения неблокируемых системных сетей до последнего времени не имела своего полного решения. В лучшем случае предлагались пе-
налы дублированы, имеет бесконфликтные расписания сразу для двух перестановок [10].
Недавно удалось сделать неблокируемым трехмерный гиперкуб с динамической самомаршрутизацией [11]. Однако для этого потребовалось увеличить число каналов и степень составляющих коммутаторов почти втрое.
Тем не менее, задача построения неблокируе-мой самомаршрутизируемой сети имеет решение в ч астном случае сетей с топологией квазиполного графа и орграфа [12]. К сожалению, число N абонентов (процессоров) таких сетей не превосходит квадрата степени p составных коммутаторов: N = p(p — 1)/ст + 1 и N = p соответственно, где ст — число разных каналов между абонентами. При этом они имеют коммутационную сложность больше, а канальную сложность меньше, чем у полного графа. Квазиполный граф изоморфен такому математическому объекту, как неполная уравновешенная блок-схема [13—17], а квазиполный орграф изоморфен двухмерному обобщенном гиперкубу (параллелограмму) или двухмерному муль-тикольцу. В частности, два младших измерения четырехмерного гиперкуба Dragonfly (CRAY XC-30) [8] выполнены в виде параллелограмма 6x16 и представляют собой неблокируемую самомаршрутизируемую подсеть.
Сети с топологией квазиполных графов и орграфов можно расширять, увеличивая число их абонентов, и не менять при этом свойств небло-кируемости и самомаршрутизируемости. Это осуществляется с помощью метода инвариантного расширения системных сетей [12, 18]. К сожалению, при этом еще больше увеличивается коммутационная сложность расширенных сетей, что сильно ограничивает их масштабируемость.
Отметим, что большинство современных системных сетей (сети Клоза [5], обобщенные гиперкубы [8], многомерные торы [19], иерархия полных графов компании IBM [20], толстое дерево Melanox [21, 22]) не могут бесконфликтно реализовать произвольную перестановку пакетов в одном сеансе. Часто приходится организовывать повторные передачи заблокированных в буферах пакетов. В настоящее время предлагаются уже фотонные компьютеры [23], фотонные сети которых не содержат в каналах никакой буферной памяти для заблокированных пакетов.
В работах [1—3] введено понятие дуальных сетей и построены новые дуальные сети, пригодные для фотонных компьютеров, которые бесконфликтно реализуют произвольные перестановки пакетов при несколько меньшем канальном быстродействии. Методика построения этих сетей основана на четырех базовых положениях. • Применение четырехканального коммутатора
новой структуры, который является дуальным по
способу разрешения конфликтов. Он совмещает шинный способ (разведение конфликтующих сигналов по разным тактам в одном канале) и коммутаторный способ (разведение конфликтующих сигналов по разным каналам).
• Допущение о передаче сигнальной и управляющей информации для коммутаторов параллельно на разных ч астотах для каждого разряда д ан-ных. Это позволяет снять проблему синхронизации сигналов разных каналов.
• Способ каскадирования коммутаторов, по которому 1-й канал /-го коммутатора одного каскада подсоединяется к /-му каналу 1-го коммутатора в следующем каскаде. С помощью обменных связей предыдущий и следующий каскады должны включать в себя одинаковое число коммутаторов с одинаковым числом каналов каждый. Этот способ позволяет создавать многоканальные коммутаторы с малым числом каскадов.
• Балансировка быстродействия и сложности многокаскадного коммутатора основывается на применении метода инвариантного расширения системных сетей [4], сохраняющего небло-кируемость и быстродействие коммутатора при увеличении числа его каналов. Это метод базируется на использовании расширенной схемной базы, состоящей как из коммутаторов рХр на р каналов, так и пар мультиплексоров 1хр и демультиплексоров рх1 (р > 2).
В работах [1—3] одна из схем дуального коммутатора 4x4 имеет вид двухкаскадной схемы из четырех демультиплексоров и четырех мультиплексоров с обратными связями через линии задержки (рис. 1). Каскады коммутатора соединены обменными связями.
Если измерять сложность мультиплексоров М4 и демультиплексоров Д4 в числе точек коммутации как равную четырем, то коммутационная сложность коммутатора задается как ^ = 32.
Комбинация из двух управляющих частот однозначно определяет режим демультиплексора, в котором информационный сигнал может быть направлен на один из четырех выходов. Возможные комбинации управляющих сигналов приведены в табл. 1.
Таблица 1
Управляющие частоты для фотонного коммутатора 4x4
Номер выхода Управляющие частоты
1
2
3
4
Рис. 1. Обобщенная схема дуального коммутатора КК4: М4 —
мультиплексор на четыре входа, Д4 — демультиплексор на четыре выхода, ЛЗ5 — линия задержки длиной в 5 сигналов
Сигналы с выходов демультиплексора поступают на входы мультиплексора. Один из них пропускается на выход, а остальные возвращаются на свои линии задержки ЛЗ5. С помощью обратных связей ч ерез ЛЗ5 в коммутаторе реализуется функция динамической задержки сигналов.
Дуальный коммутатор КК4 обеспечивает не-блокируемость при статической самомаршрутизации, если выбрать соответствующую длину линии задержки 5. Значение 5 зависит от номера каскада, в котором используется коммутатор КК4.
В первом каскаде 5 = 1. Пусть на входы коммутатора КК4 одновременно поступают четыре сигнала длительностью Т0, принимаемой за один такт. С помощью динамической задержки сигналов на его выходах возможна реализация одного из четырех вариантов размещения сигналов: по одному на каждом выходе, по два сигнала подряд на двух выходах, один и три сигнала подряд на двух выходах и ч етыре сигнала подряд на одном выходе. Они представлены на рис. 2. В результате коммутатор КК4 окажется неблокируемым на любом входном трафике при длительности периода Т1 информационных сигналов в четыре такта.
Следовательно, неблокируемый самомаршрутизируемый коммутатор КК4 имеет такие характеристики: период сигналов Т1 = 4 = N1 тактов, число каналов N1 = 4 и коммутационную сложность £ = 32 = Ы1/2.
В работах [1—3] был рассмотрен двухкаскадный коммутатор 16x16 К216 с обменными связями, состоящий из четырех коммутаторов КК4 в каждом каскаде. В первом каскаде используются ЛЗ1, а во втором — ЛЗ0, т. е. линии задержки не используются. На произвольной перестановке пакетов К216 оказался неблокируемым самомаршрутизируемым коммутатором с такими характеристиками: число
каналов N2 = 16, период сигналов Т2 = 4 = N2^ тактов и коммутационная сложность £2 = 2* 4-32 =
= 256 = N
В работах [1—3] был рассмотрен четырехкас-кадный коммутатор 256x256 К4256 с обменными связями, состоящий из 16 коммутаторов К216 в каждом каскаде. Он состоит из четырех каскадов коммутаторов КК4. В первом каскаде используются ЛЗ1, во втором — ЛЗ4, в третьем — ЛЗ15 и в четвертом — ЛЗ0, т. е. линии задержки не используются. На произвольной перестановке пакетов К4256 оказался неблокируемым самомаршрутизируемым коммутатором с такими характеристиками: период сигналов Т4 = 49 « 3^1/2 тактов, число каналов N = 256 и коммутационная слож-
ность £ = 2-16-256 = 8192 = ^'625. Отметим
здесь большой период разрядов (низкое быстродействие) и малую сложность этого коммутатора.
В работах [1—3] была предложена балансировка соотношения «быстродействие — сложность» с помощью инвариантного расширения коммутаторов с малым периодом. В частности, расширялся коммутатор К216 посредством использования внешних мультиплексоров М4 и демультиплексоров Д4. В результате был построен неблокируемый самомаршрутизируемый коммутатор К364, состоящий из 16-ти коммутаторов К^16 и 64-х демультиплексоров Д4 и мультиплексоров М4 и имеющий такие характеристики: число каналов N3 = 64, период
Рис. 2. Разные варианты распределения входных сигналов по линиям и тактам
сигналов Т3 = 4 = Лз/3
тактов и коммутационную
сложность ¿3 = 16-256 + 4-128 = 4- 608 = ^32'°28.
В настоящей статье неблокируемый коммутатор с топологией квазиполного орграфа используется не только для расширения двухкаскадных коммутаторов, а сразу для их построения. В результате удается построить коммутаторы с большим быстродействием (меньшим периодом сигналов) и с большим числом каналов, чем в работах
[1—3].
В § 1 рассматривается структура и характеристики коммутатора с топологией квазиполных графов при любом числе портов р. В § 2 рассматривается основная идея повышения быстродействия и числа каналов для р = 2 на примере построения неблокируемого трехкаскадного коммутатора. В § 3 эта идея реализуется полностью на примере построения неблокируемого двухкаскадного коммутатора при р = 2. В § 4 дается построение аналогичного двухкаскадного коммутатора при любом р. В § 5 описывается расширение двухкаскадного коммутатора в коммутаторы с большим числом каналов и неизменным периодом сигналов.
1. НЕБЛОКИРУЕМЫЙ САМОМАРШРУТИЗИРУЕМЫЙ КОММУТАТОР С ТОПОЛОГИЕЙ КВАЗИПОЛНОГО ОРГРАФА
2
Пусть имеется Л1 = р дуальных коммутаторов рХр (ККр). Для р = 4 схема каждого из них приведена на рис. 1. В общем случае они представляют
Рис. 3. Коммутатор КП16 с топологией квазиполного орграфа. Квадраты задают коммутаторы КК4, а треугольники — мультиплексоры М4 и демультиплексоры Д4
Таблица 2
Межсоединения в коммутаторе 16x16 КП16 с топологией квазиполного орграфа
Симплексные каналы от абонентов Коммутаторы 4x4 КК4 Симплексные каналы к абонентам
1 2 3 4 1 1 5 9 13
2 3 4 1 2 2 6 10 14
3 4 1 2 3 3 7 11 15
4 1 2 3 4 4 8 12 16
5 6 7 8 5 5 9 13 1
6 7 8 5 6 6 10 14 2
7 8 5 6 7 7 11 15 3
8 5 6 7 8 8 12 16 4
9 10 11 12 9 9 13 1 5
10 11 12 9 10 10 14 2 6
11 12 9 10 11 11 15 3 7
12 9 10 11 12 12 16 4 8
13 14 15 16 13 13 1 5 9
14 15 16 13 14 14 2 6 10
15 16 13 14 15 15 3 7 11
16 13 14 15 16 16 4 8 12
собой двухкаскадную схему с обменными связями, в первом каскаде которой находятся р демульти-плексоров рх 1 (Др), а во втором каскаде — р мультиплексоров 1 хр (Мр) с обратными связями ч ерез линии задержки ЛЗ5 по каждому входу. Каждый коммутатор ККр имеет коммутационную сложность = 2р.
Из Л1 = р коммутаторов ККр а также Л1 мультиплексоров Мр без линий задержки и Л1 демуль-типлексоров Др можно составить неблокируемый самомаршрутизируемый коммутатор Л1хЛ1 со структурой квазиполного орграфа — КПЛГ Межсоединения в нем задаются таблицей инциденций, в качестве примера которой для р = 4 приведена табл. 2. Схема самого коммутатора КП16 изображена на рис. 3.
Коммутатор КПЛ^ является неблокируемым не только на перестановках пакетов, но и при любом распределении Л1 пакетов по выходам, при котором на каждый выход направляется не более р пакетов.
Коммутатор КПЛ^ имеет такие характеристики: число каналов N = р , период сигналов т = р и
коммутационную сложность £ = SlNl + 2рЖ1 =
2 3
= 2р Nх + 2р^ = 2р (р + 1). В дальнейшем для любых коммутаторов рассматривается и кабельная сложность по числу симплексных каналов в них.
Для КПЛ^ она задается как Л = 2рЖ1 = 2р . Все характеристики коммутатора представлены в табл. 3. Коммутатор КПЛ^ мы считаем однокаскадным — по числу каскадов коммутаторов ККр. В дальнейшем число каскадов считается по числу каскадов коммутаторов ККр.
Подчеркнем, что коммутатор КПЛ^ является не-блокируемым не только на перестановках пакетов, но и при любом распределении входных пакетов по выходам, при котором на каждый выход направляется не более р пакетов.
Расширение таблицы до р = 8 объясняется тем, что уже разработан дуальный фотонный коммутатор 8x8, т. е. КК8 [24].
В § 2 и 3 используются дуальные коммутаторы КК2 и КП4, представленные на рис. 4. Заметим, что однокаскадный коммутатор КП4 имеет те же период сигналов и число каналов, что и двухкас-кадный коммутатор, построенный из КК4 в работах [1—3].
2. НЕБЛОКИРУЕМЫЙ САМОМАРШРУТИЗИРУЕМЫЙ ТРЕХКАСКАДНЫЙ КОММУТАТОР
Составим из дуального коммутатора КП4 самомаршрутизируемую двухкаскадную сеть С216 с обменными связями, представленную на рис. 5. Она состоит из двух каскадов, каждый каскад — из четырех коммутаторов КП4. К сожалению, эта сеть не является 16-канальным неблокируемым коммутатором, так как м ожет иметь конфликты сигналов на каскаде мультиплексоров М2, выделенных серой заливкой. Конфликтовать могут сигналы в первом и втором тактах. Чтобы разрешить эти конфликты достаточно иметь в указанных мультиплек-
Таблица 3
Характеристики коммутатора КПМ1
р 2 3 4 5 6 7 8
N 4 9 16 25 36 49 64
£ 48 216 640 1500 3024 5488 9216
£ Ж2'79 Ж2'45 Ж2'33 Ж2'27 Ж2'24 Ж2'21 Ж2'19
Л 16 54 128 250 432 686 1024
Л Ж2 Ж1-82 Ж1-75 Ж1'72 Ж1'69 Ж1'68 Ж1'67
Рис. 4. Неблокируемый самомаршрутизируемый коммутатор КП4
Рис. 5. Двухкаскадная сеть С216
сорах ЛЗ5 с 5 = 2, как показано на рис. 6. Тогда можно условно считать, что они образуют второй каскад дуальных коммутаторов без демультиплек-соров. В результате образуется трехкаскадный не-блокируемый самомаршрутизируемый коммутатор К316. Он обладает такими характеристиками: число каналов Ж = 16 = 24, период сигналов Т3 = 4,
коммутационная сложность ¿3 = 2Л1Е|р = 2 = 384 = = Л32'15 и кабельная сложность Ь3 = 2Л1Л +
+ Щр = 2 = 144 = Л1'79.
Сравним характеристики данного трехкаскад-ного коммутатора и описанного во введении двух-каскадного коммутатора, составленного из КК4. Они имеют по 16 каналов, отношение периодов сигналов у = Т3/Т2 = 2/4 = 0,5 и отношение коммутационных сложностей ст = ¿3/^2 = 384/256 = 1,5. Произведение уст = 0,75 показывает во сколько раз сокращение периода сигнала меньше увеличения коммутационной сложности.
Используя коммутаторы КП16 аналогичным образом, можно построить двухкаскадную самомаршрутизируемую сеть С3256 с обменными связями. Она состоит из двух каскадов по 16 коммутаторов КП16 в каждом каскаде. В этой сети м огут быть конфликты на мультиплексорах М4 первого каскада. Для того, чтобы сделать С3256 трехкаскад-ным неблокируемым самомаршрутизируемым коммутатором, достаточно использовать в мультиплексорах М4 линии задержки ЛЗ5 с 5 = 4 (рис. 7). В результате образуется трехкаскадный неблоки-руемый самомаршрутизируемый коммутатор К3256 с такими характеристиками: число каналов Л3 = = 256 = 44, период сигналов Т3 = 11, коммутаци-
т-1,79
онная сложность ¿3 = 2ЛхЕ|р = 4 = 20-480 = Л3 и кабельная сложность Ь3 = 2N1Л + Лх|р = 4 =
= 4-352 = Л^51. Обоснование значения 5 и Т3 дается ниже в лемме 1.
Сравним характеристики данного трехкаскадно-го коммутатора при р = 4 и описанного во введении
Таблица 4
Характеристики коммутаторов К3Я3
N3= р4
16 81 256 625
1 296
2 401
4 096
Т3= р2
4 9 16 25 36 49 64
384 = N
2,15
3888 = Л3 20 480 = N
1,88
75 000 = N
1,79 3
1,74
3
217 728 = N3
1,71
537 824 = N
1,70 3
1 179 648 = N
1,68
144 = N
1,79
3
1053 = Щ
1,58
4352 = N
1,51 3
13 125 = N
1,47
32 400 = N3
1,45
69 629 = N3
1,43
135 168 = N
1,42 3
Рис. 6. Мультиплексор М2 с линиями задержки для первого каскада
Рис. 7. Мультиплексор М4 с линиями задержки для первого каскада
четырехкаскадного коммутатора с тем же р. Они имеют по 256 каналов, отношение периодов сигналов у = Т3/Т4 = 10/49 « 0,204 и отношение коммутационных сложностей ст = ¿^/¿4 = 20 • 480/8 • 192 = = 2,5. Произведение уст = 0,51 показывает, во сколько раз сокращение периода сигнала меньше увеличения коммутационной сложности.
Для произвольного р > 2 трехкаскадный коммутатор К3р4 строится аналогично из коммутаторов 2
КПр2. Для него можно сформулировать следующую лемму.
Лемма 1. Для неблокируемости коммутатора Кр достаточно, чтобы мультиплексор Мр первого каскада имел ЛЗ5 с 5 = р и период сигналов длительности
Т = р2.
(1)
Доказательство. На входы Мр поступаетр сигналов с возможным их распределением на отрезке от 1 до р тактов. В конфликтной ситуации они распределены максимально на отрезе от 1 до р тактов. Для того чтобы при любых конфликтах первичные сигналы не накладывались на сигналы, задержанные в ЛЗ5, достаточно выполнения условия 5 = р.
Ь
5
3
3
Максимальное число конфликтующих сигналов возникает при распределении всех сигналов по р тактам. В этом случае разрешение конфликта потребует повторного пропускания конфликтующих сигналов через ЛЗ5 р раз, что распределит их на отрезке от 1 до р2 тактов. Что и требовалось доказать. ♦
Справедливость формулы (1) была подтверждена численным моделированием на модели коммутатора с синхронной генерацией произвольных перестановок пакетов.
При произвольном р > 2 коммутаторы Кр имеют характеристики, представленные в табл. 4.
3. НЕБЛОКИРУЕМЫЙ САМОМАРШРУТИЗИРУЕМЫЙ ДВУХКАСКАДНЫЙ ДВОИЧНЫЙ КОММУТАТОР
Трехкаскадный коммутатор К316 можно превратить в неблокируемый двухкаскадный коммутатор К216 способом внутреннего распараллеливания, если вырезать каскад М2 с ЛЗр из первого каскада (рис. 5) и развести конфликтующие сигналы по двум копиям второго каскада (рис. 8). Выходы с этих копий объединяются дополнительным каскадом М2. Коммутатор К216 имеет такие характеристики: число каналов И2 = 16, период сигналов Т2 = 2, коммутационную сложность ¿2 = Жх(£ —
— рЛ^) + рЖ2|р = 2 = 576 = Ж2'29 и кабельную сложность Ь2 = (р + 1) Ж1Л + рЖ2|р = 2 = 224 = Ж1,95.
Отметим, что коммутатор К216 имеет большую несколько большую сложность, чем К316. Заметим также, что двухкаскадный коммутатор К216 и двух-каскадный коммутатор, составленный из коммутаторов КК4 в работах [1—3], имеют одинаковое число каналов, но первый имеет вдвое меньший период сигналов.
4. НЕБЛОКИРУЕМЫЙ САМОМАРШРУТИЗИРУЕМЫЙ
ДВУХКАСКАДНЫЙ Р-ИЧНЫЙ КОММУТАТОР
2
При р > 2 из коммутаторов КПЖХ (= р ) способом внутреннего распараллеливания можно построить неблокируемый самомаршрутизируемый двухкаскадный р-ичный коммутатор К2Ж1 или
К2Ж2 (рис. 9) с числом каналов Ж2 = р4. На рис. 9 трапеция С2 х обозначает схему коммутатора КПЖ1 без выходных мультиплексоров Мр, имеющую входов и групп выходов по р выходов в группе. Квадрат С2,2 обозначает схему полного коммутатора КПЖ1 с входами и выходами. Треугольник С23 — схему мультиплексора Мр.
Набор из схем С2 г обозначается как набор
С2. В нем выходы схем С2 х нумеруются как I, I, к,
где I (1 < I < Ж1) задает номер схем С21 в С2, I (1 < I < Ж1) — номер группы из р выходов схемы С21 и к (1 < к < р) — номер выхода в группе.
Рис. 8. Двоичный двухкаскадный неблокируемый самомаршрутизируемый коммутатор К216. Каналы к копиям второго каскада и от них обозначены пунктиром
Рис. 9. Двухкаскадный р-ичный неблокируемый самомаршрутизируемый коммутатор К2^2. Каналы к к-й и р-й копиям второго каскада и от них обозначены короткими и длинными пунктирами
Набор из N схем С2 2 обозначается как набор С2. В нем входы схем С2 2 нумеруются как I, /, где I (1 < I < Л1) задает номер схемы С22 в наборе С2, а / (1 < / < Л1) — номер входа схемы С2 2. Имеется р копий набора С2.
Между выходами схем С2 1 в наборе С2 и входами схем С22 в каждой из р копий набора С2 имеют место обменные связи, при которых выходы I, /, к набора С2 подсоединяются ко входам /, I, к-й копии набора С2.
Набор С2 и каждый набор С2 в к-й группе имеют обменные связи, а именно: выходы I, /, к схем С2 1 соединяются со входами /, I схем С22 в к-й копии наборов С2. Выходы к копий наборов С2 объединяются Л2 схемами в выходы коммутатора КЩ2.
Каждая схема С2 1 имеет коммутационную сложность 5*21 = 2 — рЛ1 = 2р2Л1 + рЛ1 и кабельную сложность вместе с выходными линиями на копии С22 — ¿2 1 = Л = 2рЛ1. Каждая копия С2 2 имеет коммутационную сложность 522 = 2 = 2р2Л1 + 2рЛ1 и кабельную сложность Ь22 = Л = 2рЛ1. Каждая схема С2 3 имеет коммутационную сложность <5*23 = р и кабельную сложность вместе с входными линиями с копий С22 — Ь2 з = р. В результате коммутационная и кабельная сложности коммутатора КЩ2
составляют 52 = Л152 1 + рЛ152 2 + Л2Я2 3 = 2Л2(р +
+ 2р + р) = 2( Л27/4 + 2 + ) и Ь2 = И1Ь2 1 + + рЛ1Ь2а + Л2Х2,3 = Л2(2р2 + 2р + р) = 2 Л23/2 + + 3 Л2/4 соответственно. В табл. 5 представлены
3/2
5/4
характеристики коммутаторов КЩ2 в их сопоставлении с коммутаторами К3Л3 (табл. 4).
Из табл. 5 следует, что двухкаскадные коммутаторы К2Л2 и двухкаскадные коммутаторы, составленные из коммутаторов ККр в работах [1—3], при одинаковых р имеют существенно большее число
каналов (Л2 = Л2 ) и одинаковый период сигналов (Т2 = Т2 = р), но при большей коммутационной
сложности (<5*2 и Л22 и <5*2 = 2 Л2/2) соответственно.
5. РАСШИРЕНИЯ НЕБЛОКИРУЕМЫХ САМОМАРШРУТИЗИРУЕМЫХ ДВУХКАСКАДНЫХ Р-ИЧНЫХ КОММУТАТОРОВ
В данном разделе применяется метод инвариантного расширения системных сетей [18], который позволяет увеличивать число абонентов, не меняя задержек передачи, посредством увеличения сложности сети. Для расширения коммутаторов КЩ2 в этом методе используются отдельные мультиплексоры Мй и демультиплексоры Дй, у которых й представляет собой делитель Л2, т. е. й = рг (г = 1, 2, ...). Это метод уже применялся в работах [1—3] при г = 1 для расширения коммутаторов, построенных в чисто коммутаторной схемной базе.
Суть этого м етода состоит в следующем. Берется й коммутаторов КЩ2. Каждый из них разделяется на п = Л2/й зон по й портов (пар «вход — выход») в каждой. Части коммутаторов К2Л2 в любой зоне являются также коммутаторами Все
вместе они являются хребтом коммутатора КП1й с топологией квазиполного орграфа (например,
Таблица 5
Характеристики коммутаторов К2Я2
р р II т = Щ1/4 ¿2 у = 52/53 ° = Т3/Т2 у/Ъ
2 3 4 5 6 7 8 16 81 256 625 1 296 2 401 4 096 2 3 4 5 6 7 8 576 = Л2'29 7776 = Щ2,04 51 200 = Щ1,96 225 000 = Щ1,91 762 048 = Щ1,89 2 152 296 = Л21,87 5 308 416 = Щ21,86 224 = Щ1,95 2187 = Щ1,75 11 264 = Л21,68 40 625 = Щ1,65 116 640 = Л21,63 285 719 = Щ1'61 622 592 = Щ1,60 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 2 3 4 5 6 7 8 0,75 0,67 0,63 0,60 0,58 0,57 0,56
1+4(г-1)
2+4(М)
3+4(г-1
4+4(М)
КП,4
1.гКК2
ч / ч ,
\ / 2.г КК2
3.гКК2
лл
4.1 КК2
/ \ / \
1 <1 < 8
Д2
►1+4(1-1)
►2+4(г'-1)
►3+4(1-1)
►4+4(/-1)
Рис. 10. Схема подсоединения входов и выходов коммутатора КР232 в /-й зоне коммутатора КР216
см. рис. 3 для й = р = 4 и рис. 4 для й = р = 2). Для образования каждого такого коммутатора достаточно подключить к нему й2 входов через мультиплексоры Мй, и й выходов — через демультиплек-соры Дй по соответствующей таблице межсоединений (например, см. табл. 2 для й = р = 4). При этом образуется расширенный коммутатор КР2^2,
где Я2 = пй = йЩ. В нем сигнал с любого входа поступает на единственною (!) копию коммутатора К2^2, с которой он без дополнительных задержек проходит на любой заданный выход. Поэтому КР2Я2 является неблокируемым самомаршрутизируемым коммутатором, как и К2^2.
Пример расширения коммутатора КР216 в коммутатор КР232 при й = р = 2 иллюстрируется табл. 6 и рис. 10.
Размещение коммутаторов КК2 в расширенном коммутаторе КР232 при й = р = 2
Таблица 6
Номер копии
К216
Порты коммутатора К216
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Состав коммутаторов КР232 из коммутаторов КК2
1 1 КК2 2 КК2 3 КК2 4 КК2 5 КК2 6 КК2 7 КК2 8 КК2
2 1 КК2 2 КК2 3 КК2 4 КК2 5 КК2 6 КК2 7 КК2 8 КК2
3 1 КК2 2 КК2 3 КК2 4 КК2 5 КК2 6 КК2 7 КК2 8 КК2
4 1 КК2 2 КК2 3 КК2 4 КК2 5 КК2 6 КК2 7 КК2 8 КК2
1
2
3
4
Таблица 7
Характеристики коммутатора КР2Я2 для некоторых значений р и й
P 2 3 4 5 6 7 8
T 1 2 2 3 4 5 6 7 8
й = р *2 ¿2* ¿2 32 Я2'89 243 Я|03 Я;74 1024 *297 Я'69 3125 Я'93 7776 Я'91 Я'65 16 807 *29° Я'64 32 768 Я'89 Я'63
й = р2 Я2 ¿2* ¿2 64 яр1 Я2'91 729 я|03 Я;78 4096 Я'97 Я;74 15 625 Я'94 Я;72 46 656 Я'93 Я'71 117 649 Я'92 262 144 Я'91 Я'69
й = р3 Я2 ¿2* ¿2 128 Я,18 Я'92 2187 „2,02 Я2 Я'81 16 384 Я'98 Я;78 78 125 Я'95 Я'76 279 936 Я'94 Я'75 823 543 Яг93 Я;74 2 097 152 Я'92 Я;74
й = рр Я2 ¿2* 256 Я'93 6561 2,02 Я2 Я;84 65 536 *298 Я'8 390 625 *296 Я'79 1 679 616 Я'95 Я;78 5 764 801 *294 Я;77 16 777 216 Я'93 Яг"
Коммутатор КР2^2 имеет коммутационную
сложность 52 = й 252 + 2Я2й = й 22( Л27/4 + 2 Л23/2 +
+ Л2/4 + Л2) и кабельную сложность Ь*2 = й 2Ь2 +
+ 2Я2й = й 2(2 Л23/2 + 3 Л2/4 + Л2). В табл. 7 приводятся все характеристики КР2Я при разных значениях р и й. Отметим практическое сохранение удельной сложности (на один канал) расширенного коммутатора при увеличении числа его каналов и сохранении его быстродействия (периода сигналов).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей работе предложена методика построения неблокируемых самомаршрутизируемых фотонных коммутаторов широкой масштабируемости на базе новых дуальных фотонных коммутаторов с малым числом каналов р. В дуальных коммутаторах конфликты сигналов разрешаются посредством их разведения либо по разным каналам, либо по разным временньгм тактам. Последний способ требует увеличения периода сигналов в р раз для р-канального дуального коммутатора р х р.
Построены дуальные фотонные коммутаторы широкой масштабируемости с минимально возможным для них периодом сигналов, который в р раз больше длительности сигнала. Масштабируемость достигается путем использования коммутаторов с топологией квазиполных орграфов и способа инвариантного расширения любых сетей на их основе, который позволяет увеличивать число каналов сети с сохранением таких ее свойств, как период сигналов, неблокируемость и самомаршру-тизируемость посредством ее распараллеливания с увеличением ее сложности. Этот способ использует расширенную элементную базу, состоящую из коммутаторов р хр вместе с мультиплексорами 1*р и демультиплексорами рх1.
Построены трех- и двухкаскадные неблокируе-мые самомаршрутизируемые Л-канальные коммутаторы щхЩ с N = р4. В первом из них баланс между длиной периода и сложностью смещен в сторону меньшей сложности при большом периоде. В двухкаскадном коммутаторе баланс смещен в сторону минимального периода при большой сложности. В нем коммутационная сложность оказалась сопоставимой со сложностью полного коммутатора, а кабельная сложность оказалась существенно меньше, чем у полного коммутатора. В этих коммутаторах имеется только два каскада коммутаторов рХр и два каскада мультиплексоров 1*р и демультиплексоров рх1.
Вышеупомянутые коммутаторы были расширены до Я-канальных коммутаторов Я*Я с Я = N г (г = 1, 2, 3, 4) посредством использования еще одного каскада мультиплексоров и д емультип-
лексоров йх1 с й = рг. Эти Я-канальные коммутаторы являются неблокируемыми самомаршрутизируемыми коммутаторами с минимальным периодом сигналов. Их коммутационная сложность сопоставима со сложностью полного коммутатора, а канальная сложность существенно меньше ее.
Основной результат данной работы по сравнению с работами [1—3] заключается в существенном сокращении периода сигналов при одинаковом числе каналов и в существенном увеличении числа каналов при одинаковом периоде сигналов. Иначе говоря, основная новизна работы состоит в разработке метода построения неблокируемых самомаршрутизируемых дуальных фотонных коммутаторов с минимально возможным периодом сигналов и с возможностью достижения максимального числа каналов при практически неизменной сложности.
В работах [1—3] и в настоящей работе дана методика построения принципиально новых дуальных системных сетей, обладающих такими свойствами:
— они являются неблокируемыми сетями со статической самомаршрутизацией пакетов, т. е. сетями с бесконфликтной самомаршрутизацией на произвольных перестановках пакетов;
— они обладают широчайшей масштабируемостью при максимальном достижимом на них быстродействии и сложностью, сопоставимой со сложностью полного коммутатора;
— их максимальное быстродействие только в несколько раз (2—4) меньше физически достижимого быстродействия;
— они допускают балансировку соотношения сложность/быстродействие с уменьшением сложности до уровня неблокируемой сети Клоза, для которой нет процедур бесконфликтной самомаршрутизации, но при существенно меньшем быстродействии неблокируемой сети.
В дальнейшем предполагается придать дуальным сетям свойство канальной отказоустойчивости посредством замены квазиполного орграфа на квазиполный граф. Кроме того, предполагается при каскадировании дуальных сетей применять способ внутреннего распараллеливания сети (§ 3, 4) вместо способа внешнего распараллеливания (инвариантного расширения). Это позволит обеспечить масштабирование дуальных сетей с меньшими накладными затратами.
ЛИТЕРАТУРА
1. Барабанова Е.А., Вытовтов К.А., Подлазов В.С. Многокаскадные коммутаторы для оптических и электронных суперкомпьютерных систем // Матер. 8-го Национального Суперкомпьютерного Форума (НСКФ—2019). — Пере-славль-Залесский, 2019. — URL: http://2019.nscf.ru/Tesi-sAll/02_Apparatura/037_BarabanovaEA.pdf. [Barabanova, E.A., Vytovtov, K.A., Podlazov, V.S. Mnogokaskadnye kommutatory dlya opticheskikh i elektronnykh superkomp'yuternykh sistem // Mater. 8-go Natsional'nogo Superkomp'yuternogo Foruma (NSKF—2019). — Pereslavl'-Zalesskii, 2019. — URL: http:// 2019.nscf.ru/TesisAll/02_Apparatura/037_BarabanovaEA.pdf. (In Russian)]
2. Барабанова Е.А., Вытовтов К.А., Вишневский В.М., Подлазов В.С. Новый принцип построения оптических устройств обработки информации для информационно-измерительных систем // Датчики и системы. — 2019. — № 9. — С. 3—9. [Barabanova, E.A., Vytovtov, K.A., Vishnevsky, V.M., Podlazov, V.S. The New Principle for the Construction of Optical Information Processing Devices for Information-Measuring Systems // Sensors and Systems. — 2019. — No. 9. — P. 3—9. (In Russian)]
3. Barabanova, E, Vytovtov, K, Podlazov, V., Vishnevskiy, V. Model of optical non-blocking information processing system for next-generation telecommunication networks // Proceedings of the 22nd International Conference on Distributed Computer and Communication Networks: Control, Computation, Communications (DCCN—2019). — Moscow, 2019. — Communications in Computer and Information Science, vol. 1141. — Springer, Cham. — P. 188—198. — DOI: 10.1007/978-3-030-36625-4_16.
4. Pipenger, N. On rearrangeable and non-blocking switching networks // J. Comput. Syst. Sci. — 1978. — Vol. 17. — P. 307—311.
5. Scott, S, Abts, D, Kim, J. and Dally, W. The Black Widow High-radix Clos Network // Proc. 33rd Intern. Symp. Comp. Arch. (ISCA?2006). — Boston, 2006. — URL: https://www.re-searchgate.net/publication/4244660_The_BlackWidow_High-Radix_Clos_Network.
6. Бенеш В.Е. Математические основы теории телефонных сообщений. — М.: Связь, 1968. — 287 c. [Benesh, V.E. Matematicheskie osnovy teorii telefonnykh soobshchenii. — M.: Svyaz?, 1968. — 287 c. (In Russian)]
7. Bhuyan, L.N, and Agrawal, D.P. Generalized Hypercube and Hyperbus Structures for a Computer Network // IEEE Trans. on Computers. — 1984. — Vol. C-33, no. 4. — P. 323—333.
8. Alverson, R., Froese, E., Kaplan, L., and Roweth, D. Cray® XCTM Series Network. — Cray Inc., 2012. — 28 p. — URL: https://www.cray.com/sites/default/files/resources/CrayXC-Network.pdf.
9. Gu, Q.P., and Tamaki, H. Routing a Permutation in Hypercube by Two Sets of Edge-Disjoint Paths // J. of Parallel and Distributed Comput. — 1997. — Vol. 44. — No. 2. — P. 147—152.
10. Lubiw, A. Counterexample to a Conjecture of Szymanski on Hypercube Routing // Inform. Proc. Let. — 1990. — Vol. 35 (2). — p. 57—61.
11. Подлазов В.С. Бесконфликтная самомаршрутизация для трехмерного обобщенного гиперкуба // Проблемы управления. — 2018. — № 3. — С. 26—32. [Podlazov, V.S. Conflict-Free Self-Routing for Three-Dimensional Generalized Hypercube // Control Sciences. — 2018. — No. 3. — P. 26—32. (In Russian)]
12. Каравай М.Ф., Подлазов В. С. Системные сети с прямыми каналами для параллельных вычислительных систем — комбинаторный подход // Главы 5, 6. — URL: https:// www.ipu.ru/sites/default/files/publications/18125/15058-18125.pdf. [Karavai, M.F, Podlazov, V.S. Sistemnye seti s pryamymi kanalami dlya parallel'nykh vychislitel'nykh sistem — kombinatornyi podkhod // Glavy 5, 6. — URL: https://
www.ipu.ru/sites/default/files/publications/18125/15058-18125.pdf.]
13. Finn, A.M., Decker, R.O. A Network Architecture for Radar Signal Processing // AIAA/IEEE 8-th Digital Avionic Systems Conference. — San Jose, California, 1988. — P. 614—621.
14. Холл М. Комбинаторика // Гл. 10—12. — М.: Мир, 1970. — 424 c. [Hall, M. Combinatorial Theory. — Waltham: Blaisdell Publishing Company, 1967. — 310 p.]
15. Cho, Y, Chi, C. and Chung, I. An Efficient Conference Key Distribution System Based on Symmetric Balanced Incomplete Block Design // Lecture Notes Comput. Sci. (LNCS). —
2003. — Vol. 2657. — P. 147—154.
16. Lee, O, Lee, S, Kim, S. and Chung, I. An Efficient Load Balancing Algorithm Employing a Symmetric Balanced Incomplete Block Design // Lecture Notes Comput. Sci. (LNCS). —
2004. — Vol. 3046. — P. 647—654.
17. Каравай М.Ф, Пархоменко П.П., Подлазов В.С. Комбинаторные методы построения двудольных однородных минимальных квазиполных графов (симметричных блок-схем) // Автоматика и телемеханика. — 2009. — № 2. — С. 153—170. [Karavai, M.F, Parkhomenko, P.P., Podlazov, V.S. Combinatorial Methods for Constructing Bipartite Uniform Minimal Qua-sicomplete Graphs (Symmetrical Block Designs) // Automation and Remote Control. — 2009. — Vol. 70. — P. 312—327.
18. Каравай М.Ф, Подлазов В.С. Метод инвариантного расширения системных сетей многопроцессорных вычислительных систем. Идеальная системная сеть // Автоматика и телемеханика. — 2010. — № 12. — С. 166—176. [Karavai, M.F, Podlazov, V.S. An Invariant Extension Method for System Area Networks of Multicore Computational Systems. An Ideal System Network // Automation and Remote Control. — 2010. — Vol. 71. — P. 2644—2654.]
19. Alverson, R, Roweth, D. and Kaplan, L. The Gemini System Interconnect // 18th IEEE Symposium on High Performance Interconnects. — 2009. — P. 3—87.
20. Arimili, B, Arimili, R, Chung, V, et al. The PERCS High-Performance Interconnect // 18th IEEE Symposium on High Performance Interconnects. — 2009. — P. 75—82.
21. URL: https://www.mellanox.com/pdf/whitepapers/ IB_vs_Ethernet_Clustering_WP_100.pdf.
22. URL: https://dlcdnets.asus.com/pub/ASUS/mb/accessory/ PEM-FDR/Manual/Mellanox_OFED_Linux_User_Manual_ v2_3-1_0_1.pdf.
23. Степаненко С.А. Фотонный компьютер: структура и алгоритмы, оценки параметров // Фотоника. — 2017. — № 7 (67). — С. 72—83. [Stepanenko, S.A. Photon Computer: Structure and Algorithms, Parameter Estimates // Fotonika. — 2017. — No. 7 (67). — P. 72—83. (In Russian)]
24. Barabanova, E, Vytovtov, K, Podlazov, V. Model and Algorithm of Next Generation Optical Switching Systems Based on 8x8 Elements // Proceedings of the 22nd International Conference on Distributed Computer and Communication Networks: Control, Computation, Communications (DCCN—2019). — Moscow, 2019. — Vol. 11965. — P. 58—70. — DOI: 10.1007/978-3-030-36614-8_5.
Статья представлена к публикации членом редколлегии
В.М. Вишневским.
Поступила в редакцию 30.04.2020, после доработки 09.09.2020.
Принята к публикации 05.10.2020.
Барабанова Елизавета Александровна — д-р техн. наук,
И elizavetaalexb@yandex.ru,
Вытовтов Константин Анатольевич — д-р техн. наук,
И vytovtov_konstan@mail.ru,
Подлазов Виктор Сергеевич — д-р техн. наук,
И podlazov@ipu.ru,
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН,
г. Москва.
TWO-STAGE DUAL PHOTON SWITCHES IN AN EXTENDED SCHEME BASIS
E.A. Barabanova, K.A. Vytovtov and V.S. Podlazov
V.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences, Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia M elizavetaalexb@yandex.ru, M vytovtov_konstan@mail.ru, M podlazov@ipu.ru
Abstract. This paper proposes a new method for constructing a two-stage dual photon switch with enhanced functional characteristics in the system basis of low-channel photon switches and photon multiplexers and demultiplexers. The method yields non-blocking switches with static self-routing. Also, the method ensures a significant speed-up for the switches with the same number of channels and a significant increase in the number of channels with the same speed compared to the non-blocking dual switches known previously. The non-blocking self-routing dual photon switches presented below have the highest possible speed and a maximum possible number of channels with almost the same complexity. As is shown in the paper, the dual switches have a switching complexity comparable with full switches and, at the same time, a lower channel complexity.
Keywords: physical level, photon switch, dual switch, multistage switch, conflict-free self-routing, non-blocking switch, static self-routing, quasi-complete digraph, switching properties, direct channels, scalability and speed.
M. Forghani-elahabad, N. Mahdavi-Amiri. An Algorithm to Search for All Minimal Cuts in a Flow Network. P. 1—10.
L. Kadi, A. Brouri, A. Ouannou. Frequency-Geometric Identification of Magnetization Characteristics of Switched Reluctance Machine. P. 11—26.
A. Nguyen Tuan, B. Hoang Thang. Determining the Vertical Force When Steering. P. 27—35.
I. Varga, G. Kocsis. Statistical Properties of VANET-based Information Spreading. P. 36—44.
L. V. Kiselev, V. B. Kostousov, A. V. Medvedev, A. E. Tarkhanov, K. V. Dunaevskaya. Computational Models of Trajectory Investigation of Marine Geophysical Fields and Its Implementation for Solving Problems of Map-Aided Navigation. P. 45—59.
I. Brokarev, S. Vaskovskii. Multi-Criteria Estimation of Input Parameters in Natural Gas Quality Analysis. P. 60—69. D. Maximov. Multi-Valued Neural Networks II: A Robot Group Control. P. 70—82.
M.-C. Litzinger, Y. Todorov, M. Foller-Nord, M.K. Chaudhary, A.S. Bratus. On Optimal Therapy Protocols in the Mathematical Model of Prostate Cancer Progression. P. 83—104.
V. Chadeev, N. Aristova. Automation of Cluster Large-Scale Production Systems. P. 105—112.
N. Gabdrakhmanova, M. Pilgun. Development of Unified Approaches to Building Neural Network and Mathematical Models Based on Digital Data. P. 113—124.
D.V. Tunitsky. On Some Global Properties of Multivalued Simple Waves. P. 125—131.
C^)
advances in systems science and applications
2020. Vol. 20. No. 4
