CC BY
68
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
___Эя Н?ФС 77 - 30569. Государственная регистрация №0421100025.155Н 1ЗД4-М06_
Двухимпульсные перелеты на гало-орбиты в задаче трех тел 77-30569/352636
# 03, март 2012 Звягин Ф. В.
УДК 629.78.086
МГТУ им. Н.Э. Баумана pk-bmstu@ya.ru
Постановка задачи
С течением времени все больше возрастает актуальность исследования космического пространства из областей, расположенных на границе сферы действия Земли. Кроме минимальных гравитационных возмущений вследствие того, что в этих областях наблюдается равновесие сил притяжения Земли и Солнца, эти области характеризуются отсутствием космического мусора, а также незначительным уровнем радиосигналов антропогенного происхождения, что позволяет использовать их для проведения экспериментов по изучению космического пространства с внесением минимума побочных «паразитных» данных. Один из вариантов использования указанных областей состоит в выведении исследовательских КА на почти периодические орбиты в окрестностях коллинеарных точек либрации системы Солнце-Земля, являющихся особыми точками уравнений движения задачи трех тел. Реализованные проекты космических агентств разных стран использовали одноимпульсные схемы выведения, имеющие определенные ограничения на геометрические характеристики конечной орбиты. Такие ограничения, как показано в представляемой работе, могут быть сняты использованием двухимпульсных схем перелета.
Уравнения движения Уравнения движения ограниченной задачи трех тел в неравномерно вращающейся (пульсирующей) барицентрической системе координат в безразмерных величинах при
расстоянии между основными телами (меньшего массы М- и большего массы Н) ) принятом равным 1, истинной аномалии меньшего тела обозначенной I), постоянной тяготения равной 1 могут быть записаны как [1]:
ІІ£
Э V2
СІ\'
1
дО,
сії) І + ^созР дх
1
ЭП
Эр
Э2^
<$\) і + єсозр Эу
1
ЭП
д^2 І + есозр Эг
где силовая функция определена как
При этом ось абсцисс направлена от меньшего тела к большему, ось аппликат перпендикулярна плоскости обращения тел, а ось ординат дополняет систему координат до правой.
Система уравнений (1) имеет пять особых точек, называемых точками либрации. Выделяя для дальнейшего исследования две коллинеарные точки либрации, расположенные вблизи меньшего притягивающего тела и проводя линеаризацию уравнений движения в окрестности этих точек с учетом того, что в плоской постановке задачи координаты точки либрации могут быть записаны как
(а>, Ур,Хр, V?) = (х^Д0,0) „ „
V ч о ? ? !, можно получить линеаризованный вид уравнений
в форме Гамильтона для системы уравнений (1) с началом координат, перенесенным в точку либрации [4, 5]:
(2)
хе+ц
-3
Уравнения (2) имеют одну пару точек равновесия с действительными собственными числами и другую — с мнимыми Гамильтониан записывается в форме:
Н (л\ у) = Лх^ + |л'2 + у\) + От>(х,у),
где х = (хь х2),у = (у1,у2) и Оп(у) обозначает члены разложения порядка п и выше. Тогда, в соответствии с теоремой Ляпунова—Мозера, решение линеаризованных уравнений может быть записано как [5]:
где постоянные
л-! (/) = , л*2 (0 — х2 (Ое ^, г(г) = Х2 (0 + 1у2 (0 = г°е у{,
Л1 ? У[ и ^ —Х2^*У2 — начальные условия. Функции х1у1 и |г|2 = Х2 + у2
постоянны вдоль решений. Собственные числа линеаризованной системы имеют
форму и —п’, где и г’ положительные постоянные. Соответствующие им собственные векторы
щ - (1,-<тД,-Л<7), Щ - (1,(7,-Л,-Лет), Щ - (1,-/'г,/у,гт), йЬ -
где ^ и 'Г постоянные, причем ^ > 0 и Г < 0 Используя собственные векторы
^ 1 ? и2 ■> ^ 1 •> ^ 2 рассматриваемого пространства состояний как новые оси
координат ^7 ^ 7 подучающиеся из старой системы координат
линейным преобразованием, записываем уравнения в новой системе координат, причем решения уравнений в новой системе имеют вид [4, 5]:
где постоянные
10 ..О
//
Г° = Ли + ^2
О
-о
и 1 — начальные условия.
г п'й
Линеаризованные уравнения имеют дополнительные интегралы, а именно: '•'в и
^ ^^2 являются постоянными вдоль решения. Проводя подробный анализ структуры фазового пространства, можно показать, что в окрестности коллинеарной точки либрации существует девять классов орбит, которые можно сгруппировать в четыре категории.
1. Начало координат % ^ , соответствует периодической орбите,
называемой ляпуновской орбитой (плоская периодическая гало-орбита в окрестности точки либрации).
2. Четыре полуоткрытых сегмента осей гиперболы ^ соответствуют четырем
потокам орбит, асимптотически стремящимся к ляпуновской орбите либо в прямом
(с = 0)
, либо в обратном ^ времени — асимптотические орбиты.
•з а ~ ~ const > 0,
3. Сегмент гиперболы, определяемый как ,1s 3 соответствует двум
потокам орбит, пересекающим окрестность коллинеарной точки с переходом из области движения вокруг меньшего притягивающего тела в область движения вокруг большего и наоборот — транзитные орбиты.
~ t)c — const ^ 0
4. Сегмент гиперболы, определяемый как 's , соответствует двум
потокам орбит, каждый из которых остается в окрестности своего притягивающего тела — нетранзитные орбиты.
При этом ляпуновские орбиты являют собой конечную цель перелета, асимптотические орбиты могут быть использованы и используются для выведения КА на ляпуновские орбиты по одноимпульсной схеме, транзитные орбиты могут быть использованы для построения двухимпульсных схем перелета на ляпуновские орбиты. В ставшей классической работе М.Лидова и соавторов [2] показано, что при выведении КА в окрестность точки либрации по одноимпульсной схеме, то есть с использованием асимптотических орбит, минимальная амплитуда получаемой ляпуновской орбиты не может быть меньше 200000 км, что соответствует координате точки пересечения орбитой оси х Rx =0.98856 а.е.
Используя линеаризованное приближение начальных условий движения по ляпуновской орбите, методом дифференциальной коррекции могут быть получены численные решения уравнений (1) для всей области существования этих орбит. Рассматривая каждую из полученных ляпуновских орбит как пересечение двух
rll±
ш
многообразий — неустойчивого многообразия и устойчивого многообразия
(Г
, могут быть получены численно траектории движения малого тела как из окрестности точки либрации ' ^ — в прямом времени, так и в окрестность
точки либрации ^ ^ ^ — в обратном времени.
В устойчивом многообразии ^ можно выделить набор орбит с заданными
свойствами. Каждая орбита из многообразия может быть представлена как функция времени. Для рассматриваемого плоского случая задачи имеем:
7Я
і (0 •VtolM *ы(0 Й>і(0
где n — количество точек, в которых производится возмущение параметров ляпуновской орбиты по скорости, к — количество дискрет отклонений угла вектора по скорости, m — количество дискрет отклонений по модулю вектора скорости. Для
всех орбит " х ' проводится процедура определения минимума импульса характеристической скорости по времени ґ при ограничениях на удаление от меньшего притягивающего центра:
при условии
где Ят — предельный радиус круговой орбиты ожидания, ЯЕ — минимальный радиус круговой орбиты ожидания, на которую выведен КА в окрестности Земли. Отобранные по указанным критериям орбиты перелета задаются своими начальными
условиями на время ^ и интегрированием в прямом времени получаются орбиты
перелета на плоскую периодическую орбиту в окрестности точки либрации. При этом суммарный потребный импульс характеристической скорости может быть определен
АУ{=АУ&+АУ{ А У/ „
как: ^ - 1 , где 1 — модуль импульса характеристической
скорости в точке входа на гало-орбиту. Для исследования полученных множеств
орбит ^ удовлетворяющих наложенным ограничениям, удобно использовать карты параметров, показывающих зависимости характеристик указанных орбит от начальных условий интегрирования дифференциальных уравнений задачи, в том числе таких как точки и направления приложения импульсов, время перелета и т.д. На рис. 1 приводятся некоторые карты параметров 14 248 орбит перелета с круговых орбит ожидания различного радиуса на плоскую периодическую гало-орбиту вокруг точки либрации с параметром Ях = 0.9895 а.е. для характеристических импульсов
АУп , АУ,
скорости в точке старта и , в точке выхода на орбиту 1, суммарного импульса
- АУу ,
характеристической скорости Ь , времени перелета 1\ и расстояния точки старта от меньшего притягивающего центра Кщап-
Рис. 1. Карты параметров орбит перелета для Ях = 0.9895 а.е.
Так как статистическое распределение по параметрам не позволяет провести классификацию орбит перелета, была использована функция кластеризации, использующая функцию Якоби в форме, данной Маршалом [3]:
Рассматривая интеграл по времени от разности функции Якоби для движущейся и покоящейся точек, имеющих одни и те же координаты:
являющихся координатами точек рассматриваемых орбит перелета, оказывается
возможным провести кластеризацию орбит перелета по параметру ^°.
Пример распределения орбит перелета по параметру Г0 демонстрирует рис. 2. По указанному параметру орбиты перелета четко кластеризуются. Обозначенные точки соответствуют орбитам перелета, приводимым на рис. 3.
Были выделены орбиты перелета, на которые возможен старт с низких круговых орбит ожидания, построены карты параметров, проведена кластеризация орбит. Карты параметров демонстрируют возможность одноимпульсного перелета для гало-орбит с параметром Ях < 0.9888 и возможность достижения сколь угодно малой окрестности точки либрации с выходом на гало-орбиту посредством двухимпульсного перелета.
Рис. 2. Карты распределения орбит перелета по параметрам.
По расстоянию от меньшего притягивающего центра и Г0 (вверху); по суммарному потребному импульсу характеристической скорости и Г{а, функция
кластеризации (красная линия) и гистограмма распределения орбит по параметру Г0 (внизу).
ЯХ1ап = 38059.4 к.и, 1еп({ = 114.64 сут.
ДК0=1254.52 м/с, Д^ = 97.31 м/с, ДИ£ = 1351.83м/с Г,„=0.000388234
«ч! 1
: |
Нг — — — - А
Кцап = 37673.0 км, /еП(у = 282.763 сут.
Д^=1260.51 .и/с, ДК, =130.87,ч/с, Д^£ = 1391.38 .«/с Г,о=0.00112119
- 39588.3 км. /ел</ =310.74 суш.
ДР0=1223.25м/с, Д^, = 104.701 ,н/с, Д!^ = 1327.95 м/с Гш=0.00165759
«уГаг/ = 37701.7 /си, 1еп(1 =381.161 сут. ДК0=1255.68.и/с, Д^ =125.684,м/с, Д1/£= 1381.36 .«/с Г(о=0.00227977
ДК0=1988.71 м/с. ДГ,=143.921 м/с, Д17х = 1988.71 м/с Г/о=0.00144782
К.чшп -8669.31 км. 1епд - 366.536 сут.
ДК0 =3076.62 м/с, =127.71 .и/с, ДК^- = 3204.33 м/с Г/О=0.00|6|995
К.чШП ~ 99889.9 км, 1епц = 368.415 сут. ЛК0=703.645 м/с, ДК| =2.076.м/с, ЛК£ = 705.721 м/с
К.мап = 99641.2 км. 1еП(/ = 337.522 сут.
Д1'0 =704.331 м/с. Л»7, =36.524м/с, Д^£ = 740.855.и/с Г,о=0.0020707
Кзшп = 19911.2 км. 1еп(/ = 370.427 сут.
Д1/()=1750.6.к/с, ДГ, -98.661 м/с,ЬУ^= 1849.26м/с Г,„=0.00273521
Рис. 3. Орбиты перелета. Нумерация соответствует рис. 2.
Выводы
Проведенное исследование показало, что существует принципиальная возможность получения гало-орбит сколь угодно малого радиуса в окрестностях коллинеарных точек либрации системы Солнце-Земля по двухимпульсной схеме выведения при сравнимом с одноимпульсными схемами выведения значении импульса потребной характеристической скорости.
Литература
1. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике.
/ В.К. Абалакин [и др.] ; Под ред. Г.Н. Дубошина. — М.: Наука, 1976. — 864 с.
2. Одноимпульсный перелет на условно-периодическую орбиту в окрестности точки L2 системы Земля-Солнце и смежные задачи / Лидов М.Л.[и др.] // Космич. исслед. 1987. — Т. 25. — № 2. — С. 163-185.
3. Маршал К. Задача трех тел. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 640 с.
4. Dynamical Systems, the Three-Body Problem and Space Mission Design. / Wang Sang Koon [et al.] // International Conference on Differential Equations. — Berlin. — 1999. — P. 1167—1181.
5. Libration Point Orbits and Applications / Gomez M.W. [et al.]. — World Scientific Publishing Company. — 2003. — 671 p.
electronic scientific and technical periodical
SCIENCE and EDUCATION
__________El. .Vs KS 77 - 30569. -V«042l 100025. ISSN 1994-0408_
Double-pulse flights to halo-orbits in the three-body problem 77-30569/352636
# 03, March 2012 Zvyagin F.V.
Bauman Moscow State Technical University
pk-bmstu@ya.ru
During preliminary ballistic design possible flights of spacecrafts (SC) to the neighborhood of collinear libration points of the Earth-Sun system with a monopulse scheme are usually considered. However, such a flight handler has significant radial restrictions of the obtained halo-orbit. The article presents the results of the study illustrating the possibility of extraction of a spacecraft to halo-orbit of an arbitrarily small radius as a part of a double-pulse flight from the Earth’s vicinity. The author provides results of numerical simulation which show that the total expenditure on the extraction with doublepulse schemes was significantly lower than the total expenditure on the extraction to the parabolic orbit from the waiting orbit.
Publications with keywords: three-body-problem, halo-orbits, interorbital transfers Publications with words: three-body-problem, halo-orbits, interorbital transfers
References
1. Abalakin V.K., Aksenov E.P., Grebenikov E.A., Demin V.G., Riabov Iu.A. Spravochnoe rukovodstvopo nebesnoi mekhanike i astrodinamike [Reference Guide to Celestial Mechanics and Astrodynamics]. Moscow, Nauka Publ., 1976. 864 p.
2. Lidov M.L., Liakhova V.A., Teslenko N.M. Odnoimpul'snyi perelet na uslovno-periodicheskuiu orbitu v okrestnosti tochki L2 sistemy Zemlia-Solntse i smezhnye zadachi [Single-pulse flight to quasi-periodic orbit in the L2 vicinity of Sun-Earth system, and related problems]. Kosmicheskie issledovaniia [Cosmic Research], 1987, vol. 25, no. 2, pp. 163-185.
3. Marchal C. The three-body problem. Amsterdam, Elsevier, 1990. (Rus. ed.: Marshal K. Zadacha trekh tel. Moscow-Izhevsk, Inst. of Computer Sci. Publ., 2004. 640 p.
4. Koon W.S., Lo M.W., Marsden J.E., Ross S.D. Dynamical systems, the three-body problem and space mission design. Int. Conf. on Differential Equations. Berlin, 1999, pp. 1167-1181.
5. Gomez M.W., Lo M.W., Masdemont J.J., eds. Libration Point Orbits and Applications. Singapore, WSP, 2003. 692 p.
