CC BY
5
УДК 535.374, 535.212
ДВУХФОТОННОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В ФОТОННОМ КРИСТАЛЛЕ
Т. И. Кузнецова
Рассматривается отклик фотонного кристалла на нерезонансное оптическое излучение. Под действием накачки возникает энергетический уровень, который может при распаде давать вторичное излучение. Спектр вторичного излучения содержит частоты, превосходящие частоту накачки.
Ключевые слова: фотонный кристалл, короткоживущие возбужденные состояния, радиационный спонтанный распад, фазовый синхронизм.
Введение. Специфика взаимодействия фотонных кристаллов с излучением приводит к возникновению ряда новых эффектов в условиях, когда излучение имеет высокую интенсивность. Так, например, под действием мощной оптической накачки возникает сильное вынужденное комбинационное рассеяние [1], интенсивное вынужденное рассеяние Мандельштама-Бриллюэна [2]. Укажем на результаты, полученные в [3]. В работе [3] наблюдалось вторичное излучение фотонного кристалла (синтетического опала) на частотах, значительно превышающих частоту накачки: при исходной частоте, лежащей в красной области спектра, возникало сине-зеленое свечение. Экспериментальные исследования были продолжены в работе [4]. В нашей работе [5] был поставлен вопрос об особенностях электрон-фотонного взаимодействия в фотонных кристаллах, которые, по нашему предположению, ответственны за вторичное излучение. В данной работе электрон-фотонное взаимодействие в фотонном кристалле будет рассмотрено более подробно. В связи с тем, что вопрос касается больших частотных сдвигов излучения в коротковолновую область, мы должны обратиться к рассмотрению многофотонного поглощения. Далее будет обсуждаться только двухфотонное поглощение.
Амплитуды волновых функций при нерезонансном двухфотонном поглощении. Приведем основные формулы для двухфотонного поглощения в многоуровневой системе. В литературе обычно приводятся формулы для квадратичных величин - для
ФИАН, 119991 Россия, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail: tkuzn@lebedev.ru.
скоростей перехода, к тому же, как правило, обсуждаются резонансные случаи, которые имеют место при переходе в непрерывный спектр (см., напр., [6-8]). Для удобства чтения в данном тексте приводятся формулы для амплитуд волновых функций, возникающих в многоуровневой системе при действии импульса оптической накачки. Основываясь на теории возмущений, запишем электронную волновую функцию многоуровневой системы в виде суммы невозмущенного решения и двух поправок
Ф = Фstart + Фатепа + Ф^. (1)
В качестве исходного состояния квантово-механической системы берется функция = фп(г) ехр(—гшпЬ), где фп - собственная функция невозмущенного гамильтониана, которой отвечает энергия Еп = шп. Поле накачки берется в виде е еов(кг — шЬ), причем амплитуда поля содержит медленную огибающую е = (¿)^о, в начальный момент огибающая f (¿) имеет нулевое значение. Далее в формулах будет использоваться комплексная величина ^ = f (¿)^оехр(гкг).
Поправка первого приближения к волновой функции находится из уравнений
—+ гш,пс, ) = ехр(—гшЬ) + ^* ехр(гшЬ)), (2)
здесь и далее величины ш,п - разностные частоты, - матричные элементы диполь-ного момента переходов. Из (2) следует
р ехр(—гшЬ) + р * _ехр(гшЬ)
(3)
г(ш,п — ш) г(ш,п + ш)
Приведенные выше формулы для поправок к исходной волновой функции справедливы при условии, что огибающая поля накачки в начальный момент Ь = 0 обращается в нуль, а скорость ее изменения значительно меньше частоты оптических колебаний. Это вполне реалистичные требования, лишь в случае работы со сверхкороткими импульсами их выполнение может оказаться проблематичным.
Поправка первого порядка к волновой функции Фатепа будет иметь вид
Фатепа = ехр(—ЪШпЬ) ^ (г). (4)
Для второго приближения имеем
¿с(2)
+ гшт,с^ = ^ (^ ехр(—гшЬ) + ^* ехр(гшЬ)). (5)
Учитывая упомянутые выше предположения о свойствах импульса накачки, можем написать выражения для коэффициентов с(
О$ = ат,]%п[ггехр(-12шг)мту(ш) , г г ехр^ш^м^,
сш = 5^ ^ехр(-г2шг)М^ (ш) + Г*Г* ехр^ш^М^-(-ш) +
]=т,п
где
+Г *¥Мт,] (ш) + ГГ *MmJ (-ш)], (6) Мтз (ш) = --—1-т, М(ш) =--т. (7)
(шт] - 2ш)(шуп - ш) шт] (ш]и - ш)
Полностью поправка второго приближения будет иметь вид
ФNEW = ехр(-гш„^) ^ с(2)(г)фт(т). (8)
т=п
Выделим в выражении (8) для поправки второго порядка, учитывая формулы (8), слагаемые, осциллирующие с частотой 2ш + шп. Как видно из (6)-(8), сумма этих осциллирующих слагаемых будет даваться выражением
-1
—Г . , (шт]
ехр(-гшп¿)ехр(-г2ш^)ГГ V] У^^^п~,-^^-гФт(г). (9)
¿-1 ^ (шт^ - 2ш)(ш^ - ш)
ГП-/-1 п о-А-п ° °
Подчеркнем, что все пространственные функции фп(г), входящие в выражение Фп^, осциллируют на одной и той же частоте. В связи с этим можно сказать, что под действием накачки в квантовой системе создается многокомпонентный "виртуальный уровень" - возбужденное состояние с частотой (шп + 2ш). Именно это возбужденное состояние является источником вторичных излучательных процессов, происходящих в фотонном кристалле.
Вторичное излучение в условиях фазового синхронизма. На заселенность рассмотренного выше возбужденного состояния, которое поддерживается накачкой, действует также ряд других возмущений, ведущих к его распаду. Здесь можно обсуждать спонтанное испускание фононов, в том числе ступенчатые процессы с последовательным испусканием фононов, спонтанное испускание двух фотонов, испускание двух фотонов и фонона, и другие многоквантовые процессы.
Остановимся на случае совместного испускания двух фотонов. Возьмем для примера вариант двух коллинеарных фотонов. Рассмотрим переход из электронного состояния Фп^ в основное состояние Ф81ал, обусловленное двумя флуктуационными электромагнитными полями вида £ ехр г(к'г - ш'Ь) и ц ехр г (к"г - ш"£). При вычислении амплитуды
перехода
Ф^М)|0)*/ |0)fc" ^ Фstart(r, t) 11)k exp i(k'r - j't) |1)fc» exp i(k''r - J't) (10)
приходим к интегрированию осциллирующей функции
exp[i(2k - k' - k")r - i(2j - J - J')t].
(11)
Очевидное условие получения ненулевой амплитуды при интегрировании по времени приводит к требованию - 2j + J + J' = 0; для пространственной зависимости выполнение подобного требования не обязательно. Существенно однако, что при условии 2k - k' - k'' = 0 эффект от многих излучателей будет пропорционален квадрату числа излучателей (аналог эффекта Dicke, а также условия фазового синхронизма для оптического параметрического генератора). Квадратичная зависимость имеет место при любом расположении излучателей и приводит к повышенной интенсивности излучения. В отсутствие же фазового синхронизма и, грубо говоря, при хаотическом расположении излучателей в рассматриваемой системе будут складываться интенсивности отдельных излучателей, а не амплитуды.
С этой особенностью излучательного процесса связана спектральная и угловая структура наблюдаемого излучения. На структуру влияет также и ряд других причин. Здесь существенны характеристики мод, поддерживаемых средой кристалла, в особенности, положение областей повышенной плотности модовых состояний на энергетической шкале.
На начальном этапе изучения фотонных кристаллов (история исследований изложена, напр., в [9]) для получения характеристик мод использовался одномерный синусоидальный потенциал. Наблюдения вторичного излучения фотонных кристаллов, которые мы здесь обсуждаем (работы [3, 4]) проводились с синтетическим опалом - существенно трехмерной средой, где одномерная модель мало пригодна. При обсуждении других экспериментов с синтетическим опалом [10, 11] их авторами была сделана попытка описывать моды с помощью представления о волнах в единичной изолированной сфере, без учета периодичности. Для анализа экспериментов с опалом требуется применение модели, хотя бы приближенно соответствующей характеристикам этого материала. В нашей работе [5] мы пробовали использовать потенциал, состоящий из суммы трех, зависящих от трех разных координат, синусоидальных функций.
В заключение подчеркнем, что рассмотренный выше процесс возникновения корот-коживущего возбужденного состояния обеспечивает возможность испускания оптиче-
ских частот, охватывающих широкий спектральный интервал. Изложенные представления о вторичном излучении фотонного кристалла, объединенные с расчетом модо-вых характеристик трехмерной периодической среды, могут составить основу для совершенствования преобразователя (ап-конвертора), излучающего частоты, лежащие в оптическом и ультрафиолетовом диапазонах.
Автор благодарит В. С. Лебедева и Н. В. Чернегу за обсуждение структурных особенностей фотонных кристаллов.
ЛИТЕРАТУРА
[1] V. S. Gorelik, A. D. Kudriavtseva, N. V. Tcherniega, J. Russ. Laser Res. 29, 551 (2008).
[2] M. H. Kuok, H. S. Lim, S. L. Ng, et al., Phys. Rev. Lett. 90, 255502 (2003).
[3] N. V. Tcherniega, A. D. Kudryavtseva, Journal of Russian Laser Research 27(5), 450 (2006).
[4] Н. В. Чернега, А. Д. Кудрявцева, Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, № 7, 23 (2009). DOI: 10.1134/S1027451009040053.
[5] Т. И. Кузнецова, Краткие сообщения по физике ФИАН 48(11), 37 (2021).
[6] W. Heitler, The Quantum Theory of Radiation (Oxford, Clarendon Press, 1954).
[7] Д. Н. Клышко, Физические основы квантовой электроники (М., Наука, 1986).
[8] P. W. Milonni, J. H. Eberly, Laser Physics (Wiley, New Jersey, 2010).
[9] J. D. Joannopoulos, S. G. Johnson, J. N. Winn, R. D. Meade, Photonic crystals, Molding the Flow of Light (Princeton University Press, 2008).
[10] А. Н. Артамонов, В. И. Бурков, А. Г. Витухновский и др., Краткие сообщения по физике ФИАН 32(10), 20 (2005).
[11] V. S. Gorelik, Laser Physics 18, 1479 (2008).
Поступила в редакцию 8 сентября 2022 г.
После доработки 6 октября 2022 г. Принята к публикации 7 октября 2022 г.
