CC BY
10
6. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М.; Л., 1948.
A. Stolyarov
REMARKS TO ARTICLE OF K. POLYAKOVA «GENERALIZATION OF EXTERIOR DIFFERENTIAL BY MEANS OF VIRTUAL FUNCTION»
Some comments on the article of K. Polyakova «Generalization of exterior differential by means of virtual function» are given.
УДК 514.764.3
А. В. Христофорова
(Чувашский государственный педагогический университет,
г. Чебоксары)
ДВОЙСТВЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ
Работа посвящена двойственной геометрии нормальных связностей, индуцируемых на нормализованной гиперповерхности в пространстве аффинной связности.
Ключевые слова: нормальная связность, гиперповерхность, пространство аффинной связности.
В работе индексы принимают следующие значения:
I^^^^^ = 1,п; и = 0,п; i,j,l,k,t,s = 1,п -1. Рассмотрим пространство аффинной связности An п, заданное системой п(п +1) форм Пфаффа ^, в^ }, подчиненных структурным уравнениям [1]
Вв1 = вк л в'к + -2 40х л , Бв^ = вК л в'к +^^ л вТ, Г(Т ) = ^ ) = О, в1 лв2 л... лв" Ф 0; грд и гКре — тензоры кручения и кривизны пространства
Согласно [4], пространство проективной связности Рпп, определяемое системой форм Пфаффа С:
„1 д! „О 1 аК „О л „1 д! 1 х1дК
со =в , со =--;вк , С = 0, сь = вь---°ьвк ,
п +1 п + 1
представляет собой расширенное пространство аффинной связности Рп п = А",п •
Рассмотрим гиперповерхность Уn_1 е Апп , заданную в репере первого порядка уравнением [1]
с" = 0,
последовательно продолжая которое, получаем поля фундаментальных геометрических объектов второго ЛЛ}, третьего
, Лг} порядков и т. д. Далее будем считать гиперповерх-
ность Уп_1 с Апп регулярной (то есть Л = ЛЛ Ф 0).
Согласно работе [3], оснащение в смысле А. П. Нордена (нормализация) [2] гиперповерхности Уп_1 с Апп равносильна
заданию на ней полей квазитензора у'п и тензора у° :
с!у1 _у'„ю" + у1ю\ + с" = у'к
п п п п ] п пк 0 ' (1)
dy° + у°с°° _у>! =у0С°. В работе [6] показано, что система форм Пфаффа С ]
I:
юЦ = юЦ = 0, ©0 = ©0, ©° = ©° —©0,
n +1
©0 = ©0 - ^+7 ©0, ©0 = ©0 = 0, «n = 0, ©0 =-Л ©0 ,(2)
n+1
©0=л , ©.=©j+(л:- sj-^vs
л
n+1
определяет пространство проективной связности Pn п, двойст-
*
венное расширенному пространству An:; причем базой пространства Pn п служит «тангенциальная гиперповерхность» V0-1 (образ, двойственный Fn-1).
1 1 2 2
Возьмем две системы форм Пфаффа \в1°,вкк \в1°,вкк
00=у'п ®1°(= 0)-у°(ука0-у»:),
(3)
00 = с0 +уксок + y°®0;
00 =усУ.-У.), 2
в0 = С к +Уксп -С +ус0;
_K _1 _0
в (4) формы оj и функции Уп,y имеют соответственно строения (2)и
Ук<=-Лку0, у0 d== Alyk . (5)
Формы систем (3; 4) удовлетворяют структурным уравнениям Картана — Лаптева [1]:
11111 111
D00 =00Л0О + 2Kst С ас0, D60 = 2Яnnst с0 АС0,
2 2 2 1 2 2 1 2 (6) D0n0 =00+ -Kst С АС0, De: = -яnst с0 АС0 ;
(4)
следовательно, они определяют нормальные связности [7] V1" и Vх в расслоении нормалей соответственно первого и второго родов на гиперповерхности Уп_1 с Ап, п, двойственные относительно инволютивного преобразования 1 форм связности по закону (2).
Замечание. Ниже предположим, что тензор у° — ненулевой, то есть нормализация Уп_1 с Ап, п отлична от аффинной
1 2 _ [2]; в противном случае формы и в®° связностей V и V
обращаются в нуль (см. (3; 4)).
В уравнениях (6) компоненты тензора кривизны-кручения
}, } нормальных связностей Vх и Vх
имеют следующее строение:
1
= _у?у,щц)« + 2(у'„У ^уЧл/пу^ +
к Лп. У°/ _/ У°У° + \пг У°У°УУ
+ v\ А
n\s
ЛП 0 i l 0 0, кП 00 l j\
ls \j\t]V vn - Vn[sVtYt + Аj[svtYi Vn^n) ,
^ = Y„Kt - R0st + V0RL + 2(Yn А] - V[st]); (7)
2 i 2 j 1
_ron _ro0 -VkV0 -VkV0Ri -V0Rk +V0Y Rj
■"■nst - Jxns^ ^nst - nst n k nst n i kst Vk^nst^ ViVnj^0st ■
Таким образом, справедлива
Теорема 1. На нормализованной регулярной гиперповерхности Vn-1 с An n в расслоениях нормалей первого и второго родов индуцируются соответственно нормальные связности Vх
— ( 1 1 ) (2 2 )
и Vх, определяемые системами слоевых форм вПП /, /
и являющиеся двойственными по отношению друг к другу.
Определение 1. Связность Vх в нормальном расслоении N(Vn-i) нормализованной гиперповерхности Vn-1 называется
1
плоской [7], если параллельный перенос направления, принадлежащего нормали N(Vn_i), относительно этой связности
V^ не зависит от пути, соединяющего две произвольно заданные точки на Vn_i.
Аналитически это условие равносильно обращению в нуль тензора кривизны-кручения |нП.й,ЯП.й} нормальной связности
V^. В случае, если в нуль обращаются только подтензор }, связность V^ называется полуплоской [7]. Из соотношений (7) следует
Теорема 2. На нормализованной регулярной гиперповерхности Vn_1 с An n нормальные связности V^ и V^ могут быть полуплоскими, а в случае An n = An — плоскими лишь одновременно.
Система форм (4) на нормализованной гиперповерхности Vn_1 с An,n в силу (1—3; 5) имеет вид:
2 1 1 2 1 €=€ _ykny0o;n+d {vkA\в:=в:. (8)
В силу (8) двойственные нормальные связности V^ и V^ совпадают тогда и только тогда, когда
i
П°п = d(vknv0k)_vknv0k en = 0 . (9)
Чистое замыкание уравнения (9) в силу структурных уравнений Картана — Лаптева (62) имеет вид:
1 1
DQ0 = _-v'„v,0 Я", с0 лс0 = 0 .
n 2 n г nst 0 0
Из последних соотношений следует, что условием полной интегрируемости уравнения (9) является полуплоскость связности V^, а следовательно, и V^. Доказана
Теорема 3. На нормализованной регулярной гиперповерхности Vn_1 с An n двойственные нормальные связности V^ и
У^ совпадают тогда и только тогда, когда нормальная
связность У^ (а следовательно, и У^) полуплоская.
Определение 2. Пара, составленная из конгруэнции прямых и псевдоконгруэнции гиперпрямых в аффинном пространстве Ап, называется [5] односторонне расслояемой от конгруэнции к псевдоконгруэнции, если между их элементами установлено взаимно однозначное соответствие и существует однопараметрическое семейство гиперповерхностей, касательные гиперплоскости которых в точках пересечения с прямыми конгруэнции проходят через соответствующие плоскости псевдоконгруэнции.
Пусть на нормали первого рода гиперповерхности Уп_х, вложенной в аффинное пространство Ап, задана произвольная точка Кп (А0) = Ап + у'пА1 + уЩА0 . Разложение дифференциала
точки Кп по точкам А0,Кп,N. (точки N. = А. + у0А0 определяют нормаль второго рода) с учетом (1; 3) имеет вид:
ёКп = (< +КК)Кп + УпК +Уп®0)N +
1 1 +(у+в(: _у(0 о:) А0.
Приравнивая коэффициенты при А0 к нулю, получим условие односторонней расслояемости пары нормалей первого и второго родов:
00 = с1у° + 00_у° в" = 0 ; (10)
п п п п п ' V/
это уравнение должно быть вполне интегрируемым. Замыкая (10), с учетом (6) имеем
1 1 1
П0оп --(К*_у0К*К А®0 = 0,
откуда следует, что условием полной интегрируемости уравнения (10) является выполнение соотношений
=У0 (11)
уп ''^тг ■ V1 -1/
В силу произвольности функции у° соотношения (11) равносильны обращению в нуль тензора кривизны-кручения
(1 1 Л 11
}связности Vх : ^ =К* = ° . Последнее означает, что связность Vх является плоской. Доказана
Теорема 4. Для того чтобы нормальная связность Vх, индуцируемая на нормализованной гиперповерхности Уп_1 с Ап, была плоской, необходимо и достаточно, чтобы конгруэнция нормалей первого рода и псевдоконгруэнция нормалей второго рода составляли пару, односторонне рас-слояемую в сторону от нормалей первого рода к нормали второго рода.
Аналогичные рассуждения справедливы и для нормальной связности Vх, поэтому имеет место предложение, двойственное теореме 4:
Теорема 5. Для того чтобы нормальная связность Vх, индуцируемая на нормализованной гиперповерхности Уп_1 с Ап, была плоской, необходимо и достаточно, чтобы псевдоконгруэнция нормалей второго рода и конгруэнция нормалей первого рода составляли пару, односторонне расслояемую в сторону от нормали второго рода к нормали первого рода.
Определение 3. Поле р-мерных плоскостей Ыр (А°) называется параллельным в нормальной связности Vх [7], если при инфинитезимальном перемещении точки А° вдоль любой кривой, принадлежащей поверхности Ут с Ап, смещение р-мерной плоскости Nр (А°) происходит в (т + р) -мерной плоскости, натянутой на касательную плоскость Тт (А°) и на плоскость Nр (А°).
1
Так как в случае гиперповерхности Vn_г с An для любой
точки M = A0 + xnNn нормали первого рода [A0 Nn ],
Nn = An + vinAi, справедливо dM = A0 + Q'A. + OnNn , то доказана
Теорема 6. На нормализованной гиперповерхности Vn_1 с An поле нормалей первого рода является параллельным
в нормальной связности V^ .
Справедливо также двойственное предложение: Теорема 7. На оснащенной в смысле А. П. Нордена гиперповерхности Vn_i с An поле нормалей второго рода является
параллельным в нормальной связности V^.
Список литературы
1. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Моск. матем. общества. 1953. Т. 2. С. 275—382.
2. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.
3. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Чебоксары, 1994.
4. Столяров А. В. Двойственная геометрия нормализованного пространства аффинной связности // Вестник ЧГПУ. Чебоксары, 2005. № 4. С. 21—27.
5. Фиников С. П. Теория пар конгруэнций. М., 1956.
6. Христофорова А. В. Двойственная геометрия гиперповерхности в пространстве аффинной связности // Вестник Чувашск. гос. пед. ун-та. 2006. № 3(50). С. 35—42.
7. Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий. Ереван, 1990.
A. Khristoforova
DUAL NORMAL CONNECTIONS ON THE HYPERSURFACE IN THE SPACE WITH AFFINE CONNECTION
This work is devoted to the dual geometry of normal connections on hypersurface in the space with affine connection.
