ДВОЙСТВЕННАЯ КОНСТРУКЦИЯ И СУЩЕСТВОВАНИЕ (ПЛЮРИ)СУБГАРМОНИЧЕСКОЙ МИНОРАНТЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 16. № 3 (2024). С. 69-77.

УДК 517.574 : 517.982.1 : 517.55 : 517.987.1

ДВОЙСТВЕННАЯ КОНСТРУКЦИЯ И СУЩЕСТВОВАНИЕ (ПЛЮРИ) СУБГАРМОНИЧЕСКОЙ МИНОРАНТЫ

Е.Г. КУДАШЕВА, Э.Б. МЕНЬШИКОВА, Б.Н. ХАБИБУЛЛИН

Аннотация. Рассматриваются проблемы существования и построения субгармонической или плюриеубгармонической функции, огибающей снизу функцию на подмножестве в конечномерном вещественном или комплексном пространстве. Такие проблемы естественным образом возникали в теориях равномерных алх'ебр, потенциала и ком-плекеншх) потенциала, что нашло отражение в работах Д.А. Эдвардса, Т.В. Гамелина, Е.А. Полецкшх), С. Бу и В. Шахермайера, Б. Коула и Т. Рансфорда, Ф. Ларуесо-на и Р. Сшурдесона и многих других. В наших работах 1990-х гг. и последних лет было показано, что эти проблемы играют ключевую роль при исследовании нетривиальности весовых пространств голоморфных функций, при описании нулевых множеств и подмножеств функций из таких пространств, в вопросах представления ме-роморфных функций в виде отношения голоморфных функций с ограничениями на их рост, при изучении аппроксимации экспоненциальными системами в функциональных пространствах и пр. Основные результаты статьи о существовании субгармонической или плюриеубгармони ческой функции миноранты выводятся из нашей общей теоретике функциональной схемы, которая позволяет дать двойственное определение нижней огибающей относительно выпуклого конуса в проективном пределе векторных решеток. Эта схема разрабатывалась нами в последние годы и основана на развитии абстрактной формы выметания. Идеология абстрактного выметания восходит к А. Пуанкаре и М.В. Келдышу в рамках выметания мер и субгармонических функций в теории потенциала. Она широко используется в теории вероятности, например, в известной монографии П. Мейера, а также отражена, зачастую неявно, в монографиях Г.П. Акилова, С.С. Кутателадзе, A.M. Рубинова и др., связанных с теорией упорядоченных векторных пространств и решеток. В нашей статье разработанная нами схема адаптируется для выпуклых подконусов конуса всех субгармонических или плюриеубгармони чееких функций. Это позволяет получить новые критерии существования субгармонической или плюриеубгармони ческой миноранты для функций на области.

Ключевые слова: субгармоническая функция, плюриеубгармоничеекая функция, нижняя огибающая, векторная решетка, проективный предел, выметание.

Mathematics Subject Classification: 31В05, 31С10, 46А40, 31В15

1. Введение. Формулировка и обсуждение результатов

1.1. Истоки и постановка задачи. Пусть H — некоторый класс, состоящий из субгармонических или плюрисубгармонических функций на области D конечномерного евклидова соответственно вещественного или комплексного пространства. Основная рассматриваемая задача — при каких соотношениях между H и расширенной вещественной функции / на D со значениями в расширении R U {±œ} поля вещественных чисел R

E.G Kudasheva, Е.В. Menshikova, B.N. Khabibullin, Dual construction and existence of

(PLURl)SUmiARMONlC MINORANT.

© Кудашева Е.Г., Меньшикова Э.Б., Хаьиьуллип Б.Н. 2024.

Исследование второго автора выполнялось за счёт гранта Российского научного фонда № 24-21-00002. https://rscf.ru/projcct/24-21-00002/.

Поступила 11 февраля 2024

найдётся такая функция h G что — то = h ^ f на D1 Естественное требование к Н — его выпуклость. Здесь рассматривается случай, когда Н — выпуклый конус. Двойственное решение основной задачи в случаях, когда Н — конусы всех (плюри)субгармонических функций на области D, естественным образом следует из двойственного описания нижней (плюри)субгармонической огибающей для расширенной числовых функций на D, данных в работах Бу и Шахермайера |1|, Полоцкого |2|, Коула и Рапсфорда |3|, а также наших [ ]-[ ] и мн, др. в 1990-2020-е гг. при определённых ограничениях на функцию f. Интерес к подобным задачам вызван их многочисленными применениями в теориях равномерных алгебр, (плюри)потенциала |2|, в вопросах нетривиальное™ весовых пространств голоморфных функций, описания распределения нулевых множеств и множеств единственности для таких пространств, представления мероморфпых функций в виде отношения функций из этих пространств |5|-|7|, |9|-|12|. В статье представлено дальнейшее развитие нашего подхода к подобного рода задачам. Этот подход основывается па общем двойственном описании огибающих к векторам в проективных продолах векторных решёток и понятии выметания,

В |10|, |11| достаточно детально изложена как постановка конкретных рассматриваемых здесь задач, так и история тематики но ним с обширной библиографией вплоть до последних .нет, включая приложения к теории функций и аппроксимации. Отметим ещё раз, что в работах других авторов, причастных к этой тематике, рассматривались огибающие только из конкретных конусов всех (плюри)еубгармоиичееких функций, В пашей статье выпуклые нодкопусы весьма общие и могут быть значительно уже конусов всех (плюри)субгармонических функций. Кроме того, от функции f требовалась локальная ограниченность сверху, например, полунепрерывность сверху на D. Это не могло охватить случаи функций / из разности Н — Н, а именно этот случай в связи с предложенными в |6|-|11| приложениями представляет собой наибольший интерес. Эти ограничения были недавно сняты третьим автором в статье |13|, по лишь дня случая выпуклого конуса Н всех субгармонических функций на области. Наша статья может рассматриваться как существенное развитие этого результата 113, теорема 1|, распространяющая его на широкие классы выпуклых подкопусов в конусе всех субгармонических функций па области и расширенных вещественных функций f на D. Таким образом, основные продвижения в данной статье в отличие от предшествующих работ — это, во-первых, двойственная конструкция миноранты или нижней огибающей из широкого класса разнообразных выпуклых подкопусов конуса субгармонических или н.нюрисубгармопических функций па области D, а во-вторых, снятие условия локальной ограниченности сверху функции f, для которой строится миноранта или нижняя огибающая из выпуклого конуса Н. Перейдём теперь к точным определениям и формулировкам.

1.2. Определения, обозначения, соглашения. Множества N := {1, 2,... }, R, C соответственно натуральных, вещественных, комплексных чисел, No := {0}U N и расширенная вещественная прямая R := R U {±то}, где — то := inf R = sup 0, +то := sup R = inf 0

для пустого множества. 0, рассматриваются с их естественными алгебраическими, геометрическими, топологическими структурами. Евклидово пространство Rd размерности d G N рассматривается с евклидовой нормой |ж| := \Jх\ + ■ ■ ■ + х^ для (х\,... ,Xd) G Rd и d-мерной мерой Лебега m^. Как обычно, C — поле всех комплексных чисел, или комплексная плоскость, В настоящей статье d-мерное комплексное пространство Cd = Rd+«Rd удобно отождествлять с 2^-мерным пространством Rd х Rd = R2d с мерой Лебera m^.

Для пары расширенных вещественных функций f: X ^ Rh g: X ^ R пише м f ^ g на D, если f (х) ^ д(х) для каждой точки х G X.

Через С(X) обозначаем векторное пространство над R непрерывных функций на топологическом пространстве X со значениями в R,

Всюду далее буквой D С Rd обозначаем область, т.е. связное открытое подмножество в Rd, а также В 0(г) := {ж Е Rd | |ж — о| ^ г} — шар радиуса г > 0 с центр ом о Е Rd. Подмножество # векторного пространства над полем R называется конусом, если

tH := {th | h Е H} С Н при всех 0 <t Е R.

Если конус # содержит нулевой вектор, т.е. tH С Н при всех 0 ^ t Е R, то Н — конус с вершиной в нуле. Конус Н выпуклый, если Н — выпуклое множество. Таким образом, Н — выпуклый конус с вершиной в нуле, если и только если

tH + tH := {th1 + th2 | h1 Е H,h2 Е H} С Я при всех 0 ^ t Е R.

Через Meas+(^) обозначаем выпуклый конус с вершиной в нуле всех положительных конечных борелевских мер с компактными носителем в D, sbh(^) — выпуклый конус с вершиной в нуле всех субгармонических на D функций, который включает в себя функцию, тождественно равную — то на D. При рассмотрении области D С Cd через psbh(^) С sbh(^) обозначаем выпуклый конус с вершиной в нуле всех плюрнсубгармо-ннческпх функций на D. Все необходимые используемые в настоящей статье сведения о субгармонических и илюриеубгармоиичееких функциях можно почерпнуть из |14|, |15|,

Как и в монографии [ ], если интеграл от функции по мере ^ существует и принимает значение из R, то эту функцию называем интегрируемой по мере или ^-интегрируемой,

R

суммируемой по мере или ^-суммируемой. Таким образом, расширенная вещественная функция f: D ^ R локально интегрируема, на D по мере или локально интегрируема, на D, если существует интеграл

f d^ Е R для каждого компакта К С D, (1-1)

J к

а если все интегралы в ( ) конечны, т.е. принимают значения из R, то функция f локально суммируема на D по мере или локально ^-суммируема на D.

„ и.в.

=

венств почти всюду (п.в.) без указания меры относятся ниже именно к мере m^.

Всякая постоянная с Е R часто рассматривается и как функция, тождественно равная величине с. Таким образом, для функции u: D ^ R запись и = — то означает, что функция и не тождественная —то на D. Через

sbh*(£) := {и Е sbh(^) | и = —то},

psbh*(£) := {и Е psbhp) | и = —то} С sbh*(£)

обозначаем выпуклые конусы с вершиной в пуне всех соответственно субгармонических на Д С Rd и плюрисубгармонических на Д С Cd функций, не равных тождественно —то. Каждая функция и Е sbh*(^) локально суммируема на D.

Для расширенной вещественной функции f: D ^ R её полунепрерывная сверху регуляризация f *: D ^ R определяется как f *(ж) := limsup f (х') в каждой точке х Е D.

х' ^х

Функция f: D ^ R локально ограничена сверху на D, если sup f (х) < +то для каждого

хек

компакта К С D.

Наше исследование опирается на функционально-аналитические результаты из |10| и |11|, где достаточно детально изложена и история вопроса с обширной библиографией, на чём мы здесь не останавливаемся. Здесь эти результаты применяются для двойственного описания нижней огибающей х ——> sup{ h(x) | Н э h ^ /} функций f: D ^ R относительно выпуклых подконусов Н С sbh(^), а также для двойственного описания условий,

(1.2)

при которых для пары функций v Е Н* := Н \ {—то} и М Е Н*, а также непрерывной

функции т £ С(D) найдётся такая функция h £ Н*,что v + h ^ М + тнаД, Наши основные результаты можно трактовать и как решения в частных случаях поставленных в 110, и. 2,3, задачи 1-31, 111, раздел 1.2; и. 1.2.3, задачи 1-31 общих проблем о существовании огибающей из выпуклых конусов или множеств.

Теорема 1.1. Пусть выпуклый конус Н С sbh(ß) с вершиной в нуле содержит постоянную — 1 и для любой локально ограниченно й сверху на D последователен ости (hk )keN функций hk £ Н полунепрерывная, сверху регуляризация, h* поточечного верхнего предела

h: х ——> lim sup hk (ж) := inf sup hk (ж) (1.3)

xeD «ей k>n

этой последовательности, (hk)keN принадлежит этому конусу H.

Тогда для, любой определённой п. в. функции / на D, равной п. в. некоторой функции из С(D) + Н — Н, также, естественно, определённой п.в., следующее равенство

sup { I h drn^

'в0 (г)

—то = h £ H,h ^n-e-fHaD\ = inf ff dß, (1.4)

J JD;H)J DJ 1 J

где

Jr0(D; H) := s ß £ Meas+(ß) h dmd ^ h dß для всех h £ H>

I JB0(r) Jd J

■d ^ h dß для всех h £ Н> (1.5)

— класс всех линейных выметаний [ ]-[ ] сужения т^ на В0(г) относител,ьно Н, имеет место при любом, выборе замкнутого шара, Ва(г) С Б.

Следствие 1.1. В условиях теоремы, 1.1 равносильны следующие три утверждения:

1) существует функция к £ Н, для которой — то = ■/ на, И;

2) для, каждого замкнутого шара, В0(г) С И справедливо утверждение

(!) точная, нижняя грань т£ из (1.4) по всем, мерам ^ £ У0 (И; Н) не рае на, —то;

3) существует замкнутый шар Ва(г) С И, для, которого выполнено утверждение (1).

Примерами конусов Н, удовлетворяющих условиям теоремы , являются выпуклые конусы бЬЬ(Д) при И С и рбЬЬ(Д) с бЬЬ(Д) при И С С^, Наиболее важна в теореме широкая возможность выбора f из Н — Н + С (И). Случай } £ С (И) ранее был полностью разобран в [ , следствие 8.1], [ , следствие 3.2.1], [ , теорема 7.2]. При Н := рбЬЬ(Д) в равенствах вида ( ) в [ ]-[ ] от / всегда требовалась локальная ограниченность сверху на И. Но при крайне актуальном для дальнейших применений варианте f £ Н — Л" локальная ограниченность сверху скорее не выполняется, поскольку функции из — Н могут быть не ограничены сверху даже на любом непустом открытом подмножестве из И. Приведём ещё одно следствие для конуса рбЬЬ(Д), которое, вообще говоря, не может быть получено из основных результатов работ [1]-[3] и др. В случае выпуклого конуса Н = бЬЬ(Д) всех субгармонических функций на области И С К аналогичное утверждение — это основной результат нашей недавней статьи [13, теорема 1]. В частности, в случае размерности й =2 при отождествлении комплексной плоскости С с К2 приведённое ниже следствие и результат 113, теорема 1| практически совпадают.

Следствие 1.2. Для, плюрисубгармонических функций, V = —той М = —то на области И С С и, непрерывной, функции т: И ^ К равносильны следующие три утверждения:

1) существует плюрисубгармоническая на В функция к = —то, для, которой

ь(г) + к(г) ^ М(г) + т(г) в каждой точке г £ И; (1.6)

2) для, каждого замкнутого шара, В0(г) С И найдётся такое число С £ К, что

V dß ^ (М + т) dß + С при всех ß £ Jr0(D; psbh(D)). (1.7)

Jo(

id jd

3) существуют, замкнутый шар В0(г) С D и С Е R, для, которых умеет место ( ).

2. Огибающие в проективных пределах векторных решёток

Материал этого раздела будет использован как основа доказательства теоремы 1.1.

Упорядоченное векторное пространство (X, над R с отношением порядка ^ называется векторной решёткой, если для любого конечного F С X существует точная верхняя грань в X, обозначаемая далее как Х- sup F Е Х\ |,| |.

Множество всех функций f: X ^ Y, определённых на всём X значениями из Y, обозначаем далее через Yx. Для пары векторных решёток X и Y через \\n+Yx обозначаем выпуклый конус с вершиной в нуле линейных положительных функций I: X ^ Y.

Пусть (Xra)raeNo — последовательность векторных решёток Хп с отношениями порядка соответственно т.е. последовательность пар (Xn, п Е Wo- По этой последовательности (Хп, можно построить произведение

те

П Хга := П Хга (2.1)

га=0

для которого при х = (xra)raeNo Е П Хп полагавм prnx = хп Е Хп — проекция вектора х Е П Хп на пространство Хп. На произведении ( ) можно ввести отношение порядка для которого по определению х ^ ж' в П если ргпх ^n ргпх' для каждого п Е W0.

Пусть (pn)n£No — последовательность линейных положительных функций рп Е \\n+XXn+1 ш Хп+\ в Xn, п Е N0, для которой предполагаем сохранение точной верхней грани дня конечных подмножеств, а именно:

Xn- suppn(Fn+i) = pn{Xn+i- sup Fn+i) для каждого конечного Fn+i С Xn+i.

Тогда следующее подпространство в произведении (2.1), обозначаемое как

X := proj limXn'pn := jx Е ^ Xn ргпх = рга(ргга+1ж) при всех n Е N0 j,

с тем же отношением порядка что и на _ векторная решётка, называемая проек-

тивным пределом последовательности (Xn)neN° векторных решёток по (pn)neN°. Не умаляя общности, можно считать 110, предложение 3.11, 111, предложение 2.1.11, что

рггаХ := [ргпх | х Е X} = Хп для люб ого п Е N0,

т.е. проекции ргга из проективного предела X = proj lim Xnpn на Хп сюръектпвны.

Подмножество В С X ограничено снизу (сверху) в X, если существует вектор х ъ X, для которого х ^ b (соответственно b ^ х) для всех b Е В. Подмножество В С X ограничено в X, если В ограничено и шизу, и сверху в X.

Теорема 2.1 (110, теорема 2, следствия 6.1, 3,1|, 111, теорема 2.4.1, следствия 2.4.1, 2.1.1| Пусть Н* С X := proj limXnpn — выпуклый конус с вершиной в нуле, а, для любой ограниченной в X последовательности (h(k^)keN векторов h(k) Е Н* существует принадлежащий конусу Н* верхний предел

lim sup h(k) := inf sup h(k) Е H*. (2.2)

Пусть S С X — векторное подпространство, содержащее конус Н*, и при каждом, п Е N0 для, любо го sn Е рг nS найдётся, такой вектор hn Е рг пН *, чт о hn sn.

Пусть q0 Е lin+Rx° — линейная положительная функция на, Х0, и для, суперпозиции

q := Q0 о рг0 Е \\n+Rx (2.3)

для любой убывающей в X последователен,ocmu (h(k))keN векторов h(k) G H* при условии конечности точной нижней грани

inf q(h(k)) (2=3) inf ®(pr0h(fc)) G r (2.4)

keM keM K 0 ' ■

эта последовательность (h(k))keN ограничена, снизу в X и

q(inf h(k)) ^ inf q(h(k)). (2.5)

vkeM ' keM 4

Тогда для, каждого вектора s G S величина

sup{ç(h) | H* э h ^ s} G r (2.6)

равна величине

inf{(/„ о prj(s) n G N0,ln G lin+rpr«s,q(h) ^ (ln о prra)(h) при всex h G Я*} G r. (2.7)

3. Доказательства основных результатов

Доказательство теоремы, . Для области D С Rd выберем исчерпание последовательностью (Dn)neMo облает ей Dn С rd, для котор ого В0(г) С D0, замыкание clos Dn области Dn содержится в области Dn+1 при каждом n G n0 и D = UneMo для п G n0 рассмотрим пространство Xn := L1(clos Dn) суммируемых на clos Dn функций с отношением поточечного предпорядка факторизацию которого по от ношению п=' обозначим че-

рез Xn, оде ^П'в' Уже отношение порядка. В качестве линейных положительных функций pn G lin+X^n+1 выберем сужения «функций» из Xn+1 на closDn+1, которые становятся уже векторами из Xn. Проективный предел proj lim Xnpn в этом случае — это факторизован-

11.13. ТЛ 1 и

ное по отношению = пространство локально суммируемых на U функции, с отношением порядка которое обозначаем через Lloc(D), Удаляя го выпуклого конуса H С sbh(ß) функцию, тождественно равную — то, положим

H* := H \ {—то} (с2) sbh*(ß) sbh(ß) \ {—то} С Lloc(D).

Полунепрерывная сверху регуляризация верхнего продола последовательности субгармо-

—то

еторопы даёт субгармоническую функцию, а с другой отличается от верхнего продола разве что на множестве нулевой шумеры, и даже меньшем, полярном. Поэтому для этого конуса Н* выполнено условие, завершающееся соотношением ( ),

Положим S := С (D) + H* — Н* С L^oc(D). Очевидно, Н* С S. Пусть sn G S, т.е. 9n + hn — h'n, где gn g С (clos Dn), a hn G prnH* и h'n G prnH* сужения на clos Dn функций из H*. Тогда существуют положительные числа с и с', для которых gn ^ —с на closDn и h'n ^n с' на closDn. Следовательно, hn — с — d ^n sn, оде hn G prnH*, a также отрицательная постоянная —с—d = (с+d)(—1) принадлежит prnH*, поскольку по условию — 1 G H*. Таким образом, выполнены условия теоремы, касающееся подпространства S. В качестве q0 в теореме рассмотрим сужение меры md на В0(г) в том смысле, что

^(/0) := /0 dmd G r для всех /0 G X0 = p^L^D). (3.1)

jbo(v)

Функция u : D ^ R почти субгармоническая на D, если она п.в. совпадает с субгармонической функцией [ ], Для произвольной убывающей п.в. последовательности (h(k))keN

почти субгармонических на D функций h(k условие inf o(h(k)) G r означает, что

" keM

inf f h(k) dmd > —то. (3.2)

keMJBo(r)

Отсюда предел этой последовательности даёт почти субгармоническую функцию на D. Тем более это верно для убывающей последовательности (h(k))keff го тонуса Н*, содержащегося в С sbh(ß) \ {-то}. Верхний предел ( ) убывающей последовательности — это точная нижняя грань этой последовательности. Поэтому но условию теоремы 1,1 дня последовательностей (h(k))keff при условии ( ) получаем — то = inf h(k) Е H. В частности,

при ( ) убывающая последовательность (h(k))kef из H*, очевидно, ограниченная сверху функцией h(1), ограничена и снизу функцией inf h(k) Е Я*. При этом можем считать

kef

все функции h(k) полунепрерывными сверху. Дня убывающей последовательности таких

inf

kef

inf / h(k) dmd = / inf h( k) dmd.

kefJß0(r) Jbo(t) kef

Это означает, что выполнено требуемое в (2.4)-(2.5) неравенство

q{inf h(k>) ^ inf q(h(k') для q := о0 ° Pr0-kef kef 0 0

В итоге из условий теоремы 1,1 следуют все условия теоремы 2,1, Легко видеть, что

sup{q(h) | Я* Э h ^ s} Е R

— это в точности левая часть равенства (1.4).

Убедимся теперь, что (2.7) в рассматриваемой ситуации — это правая часть в (1.4). Пусть, как в (2.7), 1п Е lin+Rpr"^, оде S = С(D) + Я* — Н*. Тогда

1п Е lin+Rpr"C(D) = lin+Rc(closD"),

откуда по теореме Рисса линейная положительная функция 1п на С (clos Dn) реализуется как некоторая положительная конечная мера Бореля ß на D с компактным носителем в clos Dn, которая однозначно продолжается на все полунепрерывные сверху функции на clos Dn с возможными значениями в R. В частности, мера ß однозначно распространяется и на субгармонические функции из Н* в силу их полунепрерывности сверху. Таким образом, требование из (2.7) вида q(h) ^ (1п о prn)(h) при вс ex h Е Н* да я q = g0 ° pr0 согласно (3.1) в терминах меры ß можно записать как

/ h dm^ ^ h dß ^рт всех h Е H*. jd jd

Последнее влечёт за собой конечность интегралов

/ h d^ Е R для вс ex h Е Н*. Jd

Следовательно, полученные таким образом меры ß Е Meas+(ß) корректно определены на S = С (D) + H* — Н* и пробегают в точ ности Jr0 (D; H*) = Jr0 (D; H*) из (1.5), поскольку удаление постоянной —то из H в ( )-( ) ничего не меняет. Таким образом, равенство (1,4) установлено, что завершает доказательство теоремы 1,1, □

Доказательство следствия 1,1. Утверждение 1) равносильно тому, что левая часть (1.4) не равна —то как для любого, так и для какого-нибудь шара В0(г) С D. В силу равенства

—то

для таких вариантов выбора шара В0(г) С D. Последнее влечёт за собой равносильность трёх утверждений 1-3 следствия 1.1, что завершает её доказательство. □

Доказательство следствия 1.2. Для выпуклого конуса Н := рбЬЬ(Д) с вершиной в нуле, как уже отмечалось, выполнены условия теоремы 1.1, а значит, и следствия 1.1. При выборе

f (:= т + М — V е С (Я) + рзЬЬ*(Д) - рБЬЬ*(Д) (3.3)

из следствия 1.1 получаем эквивалентность трёх утверждений 1-3 следствия 1.1. Согласно выбору ( ) функции f это можно записать в виде эквивалентности трёх утверждений

a) существует функция Н е Н, для которой —то = ~т + М — V на И]

b) для каждого замкнутого шара Ва(г) С И справедливо соотношение

Ы (т + М — V) ф > —то; (3.4)

медарзьцд))^4

c) существует замкнутый шар Ва(г) С И, для которого выполнено ( ).

Здесь (3.4) в точности то же самое, что и (1.7). Поэтому дня завершения доказательства следствия достаточно установить, что неравенство 'т+М на И из приведённого

выше утверждения а) влечёт за собой более сильное, вообще говоря, неравенство (1.6) из утверждения 1) следствия 1.2. Для этого обозначим через

1

т2й(Вх(г)) Ув*(г)

интегральные средние функции V по шарам В х(г) С И. В силу субгармоничности плюри-субгармонических функций из неравенства V + ~т + М на И получаем

у(г) + Н(г) ^ (г) + (г) ^ т?г (г) + М• (г) при каждом г е И

для всех достаточно малых г > 0, Каждая точка области И — точка Лебега для функций т и М, поэтому, устремляя г к нулю в правой части, получаем требуемое ( ) всюду на области И. Это завершает доказательство следствия , □

v"r(z) :=-— I v dm2d

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. S. Bu, W. Schachcrmaycr. Approximation of Jensen measures by image, measures under holom,orphic functions and applications /7 Trans. Am. Math. Soe. 331:2, 585 608 (1992).

2. E.A. Polctsky. Disk envelopes of functions. II / / J. Funet. Anal. 163:1, 111 132 (1999).

3. B.J. Cole, Т..J. Ransford. Subharmonicity without upper se.micontinuity /7 .J. Funet. Anal. 147:2, 420 442 (1997).

4. Б.Н. Хабнбуллин. Налш.е.ныиая, плюри.супергар.м.он.и.ческая мажоранта и мультипликаторы целых функций. I /7 Сиб. мат. ж. 33:1, 173 178 (1992).

5. Б.Н. Хабнбуллин. Налш.е.ныиая, плюри.супергар.м.он.и.ческая .мажоранта и мультипликаторы целых функций. II. Алгебры функций конечного Х-типа // Сиб. мат. ж. 33:3, 186-191 (1992).

6. Б.Н. Хабнбуллин. Теорема о наименьшей мажоранте и ее применения. I. Целые и м.е.ро-морфпые функции /7 Изв. РАН. Сер. мат. 57:1, 129 146 (1993).

7. Б.Н. Хабнбуллин. Теорема о н.алш.ен.ыией. .мажоранте и ее применения. II. Целые и м.е.ро-морфные функции конечного порядка /7 Изв. РАН. Сер. мат. 57:3, 70 91 (1993).

8. Б.Н. Хабнбуллин. Двойственное представление суперлинейных, функционалов и его применения в теории функций. I /7 Изв. РАН. Сер. мат. 65:4, 205 224 (2001).

9. Б.Н. Хабнбуллин. Двойственное представление суперлинейных, функционалов и его применения в теории функций. II j j Изв. РАН. Сер. мат. 65:5, 167 190 (2001).

10. Б.Н. Хабнбуллин, А.П. Розит, Э.Б. Хабибуллина. Порядковые версии теоремы Хана, Банаха и огибающие. II. Применения в теории функций /7 Комплексный анализ. Математическая физика. Итоги науки и техн. Сер. Соврем, мат. и ее нрил. Темат. обз. М.: ВИНИТИ РАН. 162, 93 135 (2019).

11. Б.Н. Хабибуллин. Огибающие в теории функций. Уфа: РИЦ БашГУ (2021).

12. B.N. Khabibullin, Е.В. Menshikova. Рreorders on Subharmonic Functions and Measures with Applications to the Distribution of Zeros of Holomorphic Functions // Lobachevskii J. Math. 43:3, 587-611 (2022).

13. Б.Н. Хабибуллин. Субгармонические огибающие для функций на области // Вести. Самар. Унив. Естественнонаучн. сер. 29:3, 64-71 (2023).

14. У. Хейман, П. Кеннеди. Субгармонические функции. М.: Мир (1980).

15. L. Hormander. Notions of Convexity. Birkhaser, Boston (1994).

16. Л.К. Эванс, К.Ф. Гариеии. Теория меры, и тонкие свойства функции. Новосибирск: Научная книга (ИДМИ) (2002).

17. J.L. Doob. Classical potential theory and its probabilistic counterpart. Springer-Verlag, New York (1984).

18. C.C. Кутателадзе, A.M. Рубинов. Двойственность Минковского и ее приложения. Новосибирск: Наука (1976).

19. РП. Акилов, С.С. Кутателадзе. Упорядоченные векторные пространства. Новосибирск: Наука (1978).

20. M.G. Arsove. Functions representable as differences of subharmonic functions // Trans. Am. Math. Soc. 75, 327-365 (1953).

Елена Геннадьевна Кудашева,

Башкирский государственный педагогический университет им. М, Акмуллы,

ул. Октябрьской революции, 3-а,

450008, г. Уфа, Россия

E-mail: lena_kudasheva@mail.ru

Энже Булатовна Меньшикова,

Институт математики с вычислительным центром УФИЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: enzha@list.ru

Булат Нурмиевич Хабибуллин,

Башкирский государственный педагогический университет им. М, Акмуллы, ул. Октябрьской революции, 3-а, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: khabib-bulat@mail.ru