Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 26. № 1. C. 8-16. ISSN 2079-6641
DOI: 10.26117/2079-6641-2019-26-1-8-16 МАТЕМАТИКА
УДК 519.4
ДВОЙНЫЕ СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ В СВОБОДНОМ
ПРОИЗВЕДЕНИИ
А. П. Горюшкин
Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4 E-mail: as2021@mail.ru
В статье обсуждаются вопросы, связанные с разложением группы на двойные смежные классы. Для групп, разложимых в обобщенное свободное произведение, и групп со свободно дополняемыми подгруппами устанавливается связь двойного разложения с обычным разложением по подгруппе.
Ключевые слова: группа, алгоритмическая проблема, подгруппа, индекс подгруппы, индекс двойного разложения, двойной смежный класс, свободное произведение, свободная дополняемость подгрупп
© Горюшкин А. П., 2019
MATHEMATICS
MSC 18A32
DOUBLE COSETS IN FREE PRODUCT A. P. Goryushkin
Vitus Bering Kamchatka State University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya st., 4, Russia E-mail: as2021@mail.ru
This paper deals with problems connecting with decomposition of groups into double cosets. It is established a relation between double decomposition and usual decomposition by subgroups for groups which can be decompose into a generalized free products and groups with free complementarity of subgroups.
Key words: group, algorithmic problem, subgroup, subgroup index, double decomposition index, double coset, free product, free complementarity of subgroups.
© Goryushkin A. P., 2019
Введение
Алгоритмические проблемы комбинаторной теории групп находят практическое применение в криптографии с открытым ключом. Для криптографических приложений представляют интерес как классические проблемы Дэна (проблема слов, проблема сопряженности и проблема изоморфизма), так и алгоритмические проблемы в теории групп, тесно связанные с классическими. Такими являются проблема вхождения (обобщенная проблема равенства) и проблема индекса.
Проблема вхождения для конечно определенной группы G состоит в отыскании или доказательстве невозможности алгоритма, который по любому конечному множеству элементов ^(г = 1, 2, ..., ш) и элементу w узнавал бы, принадлежит или нет элемент w подгруппе Н = гр(^, h2, ... , hm), порожденной элементами
Проблема индекса для конечно определенной группы G состоит в отыскании алгоритма, который по любому конечному множеству элементов Ь(г = 1, 2, ... , ш) группы G узнавал бы, конечный или бесконечный индекс в G имеет подгруппа Н = гр(^, h2, ... , hm), порожденная этим множеством.
Оказалось, что для некоторых классов групп эти две алгоритмические проблемы равносильны ([1]-[5]). В предлагаемой работе предлагается естественное усиление этой проблематики: вместо обычного разложения группы по подгруппе рассматривается разложение по двойному модулю.
Разложение группы по двойному модулю
Если G - произвольная группа и Н, Р - ее подгруппы, то отношение на G, заданное правилом:
х = у шоб (Н, Р) ^ х = hyp, где h е Н, р е Р,
является эквивалентностью на G, которую называют сравнимостью по двойному модулю. Эта эквивалентность разбивает множество G на смежные классы, которые принято называть двойными, а разбиение группы на двойные смежные классы -разложением G по двойному модулю (Н, Р). Смежный класс с представителем х имеет вид НхР, а мощность множества {НхР хе G} двойных смежных классов в разложении группы G по двойному модулю (Н, Р) называют двойным индексом (Н, Р) в группе G и обозначают символом ^ : (Н, Р)]. Двойной индекс является обобщением простого индекса: если Е - единичная подгруппа, то [G : (Н, Е)] : Н].
Двойной смежный класс НхР является объединением некоторого множества правых смежных классов Ну (или левых классов гР). Число левых смежных классов по Н в классе НхР равно индексу Р П х-1 Нх в группе Р. Число правых смежных классов по Р в НхР равно индексу Р П х-1 Нх в подгруппе х-1Нх.
Двойные смежные классы играют особую роль для свободных групп, свободных произведений и свободных произведений с объединением. Метод Нильсена для описания подгрупп свободной группы, теорема Куроша - описание подгрупп свободного произведения - и теорема Карраса-Солитэра о подгруппах свободного произведения с объединенной подгруппой - все эти результаты существенно опираются на понятие двойного смежного класса. С другой стороны, свойства двойных смежных классов и их представителей даже для свободных групп могут оказаться совсем нетривиальными (см., например. [6], [7]).
Проблема двойного индекса для конечно определенной группы G состоит в отыскании алгоритма, который по любым конечным множествам элементов {ha}, и [pp} группы G узнавал бы, конечен или бесконечен индекс [G: (гр^а), гр(рр))].
В некоторых случаях между двумя индексами - двойным и «одинарным» - есть тесная связь, позволяющая решить эту проблему.
В предлагаемой работе такая связь устанавливается для групп, разложимых в свободное произведение и для двух классов, содержащих свободно разложимые группы.
Двойной индекс в свободном произведении
Покажем, что если G разложима в свободное произведение, а H - конечно порожденная подгруппа группы G, то роль единичной подгруппы в разложении по подгруппе H может играть свободный множитель. Точнее, имеет место следующее предложение.
Теорема 1. Если G = A * B и H - конечно порожденная подгруппа в G и [G : (H, A)] конечен, то индекс [G : H] тоже конечен. Доказательство.
Разложим группу G по двойному модулю (H, A),
G = LT=i HgiA,
т.е. [G : (H, A)] = т. Рассмотрим и разложение группы G по двойному модулю (H, B):
G = Ukj=iHgiB,
где k = [G : (H, B)].
Число k может оказаться конечным или бесконечным (по условию теоремы конечность двойного индекса предполагалась лишь для одного свободного множителя).
Покажем, что если индекс подгруппы H в группе G бесконечен, то каждое из двух предложений: «число k - конечно» и «число k - бесконечно» приводит к противоречию.
В представлении Куроша подгруппы из свободного произведения участвуют так называемые функции Маклейна (С. Маклейн, [8]). Выберем в качестве представителей двойных смежных классов gi, pj значения маклейновских функций sa(HgA) и SB(HgB), соответственно. Положим при этом gi = pi = 1. По свойству маклейновских представителей все элементы g2, g3, ..., gm оканчиваются только на Bслоги, а элементы р2, рз, ..., pj оканчиваются только Aслогами.
Теперь построим полные системы представителей смежных классов для правостороннего разложения группы G по подгруппе H.
Сделаем это двумя способами. Сначала будем использовать разложение G по модулю (H, A), а потом воспользуемся разложением по модулю (H, B). Разложим группу A по подгруппе g-1Hgi ПA. Пусть множество [aia}, i = 1,2, ...,m, элементов из A является полной системой представителей этого разложения. Представителем
g-iHgiПA для всехgi будем считать единицу. Тогда множество V=U{giaia} является
i
полной системой представителей правых смежных классов G mod H.
Аналогично, множества [bjp}, j = 1, 2, ..., k, образуют полные системы разложения группы B по p-1Hpi П B, причем единица принадлежит каждому из этих множеств.
Множество W = U{gjajp} также является полной системой представителей правых смежных классов G mod H.
Таким образом, мощности множеств V и W совпадают и равны [G : H].
В множестве V все элементы, кроме g2, g3, ..., gm, оканчиваются на Aслоги. Если k - конечно, то для некоторого j из {1,2, .., k} множество {bjв} бесконечно и Wi = {pjbjp} - бесконечное подмножество из W, и каждый элемент из Wiоканчивается на Вслог.
Пусть wi, W2, ..., wm-i - элементы из W, сравнимые по mod H с элементами g2, g3, ..., gm. Тогда множество R = Wi \ {wi, w2, ..., wm-i} состоит из представителей двухконцевых правых смежных классов по подгруппе H, так как каждый элемент v из V, сравнимый по mod H с элементом из R, оканчивается на A слог. Существование такого множества противоречит конечной порожденности подгруппы H (Б. Баумслаг,
[9]).
Итак, число k конечным быть не может.
Пусть k - бесконечно. Подгруппа H - конечно порождена, а это значит, что лишь для конечного числа элементов pj подгруппы p-lHpt П B отличны от единичной. Следовательно, существует бесконечное множество P с {pi, p2, ..., Pk} такое, что для каждого pj из P пересечение p-iHpi П B - единично. Но для такого pj индекс p-iHpi П B в группе В больше единицы. Поэтому для каждого pj из P множество {bjв} состоит более чем из одного элемента.
Тогда множество W2 = {pj bj в p j Е P} бесконечно, и все его элементы оканчиваются на Вслоги. Существование такого множества снова противоречит конечной порожденности подгруппы H. Противоречие. Теорема доказана. □
Из теоремы 1 получаем два следствия.
Следствие 1. Если G - нетривиальное свободное произведение A * В, а H -конечно порожденная подгруппа в G, то двойной индекс [G : (H, A)] конечен тогда и только тогда, когда конечен индекс [G : H].
Следствие 2. Если G - нетривиальное свободное произведение A * В, а H -конечно порожденная подгруппа в G, то оба индекса[G : (H, A)]u[G : (H, В)] конечны или бесконечны одновременно.
Предложение о связи индексов [G : H] и [G : (H, A)] можно обобщить. Для конечно порожденной подгруппы H из G = A * В в качестве второй подгруппы второй подгруппы для того, чтобы свести вычисление двойного индекса к вычислению обычного, не обязательно брать свободный множитель A. Для этой цели годится любая конечно порожденная подгруппа бесконечного индекса в G.
Теорема 2. Пусть H и P две конечно порожденные подгруппы из нетривиального свободного произведения G = A * В. Если H и P обе имеют бесконечный индекс в G, то бесконечен и индекс [G : (H, P)].
Доказательство. Заметим сначала, что
[G : (H, P)] = [G : (Hg, Pg)]
для любого элемента g из G.
Далее рассмотрим два случая в зависимости от порядков множителей.
Случай 1. Один из множителей, например, A является бесконечной группой. Покажем, что тогда в группе G найдется такой элемент g, что все элементы из Hg и из Pg оканчиваются только на В слоги.
Действительно, пусть ai, a2 принадлежат A, и p из Pg', и h из Hg. Так как неединичные элементы из Pg• и Hgначинаются и оканчиваются на Bслоги, из равенства ai pa2ih = i следует p = h = aia2 i = i.
Но это значит, что все элементы из A попарно несравнимы по mod (Hg, Pg). Иначе говоря, если ai = a2, то элементы ai, а2не сравнимы по модулю (Hg, Pg), и поэтому из бесконечности группы A следует бесконечность индекса [G : (Hg, Pg)].
Но это значит, что все элементы из A попарно несравнимы по mod (Hg, Pg). Иначе говоря, если ai = a2, то элементы ai, a2не сравнимы по модулю (Hg, Pg), и поэтому из бесконечности группы A следует бесконечность индекса [G : (Hg, Pg)].
Подгруппы R, Q являются конечно порожденными подгруппами бесконечного индекса в K. Поскольку K - свободная группа ранга, большего единицы, мы оказываемся в условиях случая 1, и, следовательно, индекс (R, Q) в K бесконечен. С другой стороны, индекс R в H и индекс Q в P конечны. Рассмотрим правостороннее разложение H mod R и левостороннее разложение P mod Q: H = U'm=iRri;
P = Unj=iqQj.
Двойной смежный класс HgP является объединением конечного числа двойных смежных классов по mod (R, Q) вида RrigqjQ, i = 1, 2, ... m; j = 1, 2, ..., n. Поэтому из конечности [G : (H, P)] следует конечность [G: (R, Q)]. Но из того, что
[G: (R, Q)] > [K: (R, Q)],
а число [K: (R, Q)] бесконечно, получаем бесконечность индекса (H, P) в G. Теорема 2 доказана. □
Теорема 2 означает, что для свободных произведений проблема двойного индекса равносильна проблеме обычного индекса, которая, в свою очередь, равносильна проблеме вхождения ([1], [5]).
Таким образом, получаем следствие теоремы 2.
Теорема 3. Для нетривиального свободного произведения проблема двойного индекса равносильна проблеме вхождения.
Двойные смежные классы в свободном произведении с объединенной подгруппой
Свободное произведение групп является частным случаем свободного произведения с объединенной подгруппой: A * B = A * B.
В свободном произведении с объединенной подгруппой G = A * B объединяемая
подгруппа U при некоторых условиях исполняет роль единичной подгруппы, как показывает следующая теорема.
Теорема 4. Пусть G = A * B, свободное произведение с объединенной подгруппой U, причем группа A является нетривиальным свободным произведением, отличным от группы диэдра, а U удовлетворяет условию максимальности для подгрупп. Если H - конечно порожденная подгруппа группы G, то из конечности индекса [G : (H, U)] следует конечность индекса [G : H].
Доказательство. Докажем это утверждение методом « от противного», т. е. допустим, что [G : (H, U)] конечен, но H имеет бесконечный индекс в G. Рассмотрим
разложение группы по двойному модулю (Н, А):
С = П?=1 И?А.
Число не £ больше индекса ^ : (Н, и)], и поэтому £ - конечно. Число двойных смежных классов по модулю (Н, и), которые содержатся в двойном смежном классе Н&А, равно индексу
[А : С?-1^.ПА, и)] .
Поэтому для каждого г = 1, 2, ... , £ числа [А : ПА, и)] конечны.
С другой стороны, если для всех г = 1, 2, ... , £ конечны [А : ?-1И?г- ПА], то Н имеет конечный индекс в группе G. Поэтому для некоторого г (пусть для определенности г = 1), подгруппа В = ?-1И?г- ПА имеет бесконечный индекс в А. Из того, что Н конечно порождена, а и удовлетворяет условию максимальности, теперь следует конечная порожденность подгруппы В.
Кроме того, и имеет бесконечный индекс в А. Действительно, в противном случае группа А как конечное расширение группы с условием максимальности, сама бы удовлетворяла условию максимальности, что неверно для свободных групп, отличных от групп диэдра.
Таким образом, В и и - две конечно порожденные подгруппы А бесконечных индексов в А. Следовательно, по теореме 2 индекс [А : (В, и)] бесконечен, что противоречит конечности индекса ^ : (Н, и)]. Утверждение доказано. □
Аналогичная связь между простым и двойным индексами существует и в классе групп, более широком чем разложимые в свободное произведение.
Если G - нетривиальное свободное произведение, отличное от группы диэдра, и Н - произвольная конечно порожденная подгруппа бесконечного индекса в G, то в G существует нециклическая подгруппа Н1 такая, что подгруппа, порожденная подгруппами Н и Н1, является их свободным произведением (см., например, [10]). Такое свойство подгрупп принято называть свободной дополняемостью.
Двойные смежные классы в группах со свободно дополняемыми подгруппами
Говорит, что подгруппы бесконечной и нециклической группы G свободно дополняемы, если для каждой конечно порожденной подгруппы Н бесконечного индекса в G существует такая подгруппа Н1 из G, что порядок Н1 больше двух, а подгруппа, порожденная подгруппами Н и Н1, является их свободным произведением, gp(H, Н1) = Н * Н1.
Теорема 5. Пусть в группе G подгруппы свободно дополняемы, и Н и Р - две конечно порожденные подгруппы из G, и Р удовлетворяет условию максимальности для подгрупп. Тогда если Н и Р имеют бесконечные индексы в группе G, то бесконечен индекс ^ : (Н, Р)].
Доказательство. Пусть подгруппа Н1 из G, такая, что порядок Н1 больше двух, а подгруппа И, порожденная подгруппами Н и Н1, является их свободным произведением, И = ?р(и, И1) = и * И1.
Рассмотрим пересечение ИПР =В . Так как Р удовлетворяет условию максимальности, подгруппа В - конечно порождена.
Если подгруппа В имеет бесконечный индекс в свободном произведении И, то бесконечен индекс [И: (Н, В)]. Заметим, что для любых элементов х, у из И
х = y mod (H, P) ^ x = y mod (H, D).
Действительно, пусть x = hyp для некоторых h из H и p из P. Так как x, y, h принадлежат H, получаем, что и p принадлежит H, т. е. pe HHP =D. Следовательно, полную систему представителей разложения H mod (H, D) можно рассматривать как подмножество из полной системы представителей разложения G mod (H, P), и, следовательно, индекс [G : (H, P)] бесконечен.
Предположим теперь, что D имеет конечный индекс в H. Найдется неединичная подгруппа Pi из G такая, что
P = gp(P, Pi)= P * Pi,
и, следовательно, индекс [P: (P, P)] бесконечен; тем более будет бесконечен индекс [G : (P, P)], а, следовательно, бесконечен [G : (D, P)].
Пусть qi, q2, ..., qn - полная система представителей правых смежных классов для #mod D. Тогда двойной смежный класс HgD содержится в объедине-
n
нии (J DqigP, состоящем лишь из конечного числа двойных смежных классов по i=i
mod (D, P).
С другой стороны, каждый смежный класс DxP лежит в смежном классе HxP. Поэтому из бесконечности индекса [G : (D, P)] следует бесконечность [G : (H, P)] и, тем более, бесконечность индекса (H, P) в G.
Теорема 4 означает, что в группах со свободно дополняемыми подгруппами вычисление [G : (H, P)] , где P удовлетворяет условию максимальности, сводится к вычислению индексов^ : H] и [G : P]. □
Заключение
До сих пор неизвестно, является ли разрешимость проблемы индекса в свободных множителях необходимым и достаточным условием для разрешимости этой проблемы в свободном произведении. В представлении Куроша-Маклейна для подгруппы из свободного произведения участвуют представители двойных смежных классов, и поэтому более естественным представляется такую задачу сформулировать для двойного индекса.
Вопрос 1. Верно ли, что в группе A*B разрешима проблема двойного индекса тогда и только тогда, когда эта проблема разрешима в группах A и B?
Приведенное в работе доказательство теоремы 5 существенно использует условие максимальности для подгруппы P. Вполне возможно, что это ограничение для второй подгруппы модуля (H, P) можно и обойти, т. е. возникает еще одна, пока решенная лишь частично решенная задача.
Вопрос 2. Верно ли, что если в группе G подгруппы свободно дополняемы, H и P - конечно порожденные подгруппы из G, то индекс [G : (H, P)] бесконечен тогда и только тогда, когда [G : H] и [G : P]. бесконечны?
Список литературы/References
[1] Горюшкин А. П., "Нахождение индекса подгруппы и проблема вхождения", Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки, 2016, №1(12), 15-25. [Goryushkin A. P., "Finding of a subgroup index and the occurrence problem", Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences, 12:1 (2016), 12-20 (in Eng. transl.)].
[2] Горюшкин А. П., "Об алгоритме для вычисления индекса подгруппы в группе, разложимой в прямое произведение", Вестник Приамурского гос. ун-та им. Шолом-Алейхема, 2016, № 1, 93-99. [Goryushkin A. P., "Ob algoritme dlya vychisleniya indeksa podgruppy v gruppe, razlozhimoj v pryamoe proizvedenie [On the algorithm for calculating the index of a subgroup in a group decomposable into a direct product]", Vestnik Priamurskogo gos. un-ta im. Sholom-Alejhema, 2016, №1, 93-99 (in Russia)].
[3] Горюшкин А. П., "О нахождении индекса подгруппы в прямом произведении", Наука, образование, инновации: пути развития, Материалы Седьмой всероссийской научно-практической конференции, 24-26 мая 2016, КамчатГТУ, г. Петропавловск-Камчатский, 2016, 25-30. [Goryushkin A. P., "O nahozhdenii indeksa podgruppy v pryamom proizvedenii [On finding the index of a subgroup in a direct work]", Nauka, obrazovanie, innovacii: puti razvitiya, Materialy Sed'moj vserossijskoj nauchno-prakticheskoj konferencii, 24-26 maya 2016, KamchatGTU, g. Petropavlovsk-Kamchatskij, 2016, 25-30 (in Russia)].
[4] Горюшкин А. П., "О нахождении индекса подгруппы в свободном произведении", Наука, образование, инновации: пути развития, Материалы Седьмой всероссийской научно-практической конференции, 24-26 мая 2016, КамчатГТУ, г. Петропавловск-Камчатский, 2016, 31-35. [Goryushkin A. P., "O nahozhdenii indeksa podgruppy v svobodnom proizvedenii [On finding the index of a subgroup in a free product]", Nauka, obrazovanie, innovacii: puti razvitiya, Materialy Sed'moj vserossijskoj nauchno-prakticheskoj konferencii, 24-26 maya 2016, KamchatGTU, g. Petropavlovsk-Kamchatskij, 2016, 31-35 (in Russia)].
[5] Goryushkin А., "Two Algorithmic Problems in Group Theory", Res. Rep Math., 2:4 (2018).
[6] Frenkel E., Remeslennikov V. N., "Double cosets in free groups", International Journal of Algebra and Computation, 23:5 (2013), 1225-1241.
[7] Gitik R., Rips E., On double cosets in free groups, arXiv.org, 2013.
[8] MacLane S., "A proof of the subgroup theorem for free products", Mathematika, 5 (1958), 13-19.
[9] Baumslag B., "Free groups and free products - some aping theorems", Comm. pure a. Appl. Math. 1967, 20:4, 635-645.
[10] Горюшкин А. П., Амальгамированные свободные произведения групп, Издательский дом Дальневост. федерал. ун-та, Владивосток, 2012, 158 с. [Goryushkin A. P., Amal'gamirovannye svobodnye proizvedeniya grupp [Amalgamated free works of groups], Izdatel'skij dom Dal'nevost. federal. un-ta, Vladivostok, 2012, 158 pp.]
Список литературы (ГОСТ)
[1] Горюшкин А.П. Нахождение индекса подгруппы и проблема вхождения // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2016. №1(12) С. 15-25.
[2] Горюшкин А.П. Об алгоритме для вычисления индекса подгруппы в группе, разложимой в прямое произведение // Вестник Приамурского гос. ун-та им. Шолом-Алейхема. 2016. №1. С. 93-99.
[3] Горюшкин А.П. О нахождении индекса подгруппы в прямом произведении // Наука, образование, инновации: пути развития, Материалы Седьмой всероссийской научно-практической конференции, 24-26 мая 2016 г. Петропавловск-Камчатский, КамчатГТУ. 2016. C. 25-30.
[4] Горюшкин А.П. О нахождении индекса подгруппы в свободном произведении // Наука, образование, инновации: пути развития, Материалы Седьмой всероссийской научно-практической конференции, 24-26 мая 2016 г. Петропавловск-Камчатский, КамчатГТУ. 2016. C. 31-35.
[5] Goryushkin А. Two Algorithmic Problems in Group Theory // Res. Rep Math. 2018. 2:4
[6] Frenkel E., Remeslennikov V.N. Double cosets in free groups // International Journal of Algebra and Computation. 2013. vol. 23. no. 5. P.1225-1241.
[7] Gitik R., Rips E. On double cosets in free groups // arXiv.org, 2013.
[8] MacLane S. A proof of the subgroup theorem for free products // Mathematika. 1958. vol. 5. P. 13-19.
[9] Baumslag B. Free groups and free products - some aping theorems // Comm. pure a. Appl. Math. 1967. vol. 20. № 4. P. 635-645.
[10] Горюшкин А.П. Амальгамированные свободные произведения групп. Владивосток: Издательский дом Дальневост. федерал. ун-та, 2012. 158 с.
Для цитирования: Горюшкин А. П. Двойные смежные классы в свободном произведении // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 26. № 1. C. 8-16. DOI: 10.26117/2079-66412019-26-1-8-16
For citation: Goryushkin A. P. Double cosets in free product, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2019, 26: 1, 8-16. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-26-1-8-16
Поступила в редакцию / Original article submitted: 15.02.2019