Научная статья на тему 'Двойные смежные классы в свободном произведении'

Двойные смежные классы в свободном произведении Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
46
10
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ГРУППА / АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА / ПОДГРУППА / ИНДЕКС ПОДГРУППЫ / ИНДЕКС ДВОЙНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ / ДВОЙНОЙ СМЕЖНЫЙ КЛАСС / СВОБОДНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ / СВОБОДНАЯ ДОПОЛНЯЕМОСТЬ ПОДГРУПП / GROUP / ALGORITHMIC PROBLEM / SUBGROUP / SUBGROUP INDEX / DOUBLE DECOMPOSITION INDEX / DOUBLE COSET / FREE PRODUCT / FREE COMPLEMENTARITY OF SUBGROUPS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Горюшкин А.П.

В статье обсуждаются вопросы, связанные с разложением группы на двойные смежные классы. Для групп, разложимых в обобщенное свободное произведение, и групп со свободно дополняемыми подгруппами устанавливается связь двойного разложения с обычным разложением по подгруппе.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

DOUBLE COSETS IN FREE PRODUCT

This paper deals with problems connecting with decomposition of groups into double cosets. It is established a relation between double decomposition and usual decomposition by subgroups for groups which can be decompose into a generalized free products and groups with free complementarity of subgroups.

Текст научной работы на тему «Двойные смежные классы в свободном произведении»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 26. № 1. C. 8-16. ISSN 2079-6641

DOI: 10.26117/2079-6641-2019-26-1-8-16 МАТЕМАТИКА

УДК 519.4

ДВОЙНЫЕ СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ В СВОБОДНОМ

ПРОИЗВЕДЕНИИ

А. П. Горюшкин

Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4 E-mail: as2021@mail.ru

В статье обсуждаются вопросы, связанные с разложением группы на двойные смежные классы. Для групп, разложимых в обобщенное свободное произведение, и групп со свободно дополняемыми подгруппами устанавливается связь двойного разложения с обычным разложением по подгруппе.

Ключевые слова: группа, алгоритмическая проблема, подгруппа, индекс подгруппы, индекс двойного разложения, двойной смежный класс, свободное произведение, свободная дополняемость подгрупп

© Горюшкин А. П., 2019

MATHEMATICS

MSC 18A32

DOUBLE COSETS IN FREE PRODUCT A. P. Goryushkin

Vitus Bering Kamchatka State University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya st., 4, Russia E-mail: as2021@mail.ru

This paper deals with problems connecting with decomposition of groups into double cosets. It is established a relation between double decomposition and usual decomposition by subgroups for groups which can be decompose into a generalized free products and groups with free complementarity of subgroups.

Key words: group, algorithmic problem, subgroup, subgroup index, double decomposition index, double coset, free product, free complementarity of subgroups.

© Goryushkin A. P., 2019

Введение

Алгоритмические проблемы комбинаторной теории групп находят практическое применение в криптографии с открытым ключом. Для криптографических приложений представляют интерес как классические проблемы Дэна (проблема слов, проблема сопряженности и проблема изоморфизма), так и алгоритмические проблемы в теории групп, тесно связанные с классическими. Такими являются проблема вхождения (обобщенная проблема равенства) и проблема индекса.

Проблема вхождения для конечно определенной группы G состоит в отыскании или доказательстве невозможности алгоритма, который по любому конечному множеству элементов ^(г = 1, 2, ..., ш) и элементу w узнавал бы, принадлежит или нет элемент w подгруппе Н = гр(^, h2, ... , hm), порожденной элементами

Проблема индекса для конечно определенной группы G состоит в отыскании алгоритма, который по любому конечному множеству элементов Ь(г = 1, 2, ... , ш) группы G узнавал бы, конечный или бесконечный индекс в G имеет подгруппа Н = гр(^, h2, ... , hm), порожденная этим множеством.

Оказалось, что для некоторых классов групп эти две алгоритмические проблемы равносильны ([1]-[5]). В предлагаемой работе предлагается естественное усиление этой проблематики: вместо обычного разложения группы по подгруппе рассматривается разложение по двойному модулю.

Разложение группы по двойному модулю

Если G - произвольная группа и Н, Р - ее подгруппы, то отношение на G, заданное правилом:

х = у шоб (Н, Р) ^ х = hyp, где h е Н, р е Р,

является эквивалентностью на G, которую называют сравнимостью по двойному модулю. Эта эквивалентность разбивает множество G на смежные классы, которые принято называть двойными, а разбиение группы на двойные смежные классы -разложением G по двойному модулю (Н, Р). Смежный класс с представителем х имеет вид НхР, а мощность множества {НхР хе G} двойных смежных классов в разложении группы G по двойному модулю (Н, Р) называют двойным индексом (Н, Р) в группе G и обозначают символом ^ : (Н, Р)]. Двойной индекс является обобщением простого индекса: если Е - единичная подгруппа, то [G : (Н, Е)] : Н].

Двойной смежный класс НхР является объединением некоторого множества правых смежных классов Ну (или левых классов гР). Число левых смежных классов по Н в классе НхР равно индексу Р П х-1 Нх в группе Р. Число правых смежных классов по Р в НхР равно индексу Р П х-1 Нх в подгруппе х-1Нх.

Двойные смежные классы играют особую роль для свободных групп, свободных произведений и свободных произведений с объединением. Метод Нильсена для описания подгрупп свободной группы, теорема Куроша - описание подгрупп свободного произведения - и теорема Карраса-Солитэра о подгруппах свободного произведения с объединенной подгруппой - все эти результаты существенно опираются на понятие двойного смежного класса. С другой стороны, свойства двойных смежных классов и их представителей даже для свободных групп могут оказаться совсем нетривиальными (см., например. [6], [7]).

Проблема двойного индекса для конечно определенной группы G состоит в отыскании алгоритма, который по любым конечным множествам элементов {ha}, и [pp} группы G узнавал бы, конечен или бесконечен индекс [G: (гр^а), гр(рр))].

В некоторых случаях между двумя индексами - двойным и «одинарным» - есть тесная связь, позволяющая решить эту проблему.

В предлагаемой работе такая связь устанавливается для групп, разложимых в свободное произведение и для двух классов, содержащих свободно разложимые группы.

Двойной индекс в свободном произведении

Покажем, что если G разложима в свободное произведение, а H - конечно порожденная подгруппа группы G, то роль единичной подгруппы в разложении по подгруппе H может играть свободный множитель. Точнее, имеет место следующее предложение.

Теорема 1. Если G = A * B и H - конечно порожденная подгруппа в G и [G : (H, A)] конечен, то индекс [G : H] тоже конечен. Доказательство.

Разложим группу G по двойному модулю (H, A),

G = LT=i HgiA,

т.е. [G : (H, A)] = т. Рассмотрим и разложение группы G по двойному модулю (H, B):

G = Ukj=iHgiB,

где k = [G : (H, B)].

Число k может оказаться конечным или бесконечным (по условию теоремы конечность двойного индекса предполагалась лишь для одного свободного множителя).

Покажем, что если индекс подгруппы H в группе G бесконечен, то каждое из двух предложений: «число k - конечно» и «число k - бесконечно» приводит к противоречию.

В представлении Куроша подгруппы из свободного произведения участвуют так называемые функции Маклейна (С. Маклейн, [8]). Выберем в качестве представителей двойных смежных классов gi, pj значения маклейновских функций sa(HgA) и SB(HgB), соответственно. Положим при этом gi = pi = 1. По свойству маклейновских представителей все элементы g2, g3, ..., gm оканчиваются только на Bслоги, а элементы р2, рз, ..., pj оканчиваются только Aслогами.

Теперь построим полные системы представителей смежных классов для правостороннего разложения группы G по подгруппе H.

Сделаем это двумя способами. Сначала будем использовать разложение G по модулю (H, A), а потом воспользуемся разложением по модулю (H, B). Разложим группу A по подгруппе g-1Hgi ПA. Пусть множество [aia}, i = 1,2, ...,m, элементов из A является полной системой представителей этого разложения. Представителем

g-iHgiПA для всехgi будем считать единицу. Тогда множество V=U{giaia} является

i

полной системой представителей правых смежных классов G mod H.

Аналогично, множества [bjp}, j = 1, 2, ..., k, образуют полные системы разложения группы B по p-1Hpi П B, причем единица принадлежит каждому из этих множеств.

Множество W = U{gjajp} также является полной системой представителей правых смежных классов G mod H.

Таким образом, мощности множеств V и W совпадают и равны [G : H].

В множестве V все элементы, кроме g2, g3, ..., gm, оканчиваются на Aслоги. Если k - конечно, то для некоторого j из {1,2, .., k} множество {bjв} бесконечно и Wi = {pjbjp} - бесконечное подмножество из W, и каждый элемент из Wiоканчивается на Вслог.

Пусть wi, W2, ..., wm-i - элементы из W, сравнимые по mod H с элементами g2, g3, ..., gm. Тогда множество R = Wi \ {wi, w2, ..., wm-i} состоит из представителей двухконцевых правых смежных классов по подгруппе H, так как каждый элемент v из V, сравнимый по mod H с элементом из R, оканчивается на A слог. Существование такого множества противоречит конечной порожденности подгруппы H (Б. Баумслаг,

[9]).

Итак, число k конечным быть не может.

Пусть k - бесконечно. Подгруппа H - конечно порождена, а это значит, что лишь для конечного числа элементов pj подгруппы p-lHpt П B отличны от единичной. Следовательно, существует бесконечное множество P с {pi, p2, ..., Pk} такое, что для каждого pj из P пересечение p-iHpi П B - единично. Но для такого pj индекс p-iHpi П B в группе В больше единицы. Поэтому для каждого pj из P множество {bjв} состоит более чем из одного элемента.

Тогда множество W2 = {pj bj в p j Е P} бесконечно, и все его элементы оканчиваются на Вслоги. Существование такого множества снова противоречит конечной порожденности подгруппы H. Противоречие. Теорема доказана. □

Из теоремы 1 получаем два следствия.

Следствие 1. Если G - нетривиальное свободное произведение A * В, а H -конечно порожденная подгруппа в G, то двойной индекс [G : (H, A)] конечен тогда и только тогда, когда конечен индекс [G : H].

Следствие 2. Если G - нетривиальное свободное произведение A * В, а H -конечно порожденная подгруппа в G, то оба индекса[G : (H, A)]u[G : (H, В)] конечны или бесконечны одновременно.

Предложение о связи индексов [G : H] и [G : (H, A)] можно обобщить. Для конечно порожденной подгруппы H из G = A * В в качестве второй подгруппы второй подгруппы для того, чтобы свести вычисление двойного индекса к вычислению обычного, не обязательно брать свободный множитель A. Для этой цели годится любая конечно порожденная подгруппа бесконечного индекса в G.

Теорема 2. Пусть H и P две конечно порожденные подгруппы из нетривиального свободного произведения G = A * В. Если H и P обе имеют бесконечный индекс в G, то бесконечен и индекс [G : (H, P)].

Доказательство. Заметим сначала, что

[G : (H, P)] = [G : (Hg, Pg)]

для любого элемента g из G.

Далее рассмотрим два случая в зависимости от порядков множителей.

Случай 1. Один из множителей, например, A является бесконечной группой. Покажем, что тогда в группе G найдется такой элемент g, что все элементы из Hg и из Pg оканчиваются только на В слоги.

Действительно, пусть ai, a2 принадлежат A, и p из Pg', и h из Hg. Так как неединичные элементы из Pg• и Hgначинаются и оканчиваются на Bслоги, из равенства ai pa2ih = i следует p = h = aia2 i = i.

Но это значит, что все элементы из A попарно несравнимы по mod (Hg, Pg). Иначе говоря, если ai = a2, то элементы ai, а2не сравнимы по модулю (Hg, Pg), и поэтому из бесконечности группы A следует бесконечность индекса [G : (Hg, Pg)].

Но это значит, что все элементы из A попарно несравнимы по mod (Hg, Pg). Иначе говоря, если ai = a2, то элементы ai, a2не сравнимы по модулю (Hg, Pg), и поэтому из бесконечности группы A следует бесконечность индекса [G : (Hg, Pg)].

Подгруппы R, Q являются конечно порожденными подгруппами бесконечного индекса в K. Поскольку K - свободная группа ранга, большего единицы, мы оказываемся в условиях случая 1, и, следовательно, индекс (R, Q) в K бесконечен. С другой стороны, индекс R в H и индекс Q в P конечны. Рассмотрим правостороннее разложение H mod R и левостороннее разложение P mod Q: H = U'm=iRri;

P = Unj=iqQj.

Двойной смежный класс HgP является объединением конечного числа двойных смежных классов по mod (R, Q) вида RrigqjQ, i = 1, 2, ... m; j = 1, 2, ..., n. Поэтому из конечности [G : (H, P)] следует конечность [G: (R, Q)]. Но из того, что

[G: (R, Q)] > [K: (R, Q)],

а число [K: (R, Q)] бесконечно, получаем бесконечность индекса (H, P) в G. Теорема 2 доказана. □

Теорема 2 означает, что для свободных произведений проблема двойного индекса равносильна проблеме обычного индекса, которая, в свою очередь, равносильна проблеме вхождения ([1], [5]).

Таким образом, получаем следствие теоремы 2.

Теорема 3. Для нетривиального свободного произведения проблема двойного индекса равносильна проблеме вхождения.

Двойные смежные классы в свободном произведении с объединенной подгруппой

Свободное произведение групп является частным случаем свободного произведения с объединенной подгруппой: A * B = A * B.

В свободном произведении с объединенной подгруппой G = A * B объединяемая

подгруппа U при некоторых условиях исполняет роль единичной подгруппы, как показывает следующая теорема.

Теорема 4. Пусть G = A * B, свободное произведение с объединенной подгруппой U, причем группа A является нетривиальным свободным произведением, отличным от группы диэдра, а U удовлетворяет условию максимальности для подгрупп. Если H - конечно порожденная подгруппа группы G, то из конечности индекса [G : (H, U)] следует конечность индекса [G : H].

Доказательство. Докажем это утверждение методом « от противного», т. е. допустим, что [G : (H, U)] конечен, но H имеет бесконечный индекс в G. Рассмотрим

разложение группы по двойному модулю (Н, А):

С = П?=1 И?А.

Число не £ больше индекса ^ : (Н, и)], и поэтому £ - конечно. Число двойных смежных классов по модулю (Н, и), которые содержатся в двойном смежном классе Н&А, равно индексу

[А : С?-1^.ПА, и)] .

Поэтому для каждого г = 1, 2, ... , £ числа [А : ПА, и)] конечны.

С другой стороны, если для всех г = 1, 2, ... , £ конечны [А : ?-1И?г- ПА], то Н имеет конечный индекс в группе G. Поэтому для некоторого г (пусть для определенности г = 1), подгруппа В = ?-1И?г- ПА имеет бесконечный индекс в А. Из того, что Н конечно порождена, а и удовлетворяет условию максимальности, теперь следует конечная порожденность подгруппы В.

Кроме того, и имеет бесконечный индекс в А. Действительно, в противном случае группа А как конечное расширение группы с условием максимальности, сама бы удовлетворяла условию максимальности, что неверно для свободных групп, отличных от групп диэдра.

Таким образом, В и и - две конечно порожденные подгруппы А бесконечных индексов в А. Следовательно, по теореме 2 индекс [А : (В, и)] бесконечен, что противоречит конечности индекса ^ : (Н, и)]. Утверждение доказано. □

Аналогичная связь между простым и двойным индексами существует и в классе групп, более широком чем разложимые в свободное произведение.

Если G - нетривиальное свободное произведение, отличное от группы диэдра, и Н - произвольная конечно порожденная подгруппа бесконечного индекса в G, то в G существует нециклическая подгруппа Н1 такая, что подгруппа, порожденная подгруппами Н и Н1, является их свободным произведением (см., например, [10]). Такое свойство подгрупп принято называть свободной дополняемостью.

Двойные смежные классы в группах со свободно дополняемыми подгруппами

Говорит, что подгруппы бесконечной и нециклической группы G свободно дополняемы, если для каждой конечно порожденной подгруппы Н бесконечного индекса в G существует такая подгруппа Н1 из G, что порядок Н1 больше двух, а подгруппа, порожденная подгруппами Н и Н1, является их свободным произведением, gp(H, Н1) = Н * Н1.

Теорема 5. Пусть в группе G подгруппы свободно дополняемы, и Н и Р - две конечно порожденные подгруппы из G, и Р удовлетворяет условию максимальности для подгрупп. Тогда если Н и Р имеют бесконечные индексы в группе G, то бесконечен индекс ^ : (Н, Р)].

Доказательство. Пусть подгруппа Н1 из G, такая, что порядок Н1 больше двух, а подгруппа И, порожденная подгруппами Н и Н1, является их свободным произведением, И = ?р(и, И1) = и * И1.

Рассмотрим пересечение ИПР =В . Так как Р удовлетворяет условию максимальности, подгруппа В - конечно порождена.

Если подгруппа В имеет бесконечный индекс в свободном произведении И, то бесконечен индекс [И: (Н, В)]. Заметим, что для любых элементов х, у из И

х = y mod (H, P) ^ x = y mod (H, D).

Действительно, пусть x = hyp для некоторых h из H и p из P. Так как x, y, h принадлежат H, получаем, что и p принадлежит H, т. е. pe HHP =D. Следовательно, полную систему представителей разложения H mod (H, D) можно рассматривать как подмножество из полной системы представителей разложения G mod (H, P), и, следовательно, индекс [G : (H, P)] бесконечен.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Предположим теперь, что D имеет конечный индекс в H. Найдется неединичная подгруппа Pi из G такая, что

P = gp(P, Pi)= P * Pi,

и, следовательно, индекс [P: (P, P)] бесконечен; тем более будет бесконечен индекс [G : (P, P)], а, следовательно, бесконечен [G : (D, P)].

Пусть qi, q2, ..., qn - полная система представителей правых смежных классов для #mod D. Тогда двойной смежный класс HgD содержится в объедине-

n

нии (J DqigP, состоящем лишь из конечного числа двойных смежных классов по i=i

mod (D, P).

С другой стороны, каждый смежный класс DxP лежит в смежном классе HxP. Поэтому из бесконечности индекса [G : (D, P)] следует бесконечность [G : (H, P)] и, тем более, бесконечность индекса (H, P) в G.

Теорема 4 означает, что в группах со свободно дополняемыми подгруппами вычисление [G : (H, P)] , где P удовлетворяет условию максимальности, сводится к вычислению индексов^ : H] и [G : P]. □

Заключение

До сих пор неизвестно, является ли разрешимость проблемы индекса в свободных множителях необходимым и достаточным условием для разрешимости этой проблемы в свободном произведении. В представлении Куроша-Маклейна для подгруппы из свободного произведения участвуют представители двойных смежных классов, и поэтому более естественным представляется такую задачу сформулировать для двойного индекса.

Вопрос 1. Верно ли, что в группе A*B разрешима проблема двойного индекса тогда и только тогда, когда эта проблема разрешима в группах A и B?

Приведенное в работе доказательство теоремы 5 существенно использует условие максимальности для подгруппы P. Вполне возможно, что это ограничение для второй подгруппы модуля (H, P) можно и обойти, т. е. возникает еще одна, пока решенная лишь частично решенная задача.

Вопрос 2. Верно ли, что если в группе G подгруппы свободно дополняемы, H и P - конечно порожденные подгруппы из G, то индекс [G : (H, P)] бесконечен тогда и только тогда, когда [G : H] и [G : P]. бесконечны?

Список литературы/References

[1] Горюшкин А. П., "Нахождение индекса подгруппы и проблема вхождения", Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки, 2016, №1(12), 15-25. [Goryushkin A. P., "Finding of a subgroup index and the occurrence problem", Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences, 12:1 (2016), 12-20 (in Eng. transl.)].

[2] Горюшкин А. П., "Об алгоритме для вычисления индекса подгруппы в группе, разложимой в прямое произведение", Вестник Приамурского гос. ун-та им. Шолом-Алейхема, 2016, № 1, 93-99. [Goryushkin A. P., "Ob algoritme dlya vychisleniya indeksa podgruppy v gruppe, razlozhimoj v pryamoe proizvedenie [On the algorithm for calculating the index of a subgroup in a group decomposable into a direct product]", Vestnik Priamurskogo gos. un-ta im. Sholom-Alejhema, 2016, №1, 93-99 (in Russia)].

[3] Горюшкин А. П., "О нахождении индекса подгруппы в прямом произведении", Наука, образование, инновации: пути развития, Материалы Седьмой всероссийской научно-практической конференции, 24-26 мая 2016, КамчатГТУ, г. Петропавловск-Камчатский, 2016, 25-30. [Goryushkin A. P., "O nahozhdenii indeksa podgruppy v pryamom proizvedenii [On finding the index of a subgroup in a direct work]", Nauka, obrazovanie, innovacii: puti razvitiya, Materialy Sed'moj vserossijskoj nauchno-prakticheskoj konferencii, 24-26 maya 2016, KamchatGTU, g. Petropavlovsk-Kamchatskij, 2016, 25-30 (in Russia)].

[4] Горюшкин А. П., "О нахождении индекса подгруппы в свободном произведении", Наука, образование, инновации: пути развития, Материалы Седьмой всероссийской научно-практической конференции, 24-26 мая 2016, КамчатГТУ, г. Петропавловск-Камчатский, 2016, 31-35. [Goryushkin A. P., "O nahozhdenii indeksa podgruppy v svobodnom proizvedenii [On finding the index of a subgroup in a free product]", Nauka, obrazovanie, innovacii: puti razvitiya, Materialy Sed'moj vserossijskoj nauchno-prakticheskoj konferencii, 24-26 maya 2016, KamchatGTU, g. Petropavlovsk-Kamchatskij, 2016, 31-35 (in Russia)].

[5] Goryushkin А., "Two Algorithmic Problems in Group Theory", Res. Rep Math., 2:4 (2018).

[6] Frenkel E., Remeslennikov V. N., "Double cosets in free groups", International Journal of Algebra and Computation, 23:5 (2013), 1225-1241.

[7] Gitik R., Rips E., On double cosets in free groups, arXiv.org, 2013.

[8] MacLane S., "A proof of the subgroup theorem for free products", Mathematika, 5 (1958), 13-19.

[9] Baumslag B., "Free groups and free products - some aping theorems", Comm. pure a. Appl. Math. 1967, 20:4, 635-645.

[10] Горюшкин А. П., Амальгамированные свободные произведения групп, Издательский дом Дальневост. федерал. ун-та, Владивосток, 2012, 158 с. [Goryushkin A. P., Amal'gamirovannye svobodnye proizvedeniya grupp [Amalgamated free works of groups], Izdatel'skij dom Dal'nevost. federal. un-ta, Vladivostok, 2012, 158 pp.]

Список литературы (ГОСТ)

[1] Горюшкин А.П. Нахождение индекса подгруппы и проблема вхождения // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2016. №1(12) С. 15-25.

[2] Горюшкин А.П. Об алгоритме для вычисления индекса подгруппы в группе, разложимой в прямое произведение // Вестник Приамурского гос. ун-та им. Шолом-Алейхема. 2016. №1. С. 93-99.

[3] Горюшкин А.П. О нахождении индекса подгруппы в прямом произведении // Наука, образование, инновации: пути развития, Материалы Седьмой всероссийской научно-практической конференции, 24-26 мая 2016 г. Петропавловск-Камчатский, КамчатГТУ. 2016. C. 25-30.

[4] Горюшкин А.П. О нахождении индекса подгруппы в свободном произведении // Наука, образование, инновации: пути развития, Материалы Седьмой всероссийской научно-практической конференции, 24-26 мая 2016 г. Петропавловск-Камчатский, КамчатГТУ. 2016. C. 31-35.

[5] Goryushkin А. Two Algorithmic Problems in Group Theory // Res. Rep Math. 2018. 2:4

[6] Frenkel E., Remeslennikov V.N. Double cosets in free groups // International Journal of Algebra and Computation. 2013. vol. 23. no. 5. P.1225-1241.

[7] Gitik R., Rips E. On double cosets in free groups // arXiv.org, 2013.

[8] MacLane S. A proof of the subgroup theorem for free products // Mathematika. 1958. vol. 5. P. 13-19.

[9] Baumslag B. Free groups and free products - some aping theorems // Comm. pure a. Appl. Math. 1967. vol. 20. № 4. P. 635-645.

[10] Горюшкин А.П. Амальгамированные свободные произведения групп. Владивосток: Издательский дом Дальневост. федерал. ун-та, 2012. 158 с.

Для цитирования: Горюшкин А. П. Двойные смежные классы в свободном произведении // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 26. № 1. C. 8-16. DOI: 10.26117/2079-66412019-26-1-8-16

For citation: Goryushkin A. P. Double cosets in free product, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2019, 26: 1, 8-16. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-26-1-8-16

Поступила в редакцию / Original article submitted: 15.02.2019

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.