CC BY
17вращением жидкости вблизи стенок водосливов после ударов о них и расщеплением затопленного участка струи. Низкое давление внутри таких циркуляционных зон должно существенно снижать поперечный перепад давления, который отклоняет затопленный участок струи в противоположную сторону, что и увеличивает период автоколебаний Т.
На рис. 3 показан фрагмент такого течения при проникании в короткий канал (L/h = 40) плоской струи с ö/h = 0,5 при H/h = 15 и Fr = 16, зафиксированный вскоре после удара затопленного участка о стенку водослива и начала формирования циркуляционной зоны. С дальнейшим ростом скорости такая динамика течения приводит сначала к периодическому прилипанию струи к стенкам, а затем к нерегулярным автоколебаниям. При некотором значении скорости струя достигает дна и после ряда ее случайных колебаний они полностью прекращаются.
В заключение необходимо заметить, что описываемый эффект мог бы наблюдаться в каналах любой протяженности, если бы при больших скоростях струи из-за наличия в установке достаточной глубины жидкости не возникал удар затопленной струи о дно установки, как это происходило в случае L/h = 102. Не исключено, что всегда с увеличением скорости струи период регулярных автоколебаний плоских струй в таких каналах при соответствующих длинах свободного участка струй сначала убывает, а затем снова возрастает, а осесимметричных струй почти всегда возрастает, с наибольшей интенсивностью — при малых и больших скоростях.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Карликов В.П., Нечаев А. Т., Толоконников С.Л. Об автоколебательных режимах проникания вертикальных свободных турбулентных струй через поверхность жидкости // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2017. № 6. 24-30.
2. Биркгоф Г. Гидродинамика. М.: ИЛ, 1954.
3. Карликов В.П. Об истечении плоских струй весомой жидкости из-под свободной поверхности // Аннот. докл. 7-го Всесоюз. съезда по теор. и прикл. механике. Москва, 1991. М.: Изд-во МГУ, 1991. 184.
4. Карликов В.П., Трушина О.В. Об автоколебаниях плоских затопленных фонтанов // Докл. РАН. 1998. 361,№ 3. 340-344.
Поступила в редакцию 17.04.2019
УДК 531.36
ДВОЙНАЯ ВЕТРОТУРБИНА, РАБОТАЮЩАЯ НА ОСНОВЕ ЭФФЕКТА МАГНУСА
Л. А. Климина1, Е. С. Шалимова2, М. 3. Досаев3, Ю.Д. Селюцкий4
Рассматривается математическая модель двухпропеллерной горизонтально-осевой ветроэнергетической установки, работающей на основе эффекта Магнуса. Установка сконструирована таким образом, что ее пропеллеры вращаются в противоположных направ-
1 Климина Любовь Александровна — канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: kliminaQimec.msu.ru.
2 Шалимова Екатерина Сергеевна — канд. физ.-мат. наук, мл. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: ekateryna-shalimovaQyandex.ru.
3 Досаев Марат Закирджанович — канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: dosayevQimec. msu .ru.
4 Селюцкий Юрий Дмитриевич — канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: seliutskiQimec. msu .ru.
Klimina Liubov Aleksandrovna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Leading Researcher, Lomonosov Moscow State University, Institute of Mechanics.
Shalimova Ekaterina Sergeema — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Junior Researcher, Lomonosov Moscow State University, Institute of Mechanics.
Dosaev Marat Zakirdzhanovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Leading Researcher, Lomonosov Moscow State University, Institute of Mechanics.
Selyutskiy Yury Dmitrievich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Leading Researcher, Lomonosov Moscow State University, Institute of Mechanics.
лониях. Выписаны уравнения движения. Описаны рабочие режимы в зависимости от коэффициента. характеризующего внешнюю нагрузку в локальной цепи электрогенератора установки, в частности оценена механическая мощность.
Ключевые слова: ветроэнергетическая установка, эффект Магнуса, замкнутая математическая модель, установившиеся режимы, устойчивость, механическая мощность.
A closed mathematical model of a double Magnus type wind turbine with a horizontal axis is constructed. The propellers of the turbine are supposed to rotate in opposite directions. For such a system, equations of motion are derived. In the case of dimensions of the front propeller being two times smaller than dimensions of the rear propeller, operating modes and a trapped power coefficient are found numerically.
Key words: wind turbine. Magnus effect, closed dynamic model, steady motions, stability, mechanical power.
Введение. Горизонтально-осевые ветроэнергетические установки (ВЭУ), в которых используется сила Магнуса, возникающая при вращении роторов Савониуса, описаны в работе [1]. Преимуществом ВЭУ, функционирующих на основе силы Магнуса, перед классическими пропеллерными ВЭУ является способность к эффективной работе в очень широком диапазоне скоростей ветра (2 40 м/с) [2 41.
Для ВЭУ двухпропеллерной конструкции, в которых используется сила Магнуса, отсутствует систематическое описание мощностных характеристик. В то же время от комбинации двух турбин естественно ожидать преимуществ, подобных тем, которые имеют место в случае классических двухроторных ВЭУ (см., например, [5]).
Описание модели и постановка задачи. Рассмотрим механическую систему из двух пропеллеров. Каждый пропеллер состоит из центрального вала и лопастей. Лопасти каждого пропеллера роторы Савониуса (далее б'-роторы) — установлены на валу посредством цилиндрических шарниров (как в работе [6]). На валу одного пропеллера помещен ротор электрогенератора, на валу другого статор того же генератора. Таким образом, угловая скорость ротора относительно статора совпадает с угловой скоростью одной из турбин относительно второй турбины. Внешнее сопротивление в локальной цепи генератора является варьируемым параметром модели и характеризует нагрузку на генератор со стороны потребителей электроэнергии.
Предполагается, что пропеллеры находятся в стационарном потоке воздуха. Валы пропеллеров могут вращаться вокруг неподвижной оси Oz, параллельной вектору V скорости потока (рис. 1, а). Оси цилиндрических шарниров 5-роторов ортогональны оси Oz. У каждого из пропеллеров все лопасти одинаковы и их начальные угловые скорости одинаковы. Тогда в силу симметрии все лопасти одного пропеллера совершают аналогичное движение. На рис. 1 ось симметрии 5-ротора обозначена через Oxj (j = 1,2). Здесь и далее индекс j = 1 характеризует параметры, относящиеся к переднему пропеллеру, а индекс j = 2 — к заднему. На рис. 1, б изображена одна из лопастей. Она может
Oxj
центральных осей инерции.
Движение каждого пропеллера описывается парой обобщенных скоростей — величиной Qjz угловой скорости центрального вала относительно оси Oz и величиной Qjx угловой скорости
5-ротора относительно оси Oxj. Положительные направления отсчета величин Qjz выбираем противоположными.
Пусть Jjx — момент инерции 5-ротора переднего или заднего про-
Oxj
гие два главных момента инерции 5-ротора будем считать одинаковыми.
Jjz
пропеллеров (включая ротор или статор электрогенератора соответственно) Oz
зависит от текущих) угла поворота 5-ротора относительно оси Oxj. Пусть Рис. 1. Схема ветроустановки: а — общий вид; б — отдель- У каждого пропеллера nj лопастей.
пая лопасть заднего пропеллера БУДСМ считать, что воздействие по-
тока на отдельный Б-ротор описывается аэродинамическим моментом относительно оси Охз и аэродинамическими силами Dj и Ъ}, приложенными в некоторой точке Сз (центре давления), лежащей на оси Ох з на расстоя нии тз от ос и Ог. Здес ь Dj — сила лобового сопротивления, направленная противоположно вектору И}, характеризующему скорость точки ^относительно по тока; Ъ} — боковая сила, включающая в себя силу Магнуса; вектор силы Ъ} направлен ортогонально вектору И в плоскости, перпендикулярной оси Ох^. Используя квазистатический подход [7-9], получаем, что выражения для аэродинамических сил и моментов имеют вид
Т
1
3х = 2р8зи&Ст(\,),
В3 = 1-р8зи]Св{\3),
\3 — Ьз Пзх/из,
и2 — У2 + (тз 3)2.
Здесь р — плотность воздуха, 5з- — характерная площадь Б-ротора ./-го пропеллера, Ьз — радиусы Б-роторов /-го пропеллера, \3 — так называемая быстроходность роторов Савониуса. Функции Ст(Аз) Си(Аз), Сь(Аз) — безразмерные аэродинамические коэффициенты. Эти функции строятся по результатам экспериментов. В настоящей работе были использованы аппроксимации [6], построенные по экспериментальным данным [10].
Аэродинамические силы Dj и Ъ} создают моменты относительно оси Ог. Величина суммарного аэродинамического момента, действующего на /-й пропеллер относительно оси Ог (формируемого за счет пз роторов), определяется выражением (положительные направления отсчета величины момента для двух пропеллеров противоположны):
1)„ 11Л Г/-1 1г<-
зз
Помимо аэродинамических моментов к пропеллерам приложены противоположные по направлению и равные по величине моменты, характеризующие электромеханическое взаимодействие между ротором и статором генератора. Величина этих моментов описывается выражением [7]:
Те —
К 2
((1* + (2*).
к + К К
ствами генератора), к — внутреннее сопротивление генератора, К — внешнее сопротивление в локальной электрической цепи. Чем больше внешняя нагрузка на ВЭУ со стороны потребителей в
К
Таким образом, система уравнений движения имеет вид
ЛхП 1х — О.ЬрБхЩЬ! Ст (А1),
Зъ(и — О.ЬптУрБ^Сь(А1) - 0.5П1 т2^рБ^Сп(А1) -Лх^ 2х — 0.5рБ2^22Ь2 Ст (А2),
Ьг ( 2х — 0.5П2Т2УрБ2и2Сь (А2 ) - 0.5П2 т2( 2* рБ2^2СВ (А2) -
К2 к + К
К2
к + К
((1г + (2*).
Приведем систему к безразмерной форме. В качестве характерного масштаба по времени выберем ¿о — 2(п2рБ1т2У)"131*. Тогда в безразмерных переменных и параметрах движение ветроуста-новки будет описываться системой (штрихом обозначена производная по безразмерному времени Г — ¿/¿о)
( (х — (1+ < )а1Ст(А1),
+ - шиСв(\1)) - кд^ши +
и'2х = (1+ш22х)а2Ст(\2), ш'2г = А^1 + Ш2г{Сь{\2)-Ш2хСв{\2))-Ак[^^ +
,
т2
¿2*
где
(1х —
Ь1(
1х
У
(2х —
ь2&2х
V
(1* —
1*
У
¿2* —
ЫЬг V
П1
Р=~, П2
а1 =
3\хг\п-2
а2 =
Jlz Ь2Б2
А =
^Б2г22
2
д =
51Г?
2
к =
2К 2
(к + Е)п2Уг2,Б2р
Пусть у первого пропеллера линейные размеры вдвое меньше, чем у второго: Г2 = 2г1, Ь2 = 2^1, 5*2 = 4Бь Тогда считаем, что Б-роторы второго пропеллера не попадают в воздушный след, расположенный за лопастями первого пропеллера. Иными словами, движение первого пропеллера не влияет на поток ветра, воздействующий на второй пропеллер. В то же время для эффективной работы ВЭУ величины крутящих моментов, создаваемых пропеллерами, должны быть сопоставимы друг с другом (чтобы сформировать достаточно высокую угловую скорость ротора генератора относительно статора). Поскольку радиусы пропеллеров отличаются друг от друга вдвое, то, чтобы обеспечить близкие по величине крутящие моменты, будем предполагать, что и число лопастей отличается вдвое: п1 = 2и2. Далее п2 = 3.
Задача настоящей работы состоит в том, чтобы оценить механическую мощность на рабочих
к
нирования ВЭУ.
Рабочие режимы и коэффициент механической мощности. Рабочему режиму ветро-установки соответствует устойчивая неподвижная точка уравнений (1). В такой точке выполнено А1 = \2 = Ао, где До определяется условием Ст(Ао) = 0. Свойства устойчивости стационарного режима зависят от значений производных аэродинамических функций по переменной А в точке А = Ао • Из экспериментальных данных для роторов Савониуса известно, что у функции Ст (А) существует единственный корень. Для ротора, протестированного в [10], имеем Ао = 1.61 Си (Ао) = 1.58, Сь(А0) = 2.4, СТ(Ао) = —0.34, С'и(Ао) = 0.17, С'ь(Ао) = 0.78. Параметры а^ и А не влияют на значения стационарных угловых скоростей, но могут повлиять на характер устойчивости стационарного режима. Далее рассмотрим случай ai = 10 А = 1.
к
к
к € [0, 7]. Для каждого значения к численно было найдено решение (ш*х ,ш*г) алгебраической системы, получаемой из (1) при ш[х = ш[г = 0. Для каждого полученного набора (к,ш*х,ш*г) было
проверено численно, что максимальная вещественная часть корней характеристического многочлена системы, линеаризованной в окрестности неподвижной точки, отрицательна. Таким образом, при
к
найденные стационарные движения асимптотически устойчивы. На рис. 2, а представлена зависимость между стационарными значениями безразмерных угловых скоростей
к
Часть изображенных режимов Рис. 2. Зависимость на рабочих режимах: а — угловой скоро- ^ * < 0) характеризуется враще-сти заднего пропеллера ш20 от угловой скорости переднего про- нием первого пропеллера в "неже-пеллера б — коэффициента механической мощности ср от дательном" направлении' в таких коэффициента полезной нагрузки к случаях второй пропеллер увлека-
ст за собой первый, расходуя на это часть энергии, полученной от потока. На практике таких режимов лучше избегать.
Оцепим коэффициент ср механической мощности, отбираемой у потока па найденных стационарных режимах. Этот коэффициент определяется отношением механической мощности Р, отбираемой ветротурбиной у потока, к мощности Ро = 0.5рБоУ3 потока, проходящего через сечение ветротурбины. Здесь Бо — площадь сечения. Таким образом, значение коэффициента ср механической мощности определяется но следующей формуле:
Р Ро
п1Б1 Бо
1 + ш^ (Сь(Ао) — ши Си (Ао ))ши
+
п2Б2 Бо
1 + ш\г (Сь(Ао) — Ш2z Си (Ао))ш2z.
с
р
На рис. 2, б изображена зависимость коэффициента механической мощности ср от коэффи-
к
n2S2/So = 0.2. При некотором значении коэффициента k = k* ~ 0.14 (точка M на графиках) достигается максимум механической мощности ВЭУ на рабочем режиме, при этом угловая скорость заднего пропеллера примерно в два раза превосходит угловую скорость переднего. Отметим, что для S
рассмотренной ВЭУ [10], максимум cp составляет 0.2. Таким образом, для ВЭУ, рассмотренной в настоящей работе, максимальный коэффициент мощности увеличился по сравнению с классическим S
Заключение. В работе проведено исследование динамической модели двойной горизонтально-осевой ВЭУ, работающей на основе эффекта Магнуса. Описаны рабочие режимы ВЭУ и зависимость коэффициента мощности, отбираемой у потока на этих режимах, от коэффициента электрической нагрузки.
Работа выполнена в рамках НИР "Разработка методов исследования управляемых механических систем, взаимодействующих со сплошной средой" (АААА-А19-119012990123-0).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Savonius S.J. Rotor adapted to be driven by wind or flowing water. U.S. Patent N 1697574 A, 1929.
2. Akira I., Kawashima S., Nishizawa Y., Ushiyama I., Komatinovic N. A study on Savonius type Magnus wind turbine // European Wind Energy Conference and Exhibition (EWEC 2007). Vol. 3. Milan, Italy. 2007. 19531960.
3. Richmond-Navarro G., Calderon-Munoz W.R., LeBoeuf R., Castillo P. A Magnus wind turbine power model based on direct solutions using the Blade Element Momentum Theory and symbolic regression // IEEE Trans. Sustain. Energy. 2017. 8, N 1. 425-430.
4. Lopez N., Mara В., Mercado В., Mercado L., Pascual M., Promentilla M.A. Design of modified Magnus wind rotors using computational fluid dynamics simulation and multi-response optimization //J. Renew. Sustain. Energy. 2015. 7, N 6. 063135.
5. Lee S., Kim H., Son E. Effects of design parameters on aerodynamic performance of a counter-rotating wind turbine // Renew. Energy. 2012. 42. 140-144.
6. Ишханян M.B., Климина JI.А., Привалова О.Г. Математическое моделирование ветротурбины, работающей на основе эффекта Магнуса // Мехатроника, автоматизация, управление. 2018. 19, № 8. 523-528.
7. Dosaev M.Z., Samsonov V.A., Seliutski Y.D. On the dynamics of a small-scale wind power generator // Doklady Physics. 2007. 52, N 9. 493-495.
8. Dosaev M.Z., Lin Ch.-H., Lu W.-L., Samsonov V.A., Selyutskii Yu.D. A qualitative analysis of the steady-modes of operation of small wind power generators //J. Appl. Math, and Mech. 2009. 73, N 3. 259-263.
9. Samsonov V.A., Dosaev M.Z., Selyutskiy Y.D. Methods of qualitative analysis in the problem of rigid body-motion in medium // Int. J. Bifurcat. Chaos. 2011. 21, N 10. 2955-2961.
10. Bach G. Untersuchungen über Savonius-Rotoren und verwandte Stromungsmaschinen // Forsch. Gebiet Ingenieurwesens. A. 1931. 2, N 6. 218-231.
Поступила в редакцию 19.04.2019
