CC BY
23
УДК 533.951
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ КОРОТКОГО ЛАЗЕРНОГО ИМПУЛЬСА РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ
А. Л. Галкин, А. М. Галстян, В. В. Коробкин, М. Ю. Романовский, О. Б. Ширяев
В работе с использованием силы Лоренца проанализировано движение электрона в поле лазерного излучения релятивистской интенсивности. В поле лазерного импульса изначально покоящийся электрон не движется по траекториям типа "восьмерка". При релятивистских интенсивностях колебания электрона в оптическом поле имеют существенно ангармонический характер.
Движение заряженной частицы (например, электрона) в электрическом и магнитном полях определяется силой Лоренца. Как хорошо известно, это справедливо для любых полей, в том числе и для высокочастотного электромагнитного поля лазерного импульса. Изучению динамики электрона в электромагнитном поле на основе уравнения Ньютона с силой Лоренца посвящен ряд работ (см., например, [1 - 6]). В работах [3, 4] показано, что электрон на некоторое время захватывается лазерным импульсом и перемещается вместе с ним. При этом он на переднем фронте импульса ускоряется излучением до большой скорости, а затем на заднем фронте тормозится. В работе [5] в рамках двумерной геометрии рассмотрено движение электрона под действием очень интенсивного лазерного излучения, при котором амплитуда осцилляций электрона становится сравнимой с размером перетяжки каустики оптического поля. В этом случае изначально находящийся не на оси электрон выталкивается под некоторым углом к оси распространения лазерного импульса. Кинетическая энергия данного электрона может принимать большие значения. Иногда данный процесс интерпретируется как рассеяние электрона.
Следует отметить, что описание движения электрона в высокочастотном поле сопряжено со значительными трудностями в связи с большим числом осцилляций. Поэтому часто вместо силы Лоренца для анализа движения используется сила Лоренца, усредненная по высокочастотным осцилляциям [7 - 10]. В литературе эта сила получила название пондеромоторной. Очевидно, что для очень коротких импульсов с малым числом осцилляций понятие пондеромоторной силы теряет смысл и для анализа движения необходимо использовать точное выражение для силы Лоренца.
В настоящей работе рассмотрена динамика электрона в ультракоротком электромагнитном интенсивном оптическом поле. Ниже приводятся результаты расчета движения заряженной частицы с использованием уравнений с силой Лоренца в поле короткого лазерного импульса релятивистской интенсивности с линейной поляризацией.
Уравнения движения с силой Лоренца. Рассмотрим движение электрона в поле плоской монохроматической линейно-поляризованной волны с неоднородным и нестационарным распределением интенсивности.
Предположим, что вдоль оси г распространяется импульс, в котором электрическое поле направлено вдоль оси х. Полагаем, что фазовый фронт плоский и магнитное поле направлено вдоль оси у : Ех = Ну = Ео(х:у,£)созш£; £ = £ — г/с, где £ - собственное время.
На электрон действует высокочастотная сила Лоренца и уравнение движения электрона имеет следующий вид
(1)
где е > 0 - абсолютная величина заряда электрона. Уравнение (1) дополняется начальными условиями для скорости и положения электрона:
г(0) = го, У(0) - У0. (2)
Амплитуда поля Е связана с интенсивностью I соотношением:
= (3)
В работе исследовались световые импульсы, интенсивность которых описывается выражениями
= 1т ехр
£ ~ Vе
у/х2 + У2 Ро
(4}
или
2
7(х,у,0 = /, Р°
р*(г)
1 С - Vе
\ т
В выражениях (4), (5) величина р0 определяет поперечный размер пучка в центре каустики, т.е. расстояние, на котором интенсивность / уменьшается в е раз (поле Е в у/ё раз). Поперечный размер пучка при произвольном значении 2
р(г) = р0у/1 + г2А2/4тг
Здесь 1т - максимальное значение интенсивности; гд - величина первоначального сдвига импульса относительно электрона, обеспечивающая при численном решении плавное включение поля; г - временная полуширина импульса на уровне 1/е по интенсивности, Л - длина волны излучения.
Распределение (4) реализуется, например, в каустике при фокусировке лазерного излучения линзой. При р0 —* оо поле представляет собой неограниченную плоскую волну.
Если продольные перемещения заряженной частицы при ее взаимодействии с интенсивным световым импульсом превышают размер каустики, то распределением (4) пользоваться нельзя.
В варианте (5) поле представляет собой несколько упрощенную модель гауссова пучка. В этой модели учитывается изменение поперечного размера каустики в пространстве вдоль оси г, но не учитывается появление кривизны волнового фронта излучения вне каустики. Эта кривизна в принципе вызывает появление Ег / 0; Нг ф 0, но для не очень больших г этими компонентами можно пренебречь.
Полагается, что фазовая и групповая скорости импульса равны с.
В покомпонентной записи из (1) имеем:
тих _ _ и2/с)Е0(х,у,£)созш£, (6)
М у/1-1/2/с2
<1
= 0, (7)
Л -г/2/с2
= -е(их/с)Е0(х, у, £) сое (8)
М у/1 -V2/с2
В основном расчеты выполнены в предположении, что при t = 0 заряженная частица находится в точке го = 0. Значительная часть расчетов выполнена для случая, когда при
t = 0 заряженная частица находится на оси пучка (хо = уо = 0), но также рассмотрено влияние начального радиального сдвига на характер движения.
Если начальные условия (2) таковы, что vqv = 0, то движение электрона локализовано в плоскости (x,z).
Результаты численных решений. Представленные в работе расчеты с выражением (4) выполнены для различных значений s и </, но наиболее полно проанализирована динамика электрона для значений s = 2; 4 и q = 2; 4. Расчеты с выражением (5) выполнялись для s = 2; 4.
Уравнения (6) - (8) могут быть записаны в безразмерных переменных х/А; г/А; et/А; и/с. При численном решении интерес представляют безразмерные координаты, компоненты скорости, ускорения А г//с2 и \v'z/c2, а также полная обезразме-ренная энергия частицы W/mc2.
Обезразмеренная амплитуда поля выражается через безразмерную интенсивность 1/1Т, где 1Т - релятивистская интенсивность. В литературе используются несколько выражений для /г, отличающихся численным множителем. На наш взгляд, наиболее корректный критерий для такого определения должен быть основан на сравнении максимальной полной энергии электрона, осциллирующего в поле короткого лазерного импульса, с тс2. Тогда IT = m2c3u2/4ire2 = 2.74 • 1018 • (1 /А[мкм])2[Вт/см2}.
На рис. 1 показаны временные профили для х/А (рис. la), vx/c (рис. 1Ь), г/Л (рис. 1с), vz/c (рис. ld), Az//c2 (рис. 1е) и W/mc2 (рис. lf). Эти профили получены для варианта (4) в случае короткого импульса с параметрами I/ 1Т — 0.01 (нерелятивистский случай), ст/А = 4, s = 2 (гауссовская форма), нулевой начальной скорости и нулевого начального поперечного смещения.
На рис. 2 показаны те же временные профили для I/ 1Т = 10 (релятивистский случай).
В нерелятивистском случае:
- поперечные координата и скорость осциллируют с частотой исходного электромагнитного излучения, осцилляции являются синусоидальными;
- продольная скорость осциллирует на удвоенной частоте, причем величина скорости всегда неотрицательна и после прохождения импульса равна нулю;
- максимальное значение продольной скорости достигается в максимуме интенсивности лазерного импульса;
- продольное ускорение осциллирует на удвоенной частоте вокруг нулевого значения, причем положительные и отрицательные значения примерно равны;
103 х/Х
50 103УХ/С
-50-
(а)
45 50 55 60
сх/Х
(Ь)
45 50 55 60 103 гГк (с)
сх/Х
45 50 55 60
сх/Х
1.5 1
0.5
Ю3У2/С
45
103лу'/С2
45
50
55
50 55
60 (е)
■сХ/Х
45 50 55 60 10%/тс2 .ш,,
СХ/Х
60
сХ/Х
Рис. 1. Временные профили параметров нерелятивистского (///г = 0.01) движения электрона: длях/Х (а), их/с (Ь), г/Х (с), у^с (¿), Аг//с2 (е) и \Vfmc2 (/). Профили получены для короткого импульса с распределением интенсивности (4) с параметрами сД2/А = 4, з = 2, д = 2 (гауссовская форма), нулевой начальной скорости и нулевого начального смещения.
0.5
-0.5-
0.5 0
-0.5-
40 50 60 70 80 90 100
ух/с
Г
' 40 50 60 70 80 90 100 х/Х (С)
10 О
сх/Х -ю-
40 50 60 70 80 90 100
СХ/Х
40 50 60 70 80 90 100
К/С2
«(НИ
ц
(е)
15 10 5
40 50 60 70 80 90 100 \\7тс2
■сх/Х
(О
40 50 60 70 80 90 100
СХ/Х
Рис. 2. Временные профили параметров релятивистского (// 1Г — 10) движения электрона: для х/Х (а), г/х/с (Ь), г/Х (с), иг1с (в,), Аг^/с2 (е) и УУ/тс2 (/). Остальные параметры импульса такие же, как на рис. 1.
- продольная координата возрастает с течением времени, причем в моменты нулевых значений продольной скорости рост продольной координаты прекращается (образуя на графике характерную "зубчатую" структуру), а за все время импульса продольное смещение конечно.
В релятивистском случае:
- поперечные координата и скорость осциллируют с переменной частотой, причем в начале и в конце импульса (при малых интенсивностях) частота осцилляций совпадает с частотой исходного электромагнитного излучения, а при больших интенсивностях она значительно уменьшается, осцилляции имеют сложную временную форму, очень сильно отличающуюся от синусоидальной. Об ангармоническом характере осцилляций электрона в интенсивном световом поле ранее сообщалось в [11];
- продольная скорость осциллирует на удвоенной частоте осцилляций поперечной координаты и скорости, причем величина скорости всегда неотрицательна, форма очень сильно отличается от синусоидальной (приближается к прямоугольной), а после окончания импульса величина продольной скорости равна нулю;
- средняя величина продольной скорости может достигать значений, близких к с, что приводит к своеобразному "захвату" частицы полем лазерного импульса и значительному увеличению времени взаимодействия частицы с полем. Эффект захвата электрона электромагнитным полем и его ускорения в данном режиме изучался в ряде работ [3, 4];
- продольное ускорение осциллирует вокруг нулевого значения синхронно осцил-ляциям продольной скорости, причем положительные и отрицательные значения примерно равны, а сами осцилляции представляют собой узкие пики в моменты времени, соответствующие нулевым значениям продольной скорости;
- продольная координата возрастает с течением времени почти линейно, и за все время импульса продольное смещение конечно, причем его величина весьма значительна (для рассматриваемого случая несколько десятков длин волн). Аналитическое выражение для величины продольного смещения электрона в сильном поле предложено в [12] в терминах вектор-потенциала электромагнитного поля.
Заметим, что в рассматриваемом случае у заряженной частицы нет траекторий типа "восьмерка". Эти траектории были предсказаны в [13] для плоской монохроматической линейно-поляризованной волны для системы отсчета, в которой частица в среднем покоится. В случае взаимодействия первоначально покоящейся частицы с лазерным импульсом она неподвижна только вне лазерного импульса, а внутри него она всегда имеет отличную от нуля среднюю (по высокочастотным осцилляциям) продольную скорость, причем максимальное значение этой скорости vm определяется интенсивностью и достигается на вершине импульса. Поэтому траектория типа "восьмерка" может быть реализована лишь на плоской вершине лазерного импульса, и для этого частица долж-
на первоначально двигаться навстречу лазерному импульсу со скоростью ит.
Переход к гауссовым пучкам (5) не изменяет существенным образом полученную выше картину движения. Для покоящейся заряженной частицы, первоначально находящейся на оси пучка, продольная компонента скорости обращается в нуль после прохождения светового импульса и продольное смещение остается конечным. Зависимость ¿(2) несколько меняется, что связано с тем, что изменение интенсивности в точке нахождения электрона обусловлено не только прохождением импульса через эту точку, но и с перемещением самой этой точки относительно каустики.
0.5 0
-0.5
40 50 60 70 80 90 100
vx/c
at2
ibi
■ 40 50 60 70 80 90 100
z/A. (с?
et//.
-ctA.
40 50 60 70 80 90 100
et//.
0.5
vz/c
ШШИ
Ш
10 0
-10
40 50 60 70 80 90 100
Ялу/с2
^Itlll II 1 1 Ii (e)
II 1
15 10 5
40 50 60 70 80 90 100 W/mc2
(f)
40 50 60 70 80 90 100
ctA.
ctA
ctA
Рис. 3. Временные профили для х/Х (а), vx/c (Ь), z/X (с), vz/c (d), Xv'2/c2 (е) и W/mc2 (f). Профили получены для распределения интенсивности (4) в случае короткого импульса с параметрами I/ 1Т = 10 (релятивистский случай). Остальные параметры импульса такие же, как на рис. 1, за исключением поперечного начального смещения Xq/Х = 1.
Следующая серия расчетов была посвящена изучению картины движения заряженной частицы, первоначально смещенной относительно оси. На рис. 3 показаны временные профили для х/Х (рис. За), vx/c (рис. 3b), z/X (рис. Зс), vx/c (рис. 3d), Аv'z/c2 (рис. Зе) и W/mc2 (рис. 3f). Эти профили получены для варианта (4) в случае короткого импульса с параметрами I/ 1Т = 10 (релятивистский случай), ст/Х = 4, q = 2,s = 2, ро/Х = 2, нулевой начальной скорости и ненулевого начального поперечного смещения Хо/Х — 1. Основной результат состоит в том, что частица выталкивается из светового импульса, причем не только в радиальном, но и в продольном направлении. Данное явление исследовалось, например, в [5]. Частица продолжает свое движение и после прохождения светового импульса. Очень важным свойством такого движения является то, что у нее сохраняются ненулевые значения не только радиальной, но и продольной
компонент скорости. Это свойство позволяет использовать интенсивные световые импульсы для формирования сравнительно узких пучков заряженных частиц, движущихся за световым импульсом.
В рассматриваемом случае угол вылета электрона после взаимодействия с лазерным импульсом составляет 29.3°, а его кинетическая энергия - 6.33 тс2. Были проведены расчеты для различных величин начального смещения электрона относительно оси распространения лазерного импульса. Их результаты - углы вылета и значения кинетической энергии электрона после взаимодействия - представлены в табл. 1.
Таблица 1 Углы вылета и значения кинетической энергии электрона после взаимодействия с лазерным импульсом
Хо/\ 0 ю-5 ю-4 0.001 0.005 0.05 0.1 0.5 1 2.5 5.0
Wout/mc2 0 0.51 2.7 5.0 6.33 5.2 5.1 2.9 1.9 0.7 0.08
«¿»(degrees) - 63.2 40.6 32.2 29.3 31.9 32.0 39.6 45.5 59.5 78.9
Параметрическое представление движения электрона в поле силы Лоренца. При движении заряженной частицы в высокочастотном поле, представляющем собой распространяющуюся вдоль оси z волну с плоским фазовым фронтом и с амплитудой, являющейся функцией времени и поперечных координат (например, распределения (4), (5)) существует инвариант движения [14]
(р2 + m2c2)1/2 - pz = const. (9)
Справедливость инварианта была подтверждена его численными расчетами с применением уравнений (6) - (8) для используемых в настоящей работе значений параметров.
Использование инварианта позволяет получить параметрическое представление движения заряженной частицы, первоначально находящейся на оси пучка.
Для получения такого представления величина vz с помощью инварианта (9) (в предположении иу = 0) выражается через vx и подставляется в уравнение (6). С учетом сделанного приближения Е(х,у,£) = -£(0,0, £), и уравнение (6) переходит в дифференциальное уравнение относительно х(£), зависящее только от одной переменной Данное уравнение решается с применением многомасштабного асимптотического метода, аналогичного использовавшемуся в [12]. Его решения для х и рх (для случая vzо = 0) могут быть представлены в виде сходящихся рядов
ш* ГГг, V ¿У
оо
X =
(10)
71=0
(и)
Решения (10) и (11) получены в предположении, что величина интенсивности в максимуме такова, что амплитуда поперечных осцилляций мала по сравнению с характерным поперечным масштабом изменения интенсивности ро.
В некотором смысле эти решения являются обобщением на нестационарный случай приведенного в [13] решения для движения электрона в стационарном электромагнитном поле плоской волны. Они могут быть использованы для уточнения выражения для пондеромоторной силы в полях релятивистской интенсивности.
Выражения (10) и (11) применялись для численных расчетов величин х,г,1>х и иг на оси импульса. Это решение сравнивалось с вышеприведенными результатами численных расчетов с использованием силы Лоренца, выполненых для первоначального расположения заряженной частицы на оси. Во всех расчетах использование только двух первых членов рядов (10) и (11) обеспечивало удовлетворительную точность.
Выводы. 1. При релятивистских интенсивностях колебания электрона в оптическом поле имеют существенно ангармонический характер, а период колебаний меняется в зависимости от локального значения интенсивности.
2. Частица не движется по траекториям типа "восьмерка". Такая траектория может быть реализована лишь на плоской вершине лазерного импульса, и для этого частица должна первоначально двигаться навстречу лазерному импульсу со строго определенной величиной скорости.
3. Предложено параметрическое представление движения электрона в поле интенсивного электромагнитного импульса.
Работа частично финансировалась по гранту РФФИ 04-02-17259.
ЛИТЕРАТУРА
[1] \¥ а п ё У. X., Но У. К., К о п ё д., Ы.а!. РЬуз. 11еу. Е 58, 6575 (1998).
[2] Wang Р. X., Но У. К., У и а п X. д., et.nl. Арр1. РЬув. ЬеП., 78, 2253 (2001).
[3] Р а п ё Х,Но У. К., У и а п X. д., et а1. РЬуз. Яеу., Е 66, 066501 (2002).
[4] К о п g д., Н о У. К., W а п g Л. X., ег а1. РЬуз. Неу., Е 61, 1981 (2000).
[5] Н а г t е m a n n F. V., F о с h s S. N., besage G. P., et.al. Phys. Rev., E 51, 4833 (1995).
[6] W a n g P. X., H u a J. F., L i n с Y. Z., Ho Y. K. Phys. Lett., A 300, 76 (2002).
[7] Г а п о h о в А. В., M и л л e p М. А. ЖЭТФ, 34, 242 (1958).
[8] Б и ту к Д. Р., Федоров М. В. ЖЭТФ, 116, 1198 (1999).
[9] Q u е s n е 1 В. and М о г a A. Phys. Rev., Е 58, 3719 (1998).
[10] Галкин A. JL, Коробкин В. В., Романовский М. Ю., Ширяев О. Б. ЖЭТФ, 127, 1195 (2005).
[11] Moore С. I., К n a u е г J. P., and Meyerhofer D. D. Phys. Rev. Lett., 74, 2439 (1995).
[12] S t a r t s e v E. A. and M с К i n s t г i e C. J. Phys. Rev., E 55, 7527 (1997).
[13] Ландау Л. Д., Л и ф ш и н Е. М. Теория поля, М., Наука, 1978.
[14] К о л о м е н с к и й A.A., Л е б е д е в А. Н. ДАН, 145, 1259 (1962).
Институт общей физики
им. А. М. Прохорова РАН Поступила в редакцию 30 ноября 2006 г.
