CC BY
11
Кузнецова Татьяна Рудольфовна, канд. техн. наук, доцент, rudik64@mail.ru Россия, Тула, Тульский государственный университет
HYDRAULIC AND PNEUMATIC ACTUATOR ELEMENTS FOR ROBOTS
T.A. Akimenko, T.R. Kuznetsova
The advantages and disadvantages of hydraulic and pneumatic elements of robots are shown. The transfer function of the integrating link and the transfer function of the servo motor are given.
Key words: rotary hydraulic motor, servomotor, actuating elements, hydraulic and pneumatic
systems.
Akimenko Tatiana Alekseevna, candidate of technical sciences, docent, tantan72@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University
Kuznetsova Tatjana Rudolfowna, candidate of technical sciences, docent, rudik64@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 531.01
DOI: 10.24412/2071-6168-2021-9-436-448
ДВИЖЕНИЕ СТЕРЖНЯ ПО ШЕРОХОВАТОЙ ПЛОСКОСТИ
В.Д. Бертяев, Л.П. Семенова, О.А. Ткач
Рассматривается задача о движении стержня, контактирующего с шероховатой плоскостью в одной точке. Проводится исследование характера его движения в зависимости от уровня шероховатости этой плоскости. Оценивается корректность постановок и решений этой задачи в других работах.
Ключевые слова: стержень, механика, закон Кулона, плоское движение.
Задача о движении стержня в вертикальной плоскости, опирающегося на неподвижную плоскость, относится к классическим задачам механики. Если его скольжение по гладкой плоскости было представлено неоднократно в учебниках по теоретической и общей механике [2, 3, 4, 6 и др.], то движение на шероховатой плоскости рассматривалось достаточно редко [1, 4, 5, 7 - 10]. Подробное исследование этой задачи приведено в [1, 7]. К сожалению, в некоторых работах имеются не совсем корректные постановки [4, 7] и решения [4, зад. 709], поэтому исследуем данную задачу более детально.
Рассмотрим стержень AB массы m и длиной 21, который одним концом A (точечный контакт) опирается на горизонтальную шероховатую плоскость (рис. 1). На стержень, кроме реакций связи, действует только сила тяжести G . Его движение происходит в вертикальной плоскости xOy. В точке контакта действует закон сухого трения Кулона: f — коэффициент трения скольжения между стержнем и опорной плоскостью. Не нарушая общности, считаем, что в начальный момент времени точка A стержня находится в состоянии контакта с опорной плоскостью.
Дифференциальные уравнения движения стержня в плоскости xOy имеют вид
d 2 xc „ m-2- = —tTp,
dt2 d 2
d Ус „ m-= Ny — mg,
dt2 y d 2
¡cz —2 = —FtpI sin ф — Nyl cos ф, dt2
где = т£2iC - момент инерции стержня относительно оси Cz, С приведенный центральный радиус инерции (для сплошного однородного прямолинейного стержня Jc = С = 1/3 ).
»В
Рис. 1. Расчетная схема стержня, скользящего по плоскости Полная механическая энергия стержня равна
2
, _ 1 2 1 т d ф
M=2mVc + 2Iczdt + mgyc'
В качестве обобщенных координат примем перемещения точки A (хд, уд) и угол поворота ф. Перемещения центра масс стержня запишем в виде
xc = хд + * cos ф, Ус = Уа + * sin ф, а скорости и ускорения центра масс будут равны
dyA „
Vcxх = df - * d- ф, dt dt
Vcy =-A + *-cos ф
dt
dt
2 2 d ха nd ф .
aCx =—f si
dt2
2 2 d уд nd ф 2sinф-*—- cosф, acy =-2T- + *—2COSф-
2 dt -J*2 -J*2
,d ф2
,d ф"
sin ф.
мут вид
dt dt ' dt dt dt Дифференциальные уравнения движения стержня в плоскости xOy в этом случае при-
2 2 2 d xA „ . d rn . . d rn
m-^т- = -Fj-p + mt—2 sinф + mt^- cos ф,
dt
dt
dt
2 2 2
d yA d ф .^ф .
m-г3- = Ny -mg -m*—— cosф + m*— sinф,
dt dt2
dt
d ф Lcz—2 dt2
= -FTp* sin ф- Ny* cos ф,
Начальные условия, в самом общем случае, запишем в виде
Ч=0 =Ф0, хл[=0 = 0, уА=0 = 0,
d ф
dt
= ® 0,
dxf
t=0
dt
=vfx,
dyA
t=0
dt
Полная механическая энергия стержня равна
t=0
-Ay.
i
d ф 2 1
M = — IAz^~ + — mVf -m*—— 2 Az dt 2 A dt
d ф[ dxf • d уа
-sin ф--— cos ф
dt dt
Введем в рассмотрение безразмерные величины:
Ffp = mgF, xf = * x, Ny = mgN, уа = * y,
x =
t,
+ mg (уа + *sin ф) V =4g* v,
E =
M mg*
I = m*2 J,
d ф g d ф dt V * dx, d ф
со =
cp =
dx
Дифференциальные уравнения движения стержня, в этом случае, запишутся в виде
(2)
2
х = -F + ф sin ф + ф cos ф,
2
y = N -1 - ф cos ф + ср sinф, ф = —2 (F sin р + N cos р),
а начальные условия примут вид
ф1,=0 = ф0, 4=0 = х0, H=0 = 0
(3)
ф11=0 =ю0, 4=0 = v0x, Н=0 = y.
Полная механическая энергия стержня равна
1 2 1/2 2 \ E = — JaP + — (x + y )-ф(x sin ф- y cos cp) + (y + sin ф)
Для решения задачи рассмотрим связи, которые определяют характер возможных движений стержня:
Точка A стержня не находится в контакте с горизонтальной плоскостью. В этом случае y > 0 ^ N = 0, F = 0. (4)
Точка A стержня находится в постоянном контакте с горизонтальной плоскостью. В этом случае
y = 0 ^ N > 0. (5)
Величина силы трения F удовлетворяет следующим соотношениям:
|F| < F' = fN ^ X = 0, (6)
Fx = -F = -kF' = -kf N ^ X Ф 0. (7)
где k = sign (X) = ±1, X - скорость точки контакта A стержня с плоскостью.
Таким образом, для стержня возможны три типа движений:
1. Вращение вокруг неподвижной оси Az, задаваемое связями (5) и (6). Стержень имеет одну степень свободы. Дифференциальные уравнения движения (2) примут следующий вид
1
ф =--cos ф,
JA
г. 2 1 . V F f. 2 1 - I ф--sinp Isinp, F = 1 ф--sinp Icosp,
JA J К JA
N = JC
Ja
где Ja = i'A = C +1 - приведенный момент инерции стержня относительно оси Az (для сплошного однородного прямолинейного стержня JА = iA = 4/3).
2. Плоскопараллельное движение со скольжением по опорной горизонтальной плоскости. Уравнения связи определяются соотношениями (5) и (7). Стержень имеет две степени свободы. Дифференциальные уравнения движения (2) примут следующий вид
ф = —Р(ф, f, k )( - ф2 sin ф j,
k fJq - (Ja Ф2 - sin ф )a cos (ф-а) JC (l - ф2 sin ф)
Jnp ( f, k) ' Jnp ( f, k) '
где
*(q>, f, k) = " COs (ф -а), a = 71+7, а = arotg (kf ), V ' Jnp (ф,f,k) V '
Jnp f, k) = Je + a cos фcos ( - а) - приведенный момент инерции,
2
Г Í Г 1\ т Í If- \ Je tg ф +kf tgф + JA Jnp (, f, k ) = Je + cos ф^ф + k f sin ф) = -2 -—
1 + tg ф
При f = f* = ^4 JcJA = 43 приведенный момент инерции Jnp (ф, f, k) имеет один
^3 г г— -np
действительный корень, равный
tg ф * =-k —f = -2k ]¡Jc
и его можно представить в виде
Jc (tg ф-^ ф*) ч2
Jnp (ф, f, k) =-2-— = Jc (sin ф + 2k cos ф) •
1 + tg2 ф
cp = -*f(, f *, k)( - ф2 sin ф),
k f * Jc - (Jf ф2 - sin ф)а cos (ф-а) Jc (1 - cp2sin ф)
Jnp ( f*, k) Jnp ( f*, k)
При f > f* приведенный момент инерции Jnp (ф, f, k) имеет два действительных корня, равных
-kf -д/ f2 - 4 JcJf -kf + У f2 - 4 JcJA tg ф 1* =--, tg ф 2* =--
2 Jc 2 Jc
и его можно представить в виде
Jc (tgф-^ф1*)(tgФ-tgф 2*)
Jnp (Ф,f,k)=^-q-= .
1 + tg2 ф
= Jc (sin ф - tg ф 1* cos ф) (sin ф - tg ф 2* cos ф).
3. Плоскопараллельное движение при отсутствии контакта с опорной плоскостью, задаваемое связями (4). Стержень имеет три степени свободы.
2 2 x = ф cos ф, y = ф sin ф-1, ф = 0,
Рассмотрим каждый тип движения отдельно.
I. Вращение вокруг неподвижной оси, проходящей через точку контакта. При наличии связей (6) и (5) дифференциальные уравнения движения стержня (2), с учетом (1) принимают вид
" 1 (8)
ф =-—cos ф, JA
а выражения для реакций связи задаются соотношениями
cos ф,
1 2 ' - 1 Л F =--cosфsinф+ф cosф =
JA
\
• 2 1 -ф--sin ф
JA
ЛГ , 1 -2 • Jc Í-2 1 • ^
N = 1--cosфcosф-ф sinф = —1—- ф ™
JA JA
ф--sin ф
JA
(9)
sin ф,
Запишем начальные условия
ф t=0 = Ф 1,0 ф1 t=0 = ® 1,0. (10)
Решение дифференциального уравнения (8) с учетом начальных условий (10) имеет вид
Ф2 = ®2,0 (sin 91,0 - sin ф)^-2-(0 - sin Ф) (11)
JA JA
где
Е0 = sin ф 10 + -2JA ю2,0 > 0, и Е0 > sinф, фе[0, л].
Следует отметить, что при £0 = 0 стержень находится в состоянии покоя (ф = 0, ф = 0), располагаясь на плоскости y = 0.
Выражения для реакций связей (9) с учетом решения (11) запишутся в виде
Ni = Jc —— (2E0 - 3sin ф )sinp , JA JA
(12)
F =
J_ Ja
(2E0 - 3sin ф )cosp .
Полная механическая энергия в этом случае постоянна
E(Ч^ ф) = 1JAф2 + sinФ = E0.
(13)
Рассмотрим траектории на фазовой плоскости (ф, ф) (рис.2).
Вращение вокруг оси Ах происходит в интервале ф ^ 0 < ф < ф^ ^ до тех пор, пока выполняются условия (5) и (6)
N >0, ^ |</Н. На фазовой плоскости траектории N = 0 имеют вид (9)
Ф = ±
. 2 Jq + sin ф
Ja sinp
(14)
Рис. 2. Фазовая плоскость для траекторий (12), (15)
Область на фазовой плоскости (рис. 2), в которой связь остается удерживающей N > 0 определяется неравенствами
JC + sin2p . IJC + sin2p
—--31 < ф <„--
•2
\ ja sinф ' y ja sinф и расположена между кривыми (14). Движение в этой области может происходить как по типу 1, так и по типу 2.
F = k/Nj,
Jck / + sin ф(cos ф + k / sin ф) sin ф + Jck /
F=k/N Ja (cosф + k / sin ф) Ja Ja (cosф + k / sin ф)
Ф 2
Ф 2
2
Je + sin ф = sin ф Jq
n=0 JA sinp JA JA sinp
Ф 2
N=0
Ф 2
F=kf N
Je Ja
1
kf
J,
с
cosp
sinp (cosp + kf sinф)) Ja acos(ф -a)sinp Рассмотрим условия перехода при движении от типа 1 к типу 2 и наоборот. Данный переход происходит при достижении модуля силы трения F предельного значения, равного f N. Фазовые траектории, обеспечивающее начало скольжения стержня по шероховатой плоскости, можно определить из уравнений (9) (рис.3)
Ф = +
íaÍ
sin ф + Í£-
kf
a cos
(ф-а)'
(15)
где a = yj 1 + f2, а = arctg(kf).
Из последнего выражения следует, что траектории (15) имеют разрыв в точках
л л
а =--а, а+ =—ha.
2 + 2
Изображая фазовые траектории (15) на фазовой плоскости (рис.3, рис.4) при различных значениях коэффициента трения f заметим, что существуют две особые точки, через которые
проходят все траектории, задаваемые условием | = f N
ß=f. ф=±>
На фазовой плоскости легко определяются границы областей I, II, III внутри которых движение происходит по введенным ранее типам 1, 2 или 3 соответственно. Особые точки являются пересечением границ всех трех областей I, II, III.
т \гв\\ н,=о у-/=«
Рис. 3. Фазовые траектории при значениях коэффициента трения у = 0, / Ф 0, / ^ го
При любом вещественном / выделяются шесть областей II в которых происходит скольжение стержня по опорной плоскости: четыре разомкнутых и две замкнутых. Среди них можно указать по три области, в которых силы трения равны: р = (IIк = —1) и
FTP = -f N (II(+), k = l)
= 11, одна из которых замкнутая, а две разомкнутые симметрично располо-
жены относительно оси абсцисс ф. Все эти траектории являются границами области I, в которой движение происходит по типу 1.
При стремлении коэффициента трения к нулю f ^ 0 (гладкая плоскость) эти границы
стягиваются к предельному положению: для разомкнутых областей - сверху, для замкнутых -снизу, которое задается траекторией вида
ф = ±—ч/sin ф, (16)
iA
Область I в этом случае исчезает и движение происходит только по типу 2. При f ^да (абсолютно шероховатая плоскость) получим траекторию, которая отделяет движение по типу 2 от движения по типу 3 и полностью совпадает с условием (14).
Очевидно, что кривые (14) и (15) являются границами всех трех типов движений, рассмотренных ранее.
При заданном коэффициенте трения скольжения f замкнутые области, внутри которых движение происходит по типу 2, имеют по два предельных значения угловой координаты ф, определяемых из уравнения (рис.3, рис.5, а)
(2 2 \ 2 2 2 ¡C + sin ф I = 0 или Kf¡A tg ф + tg ф + fe = 0.
1
Корни этого уравнения будут равны
1 1 - 4 / 2С '
ф1,2 = аг^-
2 /А
12А , + 1 ±у11-4/ , ф12 = %- аг^-5-2
2/А
2/2 '2
С'А
а при значении коэффициента трения = 1/2 /'с/а (для сплошного однородного стержня /кр = 3/4) каждая из этих областей стягивается в точку с координатами (рис.4)
фкр =ф 1 =ф 2 = ф| / = л = arctg^2 ~ 26-57°,
= % - аг^1«153.43°.
фкР =ф1 =ф2 = ф| /=/кр ~ 2
Учет соотношений (11) в выражении для силы трения ^ = /Н позволяет найти минимальное значение параметра X при котором начинается скольжение стержня по шероховатой плоскости
Х^ = //'С/2 . Для сплошного однородного прямолинейного стержня = //6.
Ш /** / "Ч л/\
Рис. Фазовые траектории для условий (17)
Подводя итог вышеизложенному, можно сделать вывод о том, что возможность «отскока» стержня от опорной плоскости существует только из состояния скольжения стержня по шероховатой плоскости, поэтому условие перехода (II ^ III / III ^ II) (14) требует дальнейшего уточнения (рис.5).
При соотношениях между начальными условиями, таких что X >Х^ обязательно, хотя бы один раз, произойдет переход от скольжения стержня по шероховатой плоскости к вращению вокруг неподвижной оси Ах (II ^ I) или наоборот (I ^ II) . При значениях коэффициента
трения / < /кр таких переходов может быть несколько (рис.5.а).
При Х<Х7 движение возможно только по типу 1 (рис.5.б), т.е. вращение вокруг неподвижной оси.
II. Движение со скольжением по опорной плоскости. При наличии связей (7), (5) происходит скольжение стержня по шероховатой плоскости и дифференциальные уравнения движения (2) принимают вид
•2
ф-¥(ф, /)1п(ф)ф2 =-¥(ф, /),
(17)
где ¥(ф, / ) = а (ф-"), Jnp (ф, / ) = /с + а С08 ф С08 (ф-а)- приведенный момент инерции
Тпр ( / )
стержня, а выражения для нормальной реакции опорной плоскости N и проекции ускорения центра масс на ось Ох с учетом соотношений (17) запишутся в виде
Ни = Т^-Л
Тпр (ф, /)
г С
Т пр (ф, / )
(1 - Ф2 8Ш ф), (1 - Ф2 8Ш ф).
Л= 1.1
^N,=0 / = 0.75 III \ ,л=11 б
Рис. 5. Траектории на фазовой плоскости для ^ = 0.9, ^ = 1, ^ = 1.1 и значениях коэффициента трения скольжения к = —1 a) f = 0.25, б) f = 0.75
Из соотношений (17) и (18) следует, что существует такое предельное значение коэффициента трения f = fnp = 2ic^A (для сплошного однородного стержня fnp = 4/3), что:
при f < fnp приведенный момент инерции Jnp (ф, f) положительно определен при
всех ф g [0, л];
C (1- ф2sin ф)
N =
C + cos 9(cos ф + kf sin ф)
(1-ф sinф)(соэф + kfsinф) 2
х = -k f -^-г---(sinф-k f cosф) + ф (cosф+k f sinф),
ic + cos ф(cos ф + kf sin ф)
cp =
(l - ф2 sin ф)(cos ф + kf sin ф) iC + cos ф(cos ф + k f sin ф)
при у > УПр существует интервал, внутри которого 3пр (ф, у) принимает отрицательные зна-3пр ^ у)< 0, фе([фь Ф2 ]Л к = 1) и ([ф, Ф2 ]л к = —1) .
чения
Действительно из уравнения Jnp = 0 следует, что
C + a cos фcos (ф-а) = 0 ^ /¿C tg2 ф+kf tg ф+i\ = 0. Корни данного уравнения равны
ф 1,2 = arctg
f ±У f2 - 4 iC iA
2 C
ф1 2 = n - arctg
f uj f2 - 4C
2 C
При значении коэффициента трения у = Упр каждая из этих областей стягивается в точку с координатами
а
фпр = ф1 = Ф2 = ф| f=fp = arctg2 ~ 63-43°
np
ф'пр = ф1 = ф 2 = ф'| {= { = % - агС§2 «116.53°.
" I = !пр
В данной работе ограничимся случаем Тпр (ф, /) > о , т.е. / < /пр = 2С'А = 4/3. Начальные условия такого движения будем считать равными
ф|2 =о = ф 2,0; Ф|2 =о =® 2,0;
\ =0 = x 2,0; A t2 =0 =
(19)
. 2
Использование переменной и = ф , позволяет записать дифференциальное уравнение вращательного движения стержня вокруг оси, проходящей через центр масс следующим образом
- 2/)1п(ф)и = -2/).
а ф
Решение данного уравнения с учетом начальных условий (19) имеет вид
U (ф, f ) = ф2 = eV (ф)
ш2,0 -2 I ¥(ф, f )e-Vф Ф2,0
(20)
где V(ф) = 2 ф ^(ф, f )sinфdф = 2а ф 2 -i-фС°-(ф а) dф •
i, + а cos фcos (ф-а)
(21)
ф2,0 ф2,0
Полная механическая энергия в этом случае
1 / 2 2 \ 2 I2 E(ф, ф, x) = — (i, + cos ф)ф +—x + sinф,
а скорость ее изменения отрицательна
dE = —k f N Ад = -kf N(x + фsin ф).
Данное движение происходит при значениях угла ф лежащих в интервале ф 20 — ф — ф2 1 при выполнении условий (7) и (5) которые, с учетом соотношений (18) можно
2
представить так Njj > 0 ^ ф sin ф < 1. Корни уравнения Njj = 0 определятся из соотношения
®// - III = — = ±J -i1-. (22)
\ sin Ф
Таким образом, «отскок» при скольжении стержня по шероховатой плоскости, т.е. переход к движению по типу 3 (II ^ III), возможен при выполнении условия — >|шц_щ| (рис.5).
III. Движение при отсутствии контакта с опорной плоскостью. В том случае, когда выполняется только условие (4), стержень совершает плоское движение в однородном поле сил тяжести, и дифференциальные уравнения движения стержня (2) примут вид
x = 0, y = _1, — = 0. (23)
Зададим начальные условия
x lt3 =0 = -V x lt3 =0 = Vx3,0,
У t3 =0 = sinф3,0, y [3 =0 =® 3,0 cosф3,0,
Ч3 =0 =ф з,o, Ч3 =0 =® 3,0 =
"3 и "3 и vsm ф 3 0
Решение дифференциальных уравнений движения (23) запишем в виде: х3 = х3,0 + ^х 3,0 ^3,0 ),
•Уз = У3,0 + 3,0 ( — ^3,0 ) — 2 ( — т3,0 )2, (25)
Ф3 =ф 3,0 + Ю 3,0 ( — т3,0). Здесь Т3 0 - момент начала выполнения условия (4).
Результаты решения частной задачи. В качестве примера рассмотрим движение стержня при следующих исходных данных: / = 0.2, X = 0.91 (рис.6, рис.7). Начальные условия примем в виде ф0 = 0,Ю0 = ^2 л/гА = 1.168.
Фазовая траектория этого движения показывает, что на этапе подъема стержня 0 <ф< фтах характер его движения будет меняться трижды:
• В начале движения 0 <ф<ф^^ =42.38° стержень скользит по шероховатой плоскости. Его угловая скорость изменяется в диапазоне Ю0 < ф < ®//1_/ = 1.061. Нормальная реакция изменяется в интервале N0 = 0.25 < N < / = 0.211. Сила трения равна
Р =—fN.
• На втором этапе ф^/—/ ^ф^ф^1—// = 47.90° стержень совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси А1. Движение происходит по траектории (11) с параметром
X = 1.05 . Его угловая скорость изменяется в диапазоне ю/у—/ < ф < Ю/1—// = 0.750. Нормальная реакция изменяется в интервале / < N < = 0.321. Сила трения изменяется в интервале — у N/1—/ < Р < у^1^.
• На третьем этапе ф^—ц < ф < ф/2—/ = 74.62° стержень вновь скользит по шероховатой плоскости. Его угловая скорость изменяется в диапазоне Ю/—/ < ф < ю/2—/ = 0.179. Нормальная реакция изменяется в интервале // < N < N//2_/ = 0.916 . Сила трения равна
Р = fN.
• На четвертом этапе ф(2—/ < ф < фтах = 80.27° стержень вновь начнет вращаться вокруг неподвижной оси А1. Движение происходит по траектории (11) с параметром
(2)
X = 0.986 . Его угловая скорость изменяется в диапазоне ю//—/ <ф < 0 . Нормальная реакция
изменяется в интервале жЦ^/ < N < Nmax = 0.979. Сила трения изменяется в интервале
у N/2—/ ^ Р ^ 0.125.
Далее движение происходит в обратном порядке. Происходит падение стержня, его угловая скорость отрицательна.
Из вышеизложенного следует: границы переходов // ^ / и / ^ // задаются кривыми (15) и определяются степенью шероховатости поверхности; переход // ^ III и обратно определяется соотношениями (22) и не зависит от начальных условий и коэффициента трения скольжения; переход / ^ Ш при у < упр неосуществим; в зависимости от соотношений
445
между начальными условиями и величиной коэффициента трения переходы II ^ I и обратно могут совершаться неоднократно; при X возможно движение без переходов только по типу 1.
Замечание о «некорректностях» в постановках данной задачи. Как уже отмечалось, в некоторых работах [4, 8] постановка и решение полученных уравнений осуществлены с определенного рода некорректностями.
Так в работе [4] рассматривается движение стержня в вертикальной плоскости из состояния покоя (рис.1). Требуется определить угловую скорость стержня и величину нормальной реакции опорной плоскости. При постановке задачи предполагается что горизонтальная составляющая реакции в неподвижной точке контакта стержня с опорной плоскостью равна предельному значению силы трения Кулона. Таким образом, считается, что стержень начинает вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через точку контакта (движение по типу I), а сама
эта точка находится в состоянии предельного равновесия на всем интервале своего движения. В параграфе II настоящей работы показано (рис.5), что движение по типу I возможно, пусть и в
достаточно узком диапазоне начальных условий, но сила трения, возникающая в точке контакта, может достичь своего предельного значения только в момент касания стержня с опорной плоскостью. Однако, поскольку в уравнение вращательного движения стержня силы реакций не входят, ответ к задаче приведен верный, а проверка о возможном перемещении точки контакта не проводилась.
В работе [7] рассматривается плоское движение тела, опирающегося одной точкой на шероховатую наклонную плоскость (угол наклона а). Система координат связана с опорной плоскостью. Предполагается, «что к центру масс стержня приложена внешняя сила, нормальная и тангенциальная составляющие которой равны, соответственно, Pn и р (если кроме силы тяжести mg нет других сил, то Pn = mg cos а, р = mg sin а)». Нормальная и тангенциальная составляющие сил реакции, действующих на стержень в точке контакта со стороны плоскости, обозначены Rn и Rt соответственно. Введены в рассмотрение безразмерные величины, аналогичные соотношениям (1). Дифференциальные уравнения движения записаны для стержня
вращающегося x =e + Rx y = N-1, k ф = -Ncos ф + R sin ф;
скользящего x =e + T, y = N-1, kф = -Ncosф + T sinp;
свободного x = 8, y = -1, ф = 0,
где введены обозначения
k = 8 = P, N = -Rn-, , T = -qfN, o = sign(VA).
m Г mg mg mg
Учитывая, что составляющие силы тяжести на нормаль и касательную к опорной плоскости равны - cos а и sin а соответственно, то, согласно представленным дифференциальным
уравнениям движения, можно найти составляющие дополнительной силы P действующей на
стержень помимо силы тяжести
Pn = cos а-1, PT=8- sin а.
Выбор такой дополнительной силы, действующей на стержень, выглядит, по меньшей мере, необоснованным.
Следующая некорректность связана с терминологией. В работе постоянно встречаются выражения:
«... в случае горизонтальной плоскости (8 = 0) • • » и «... на наклонной плоскости (8>0) •••», т.е. величина 8 считается параметром, который характеризует наклонную плоскость, но тогда кроме силы тяжести никаких других внешних сил нет, величины 8, Pn будут равны 8 = sin а, Pn = cos а, а дифференциальные уравнения движения примут вид.
Для стержня
вращающегося X = sin а + Rx y = N - cos а, k ф = -N cos ф + Rx sin ф;
скользящего X = sin а+ T, y = N - cos а, k ф = cos ф + T sin ф;
свободного x = sin а, y = - cos а, ф = 0.
Представленные уравнения не совпадают с исходными, все результаты, полученные в статье, оказываются, по крайней мере ошибочными, за исключением случая 8 = sin а = 0, т.е.
классической задачи о движении стержня по горизонтальной шероховатой плоскости.
Обеспечить адекватность результатов работы ее физической модели можно, изменив постановку задачи:
Рассматривается плоское движение тела, опирающегося одной точкой на горизонтальную шероховатую плоскость. На стержень кроме силы тяжести действует дополнительная горизонтальная сила, приложенная в его центре масс.
В этом случае постановка задачи и результаты исследования адекватны друг другу.
Список литературы
1. Болотов Е.А. О движении материальной плоской фигуры, стесненном связями с трением. М.: Университетская типография, Страстной бульвар, 1906. 147 с.
2. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики: Учебное пособие: в 2-х т. /. 5-е изд., исп. СПб: Лань. 1998. 729 с.
3. Бухгольц Н.Н., Воронков И.М., Минаков А.Л. Сборник задач по теоретической механике. М. - Л.: ГИТТЛ, 1949. 275 с.
4. Виттенбауэр Ф. Задачи по механике теоретической и аналитической с подробными решениями: учеб. пособие / пер. с нем. под ред.: Л. П. Смирнова, И. А. Калиникова. М.: Изд. дом ИИ. Пашкова, 1908. 320 с.
5. Журавлев В.Ф. К истории закона сухого трения // Механика твердого тела, 2013. N° 4.
С. 13-19.
6. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. т. 2: учебное пособие. М.: 1954. 698 с.
7. Мамаев И.С., Иванова Т.Б. Динамика твердого тела, опирающегося острым краем на наклонную плоскость, при наличии сухого трения // Нелинейная динамика, 2013. Т. 9. №3. С. 567-593.
8. Пэнлеве П. Лекции о трении. М.: Гостехиздат, 1954. 316 с.
9. Розенблат Г.М. О движении плоского твердого тела по шероховатой плоскости // Нелинейная динамика, 2006. Т. 2. №3. С. 293-306.
10. Розенблат Г.М. К постановке задач в динамике несвободного движения твердого тела и парадоксы Пенлеве // Вестник Удмуртского университета. Механика. 2009. Вып. 2. № 3. С. 75-88.
Бертяев Виталий Дмитриевич, канд. техн. наук, профессор, tpi-vit-59@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Семенова Людмила Петровна, канд. техн. наук, доцент, ludmilacemenova@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Ткач Ольга Александровна, канд. техн. наук, доцент, tkachoa@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
MOVEMENT OF THE ROD ALONG A ROUGH PLANE
V.D. Bertyaev, L.P. Semenova, O.A. Tkach
The problem of the rod movement in contact with a rough plane at one point is considered. The study of its movement nature is carried out depending on the level of plane roughness. The statements correctness and this problem solutions in other works is evaluated. Key words: rod, mechanics, Coulomb's law, plane motion.
Bertyaev Vitaliy Dmitrievich, candidate of technical sciences, professor, tpi-vit-59@yan-dex.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Semenova Ludmila Petrovna, candidate of technical sciences, docent, ludmilace-menova@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Tkach Olga Aleksandrovna, candidate of technical sciences, docent, tkachoa@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University
