Движение спутника в гравитационном поле вращающейся вязкоупругой планеты Текст научной статьи по специальности «Физика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 358-360

УДК 531.391

ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ

ВЯЗКОУПРУГОЙ ПЛАНЕТЫ

© 2011 г. А.В. Шатина, Е.В. Шерстнев

Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики

(технический университет)

[email protected]

Поступила в редакцию 16.05.2011

Исследуется движение спутника в гравитационном поле вращающейся массивной деформируемой планеты. Планета моделируется однородным изотропным вязкоупругим телом из материала Кельвина -Фойгта, имеющим шаровую форму в естественном недеформированном состоянии, а спутник - материальной точкой.

Ключевые слова: вязкоупругое тело, эволюция движения, устойчивость, стационарное движение, переменные Делоне, орбита спутника.

1. Постановка задачи. Уравнения движения где

Рассмотрим задачу о движении системы планета-спутник в гравитационном поле взаимного притяжения. Планету будем моделировать однородным изотропным вязкоупругим шаром, а спутник — материальной точкой Р. Пусть т, ц — массы планеты и спутника соответственно, г0 — радиус планеты в естественном недеформированном состоянии, р — плотность планеты (т = 4рпг03/3).

Введем инерциальную систему координат 0ХУ2 с началом в центре масс системы. Для описания вращательного движения планеты введем подвижную систему координат Сх1х2х3 с началом в центре масс деформированной планеты и систему осей Кенига С^^2^3 . Положим Я = СР.

Радиусы-векторы точки Р и точки М вязкоупругого шара в инерциальной системе координат имеют вид:

т

я, я

-Я + Г(г + и),

т+ р т+ц

где Г - оператор перехода от системы координат Сх1х2х3 к системе осей Кенига, и — вектор упругого смещения.

Уравнения движения рассматриваемой механической системы получим из вариационного принципа Даламбера - Лагранжа:

| (Ё и.5К и №*+и(Ё р, р)+5П+1 (V и £[и]

рёу

|Я-Г(г + и)|

+

- потенциальная энергия гравитационного поля; / - универсальная гравитационная постоянная; £[и] - функционал потенциальной энергии упругих деформаций, соответствующий классической теории упругости малых деформаций; Я[и ] = Х-^Ги ] - функционал диссипативных сил, соответствующий модели Кельвина - Фойгта, X > 0 - коэффициент внутреннего вязкого трения; А4 , Х2 - неопределенные множители Лагранжа, порожденные условиями, определяющими центр масс С деформированного шара и подвижную систему координат Сх1х2х3 [1, 2].

2. Построение возмущенной системы уравнений движения

Предположим, что жесткость вязкоупругой планеты велика, и введем малый параметр £, обратно пропорциональный модулю Юнга. Методом разделения движений [1] построим приближенную систему обыкновенных дифференциальных уравнений в векторном виде, описывающую поступательно-вращательное движение системы планета-спутник с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией:

цй +/^+ т) ё +^Щ(ш2 + в/цК-3) +

К

ЯЛ

+ У иОД+Яі,&и)^ + | (Я 2,го1 Ьи№ = 0, + 2ш(^, И) - 5£(§, ю)2} +Щ2 Г{&&+3ЯЯ =0,

Ь ^ПКхюК^ю) + З/Я-3^]}, (1)

Я

где

Я = |Я |, ^ = Г-1Я/Я, юх (•) = Г_1Г(0, С1 =

=З/р^ііот Ч(Ц +т), С 2 = 6 / цСі, С3 = 6 /р2Дц,

4п(1 + v)(9v +13) 7

Д =--------------------г0 ,

1 105(5v +7) 0

V — коэффициент Пуассона планеты,

Ь = |Г(г + и) х й[Г(г + и)]рйу

вектор кинетического момента вязкоупругого шара относительно центра масс.

3. Стационарное движение спутника и его устойчивость

Будем полагать, что масса планеты много больше массы спутника, рассмотрим задачу о движении материальной точки в гравитационном поле вращающейся вязкоупругой планеты. Уравнение для радиуса-вектора точки Я представляется в виде уравнения (1), в котором вектор Л = Гю считаем постоянным. Ось 0Х инерциальной системы координат направим по вектору ц а ко -ординаты вектора Я выпишем в сферических координатах: Я = (Ясо8 (Мп п; Я8Іп ^іпп; Ясо8П).

Уравнения движения спутника в сферических координатах имеют вид:

Я - ЯП2 - Яр 8Іп2 п+

/ (Ц +т) Я2

+

гЪ

2 п) + 6/Ц +18/ Ц

+—4 х<Ю2(1- 3со82 п) +-^-р +~

Я4 I 1 Я3 Я*

Я> =0,

(Я[3 + 2Яр) 8Іп п + 2ЯРпсо8 п +

+

6гХЪ/ Ц •

8Іп п(Р -^) = 0,

Я7

& & 2 гЪ 2

Яп + 2Яп-Яр2 8Іп псо8 п-4- ^2 йіп 2п +

Я

/ (ц + т) + еЬ0_ + вгЬ/ ц = _ 2

К3 К5 К8 '

Указанное стационарное движение является неустойчивым, что следует из уравнений возмущенного движения 1-го приближения.

4. Построение эволюционной системы уравнений

Получена система уравнений движения спутника в переменных Делоне Ь, G, И, I, g, И [в]. Методом усреднения по «быстрой» угловой переменной - средней аномалии - получена замкнутая система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая эволюцию переменных «действие» и медленных угловых переменных. Из эволюционной системы уравнений получена замкнутая система дифференциальных уравнений относительно среднего движения по орбите п, эксцентриситета £, наклонения орбиты / и долготы перигелия от восходящего узла g. В частности,

А,0«13/38Іпі Г1 (9 3 . 2 і 2

1 |- + |---8Ш2 g |е2 +

2\5

(1 - о

(2)

+ п = 0, Ь = С,/ ц.

К7 1

Система уравнений (2) имеет стационарное

решение: п = п/2, Р = О, К = К,, где К* является

корнем уравнения

+ | — - — 8Іп2 g |Є4 16 4

27вхцтг0(1 + v)(9v +13)

1 = 70л^ + 7)/2/3(ц + т)5/3 ’ откуда следует, что или I = 0, или наклонение орбиты во все время движения монотонно уменьшается до нуля.

Список литературы

1. Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы. М.: Изд-во МГУ, 1997. Ч. 1. 216 с.; Ч. 2. 160 с.

2. Вильке В. Г. // Прикладная математика и механика. 1980. Т. 44, вып. 3. С. 395-402.

3. Приливы и резонансы в Солнечной системе: Сборник статей / Под ред. В.Н. Жаркова. М.: Мир, 1975.

4. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: МГУ, 1975.

5. Марков Ю.Г., Миняев И.С. // Астрономический вестник. 1994. Т 28, № 2. С. 59-72.

6. Шатина А.В. // Космические исследования. 2001. Т. 39, № 3. С. 303-315.

THE EVOLUTION OF THE MOTION OF A SATELLITE IN THE GRAVITATIONAL FIELD OF A ROTATING VISCOELASTIC PLANET

A. V. Shatina, E.V Sherstnev

The motion of a satellite in the gravitational field of the rotating massive deformed planet is investigated. The planet is modeled by a homogeneous isotropic viscoelastic body of a Kelvin - Voigt material which in the natural non-deformed state occupies a spherical region. The satellite is modeled as a material point.

Keywords: viscoelastic body, evolution of the motion, stability, stationary motion, Delaunay variables, orbit of a satellite.