Движение несвободного твердого тела Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.132.1

И. В. Михайлов Астраханский государственный технический университет

ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Изучению движения механизмов в литературе уделялось и уделяется значительное внимание. Однако движению механизмов с позиций системного анализа посвящено ограниченное число работ. Широко используемый классический подход к анализу движения механических систем (в том числе и механизмов), основанный на формулировке дифференциальных уравнений движения в терминах обобщённых координат1 [1], при рассмотрении различных механизмов ведёт к необходимости составлять системы дифференциальных уравнений движения каждый раз заново. Заново приходится строить и парциальные системы. Этот процесс трудно автоматизировать. Кроме того, уравнения даже простейших связей (например, цилиндрического шарнира) являются нелинейными алгебраическими уравнениями 2-го порядка. Они неудобны тем, что имеют два корня: положения рычажных механизмов, соответствующие этим двум корням, в ТММ называются «сборками». И если в случае одной степени свободы решение всегда очевидно, то для нескольких степеней свободы решение системы уравнений связи часто представляет собой непростую, а иногда и практически невыполнимую задачу.

Однако есть и другой подход. В той же работе Ж. Л. Лагранж [1] предложил записывать дифференциальные уравнения движения через некоторые другие координаты (не обобщённые, т. к. их число больше числа степеней свободы), а связи учитывать с помощью заранее неизвестных множителей2. Продемонстрируем, к чему это приведёт, рассмотрев для простоты движение одного несвободного твёрдого тела, подразумевая, правда, что оно является составной частью механизма - звеном.

Достаточно подробное описание такого алгоритма анализа движения плоских механизмов приведено в [2]. Обозначения и правила знаков будем соблюдать по этой работе.

Будем рассматривать только плоские механизмы и считать, что любой такой механизм представляет собой набор твёрдых тел, для каждого из которых известны координаты центра тяжести, масса тг- и центральный момент инерции Ji. Считаем, что для каждого тела задан также набор точек (будем называть их контактными), в которых это тело контактирует с любыми другими телами тем или иным способом.

1 Принцип возможных перемещений.

2 В настоящее время этот метод широко используется в математике и называется методом множителей Лагранжа.

Для тела (рис. 1) введём связанную (с ним) систему отсчёта хі, уі, начало которой совместим с центром тяжести. Тогда положение связанных осей относительно неподвижной системы отсчёта х0, уо будет задаваться набором хі0, уі0, фі0. В связанной системе отсчёта контактные точки удобно задавать полярными координатами г у, фу, где индекс і соответствует номеру тела (/ = 1,2, .... п). / - номеру контактной точки (/' = 1,2, ..., т).

Рис. 1. Системы отсчёта: а - схема привязки контактных точек; б - шарнирная связь тела с неподвижным основанием

Условимся также, что неподвижная система отсчёта1 связана с телом отсчёта номер ноль (/ = 0), поэтому точки, принадлежащие неподвижной системе отсчёта (некоторые жёсткие заделки), будем задавать также полярными координатами вида г0, ф^ (рис. 1, б). Центр тяжести любого тела будем считать нулевой точкой (] = 0).

Каждое звено может быть рассмотрено как свободное тело, находящееся под действием внешних сил (и моментов) и реакций связей. Система дифференциальных уравнений движения для звена в форме уравнений Лагранжа I рода с неопределёнными коэффициентами выглядит так [3, 4]:

М:

■ &&І 0 +

5=1

Р

м ■ у0+Е1 ^

5=1

Р

^і ■ фі 0 + Е 15

5=1

ЭФ 5

Э*0 ЭФ 5

дУі0

ЭФ 5

ЭФю

= в*; = вуі; = вФі,

(1)

где Qxi, Qyi - декартовы составляющие главного вектора внешних сил, приложенных к ьму телу; Qфi - главный момент внешних сил, приложенных к ьму телу; ^ (л = 1, 2, ..., р) - неопределённые множители Лагранжа; Фл - функции связей; р - количество связей, наложенных на тело.

1 Неподвижная относительно поверхности Земли.

В качестве примера исследуем плоское движение челюсти грейферного механизма (рис. 2).

Рис. 2. Плоское движение челюсти грейфера: 1, 2, 3 - «контактные» точки челюсти

Рассмотрим случай, когда грейфер опущен на зачерпываемый материал и происходит смыкание челюстей за счёт работы замыкающей лебёдки. Считаем, что сопротивления на челюстях будут одинаковыми. Кинематический анализ грейфера как механизма можно провести методом «затвердевшей выемки» [5]. Выемка, образованная в материале челюстями грейфера, условно рассматривается как абсолютно твёрдая поверхность, по которой скользят кромки челюстей. При этом можно считать, что в точках контакта челюстей с «затвердевшей выемкой» образуются высшие кинематические пары.

Координаты центра тяжести С1 челюсти относительно неподвижной системы отсчёта обозначим х10, у10. Поворот подвижной системы отсчёта С1х1у1 (ПСО 1) относительно неподвижной (Ох0у0) системы отсчёта против часовой стрелки обозначим ф10. Заметим, что в положении челюсти, указанном на рис. 2, ф10 < 0.

Точки 1, 2 и 3 зададим их полярными координатами в ПСО 1:

(гП, фц), (Г12, ф12), (Г13, ф 1з).

При равных сопротивлениях на челюстях грейфера и при отсутствии других внешних кинематических связей оси нижней и верхней траверс будут двигаться вертикально, поэтому предполагаем, что точка 1 двигается строго вдоль оси Оу0. Это накладывает следующее ограничение на движение этой точки:

х10 + гп • соз(фю +Ф„ ) = 0.

(2)

Пусть

у=^(4

Ь £ £ о - уравнение кривой зачерпывания PQ. Б. А. Таубер

2 £ Х £ .

[5] предложил кривую зачерпывания принимать в виде параболы. Пусть Ь -первоначальное заглубление грейфера, а (-й, -е) - координаты точки с наибольшим заглублением Н в системе координат х0Оу0 (рис. 2). Тогда уравнение кривой зачерпывания в той же системе координат будет следующим:

у = ^(х) = -е + А • (х + й)2

где

А = -

е - Ь

(3)

(4)

Заметим, что

' Эл(х) Эх

: 2 • А • (х + й),

¿зЫ2. а.

Эх2

Будем считать, что точка 2 челюсти скользит вдоль кривой зачерпывания, поэтому

У10 + Г12 • ф10 + Ф12 ) = Л[х10 + Г12 • ^(фш + Ф12 )] . (5)

Введём обозначения:

ф1 = х10 + Г11 • соэ(ф10 +Ф11 ) , (6)

Ф2 = У10 + Г12 • ЯП(ф10 +Ф12 )-Л[х10 + Г12 • с0в(фю +Ф12 )] . (7)

Тогда уравнения связи (2) и (5) можно записать следующим образом:

ф1 = 0, Ф 2 = 0. (8)

Перепишем уравнения (1) применительно к челюсти грейфера:

т1 • &&10 +

11.

5=1

2

т1 • ую+Е 1

5=1

2

т1 • Ф10 + Е 15

5=1

ЭФ

Эх10

ЭФ

ЭУю

ЭФ

ЭФ1

= ¥х

10

= ¥у

10

= М„

(9)

10

2

где Е0, Е0 - проекции главного вектора внешних сил, действующих на челюсть, на оси Ох0 и Оу0 соответственно; М10 - главный момент внешних сил относительно центра тяжести С1. Получим

т • х10 + о • у10 +1 • 11 +

Эц(ы) ды

•1 = Ех

/ь2 10’

+

Г12 • 008

0 • х10 + т1 • .у&10 + 0 • 1 + 1 • 1 = Е1'у,

^1 ф10 Г11 ^¡п(ф10 +Ф11 )^11 +

(ф10 + ф12 )+ Л Г12 • віп(ф10 + ф12 )

(10)

ды

•1 = м„

где и = хю + Г12 • ГОЗр + Ф12 ) .

Продифференцируем уравнения (6) и (7) два раза по времени, учитывая равенства (8):

= х,п - Г і • 008

(Фю +Ф11 )ф0 - г1Г8Іп(фю +Ф11 )ф = ^ (И)

= -2 • А • [х10 + г12 • 008

(ф10 + Ф12) + й]• &&10 + &&10 + {г12 • 008(ф10 + Ф12) +

+ 2 • А • [Хю + Г12 • С0в(фю + ф12 )+ й ]' г12 • §1п(ф10 + ф12 )}' Я&10 +

+ {— 2 А [;&10 г12 • 81п (фю + ф12 Н10 ] — Г12 • ®^п(ф10 +ф12 ) • ф10 + (12)

+ 2 • А • [хю + Г12 • С0в(фю + ф12 )+ й]^ г12 • С0§(ф10 + ф12 )• ф10 }= 0.

Для любого уравнения склерономной связи Ф5 (^1, к, qn) = 0 справедливо следующее:

йФ ЭФГ

йґ Эх,

* . дФ * . дФ * . -П дФ*

* х10 + ^ •Ую + ^ •Фю = ^ *

10

ду

10

дФ

10

=1 дЯ

й Ф * = дФ *

дх

&&10 +

дФ . .. дФ * й

•у10 + 4------------Ф10 +~Г

ЭФ*

V дУ10 у

дУ

10

Эф

10

(ЭФ ^

V дх10 у

•х10 +

у10 +

й

дФ

\

Эф

дФ

ЕдФ* •• , X“1 й

•я + Е:г

І=1 дЯг 7=1 йґ

V”^10 у

дФ *

дЯг

•я,. (13)

Здесь п = 3 - количество искомых координат, 5 = 1, 2, ..., р - номер связи, р = 2 - количество связей. Для последней суммы введём обозначение

и, =-У -

г=1

эф

дЯг

(14)

2

2

п

п

Таким образом, систему уравнений (9), (11) и (12) можно записать в следующем виде:

т1 0 0 е * ЭЭ ЭФ 2 Эх10

0 т1 0 ЭФ1 Э010 ЭФ 2 Э0ю

0 0 4 ЭФ1 ЭФ10 ЭФ 2 ЭФ10

ЭФ1 ЭФ1 ЭФ1 0 0

Эхш Э0,0 ЭФ10

ЭФ 2 ЭФ 2 ЭФ 2 0 0

1х 0 Э0ю ЭФ10

/ 0 ■ •Н рх 10

&&10 Ріу0

Ф10 > = < М10

І1 и

/ 2 2 и2

(15)

где

и1 = Г11 -С08(фіо +фіі )-(р12с

и2 = 2-А •[

'10

ІП(Фі0 + Фі2 ) • Ф10 ] + Г12 • ЯІп(Фі0 + Фі2 )- Ф

(16)

2 - А - [х10 +Г12 - С0®(Фі0 + Фі2 ) + ^] - Г12 - С0Э(Ф10 + Фі2 )- ф20 •

Заметив определённые особенности матриц и векторов матричного уравнения (14), можем переписать последнее так:

М] [Т ]

ТГ [0]

№ 11 _ {{бі'і ІОД " |{и 1,

(17)

где [М] - матрица масс звена размерности 3 х 3; [Т] - матрица коэффициентов при неопределённых множителях размерности 3 х р (в рассматриваемом случае число связейр = 2); [0] - нулевая матрица размерностир х р, И - вектор ускорений звена размерности 3 X 1; - вектор неопреде-

лённых множителей размерности р X 1; ^} - вектор внешних сил размерности 3 X 1; {и} - вектор размерности р X 1, компоненты которого определяются в общем случае по формулам (14), а применительно к челюсти грейфера - по формулам (16).

Следует отметить, что [Т] - функция координат, {и} - функция координат и скоростей, а [М] - симметричная матрица. Уравнение (16) позволяет по заданным координатам и скоростям определять ускорения, используя аппарат линейной алгебры, например метод Гаусса.

Анализируя формулу (14), видим, что

{и1=-[Т]Т •{& 1,

(18)

где [7] - матрица, полученная дифференцированием всех элементов матрицы [7] по времени.

0

Система (17) представляет собой систему из 5-ти обыкновенных дифференциальных уравнений с 5-ю неизвестными функциями времени: х10 (t), y10 (t), j10 (t), 11 (t), 12 (t ). Задав начальные условия, можно проинтегрировать эту систему любым из подходящих численных методов

[6] : линейного ускорения, центральных разностей, Хаболта, Ньюмарка и т. п. на любом отрезке времени.

Матричный вид уравнений (17) позволяет формализовать процесс составления уравнений движения для ЭВМ, в частности - на основе метода конечных элементов. Рассматривая механизм (например, грейферный) как набор несвободных твёрдых тел, можно записать систему уравнений движения для механизма в целом. Она может быть получена добавлением соответствующих строк и столбцов к уравнению (17).

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Лагранж Ж. Л. Аналитическая механика: Т. 1. Статика, динамика / Пер. с франц. Изд. 2-е. - М.; Л.: Главное изд-во техн.-теорет. лит., 1950. - 594 с.

2. Расчёт и проектирование строительных и дорожных машин на ЭВМ / Под ред. Е. Ю. Малиновского. - М.: Машиностроение, 1980. - 216 с.

3. Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем. - М.: Наука, 1967. - 519 с.

4. Аппель П. Теоретическая механика: Т. 2. Динамика системы, аналитическая механика. Перевод с франц. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1960. - 487 с.

5. Таубер Б. А. Грейферные механизмы. - М.: Машиностроение, 1967. - 430 с.

6. Бате К. Ю., Вилсон Э. Численные методы анализа и метод конечных элементов. - М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.

Получено 29.12.05

A CONSTRAINED SOLID BODY MOTION

I. V. Mikhailov

Plane motion of the grab bucket jaw while scooping bulk cargo, with regard to the theory of solidified excavation and parabolic shape of scooping curve, has been described. Differential equations for grab bucket jaw as a part of a machine have been obtained considering rationalized equation with Lagrangian undefined coefficients.

The structure of constitutive system for differential equations is reduced to matrix type convenient for computers. There has been shown formalization of the method which helps both to automate the solution of the system of differential equations and to automate the very process of working out the system.