CC BY
52
DOI: 10.18698/1812-3368-2015-6-40-45
УДК 530.145.1:530.145.6:530.145.61
ДВИЖЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦЫ В ОДНОМЕРНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ С ПОДВИЖНОЙ СТЕНКОЙ
Н.И. Юрасов, Л.К. Мартинсон
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация e-mail: nikyurasov@yandex.ru
Рассмотрена задача о движении квантовой частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с непроницаемыми стенками. В отличие от стандартной постановки рассмотрена яма, одна из стенок которой имеет координату x = 0 и неподвижна, а другая стенка в момент времени t = 0 начинает движение, при котором ширина ямы изменяется в пределах значений a.. .b. За счет движения стенки возникает нестационарное состояние микрочастицы. Получены энергетический спектр и волновая функция для этого состояния.
Ключевые слова: потенциальная яма, подвижная стенка, микрочастица, волновая функция, энергетический спектр, переменная амплитуда.
MICROPARTICLE MOVEMENT IN ONE-DIMENSIONAL SQUARE POTENTIAL WELL WITH MOBILE WALL
N.I. Yurasov, L.K. Martinson
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation e-mail: nikyurasov@yandex.ru
The paper considers a problem of quantum particle movement in the one-dimensional square potential well with impermeable walls. As opposed to the standard approach, the authors consider a well with a fixed wall which has a coordinate x = 0 while the other wall starts moving at the moment t = 0. The well width changes within the limits a . . . b. Due to the wall movement, a microparticle state becomes unsteady. Both a power spectrum and a wave function are determined for this state.
Keywords: potential well, mobile wall, microparticle, wave function, power spectrum, variable amplitude.
Введение. Рассмотрим вопрос о качественном изменении энергетических уровней микрочастицы в прямоугольной потенциальной яме с непроницаемыми стенками. Этого изменения можно достигнуть, например, введением такого силового поля, что вызываемое им расщепление уровней сопоставимо с расстоянием между соседними уровнями [1]. В двухмерных задачах с такими ямами используется изменение их геометрической формы, введение параметра, изменяющего тип граничных условий [2, 3], при этом стенки неподвижны. Это допущение характерно для стандартной квантовой механики [4, 5]. Новые направления применения квантовой механики для анализа многочастичных систем в конечных объемах — метод функционалов плотности [6-9], модель спин-орбитальных кластеров [10-12] — либо принимают это допущение [6-9], либо допускают возможность изменения объема во
времени [10-12]. Поэтому авторами настоящей работы была проанализирована задача временной эволюции непроницаемой границы одномерной прямоугольной потенциальной ямы.
Постановка задачи. Рассмотрим одномерную прямоугольную потенциальную яму с непроницаемыми стенками. Пусть левая стенка x = 0 неподвижна, а правая стенка начинает перемещаться в момент времени t = 0 из положения x = а и при t > 0 совершает движение по закону
b(t) = arj(t), (1)
где n(t) — заданная безразмерная координата движущейся стенки; x = b — текущее положение стенки; в начальный момент времени частица находится в n-м стационарном состоянии, соответствующем ширине ямы, равной а. Введем безразмерную координату микрочастицы
в яме £ = nx/а и безразмерное время т = Eit/h. Здесь Ei =-- —
2ma2
энергия микрочастицы в основном состоянии в момент времени t = 0; 2nh = h — постоянная Планка; m — масса микрочастицы. Нестационарное уравнение Шредингера, описывающее движение микрочастицы, во введенных координатах принимает вид
дФ д 2Ф
дТ =* , (2)
где Ф = Ф(£,т) — волновая функция микрочастицы.
Уравнение (2) следует решать при выполнении граничных условий
Ф(0, т) = 0 и Ф(пп(т), т) = 0 и начального условия Ф(£, 0) = Фп(£) = '2 \ 1/2
J sin(n£), n = 1, 2, 3,..., т.е. в начальный момент времени микрочастица находится в n-м стационарном состоянии, соответствующем ширине ямы a.
Исходная волновая функция. Решение задачи проведем, выбрав определенное значение квантового состояния с номером n, т.е. полагая Ф(£,т) = Фп(£,т). Если правая стенка неподвижна, то волновая
функция частицы имеет следующий вид:
( 2 \1/2
Фп(£,т )= (-J sin(n£) exp(-in2 т). (3)
Форма поиска решения уравнения Шредингера. Сохраняя классификацию решений уравнения Шредингера, получаем решение в форме
Фп(£,т) = (2) 1/2 sin (nf) (ex/-ig) 2 4 1 0(£,т), (4)
где g(£,r) — неизвестная функция координат и времени. Для упрощения поиска решения были введены обозначения
'U у
П / " \r¡ -а также учтены линейные зависимости
ds ( д
s к sin —; —— к ?n —— П дт \дт
(п£ \ / n \ 2 /2 \ 1/2
)' f = V ) = TФп = W s(exp(-if ))g, (5)
cos
<
ds in
д2 s
cos —; -—- oc
— sin ■
< V '
(6)
П ' д£2
Теперь задача сводится к получению уравнения для функции д(£,г).
Получение уравнения для функции д(£, т) и его решение. После подстановки волновой функции (4) в каноническое уравнение Шре-дингера (2), учета формул (5) и (6) и разделения слагаемых, содержащих синус и косинус, была получена следующая система уравнений для неизвестной функции д:
.дд д2д
гдТ + дё
2' L) (п)2дт
VJ \VJ дт
д = 0;
дд .1 дпс п д£ - г= 0-
(7)
(8)
Решение системы уравнений (7), (8) начнем с анализа уравнения (8). Его решение искалось в виде произведения
д(С,т) = exp (+ F(т)
(9)
где Q(т),Г(т) — неизвестные функции безразмерного времени. Подставляя (9) в (8), находим функцию Q(т):
Q(T) = 2П
дп(т) дт
(10)
Здесь п(т) — закон движения стенки в безразмерной форме согласно формуле (1). После подстановки (9) в (7) с учетом формулы (10) получим уравнение для неизвестной функции Г(т) и дополнительное
условие
г{д*) + _г_
\дт) + 2п
&П\ + тп2 ( 1 дт) дт
- =0;
1 д 2п П дт2
= 0.
(11)
(12)
При этом условие (12) выполняется только для фиксированного закона движения стенки
П = 1 + вт, (13)
2
где безразмерную постоянную скорость определяет параметр В. После интегрирования уравнения (11) с учетом условия (13) была получена следующая формула для функции Р(т):
1 Вт2
Р(т) = -Вт) - ги2, (14)
которая определяет поправку £Еп(т) к энергии частицы 5Еп(т) = = Ещ2 Вт
(1+ Вт )2'
Анализ предельных значений функции Р(т). Функция Q(т) не зависит от номера квантового состояния, а функция Р(т) зависит от номера квантового состояния квадратичным образом согласно формуле (14). Поскольку функция Р(т) является комплексной, проанализируем пределы вещественной и мнимой частей, в результате получим Нш(т ^ 0) ЯеР(т) = 0, Нш(т ^ о) ЯеР(оо) = —о;
иш(т ^ о) 1т (^М) = о, нш(т ^ о) 1т (^М) = о.
Изменение энергии частицы с момента начала движения стенки ямы. Энергия частицы вычисляется по формуле
Е„ = Е1 (и)2 + ад, = Е (Т+^ВГ) ■ (15)
расстояние между соседними энергетическими уровнями — по формуле Е1
Еп+1 — Еп = тт^~ (2и +1). (16)
1 + Вт
Из формулы (15) следует монотонное уменьшение этого расстояния по мере увеличения расстояния между стенками. Из формул (15) и (16) следует, что со временем энергетический спектр частицы преобразуется в сплошной спектр, характерный для свободной частицы.
Анализ амплитуды волновой функции. Согласно совместному рассмотрению формул (4), (9), (10) и (14), установлено, что амплитуда волновой функции при движении стенки с постоянной скоростью при-
21п(1+Вт 0 = ^). щающий в ноль амплитуду волновой функции через бесконечно большой промежуток времени от начала движения стенки.
Выводы. Поставлена и решена задача для движения квантовой частицы в прямоугольной яме с непроницаемыми стенками, когда одна из стенок ямы движется с постоянной скоростью. Получено точное решение нестационарного уравнения Шредингера в виде модифицированной волновой функции стационарного уравнения Шредингера.
обретает множитель вида exp ( — -ln(1 + вт) ) = —- , обра-
V v Iii _L пт I1,2
Определена и исследована временная зависимость для энергетического спектра уровней в яме. Найдена и исследована временная зависимость изменения модуля амплитуды волновой функции, определяемая законом движения стенки. Доказано, что расстояние между соседними уровнями уменьшается в процессе движения стенки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Акулин В.М. Динамика сложных квантовых систем. М.: Физматлит, 2009. 496 с.
2. Штокман Х.Ю. Квантовый хаос. М.: Физматлит, 2004. 376 с.
3. Галицкий В.М., Карнаков В.М., Коган В.В. Задачи по квантовой механике. В 2 ч. М.: Эдиториал, УРСС, Ч. 1. 2001. 300 с. Ч. 2. 2001. 303 с.
4. Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. 528 с.
5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М.: Физматлит, 2004. 800 с.
6. Еркович О.С. Метод многочастичных функционалов плотности. Вид функционала кинетической энергии // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2000. № 2 (5). С. 73-79.
7. Еркович О.С., Пырлин С.В. Электронный вклад в избыточную энергию наноча-стиц металлов и сплавов // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2009. № 2 (33). С. 38-47.
8. Руцкая А.М. Применение методов функционалов плотности при вырождении энергетических уровней в случае систем пониженной размерности // Инженерный журнал: наука и инновации. 2012. № 5 (5). С. 130-134. URL: http://engjournal.ru/articles/213/213.pdf
9. Еркович О.С. Структура электронного газа вблизи поверхности металла в присутствии адсорбированных ионов водорода // Инженерный журнал: наука и инновации. 2012. № 5 (5). С. 135-141. URL: http://engjournal.ru/articles/214/214.pdf
10. Юрасов Н.И. Спектр ферромагнитного резонанса в металле с коллинеарным магнитным упорядочением // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2000. № 2 (5). С. 64-72.
11. Юрасов Н.И. Влияние взаимодействия спиновых и орбитальных магнитных подсистем на спектр магнитных возбуждений в ферромагнитных проводниках // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2007. № 4 (27). С. 3-8.
12. Yurasov N.I. FMR in Ferromagnet with Electron Spin-Orbital Clusters // Solid State Phenomena. 2011. Vol. 168-169. P. 109-112.
REFERENCES
[1] Akulin V.M. Dinamika slozhnykh kvantovykh system [Dynamics of Complex Quantum Systems]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2009. 496 p.
[2] Shtokman Kh.Yu. Kvantovyy khaos [Quantum Chaos]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2004. 376 p.
[3] Galitskiy V.M., Karnakov V.M., Kogan V.V. Zadachi po kvantovoy mekhanike. V 2 ch. [Problems in Quantum Mechanics. In 2 parts.]. Moscow, Editorial URSS Publ., Part 1, 2001. 300 p. Part 2, 2001. 303 p.
[4] Martinson L.K., Smirnov E.V. Kvantovaya fizika [Quantum Physics]. Moscow, MGTU im. N.E. Baumana Publ., 2009. 528 p.
[5] Landau L.D., Lifshits E.M. Kvantovaya mekhanika (nerelyativistskaya teoriya) [Quantum Mechanics (Nonrelativistic Theory)]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2004. 800 p.
[6] Erkovich O.S. Method of multi-partial functionals of density: functional of kinetic energy. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2000, no. 2 (5), pp. 73-79 (in Russ.).
[7] Erkovich O.S., Pyrlin S.V. Electron Contribution into Redundant Energy of Nanoparticles of Metals and Alloys. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2009, no. 2 (33), pp. 38-47 (in Russ.).
[8] Rutskaya A.M. Application of the method of density functional at energy level degeneration in case of systems of reduced dimension. Jelektr. Nauchno-Tehn. Izd. "Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovacii" [El. Sc.-Techn. Publ. "Eng. J.: Science and Innovation"], 2012, iss. 5, pp. 130-134. URL: http://engjournal.ru/articles/213/213.pdf
[9] Erkovich O.S. Electron gas structure near the metal surface in the presence of adsorbed hydrogen ions. Jelektr. Nauchno-Tehn. Izd. "Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovacii" [El. Sc.-Techn. Publ. "Eng. J.: Science and Innovation"], 2012, iss. 5, pp. 135-141. URL: http://engjournal.ru/articles/214/214.pdf
[10] Yurasov N.I. Ferromagnetic resonance spectrum in metals with collinear magnetic ordering. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2000, no. 2 (5), pp. 64-72 (in Russ.).
[11] Yurasov N.I. Influence of Interaction of Spin and Orbit Magnetic Subsystems on Spectrum of Magnetic Excitements in Ferromagnetic Conductors. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2007, no. 4 (27), pp. 3-8 (in Russ.).
[12] Yurasov N.I. FMR in Ferromagnet with Electron Spin-Orbital Clusters. Solid State Phenomena, 2011, vol. 168-169, pp. 109-112.
Статья поступила в редакцию 16.06.2015
Юрасов Николай Ильич — канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры "Физика" МГТУ им. Н.Э. Баумана.
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.
Yurasov N.I. — Ph.D. (Phys.-Math.), Associate Professor, Department of Physics, Bauman Moscow State Technical University.
Bauman Moscow State Technical University, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation.
Мартинсон Леонид Карлович — д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры "Физика" МГТУ им. Н.Э. Баумана.
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.
Martinson L.K. — D.Sc. (Phys.-Math.), Professor, Department of Physics, Bauman Moscow State Technical University.
Bauman Moscow State Technical University, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation.
Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:
Юрасов Н.И., Мартинсон Л.К. Движение микрочастицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с подвижной стенкой // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2015. № 6. C. 40-45.
Please cite this article in English as:
Yurasov N.I., Martinson L.K. Microparticle movement in one-dimensional square potential well with mobile wall. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2015, no. 6, pp. 40-45.
