CC BY
32
УДК 539.3
Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2005, вып. 2
О. А. Смирнов
ДВИЖЕНИЕ МАССЫ НА ВЯЗКОУПРУГОМ СЛОЕ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ НАГРУЖЕНИИ*)
Одними из конструктивных решений при строительстве многоэтажных зданий в сейсмических районах являются резино-металлические сейсмозащитные элементы, включающиеся в фундамент. Благодаря им снижается уровень поверхностного сейсмического воздействия, передающегося на здание или сооружение при землетрясении. Статья посвящена описанию движения объектов на такой подстилке при горизонтальных динамических воздействиях. Важнейшим вопросом при проектировании конструкций, работающих в условиях динамического нагружения, является вопрос об определении их реакций на случайные вибрации.
/77
Рис. 1.
На рис. 1 представлена расчетная схема системы «здание - подстилающий эласто-мерный слой - основание». Горизонтальное воздействие определяет движение основания, которое считается заданным.
Таким образом, исследуется движение массы на вязкоупругом эластомерном слое в линейной постановке. Слой является плоским, его лицевые поверхности жестко соединены с металлическими пластинами, деформацией которых пренебрегаем. Боковые поверхности слоя свободны от напряжений. Горизонтальное движение нижнего основания слоя считается заданным, необходимо найти движение массы на верхнем основании.
Уравнение движения в линейной теории упругости имеет вид
div £ — ри" = 0, (1)
где £ = (^aßeaeß - тензор напряжений; и = {щ,и2,щ) - вектор перемещений точки слоя в декартовых координатах (ж1,Я2»яз); t - время. Положим, что начальные условия задачи однородные
t = 0 : u = uj = 0, (2)
а граничные условия формулируются следующим образом: на нижнем основании задано горизонтальное перемещение основания вдоль одной из осей, например х\ :
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект №03-01-00214). © O.A. Смирнов, 2005
я3 = 0: щ =и0{г),и2(г) = щ(г) = о, (3)
на верхнем основании уравнение движения массы имеет вид
х3 = Н: ти" + ^ = 0 ,и2(*) = г*з№ = 0, (4)
здесь Л - толщина слоя, Р1 - сдвигающая сила, вычисляемая по напряжениям на верхней поверхности слоя ^ = / сг31 ¿5, 5 - площадь поверхности.
5
Боковая поверхность слоя свободна: ап = п-Е = 0. Форма цилиндрической боковой поверхности может быть любой, ап - вектор напряжений на площадке с нормалью п. Определяющие уравнения линейной теории вязкоупругости возьмем в виде [1, 2]
£ = ЛоЛе1 + 2/хоДЕ, (5)
где Ао,//о ~ константы материала (параметры Ляме); е = = еареаер - тен-
зор деформаций. В декартовых координатах г = 1,2,3, компоненты деформации вычисляются по формулам 2ец — и\ - + Величины А, Д в формуле (5) содержат интегральные операторы по времени [1, 2], описывающие историю деформаций:
г
¡ли(£) = г/(£) - / /¿(£ - т)и(т) (1т,
—оо
Аи(0 = «(0 - / А(£- т)и(т) с1т. (6)
— ОО
Подставим тензор напряжений (5), записанный через вектор перемещений, в уравнение движения (1):
(АоА + ¿¿о¡¿)дга(1е + /¿оДДи - ри" = 0. (7)
Для достаточно тонкого слоя (толщина много меньше его линейных размеров) перемещение его точек есть функция координаты жз, или, другими словами, все точки слоя в плоскости, параллельной основанию, будут двигаться одинаково. Это неверно лишь для области слоя, близкой к боковой поверхности: там характер движения точек довольно сложный, однако, как показано в [3], их движение не оказывает большого влияния на перемещение верхнего основания. Таким образом от уравнения (7) придем к следующей одномерной начально-краевой задаче:
2 „д2и д2и 2 /¿о
а = 7' (8)
здесь и = и(х) - функция перемещения точки слоя в горизонтальной плоскости.
Граничные условия задачи с учетом уравнений для сдвигающей силы имеют вид
х = 0:1/(0, Ь) = и0{г), (9)
_ „ди д2и л /-|ЛЧ
х = Н : + га— = 0. (10)
Начальные условия нулевые:
м(0,я?) = и[{0,х) = 0. (11)
Перед тем как приступить к решению задачи, удобно избавиться от неоднородности в граничном условии (9). Сделаем замену и(х, t) = v(x, t) + f(x)uo{t), где функцию f(x) подберем по возможности так, чтобы однородное граничное условие (10) не изменилось. Получим
х = 0: v(0,t) + f(0)uo(t)=uo{t),
следовательно, при ДО) — 1 условие становится однородным. Из второго граничного условия находим
x = h: wS + + m [W + ) = 0,
здесь удобно положить f(h) = f'x(h) = 0, поэтому в качестве функции f(t) можно выбрать f(t) = (1 — x/h)2 .
Таким образом, воспользовавшись заменой u{x,t) — v(x,t) + (1 — x/h)2 uo(t), получаем следующую краевую задачу с однородными граничными условиями, но неоднородным уравнением движения:
2„d2v d2v ч
° ^дх2 = W + (12)
2 а2
vo(x,t) = u'0'(t)(l - x/h)2 - —p,u0(t),
х = 0: у( 0,^ = 0, (13) ди д^и
х = Н: = 0, (14)
0) = -(1-|)2и0(0), (15)
«'(г, 0) = -(1-^)2и;(0). (16)
При нестационарном возбуждении, как правило, применяется метод Фурье, который состоит в отыскании собственных частот и форм колебания и построении решения по собственным формам. Представим искомую функцию в виде у(х, Ь) = Х(х)Т^) и найдем собственные формы для однородного уравнения
2d2v _ (Pv а дх2 ~ dt2
с граничными условиями (13), (14):
а2р.(Х"Т) = ХТ", a2Ç = ^ = -p2-
Отсюда получаем уравнения
V2
Xй + У—Х = 0, (17)
а
Г" + p2¡iT = 0. (18)
Решением уравнения (17), очевидно, будет Х(х) = Asin(px/a) + В cos(px/a). Из граничного условия (13) следует, что константа В — 0, откуда Х(х) = A sin (рх/а).
Из граничного условия (14) с учетом (18) выводим уравнение для собственных час-
тот
/¡о*
\ a J атп
оо
Для нахождения функций Т»(£) подставим v(x,t) = Xi(x)Ti(t) в (12):
¿=1
оо оо
а2£ X!'(x)fiTt(t) = Y, Xi(x)T!'(t) + v0(t, x). (20)
i—\ i—1
Домножим (20) на Xk и проинтегрируем в пределах от 0 до h. Учитывая, что Х"(х) = — (pf/a2)Xi(x), имеем
h „ h _ h
/ОО р ОО л
Xk^tfXijiTiWdx = / XkJ^XiTl'^dx + / (21)
n n ¿=1 n
Непоследственно интегрируя / Хк.Хг(1х и воспользовавшись уравнением для собст-
о
венных частот (14), приходим к следующим условиям ортогональности:
к
/777
ХкХ^х = -— ВД)-ВД, к ф з.
о
Чтобы избавиться от сумм в (21), получим некоторые вспомогательные соотношения, пользуясь граничным условием (14). Для этого подставим туда решение в виде
оо
= £ Хг(х)Тг(г) :
г=1
_ пдь д2у при х = п : ¡¿оЦ =
LXJ *-AJ
до Sj^X'iWiiTi + Xi(h)T¡'(t) = 0,
г=1 г=1
+ m¿X¿(/i)T/'(í) = 0.
г=1 г=1
Используя уравнение для собственных частот
ma . /
) = ïsPkSm{—)>
COS
приходим к такому соотношению:
£ вдтл*) + = о.
г г
Подставив его в (21) н
-1 Х1<ь р\т + ^адх^йвддг, + =
О гфк {фк
к К
= J Х\йх J ХкУо(1х, о о
избавимся от сумм
К
-1 Х2йхр2фТк + ^Хк(Н) {-Хк{к)Г'{1) -р2кХк(И)р,Тк) = о
л л
= I Х1<1х ТЦ+1 Хку0йх о о
и окончательно получим интегродифференциальное уравнение для функций !*(£)
к
$ Хку$(1х
+ р2фТк{1) + —^-= 0. (22)
0
Найдем для него начальные условия
сю 2
ь(0,х) = £ВД2К0) = - (1 - «о(0).
г=1
Домножая это равенство на Хк и интегрируя в пределах от 0 до /г, приходим к следующему уравнению:
л /I
IХ2кс1хТк(0) - 0) = -тю(О){хк (1 -
о о
Избавимся от суммы, полагая, что начальное условие выполняется и на верхней лицевой поверхности слоя:
+ Хк{К)Тк(0) = - (1 - г) «о(0) = о-
Таким образом, получаем начальное условие
¡Хк( \-lfdx Тк{ 0) = -гю(О)-^-. (23)
¡Х^х+^ХЦИ)
о
Аналогично
h ,2
fXk( 1-ïYdx
т'к{ 0) = -и0( 0)-^-. (24)
fXldx+^Xl(h)
О
Таким образом, задача свелась к решению интегродифференциального уравнения типа Вольтерра (22) с начальными условиями (23), (24). Для того чтобы окончательно определить это уравнение, необходимо задать ядро интегрального оператора (6), которое удовлетворительно бы описывало реологические свойства эластомерного материала. В качестве такого ядра можно выбрать ядро Ржаницына [1]
fi{t - т) = A{t - т)°-1е-№-т\ (25)
здесь А, /?, а - параметры ядра, определяемые из опыта, для которых выполнены следующие соотношения: А>0,/?>0,0<а<1. Нахождение вязкоупругих характеристик материалов сводится к проблеме минимизации отклонения опытных данных от математической модели, в роли которых выступают измеренные амплитудные значения деформаций и сдвига фаз. Выберем в качестве этих параметров следующие числа [3]: Л = 0,01, /3 = 0,05, а = 0,25.
В уравнении (22) в известную функцию vo(t,x) также входит интегральный оператор в виде ¡iuo(t), и это не дает возможность записать функцию vo(¿, х) в элементарных функциях для произвольной uo (t). Поэтому для нахождения решения данного уравнения необходимо применять численные методы [4]. Остановившись на ядре Ржаницына, получаем слабо сингулярное интегродифференциальное уравнение
Т" + р2 ^Г(г) - J A(t- j + f(t) = 0 (26)
с начальными условиями (23), (24). Запишем их для краткости как Т(0) = То, Т'(0) = Гь
Непосредственно путем двукратного интегрирования уравнения (26) по t с учетом начальных условий находим
T(t)
t i = То 4- Txt + J {t - s)f{s)ds -p2 J G(t - s)T{s)ds, (27)
где
t-s
G(t — s) = t - s — J G(t - s - г) (Ата~~1е~Рт)(1т. (28)
о
Для численного решения уравнения применим метод простой замены интегралов, входящих в систему, конечной суммой по какой-либо квадратурной формуле. Поскольку интеграл, входящий в (28), имеет слабую особенность типа Абеля (так как 0 < а < 1), для вычисления его непосредственно использовать какую-либо квадратурную формулу невозможно. Поэтому с помощью замены переменных t - т = устраним такую особенность: 1
Ь £
о о
Тогда приближенное решение уравнения (27) в узлах £п = (п - 1) Д п = 1,2,3,... (At - шаг интегрирования), последовательно определим из системы
771
Тп = Го +Т1*Я + £в}т'п)(*п - *,•)/(*;) " ¿=1
(71— 1 71— 1 \
г=1 г=1 /
^ 2 п—1 / т \
здесь В^т'п\ - веса, - узлы Гаусса, А\ — Д£/2, А» = Д£, г = 2, ...,п - 1.
Выберем в качестве функции, задающей движение нижнего основания, модельную акселерограмму в виде [4]
и0(£) = 10^е-6^т(2Н),
тогда графики движения нижнего и верхнего оснований для выбранных параметров га = 2000 кг, К = 10 см, ¿¿о = 10 кг/см2, 5 = 2500 см2, р — 10~3 кг/см3 будут выглядеть так, как показано на рис. 2, а, б соответственно.
и
Из рис. 2, а видно, что после того как внешняя нагрузка исчезнет, система перейдет в режим свободных колебаний, которые, в свою очередь, затухнут через некоторое время в силу вязкости слоя. В данной расчетной задаче мы пришли к тому, что демпфируемая масса будет колебаться с большей амплитудой, нежели основание конструкции, т. е. эффект разрушения объекта только усилится при использовании вязкоупругого
слоя в фундаменте. Однако, подобрав параметры слоя, а именно, его линейные размеры, таким образом, что его собственная частота будет меньше собственной частоты внешней нагрузки, получим обратный эффект. Так, для данной нагрузки параметры слоя, гасящего колебания, будут следующими: h = 10 см, S = 400 см2. Графики такого движения нижнего и верхнего оснований для этого слоя представлены на рис. 2, б.
Summary
Smirnov О. A. Mass motion on the visco-elastic layer under nonstationary loading.
The solution of mass motion problem on the visco-elastic layer is obtained for nonstationary loading. The mathematical model is reduced to integro-differencial Volter equation by Fourier method. The difference scheme of this equation solution derived by way of dual equation integrating and integral substitution of a finite sum by quadrature gauss formula is suggested. Computation results of mass motion on the visco-elastic layer during seismic vibration are given.
Литература
1. Работное Ю. H. Элементы наследственной механики твердых тел. М., 1977. 382 с.
2. Мальков В. М. Уравнения вязкоу пру гости эластомерного слоя // Прикладная математика и механика. 1995. Т. 59, № 2. С. 224-231.
3. Бадалов Ф. Б. Методы решения интегральных и интегродифференциальных уравнений наследственной теории вязкоу пру гости. Ташкент, 1987. 260 с.
4. Смирнов А. Ф., Александров А. В., Лашенков Б. А., Шапошников Н.Н. Строительная механика (динамика и устойчивость сооружений). М., 1984. 815 с.
Статья поступила в редакцию 21 апреля 2005 г.
