Движение кругового цилиндрического твердого тела, взаимодействующего с $n$ точечными вихрями, в поле силы тяжести Текст научной статьи по специальности «Физика»

Нелинейная динамика. 2014. Т. 10. № 1. С. 59-72. Полнотекстовая версия в свободном доступе http://nd.ics.org.ru

УДК: 512.77, 517.912 М8С 2010: 70Нхх, 70С65

Движение кругового цилиндрического твердого тела, взаимодействующего с N точечными вихрями,

в поле силы тяжести

С. В. Соколов

В работе рассмотрена задача о движении в поле силы тяжести твердого тела, обладающего формой кругового цилиндра, взаимодействующего с N точечными вихрями, в идеальной жидкости. Циркуляция жидкости вокруг цилиндра предполагается отличной от нуля. Уравнения движения системы представлены в гамильтоновой форме. Указаны первые интегралы. Обсуждаются возможные типы движений системы в частном случае N = 1. Найдены относительные равновесия и исследована их устойчивость. Приведены сечения Пуанкаре, вид которых (наличие областей хаотической динамики) указывает на неинтегрируемость данной системы.

Ключевые слова: точечные вихри, гамильтоновы системы, редукция, устойчивость стационарных решений

1. Введение

Задача о падении твердого тела в жидкости рассматривается давно, например, в классических работах [3, 4, 18]. Из современных работ отметим [6, 11]. Некоторые из описанных в этих статьях эффектов (например, авторотация твердого тела) имеют место только в вязкой жидкости, и, следовательно, их строгое рассмотрение должно опираться на уравнение Навье-Стокса с граничными условиями на подвижных границах. Решение таких задач обычно получают численно, а аналитические исследования содержат дополнительные феноменологические предположения. Например, в работе [23] вводятся феноменологические выражения для подъемной силы и силы лобового сопротивления, а также предположения о независимости трансляций и вращений. Естественно, что вопрос о применимости такого рода допущений и адекватности получаемых результатов остается открытым.

Получено 10 января 2014 года После доработки 28 января 2014 года

Соколов Сергей Викторович Боко1оУБу72@та11.ги

Институт компьютерных исследований Удмуртский государственный университет 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, д. 1

Влияние вязкости на падение тела состоит в наличии сопротивления движению, а сопротивление — это не только внутреннее трение жидкости, но и затраты энергии на генерацию вихрей. Поэтому представляется целесообразным и более простым с аналитической точки зрения рассмотрение не схода вихрей в вязкой жидкости, а движения тела в идеальной жидкости, в которой существует завихренность. Простейший эффект завихренности — это наличие циркуляции при обтекании тела. Падение тела с циркуляцией рассмотрено, например, в работах [7, 8, 10]. В [8] показано, что при наличии циркуляции возникающая подъемная сила приводит к тому, что тело движется в некоторой горизонтальной полосе. Дальнейшим развитием представлений о влиянии завихренности на тела является задача о движении тела при наличии точечных вихрей. Гамильтонов формализм для точечных вихрей первоначально был развит Кирхгофом [5]. В работах [12, 14, 20, 21] этот формализм был распространен на случай движения цилиндрического твердого тела и точечных вихрей в отсутствие тяжести. В работе [20] и затем в работе [21] были получены точные уравнения движения, в статье [12] доказана интегрируемость задачи о движении цилиндра и вихря. В работе [14] указаны некоторые частные решения и исследована качественная картина движения цилиндра и вихря.

Следующим этапом в развитии послужила возникшая в 60-х годах XX века модель Брауна-Майкла, где сход вихрей с острой кромки тела постулируется (поскольку, как известно, возникать в идеальной жидкости вихри не могут), а их интенсивность меняется со временем. Движение твердого тела и вихрей исследуется с помощью модели Брауна-Майкла, например, в работе [19].

Падение тела в присутствии распределенной завихренности («вихревая пелена») изучено в работе [16]. В работах [16, 19] уравнения получены строго, однако система из-за своей сложности исследуется авторами численно.

Отметим в заключение работу [17], где исследовано движение вихря в предположении поступательного движения цилиндра. Таким образом, рассмотрение в [17] носит кинематический характер, что не позволяет учесть влияние вихря на движение цилиндра. Основное внимание в работе [17] сконцентрировано на исследовании возможности хаотических режимов движения вихря при возмущении движения цилиндра.

В работах [9, 22] исследовалась задача о движении тяжелого цилиндра и одного вихря в поле тяжести, при наличии отличной от нуля циркуляции.

В данной работе влияние завихренности на падение тела в жидкости рассмотрено на примере задачи о движении массивного кругового цилиндра и N точечных вихрей в поле тяжести. Циркуляция жидкости вокруг цилиндра здесь также предполагается отличной от нуля.

2. Постановка задачи

Рассмотрим твердое тело, имеющее форму кругового цилиндра и движущееся в безграничном объеме идеальной жидкости. На тело помимо окружающей жидкости действует сила тяжести. Предполагается, что жидкость совершает плоскопараллельное движение и покоится на бесконечности. Образующие цилиндра ортогональны плоскости потока. В жидкости движется N прямолинейных вихревых нитей, каждая из которых параллельна образующим цилиндра и имеет интенсивность Г^, где г = 1, N. Жидкость обтекает цилиндр с циркуляцией Г, в общем случае отличной от нуля (рис. 1). Из постановки ясно, что задача является двумерной. Требуется качественно исследовать движение системы.

3. Уравнения движения

Как и в работе [20], уравнения движения цилиндра и точечных вихрей в поле силы тяжести запишем в виде

гг = —1» + grad&(г)\г=г, ,

Гс = V,

N

аю 1 = \у2 - \г(уг — Уi), (3.1)

г=1

N

ау2 = —+ ^ \г(хг — ±г) — ад,

г=1

где ге = (хе, уе) — радиус-вектор центра цилиндра относительно неподвижной системы координат Оху, V = (^1,^2) — скорость цилиндра, ^ = (хг, Уг) — вектор, соединяющий центр

Н2г-

цилиндра с г-м вихрем, г^ = (х^ у= —^ — вектор, соединяющий центр цилиндра с ин-

Ч

версным образом г-го вихря (рис. 1), Я — радиус цилиндра, а — константа, соотнесенная с массой и присоединенной массой цилиндра, ад — величина силы тяжести, действующей на цилиндр, Л и Л — постоянные, связанные с циркуляцией жидкости вокруг цилиндра

г Г-

и интенсивностью г-го вихря соотношениями X = ——, Х- = Плотность жидкости полагается равной 2п. Функция <рг(г) является потенциалом течения г) идеальной жидкости вне цилиндра с исключенной особенностью в точке г = Гг:

^ = ~ ЛаГС^ ^ + ^ Лг (аГС^ (13) " аГС^ (3"2)

Уравнения (3.1), описывающие движение цилиндра и вихря, отличаются от приведенных в [20] дополнительным слагаемым в уравнении для цилиндра, учитывающим действие силы тяжести.

Конечномерная система (3.1), описывающая движение цилиндра и вихрей в поле силы тяжести, сохраняет инвариантную меру и может быть представлена в гамильтоновой форме [12].

Предложение. Уравнения движения (3.1) можно представить в виде

(г = {(г,Н} = ^{ (г,(кШ, (3.3)

к 'Лк

где ^ — координаты фазового вектора системы (3.1)

С = {%1,У1,...,хм ,Ум ^!,У2,Хс,ус},

Н — гамильтониан, а компоненты кососимметрического структурного тензора пуассо-новой структуры (() = } удовлетворяют тождеству Якоби:

('^и -щ- + 'Ьг -¡щ- + -щ ) - о, У г, к.

Доказательство. Несложно непосредственной проверкой показать, что система (3.1) обладает первым интегралом, имеющим смысл интеграла энергии

1 2 1 N / 2 ,2 ^ 2Л ^ в4 - 2Я2 (г*> rj ) + "

н = \ап2 + \ (Лг2 1п(гг2 - Я ) - \г\ 1п г2) + \ £ ЛгЛ, 1п- 3-— + адус

г=1 i<j 'гг '

(3.4)

Считая Н гамильтонианом системы, подберем компоненты , чтобы уравнения движения (3.3) совпали с системой (3.1). Отличные от нуля компоненты имеют вид (см. [12])

1 г4 - Я2(х2 - у2) г , 12Я2ХгУг

Ь'1,Хг}=а~-Г-—> {г'1,Уг} = ~

^ /у>4

'г 'г

г г 1'^гУг , 1 1 г! + Я2(х2-у2) \1,21Хг\ — 2 ' У11"2->Уг\ — а А ;

' г

(3.5)

д М г4 — ^4

1 г=1 а 'г г

= {ус,1'2} = 1

Непосредственным вычислением проверяется, что компоненты структурного тензора (3.5) удовлетворяют тождеству Якоби. ■

Как известно, гамильтонова форма уравнений (3.1) позволяет применить хорошо развитый формализм для качественного анализа, исследования устойчивости и пр.

4. Первые интегралы и редукция

Наличие выделенного направления, задаваемого силой тяжести, нарушает симметрию относительно поворотов системы, что, в свою очередь, влечет несохранение интеграла, существовавшего для аналогичной системы в отсутствие силы тяжести [12]. Однако у рассматриваемой системы существует два первых интеграла, отвечающие трансляциям, — ав-

тономный интеграл Р, соответствующий горизонтальному импульсу системы, и неавтономный интеграл Q, соответствующий вертикальному импульсу:

N

Q = а(у2 + + \хс ЛгХ -

^ (4-1)

N у '

р = а^1 - \Ус + ^\(Уг - Уг)-

г=1

Рассмотрим процедуру понижения порядка подробно в частном случае N = 1. По-видимому, других первых интегралов у системы нет, что подтверждается хаотическим поведением решений на сечении Пуанкаре (см. рис. 6, 7). Неинтегрируемость задачи падения цилиндрического тела произвольной формы с циркуляцией показана в работе [13]. Используя автономный интеграл Р, можно понизить порядок исходной системы (3-1), обладающей в случае N =1 тремя степенями свободы, на одну степень.

Для этого положим Р = 0. Очевидно, что в случае, когда значение Л отлично от нуля, этого всегда можно добиться выбором начала системы координат (случай Л = 0 требует отдельного рассмотрения). Выраженное из полученного равенства значение ус подставим в гамильтониан (3-4). Исключив из (3-1) уравнения с гс, получим редуцированную систему

хх 1 = -у1 +

у1 = у2 +

д <р дх

дф ду

(4-2)

ау1 = лу2 - Л1(У 1 - у1), аУ2 = -Лу1 + Л^х 1 - хх 1) - ад

с гамильтонианом

Нс = ±а,у2 + Щг( - Е ) - + + А^ - у,))

и пуассоновой структурой, определяемой компонентами структурного тензора, получаемого из (3-5) вычеркиванием строк и столбцов, соответствующих переменным хс и ус.

г=г

1

г=г

1

5. Классификация возможных движений

Найдены частные решения, позволяющие сказать о том, что существует три возможных типа движений системы «цилиндр-вихрь» (рис. 2):

1) цилиндр и вихрь движутся вместе в ограниченной полосе изменений координаты у (рис. 2а);

2) цилиндр покидает вихрь и движется в ограниченной полосе изменений координаты у (рис. 2Ь);

3) цилиндр покидает вихрь и движется в направлении действия силы тяжести (рис. 2с).

(Ь) (с)

Рис. 2. Движение цилиндра (сплошная линия) и вихря (пунктир) в поле силы тяжести: (а) цилиндр и вихрь движутся вместе в ограниченной полосе, вихрь захвачен цилиндром, (Ь) цилиндр движется в ограниченной полосе, вихрь покидает цилиндр, (с) цилиндр покидает вихрь и движется в направлении действия силы тяжести (Л = Ах).

По поводу приведенной классификации стоит отметить, что в системе наблюдаются движения с захватом вихря цилиндром, аналогичные описанным в работе [17], а также движения в ограниченной полосе, как в работах [7, 8].

В качестве гипотезы заметим, что во время движения цилиндр всегда остается в ограниченной горизонтальной полосе, то есть «не падает», за исключением, быть может, случая Л = Ль При падении цилиндра (неограниченном убывании функции ус(Ь)) вихрь не может быть захвачен цилиндром.

6. Относительные равновесия и их устойчивость

Будем искать стационарные решения редуцированной системы (4.2). Эти решения представляют собой относительные равновесия исходной системы (3.1).

Для определения положений равновесия приравняем правые части (4.2) к нулю, откуда находим и2 = 0, г\ = Из гидродинамических соображений легко понять, что единственным решением системы, получаемой подстановкой и г2 в вышеупомянутые уравнения из правых частей (4.2), будет х^ = 0, что соответствует положению вихря на одной вертикальной прямой с центром цилиндра. Наконец, подставляя хг, г^, г2 в правую часть первого уравнения (4.2), имеем для положения вихря уравнение

^ + (Л2-ЛЛ1)у?-Л2у1-1 = 0, (6.1)

где введены обозначения = —, Л = Л 1 — — ■ Интересно отметить, что по-

Л а/ ад К а/ ад К

добное уравнение было получено в [17] при исследовании задачи адвекции вихря в поле

осциллирующего цилиндра.

Таким образом, единственными стационарными решениями системы (4.2) являются {Х1,У1,1>1,1>2) = ^0,где у1 = У1-Й) У\ ~ корень уравнения (6.1). Эти решения описывают режимы, при которых цилиндр и вихрь движутся горизонтально, прямолинейно с постоянной скоростью. Для гидродинамически несимметричного тела при отсутствии вихря устойчивость подобного прямолинейного горизонтального движения исследовалась в [7].

Легко понять, что движение цилиндра по горизонтальной прямой с постоянной скоростью возникает при равенстве нулю суммы всех сил, приложенных к нему, то есть в случае, когда сила тяжести уравновешивается подъемной силой, обусловленной наличием циркуляции. Вихрь, помещенный в точку С (рис. 3), скорость жидкости в которой равна скорости центра цилиндра, будет неподвижным относительно цилиндра. Следовательно, инверсный образ вихря внутри цилиндра также будет неподвижным относительно него. Тогда, как показано в [20], сила, действующая со стороны вихря на цилиндр, будет равна нулю. В результате такое движение вихря не будет вызывать возмущений прямолинейного равномерного движения цилиндра. Линии тока, соответствующие описанному случаю, изображены на рисунке 3.

Рис. 3. Относительное равновесие цилиндра и вихря.

Из уравнения (6.1) следует, что положение относительного равновесия вихря определяется двумя параметрами А и А^ приведенными циркуляцией и интенсивностью вихря. В общем случае для фиксированных (А, А!) может существовать до 4 положений равновесия (см. рис. 4). Единственным ограничением служит условие \у]\ > Я, так как в противном случае вихрь окажется внутри цилиндра. Без ограничения общности можем считать А > 0. Общий вид многолистной поверхности (6.1) изображен на рисунке 4. Рассмотрим основные особенности этой поверхности.

1. Во второй четверти плоскости (Аь А), соответствующей А! < 0, А > 0, имеется только одно положение равновесия вихря, расположенное ниже цилиндра (нижний лист поверхности (6.1)).

2. В первой четверти (^ > 0, А > 0) имеется положение равновесия над цилиндром (верхний лист поверхности (6.1)). Нижний лист поверхности (6.1) имеет особенность типа «складка», в результате в этой области, соответствующей, например, точкам, лежащим на вертикальной прямой, отрезок которой выделен на рисунке 5Ь, возникает три положения равновесия при фиксированных (А!, А): два ниже цилиндра и одно выше цилиндра.

3. Верхний лист поверхности (6.1) «обрезается» по оси Aj =0 условием уг > R, то есть положение равновесия вихря достигает границы цилиндра сверху.

4. Аналогично предыдущему пункту, нижний лист поверхности (6.1) и сшитая с ним «складка» «обрезается» условием уг < -R, то есть положения равновесия вихря достигают границы цилиндра снизу.

5. Вид поверхности (6.1) в третьей и четвертой четвертях (А < 0), в силу симметрии (6.1) относительно преобразования Aj ^ — Aj, А ^ -A, находится с помощью поворота поверхности, изображенной на рисунке 4, относительно оси у1 на 180°.

6. На рисунке 4 устойчивые решения (6.1) расположены на среднем листе и выделены темно-серым цветом, неустойчивые решения, расположенные на верхнем и нижнем листе, изображены светло-серым цветом, наконец, неустойчивые решения, расположенные на среднем листе, показаны штриховкой.

Рис. 4. Положения равновесия вихря у1 в зависимости от параметров А, : 1 — неустойчивые точки (т<1 = 1), 2 — неустойчивые точки (форма сРИс вырождена, система первого приближения удовлетворяет условиям теоремы о неустойчивости), 3 — устойчивые точки (т<1 = 2, тип точки — центр-центр), 4 — неустойчивые точки (т<1 = 2, тип точки фокус-фокус), 5 — резонансные кривые.

Обсудим устойчивость найденных относительных равновесий, следуя, например, [1]. Как известно, для исследования устойчивости положений равновесия гамильтоновых систем необходимо вычислить два инварианта неподвижных точек:

( д2И

1. индекс квадратичной формы с12Нс ( то есть симметричной (4 х 4)-матрицы с

\ дСк дСо

который принимает значения от 0 до 4;

2. тип особой точки в зависимости от собственных чисел линеаризации векторного поля

то есть симплектической (4 х 4)-матрицы ^ 9 Нг

^Jth"dCkdQ

который принимает одно

из следующих значений: центр-центр, седло-центр, седло-седло, фокус-фокус.

Следуя [1], собственные числа линеаризации векторного поля, то есть корни характеристического полинома

( д2И \

ХЫ = с!е1 ( ^ ¡Кк ¡'к. ~ = ^ + + (6-2)

будем изображать на плоскости коэффициентов характеристического полинома. На рисунке 5а, заимствованном из работы [1], изображены области устойчивости и неустойчивости, указаны соответствующие значения индекса квадратичной формы С2Ис, а также типы неподвижных точек.

Возвращаясь к рисунку 4, мы видим, что нижний и верхний листы поверхности (6.1) состоят из неустойчивых неподвижных точек типа седло-центр, так как в них индекс квадратичной формы С2Ис равен 1. Эти точки соответствуют области Ь < 0 на рисунке 5а. Средний лист состоит из неустойчивых точек типа фокус-фокус и устойчивых точек типа центр-центр. В этих точках индекс С2Ис равен 2.

Рассмотрим более подробно область первой четверти плоскости (Л!, Л), в которой имеется три положения равновесия. Этот фрагмент поверхности (6.1) изображен на рисунке 5Ь. Как и на рисунке 4, мы видим, что верхний и нижний листы поверхности (6.1) состоят из неустойчивых положений равновесия с шё = 1, типа седло-центр, соответствующих области Ь < 0 на рисунке 5а. Средний лист поверхности (6.1) состоит из точек двух типов: устойчивых точек типа центр-центр и неустойчивых типа фокус-фокус. Индекс С2Ис в точках

обоих типов равен 2. Устойчивым точкам соответствует область ^а, > 0, 0 < Ь < на

2

рисунке 5а. Неустойчивым точкам соответствует область Ь > на рисунке 5а. На рисунках 5а и 5Ь изображены кривые, отвечающие резонансам третьего и четвертого порядка

( 4а,2 9а2 \

(соответственно при о = и о = I, которые лежат в области устойчивых положении

а2

равновесия. Для определения устойчивости точек, лежащих на границах Ь = О, Ь = —, на резонансных кривых третьего и четвертого порядка требуется дополнительное исследование.

Наконец, рассмотрим положения равновесия, соответствующие фиксированным значениям Л1 = 2.1 и Л = 4. Области Хилла в окрестности данных положений изображены на рисунке 5с. Очевидно, что верхнее и нижнее положение неустойчивы, а среднее положение устойчиво.

При увеличении циркуляции вокруг цилиндра и неизменной интенсивности вихря вертикальная прямая, параллельная оси точки пересечения которой с поверхностью (6.1)

указывают положения равновесия, будет двигаться вдоль оси Л. Когда эта прямая пере-

а2

сечет границу, являющуюся образом параболы Ь = —, тип неподвижной точки сменится с центр-центр на фокус-фокус. Области Хилла в окрестности данных положений равновесия будут аналогичными изображенным на рисунке 5с. Среднее положение равновесия при этом становится неустойчивым.

Рассмотрим поведение системы при неизменной циркуляции и увеличении интенсивности вихря. При этом вертикальная прямая, параллельная оси движется вдоль оси Л1. Устойчивая точка типа центр-центр сближается с неустойчивой точкой типа фокус-фокус и на кривой, являющейся образом границы Ь = 0, сливается с ней. При дальнейшем увеличении интенсивности вихря остается только неустойчивое положение равновесия типа седло-

ии!=1,3

I

Рис. 5. Положения равновесия и их устойчивость. (а) Области устойчивости и неустойчивости и соответствующие типы неподвижных точек на плоскости коэффициентов характеристического полинома. Указаны кривые, соответствующие резонансам третьего и четвертого порядков. (Ь) Положения относительного равновесия вихря в зависимости от параметров Л, Ах. Отмечены три положения равновесия (два из которых неустойчивы, одно устойчиво), соответствующие фиксированным значениям Л, Л1. При другом значении Л, Л1 указано единственное положение равновесия. (с) Область Хилла для случая трех положений равновесия. (^ Область Хилла для случая единственного положения равновесия. На (с), (^ крестиком отмечены неустойчивые точки, кружком — устойчивая неподвижная точка.

центр, расположенное на верхнем листе поверхности (6.1), то есть над цилиндром. Соответствующая область Хилла будет иметь вид, изображенный на рисунке 5ё. Изменение числа положений равновесия при изменении очевидно, носит бифуркационный характер.

Следует отметить, что расположение границы, отделяющей устойчивые и неустойчивые неподвижные точки с шё = 2, зависит от параметров задачи (массы и радиуса цилиндра), так как собственные числа линеаризации векторного поля существенным образом зависят от а и Я. Напротив, вид поверхности (6.1) от а и Я не зависит. Тип неподвижных точек, отображенный на рисунках 4 и 5, определялся для значений а = Я = 1.

7. Сечение Пуанкаре и хаотический характер динамики системы

Как известно, отсутствие достаточного количества аналитических интегралов уравнений движения тесно связано со сложным, хаотическим поведением траекторий системы. Строгие доказательства неинтегрируемости, как правило, опираются на применение сложнейшей математической техники. С другой стороны, наблюдение хаотического характера динамики при численном интегрировании уравнений движения указывает на отсутствие первых интегралов.

Воспользуемся вышеуказанным обстоятельством при исследовании системы (4.2). Это гамильтонова система, которая обладает двумя степенями свободы. Для исследования характера динамики указанной системы построим сечение Пуанкаре.

Фазовый вектор системы имеет вид

С = {хъ Ух, Vъ у2, }.

Зафиксируем значение одной из фазовых переменных ух = 0.9, что определяет плоскость сечения Пуанкаре в окрестности относительного положения равновесия вихря. Для значения энергии Нс = —17 сечение Пуанкаре имеет вид, представленный на рисунке 6. Укажем значения остальных параметров системы: а = 1, Я = 0.5, д = 10, Г = 10, Гх = 8.4375.

-0.0830712ТГ

-0.03936937Г

0.00433268ТГ

0.04803467Г

Рис. 6. Сечение Пуанкаре редуцированной системы «цилиндр-вихрь», демонстрирующее хаотический характер динамики системы.

Штриховкой на рисунке 6 указаны точки на фазовой плоскости Х\лежащие вне области возможных движений. На сечении видны области регулярной динамики, образованные пересечением с поверхностью уровня энергии инвариантных торов. В области, обрамляющей торы второго порядка, виден стохастический слой, появление которого свидетельствует о хаотическом характере динамики системы.

Кроме того, можно построить сечение Пуанкаре на поверхности уровня гамильтониана, что позволяет пространственно разделить точки, проекции которых на плоскость Х1^1 совпадают. Такое сечение изображено на рисунке 7.

Рис. 7. Сечение Пуанкаре редуцированной системы «цилиндр-вихрь», при тех же значениях параметров, что и приведенное на рисунке 6, построенное на поверхности уровня энергии системы. Квадратиком выделено положение гиперболической неподвижной точки.

Вид сечения на рисунке 7 также указывает на наличие регулярной и хаотической динамики системы при данных значениях параметров задачи. Хаос свидетельствует об отсутствии дополнительного интеграла и подтверждает первоначальную гипотезу о неинтегрируемости задачи. Интерес представляет дальнейшее исследование эволюции динамики и выяснение возможных сценариев перехода к хаосу.

8. Заключение

В данной работе рассмотрена задача о движении под действием силы тяжести массивного кругового цилиндра, взаимодействующего с N точечными вихрями, в идеальной жидкости. Приведена гамильтонова форма уравнений движения. Указаны возможные типы движений системы. Найдены относительные равновесия системы и исследована их устойчивость. Следует отметить, что верхнее положение равновесия всегда является неустойчивым, нижнее положение равновесия также всегда неустойчиво. Наконец, среднее положение равновесия может быть устойчивым или неустойчивым в зависимости от параметров задачи.

Приведены сечения Пуанкаре, демонстрирующие хаотический характер динамики системы «цилиндр-вихрь», что является подтверждением гипотезы о неинтегрируемости системы, высказанной в работах [9, 22].

Одним из возможных интересных частных решений задачи о движении цилиндра и нескольких вихрей является симметричная конфигурация двух вихрей, следующих за цилиндром, падающим в поле силы тяжести. Этот случай является обобщением известного решения Фёппля (например, [2, 15]). Подробному рассмотрению этого случая будет посвящена следующая публикация.

В дальнейшем планируется исследовать движение цилиндрического тела произвольной формы. В рассмотренной задаче кругового цилиндра и вихря необходимо исследование на наличие периодических решений в окрестности найденных стационарных решений. Интерес представляет также вопрос о существовании хореографий. Среди нерешенных задач отметим еще вопрос о нахождении границы режимов движения цилиндра и вихря, изображенных на рисунке 2, как функции параметров, а также исследования бифуркационного характера смены числа положений равновесия редуцированной системы.

Автор выражает благодарность за плодотворные обсуждения А. В. Борисову и И. С. Мамаеву.

Список литературы

[1] Болсинов А. В., Борисов А. В., Мамаев И. С. Бифуркационный анализ и индекс Конли в механике У У Нелинейная динамика, 2011, т. Т, №3, с. б49-б81.

[2] Борисов А. В., Мамаев И. С. Математические методы динамики вихревых структур. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. 3б8 с.

[3] Жуковский Н. Е. О падении в воздухе легких продолговатых тел, вращающихся около своей продольной оси: Статья первая ^ Собр. соч.: В 9 тт. Москва-Ленинград: Глав. ред. авиац. лит., 19ЗТ. Т. 5, с. 72-80.

[4] Жуковский Н. Е. О падении в воздухе легких продолговатых тел, вращающихся около своей продольной оси: Статья вторая ^ Собр. соч.: В 9 тт. Москва-Ленинград: Глав. ред. авиац. лит., 1937. Т. 5, с. 100-115.

[5] Кирхгоф Г. Механика. Лекции по математической физике. Москва: АН СССР, 19б2. 404 с.

[6] Козлов В. В. К задаче о падении тяжелого твердого тела в сопротивляющейся среде УУ Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 1990, №1, с.Т9-8б.

[Т] Козлов В. В. О падении тяжелого цилиндрического твердого тела в жидкости УУ МТТ, 1993, №4, с. 113-117.

[8] Рамоданов С. М. О влиянии циркуляции на характер падения тяжелого твердого тела в жидкости ^ МТТ, 199б, №5, с. 19-24.

[9] Соколов С. В., Рамоданов С. М. Движение кругового цилиндрического твердого тела, взаимодействующего с точечным вихрем, в поле силы тяжести УУ Нелинейная динамика, 2012, т. 8, №3, с. б1Т-б28.

[10] Чаплыгин С. А. О движении тяжелых тел в несжимаемой жидкости ^ Полн. собр. соч. Москва-Ленинград: АН СССР, 1933. Т. 1, с. 133-150.

[11] Borisov A. V., Kozlov V. V., Mamaev I. S. Asymptotic stability and associated problems of failing rigid body У У Regul. Chaotic Dyn., 2007, vol. 12, no. 5, pp. 5З1-5б5.

[12] Borisov A. V., Mamaev I. S. An integrability of the problem on motion of cylinder and vortex in the ideal fluid ^ Regul. Chaotic Dyn., 2003, vol.8, no. 2, pp. 1бЗ-1бб.

[13] Borisov A. V., Mamaev I. S. On the motion of a heavy rigid body in an ideal fluid with circulation У У Chaos, 200б, vol. 1б, no. 1, 013118, 7pp.

[14] Borisov A. V., Mamaev I. S., Ramodanov S. M. Dynamics of a circular cylinder interacting with point vortices Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B, 2005, vol. 5, no. 1, pp. 35-50.

[15] Foppl L. Wirbelbewegung hinter einem Kreiszylinder. München: Verl. d. Königlich-Bayerischen Akad. d. Wiss., 1913. 17 pp.

[16] Jones M.A., Shelly M. J. Falling cards //J. Fluid Mech., 2005, vol. 540, pp. 393-425.

[17] Kadtke J. B., Novikov E. A. Chaotic capture of vortices by a moving body: 1. The single point vortex case // Chaos, 1993, vol.3, no.4, pp. 543-553.

[18] Maxwell J. K. On a particular case of descent of a heavy body in a resisting medium // Cambridge and Dublin Math. Journ., 1854, vol. 9, pp. 145-148.

[19] Michelin S., Llewellyn Smith S.G. Falling cards and flapping flags: Understanding fluid-solid interaction using an unsteady point vortex model // Theor. Comput. Fluid Dyn., 2010, vol. 24, nos. 1-4, pp. 195-200.

[20] Ramodanov S.M. Motion of a circular cylinder and a vortex in an ideal fluid // Regul. Chaotic Dyn., 2001, vol. 6, no. 1, pp. 33-38.

[21] Shashikanth B.N., Marsden J.E., Burdick J.W., Kelly S.D. The Hamiltonian structure of a two-dimensional rigid circular cylinder interacting dynamically with N point vortices // Phys. Fluids, 2002, vol. 14, no. 3, pp. 1214-1227.

[22] Sokolov S.V., Ramodanov S.M. Falling motion of a circular cylinder interacting dynamically with a point vortex // Regul. Chaotic Dyn., 2013, vol. 18, nos. 1-2, pp. 184-193.

[23] Tanabe Y., Kaneko K. Behavior of a falling paper // Phys. Rev. Lett., 1994, vol. 73, no. 10, pp. 13721375.

Falling motion of a circular cylinder interacting dynamically with N point vortices

Sergey V. Sokolov

Institute of Computer Science, Udmurt State University Universitetskaya 1, Izhevsk, 426034, Russia sokolovsv72@mail.ru

The dynamical behavior of a heavy circular cylinder and N point vortices in an unbounded volume of ideal liquid is considered. The liquid is assumed to be irrotational and at rest at infinity. The circulation about the cylinder is different from zero. The governing equations are presented in Hamiltonian form. Integrals of motion are found. Allowable types of trajectories are discussed in the case N = 1. The stability of finding equilibrium solutions is investigated and some remarkable types of partial solutions of the system are presented. Poincare sections of the system demonstrate chaotic behavior of dynamics, which indicates a non-integrability of the system.

MSC 2010: 70Hxx, 70G65

Keywords: point vortices, Hamiltonian systems, reduction, stability of equilibrium solutions

Received January 10, 2014, accepted January 28, 2014

Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2014, vol. 10, no. 1, pp. 59-72 (Russian)