Движение ИСЗ в условиях конечной скорости распространения гравитационного взаимодействия Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДВИЖЕНИЕ ИСЗ В УСЛОВИЯХ КОНЕЧНОЙ СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

В соответствии с [1], исходная модель движения ИСЗ, учитывающая запаздывание гравитационного взаимодействия со стороны Земли во вращающейся (географической) жестко связанной с последней системе координат, имеет вид:

.. r(t-T) г = —ц

Ir(t - т)\

гравитационный параметр Земли,

(1)

параметр временного запаздывания

где /Л

(г = |г(0|/сг).

Аналитическое решение задачи (1) возможно лишь с введением жестких ограничений на элементы модели (условие квантования орбит) [1], поэтому вместо исходных уравнений будем рассматривать аппроксимирующие, получаемые разложением их правой части в ряд Тейлора (с точностью о(т)):

КО

+ -

КО КО'

1-3

КОКО

Ко!2

r{t)r

(2)

V г '-Л

Для произвольного вида дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом известно, что такой подход зачастую приводит к системам, интегральные кривые которых сильно отличаются от решений исходных уравнений [2]. Однако, для рассматриваемой задачи - моделирования движения околостационарного спутника, численное сравнение решений, полученных непрерывным методом Дормана-Принса (четвертого порядка точности) [3], показывает незначительные (менее 1 мм за сутки) различия траекторий (1) и (2), что обосновывает выбор последних в качестве аппроксимирующей модели.

Проведем численное исследование задачи (2) выполним сравнение ее решения при = а (кеплерова опорная орбита) с решениями при конечных значениях для различных значений эксцентриситета (е) и наклонения (г) опорной орбиты.

*1[Г6, ф, г ad

1.4 0.7

0.0 -0.7 -1.4

-14.4 -9.6 -4.8 D.D 4.8 9.6 14.4 19.2 24.0 *10'U, JL, rad

Рис.1

_1____________________1____________________1___________________[_

і___________________і___________________[__________________|_

' ■ ' ' ' ' 3

Общее представление о характере эволюции запаздывающей (при а = се / с = 10 ) орбиты

от опорной околостационарной (е = 0, г = 0.0001габ/ ) дает рис.1, на котором хорошо видно, перемещение восходящего узла орбиты вправо (на Восток) и ее расширение, свидетельствующее о неустойчивости движения; (р и Я - соответственно географические широта и долгота.

Достаточно полно результаты численного моделирования прямой задачи представлены в таблице. В ней для различных значений е и г опорных кеплеровых и различных значений с„ запаздывающих орбит приведены их — соответствующих пар орбит — относительные расхождения за сутки (в метрах). Принимая во внимание значения этих расхождений и учитывая оценки возмущений орбит [4], обусловленных различными факторами известной природы, с уверенностью можно сделать заключение о том, что, по крайней мере, с » с.

о

Таблица

е \ h deg. а 0 2 10 90

0 1 0 49,52 449,4 25284

1000 0 0,0495 0,4494 25,28

1000 0 0,000495 0,004494 0,2528

0,001 1 50,88 62,63 449,6 25307

1000 0,005 0,0496 0,4497 25,31

1000 0,00005 0,000496 0,004497 0,2531

0,01 1 50,88 62,63 454,6 25520

1000 0,0509 0,0626 0,4546 25,52

1000 0,000509 0,000626 0,004546 0,2552

В самом деле, например, при i = 90° и cg= с расхождение более чем в 25 km, если бы оно

действительно имело место, не могло бы оставаться не замеченным, если принять во внимание возможности современных измерительных технологий, используемых при определении спутниковых орбит.

Подводя итог изложенному, сформулируем основные результаты исследования, а именно: в рамках гипотезы о запаздывании («радиолокационного» типа) гравитационного потенциала, не ограничивающей применение лагранжева формализма при описании движения в гравитационном поле, предложены уравнения движения ИСЗ на суточно-синхронных орбитах, выполнено их численное моделирование, отмечена неустойчивость движения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Зубов В.И. Аналитическая динамика системы тел. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1983. -385с.

2. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. -М.: Наука, 1965. -455с.

3. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи.-М.: Мир, 1990,-512с.

4. Решетнев М.Ф., Лебедев A.A., Бартенев В.А. и др. Управление и навигация искусственных спутников Земли на околокруговых орбитах. —М.: Машиностроение, 1998.

Потянихин Д. А.

ОТРАЖЕНИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ ОТ ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ГРАНИЦЫ

Рассмотрим задачу об отражении плоской продольной ударной волны постоянной интенсивности т = [llj, jb'j <'j - компоненты единичной нормали) от жесткой преграды. Пусть ударная