Две задачи простого группового преследования Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Института математики и информатики УдГУ. 2012. Вып. 1 (39)

УДК 517.977 © Д. В. Сахаров

ДВЕ ЗАДАЧИ ПРОСТОГО ГРУППОВОГО ПРЕСЛЕДОВАНИЯ1

Рассматриваются две дифференциальные игры преследования группой преследователей группы убегающих при равных возможностях всех участников. Получены достаточные условия разрешимости задач преследования и уклонения.

Ключевые слова: дифференциальная игра, простое движение, групповое преследование, жесткосоединенные убегающие.

Введение

Дифференциальным играм простого преследования посвящены многочисленные работы [1—9]. Важное направление современной теории дифференциальных игр связано с разработкой методов решения игровых задач преследования-уклонения с участием нескольких объектов. При этом представляет интерес получение как необходимых, так и достаточных условий разрешимости задач уклонения и преследования в зависимости от начальных данных и параметров игры.

§ 1. Постановка задачи

В пространстве Мк (к ^ 2) рассматривается дифференциальная игра п + т лиц: п преследователей Р1,..., Рп и т убегающих Е1,..., Ет. Законы движения преследователей и убегающих имеют вид:

Х = ь», щ € и, г = 1,..., п; у- = V-, V € и, j = 1,..., т.

Здесь Хг,у-€ Кк, и С Кк — выпуклый компакт.

В отличие от большинства работ [1—3,5—7], посвященных данной задаче, не предполагается, что и — строго выпуклый компакт с гладкой границей.

При Ь = 0 заданы начальные положения участников:

хМ = х° у-(0) = у°

причем 20 = х0 — у0 / М-, где М- С Мк — выпуклые компакты.

§2. Преследование жесткосоединенных убегающих

В данном разделе будем предполагать, что убегающие используют одно и то же управление, то есть V(Ь) = у(Ь) для всех j и Ь ^ 0 и, кроме того, в процессе игры не покидают выпуклого многогранного множества

Б = {у| у € Мк, (р5,у) ^ Ц-8, 8 = 1,..., г},

где Р1,... ,рг — единичные векторы, ^1,...,— вещественные числа такие, что 1П Б = 0. Цель преследователей — поймать хотя бы одного убегающего.

Обозначим данную игру Г(п, т, Б).

Введем следующие обозначения:

А-(V, т-) = вир{А|А ^ 0, — А(,г0 — т-) € и — V},

А-(V) = 8ир А-(V, т-), г = 1,..., п, j = 1,..., т,

т;, еМ;,

Ап+8,- (у) = (р8,у), в = 1,...,г, j = 1,..., т,

£(,г0) = ш1п тах тах А-(V).

г=1,...,п+г-=1,...,т хРабота поддержана РФФИ (грант № 12-01-00195).

Теорема 1. Если 5(z0) =0, то в игре Г(п, m, D) происходит уклонение от встречи. Следствие 1. Пусть U — строго выпуклый компакт, D = Rk и

0 / Intco{z0j — Mj}.

Тогда в игре Г(п,т) происходит уклонение от встречи.

Следствие 2. Пусть U = Di(0),

0 / Intco{z0j — Mj,pi,... ,pr}.

Тогда в игре r(n,m,D) происходит уклонение от встречи.

§3. Поимка заданного числа убегающих

Предположим далее, что цель группы преследователей — поймать не менее q убегающих (1 ^ q ^ m) при условии, что игра протекает следующим образом: сначала все убегающие выбирают свои управления сразу на [to, то), а затем преследователи, на основе информации о выборе убегающих, выбирают свои управления, и, кроме того, каждый преследователь может поймать не более одного убегающего. Игру обозначим Gq(n, m, z0).

Пусть N С {1,..., n} и M С {1,..., m}. Введем следующие обозначения:

Aj(v, mj) = sup{A|A ^ 0, — A(z0j — m^-) € U — v}, Ajj (v) = sup Aij (v,mij),

mij eMij

£NM (z0) = minminmax Ai7- (v). j€M v€U iew ^

Теорема 2. Для того чтобы в игре Gq (n, m, z0) была разрешима задача преследования, необходимо и достаточно, чтобы для каждого s € {0,..., q — 1} было верно следующее: для любого множества N С {1,... , n}, |N| = n — s найдется такое множество M С {1,... , m}, |M| = q — s, что £NM(z0) > 0.

Список литературы

1. Петросян Л.А. Игры преследования со многими участниками // Известия АН Арм. ССР. 1966. Т. 1. № 5. С. 331-340.

2. Пшеничный Б.Н. Простое преследование несколькими объектами // Кибернетика. 1976. № 3. С. 145-146.

3. Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. Киев: Наукова думка, 1992. 240 с.

4. Григоренко Н.Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. М.: Изд-во Московского ун-та, 1990. 197 с.

5. Благодатских А.И., Петров Н.Н. Конфликтное взаимодействие групп управляемых объектов. Ижевск: Удмуртский университет, 2009. 266 с.

6. Вагин Д.А., Петров Н.Н. Задача преследования группы жестко скоординированных убегающих // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. № 5. С. 75-79.

7. Петров Н.Н., Прокопенко В.А. Об одной задаче преследования группы убегающих // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23. № 4. С. 724-726.

8. Сахаров Д.В. Об одной дифференциальной игре преследования со многими участниками // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2010. Вып. 1. С. 81-88.

9. Сахаров Д.В. О двух дифференциальных играх простого группового преследования // Вестник Удмурт-

ского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 1. C. 50-59.

Поступила в редакцию 01.02.2012

D. V. Sakharov

On two problems of simple group pursuit

Two differential games of pursuit of a group of evaders by a group of pursuers with equal possibilities for all participants are considered. The sufficient conditions of solvability of pursuit and evasion problems are obtained.

Keywords: differential game, simple motion, group pursuit, rigidly co-ordinated evaders.

Mathematical Subject Classifications: 49N70, 49N75

Сахаров Денис Валентинович, аспирант, кафедра дифференциальных уравнений, Удмуртский государственный университет, 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1. E-mail: [email protected]

Sakharov Denis Valentinovich, post-graduate student, Department of Differential Equations, Udmurt State University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia