CC BY
37
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том XXIV 19 9 3
№ 1
УДК 532.526 : 533.694.71/.72 532.526-048.3
ДОЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ КОРМОВОЙ ЧАСТИ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ С ДОННЫМ СРЕЗОМ ПОД НУЛЕВЫМ УГЛОМ АТАКИ
А. Р. Горбушин
Предложен приближенный метод расчета дозвукового обтекания тел вращения с донным срезом под нулевым углом атаки в приближении пограничного слоя при наличии слабого вдува или отсоса газа в донной области. Внешнее течение моделируется методом особенностей. Приведено сравнение с результатами эксперимента.
Для учета влияния хвостовых державок и искажения формы кормовых частей моделей на суммарные характеристики моделей летательных аппаратов при испытаниях в аэродинамических трубах требуется наиболее простая модель обтекания кормы, отражающая основные особенности течения.
В связи с этим предложена стационарная схема обтекания осесимметричного тела (рис. 1) с фиксированной поверхностью отрыва (в данном случае — в плоскости донного среза) дозвуковым потоком под нулевым углом атаки. Малый вдув или отосос газа осуществляется через донный срез. За основу принята модель течения, предложенная в работе [1] для обтекания плоского уступа. Все поле течения делится на три части: 1) область внешнего потенциального потока; 2) донную область с постоянным давлением и свободным турбулентным слоем сме-
Рис. 1
шения; 3) ближний след. В качестве границы взаимодействия вязкого и невязкого потоков выбирается толщина вытеснения пограничного слоя. Для турбулентного ближнего следа выбраны интегральное соотношение Кармана и уравнение импульса вдоль оси симметрии:
‘^+(2 + Н)^Ц^£)= О, (I)
+ 2 (£)„• И
О
где б** — площадь потери импульса, Н—^, б* — площадь вытеснения,
и — продольная компонента возмущенной скорости, «0 — продольная
йр
скорость на оси следа, ^—продольный градиент давления, р0 — плот-
кость. Все значения площадей в задаче поделены на число п.
Профиль скорости в следе предполагается автомодельным:
Т- = 1 “ «/(Ч). (3)
*6
где /(*)) = 1 — Зт(2 4- 2т|3, /п =---------------------------------——, = и» — скорость на
внешней границе пограничного слоя, т — формпараметр профиля скорости, 8 — поперечная площадь следа.
Индексы б и 0 относятся к параметрам на внешней границе следа и оси соответственно. Величина формпараметра профиля скорости всегда положительна. Равномерному течению соответствует значение т = = 0; в точке отрыва или присоединения потока т = 1. Пренебрегая изменением плотности в следе, площади вытеснения и потери импульса
определяются как обычно [1]:
После подстановки профиля скорости и интегральных площадей уравнения (1) и (2) преобразуются к виду:
(2 _ т) 8* *£ _ т _ ,и) ^ - ах) т* = О,
2 (2 — т)г 8* -а 1п ^.+ и) + 2 (1 — т) - /га) ~ + (— ах) т3 = О,
— а = /" (0),
где (ах) —константа турбулентности в следе.
Для донной области выбирается наиболее простая модель: давление во всей области предполагается постоянным, скорость возвратного течения — пренебрежимо малой, слой смешения на границе застойной
30
зоны и невязкого потока — автомодельным. Склеивание течения в изобарической донной области с течением в ближнем следе проводится согласно работе [1], при условии непрерывности площади вытеснения, уравнения импульсов для всей изобарической области в виде (18**/с1х = =0 и сохранения массы газа в донной области с учетом вдува или отсоса:
ЙЯ* (т) = уо,
5//** (т) = 2Я0С + Н**(тА) /Й,
50 (т) = 2Ьх0у0Н** (тл) - Н** (тл) До,
(4)
где й(т) = —J— относительный расход возвратного течения
о
в начальном сечении следа, т)* — величина, при которой «=-- О, определяется согласно (3) решением уравнения /(тг)„) = —, у0 — начальный радиус ближнего следа, л:0 — длина донной области, /?0 — радиус донного среза, 8” — толщина потери импульса пог-
т — “вдув
раничного слоя на теле перед донным срезом, тА =------------------—
иъ
формпараметр профиля скорости в слое смешения, «вдуа —скорость вдува (отсоса), 8—поперечная площадь начального сечения ближнего следа, Ь—эмпирическая константа в коэффициенте смешения.
Слой смешения предполагается квазиплоским, а профиль скорости в нем — автомодельным (профиль типа Шлихтинга):
-^-=1 —тЛц),
у_
5С
бс — толщина слоя смешения.
Решение системы трех уравнений (4) дает начальные значения для формпараметра профиля скорости в начальном сечении ближнего следа:
та =
35
26
и площади вытеснения:
№
35
хо
9Ьт* I [ + (! _ОТд
>)
\ (4 - Зг]*) +
(I — ОТд)
к]*— определяется согласно (3) из решения кубического уравнения:
Ч-Н +
= о.
Учитывая область физически возможных значений т]# и пц, выберем следующее решение этого уравнения:
і а тп — 2
^ = С05а“^'
Ограничение на параметр пограничного слоя перед донным срезом в отсутствие вдува {тд— 1), связанное с вырождением баротропной зоны, следующее:
^ 9 / Уо V /?о ^ 70 и0/ '
Ограничение на вдув (отсос) соответственно: ті < тл<тт(т2, т&),
Ц , т* = 1 + — Зт|*) ^щ
В области потенциального течения воспользуемся методом особенностей [2]:
и(х) __ і г*_____________5т(а) (х-1) ^ С__________ 5' (X) (х ::1)йк_____________
“со _ 4 ) {(х-іу + (1 - М^) Ь*(х))3і2 4 ) ((ЛГ_ х)2 + (1 _М^) б*(л:))3/2
о
и(х) _ 1 (* 5Т (>■)(* — > ) _1_ С (X) (X - X)
Д(х-Х)2 + ( 1-му 5 (л:))3'2 4'3 +
0 (X) (х — А) ІІ'к
4 J ((*-Х)» + (I -М^) 5(х))3'2 Хі
, х£[0, х0].
где и(х) — возмущенная компонента продольной скорости, Ыоо — скорость набегающего потока, Моо — число Маха набегающего пото-
о Й5* с « с/ <1$
ка, 6 = ^ , 6 — площадь вытеснения в баротропной зоне, о = ,
5т — производная площади поперечного сечения тела, /—координата носка тела, X—переменная интегрирования.
Выпишем окончательную систему восьми уравнений задачи в виде /(0, б*, т, т', ср, ср, Б, 3') =0, учитывая, что коэффициент давления в осесимметричном случае выражается согласно [2] следующей формулой:
где Я' — производная от радиуса тела (продольную координату донного среза положим равной 0, а координату конца баротропной зоны *0=1):
/і (х) — (2 — /п) 8* пг' — 6т
35
26'
т I + (— я*) /га3 = 0, л+[1,оо],
/, (*)= - (2 - ту + 20 (1 - /я) (I ■
л:£[1, оо],
о
5Т(Х) (х-Цйк
1
£'(*) (X - \)йк
+
+
0 (X) (х — X) йк
02
/ЛХ) Л(х)--Мх) =
/7(д) =
йт
СІХ
(1Ь* ' йх
йСр
йх
й§_
йх
СО
X ((^ _ Х)2 + (I — м^) 5* (-V))3'2 26*
т.' — О, л£[1, оо],
8 = 0, х£ [1, оо],
с„ = 0, л £ [ 1, со],
= 0, *£[1, оо],
5' = 0, *£[0, 1],
и
Ш) = 2 Ср, + |
5Т (X) (X — X) Л
г ((*-*)* + (!-М1)5<*))
5' (X) (х - X) йк
3/2
+-
3/2
+
,) ((х-Х)2+(\-М2к)5(х))
Г________0(Х) (х— X) ЙХ __ 5^
3 ((л;_хр+(1_М200)5(^))3''2 '25'
;0, х £ [0, 1],
(5:
где вРо — коэффициент давления в донной области, и 5-ти начальных условий:
/га(1) = т0; 8*(1) = у20; 5(1) = у§; ср{\) = ср- Б’(0) = 8'Т(0).
Два первых уравнения представляют собой уравнения импульсов (1) и (2), третье и восьмое — решение во внешней области для следа и баротропной зоны соответственно, а уравнения с четвертого по седьмое — связь между функциями и их производными.
Выберем равномерную сетку по оси х и дискретизируем исходную систему уравнений (5):
= 0, 1=1, 2,..., л; у= 1, 2, . .6,
/л = 0, 1=1,2, ..., т; / = 7, 8,
3—«Ученые записки» № 1
33
где / — номер узла сетки, / — порядковый номер уравнения, п — количество узлов на отрезке [1, оо], т — количество узлов на отрезке [0, 1].
Решение будем искать методом наискорейшего спуска, минимизируя функционал, представляющий собой сумму квадратов невязок уравнений во всех узлах:
Задаваясь начальными приближениями для всех неизвестных и двух параметров /?0/Уо и ср0, используем следующий итерационный процесс для нахождения неизвестных:
где £ — порядковый номер итерации.
Оптимальная величина итерационного параметра Кк на каждом шаге определяется минимизацией функционала У7 с помощью квадратичной интерполяции ЛЛ
Для вычисления интегралов использовалась интерполяционная формула Симпсона, а производные заменялись трехточечиой аппроксимацией. По мере приближения к минимуму функционала итерационный процесс замедлился, что было обусловлено так называемым «эффектом оврагов». В этом случае для ускорения сходимости применялся процесс, напоминающий метод Ньютона:
Применение его с самого начала затруднительно, так как методы типа Ньютона требуют, как известно, достаточно хорошего начального приближения. Невязка, по достижении которой прекращается процесс вычисления, заключается в некорректном восьмом уравнении (интегральное уравнение первого рода), так как давление в донной области было принято константой. Наличие экспериментальных данных (распределение давления в баротропной зоне на рис. 4) позволило оценить величину невязки в той же норме, что и функционал /\ Наличие некорректного уравнения в системе не позволяет достичь точного решения задачи, а получить лишь квазирешение.
В результате итерационного процесса получаем новое значение для параметра /?0/уо, определяемого как (7?0/г/о)2 = 5(0)/5(1). Окончательное значение этого параметра находим методом простой итерации. В принципе это эквивалентно определению длины баротропной области по отношению к радиусу донного среза.
В задаче остается один неизвестный параметр — донное давление. Он определяется путем удовлетворения уравнению импульсов для течения в целом. Расчеты проводились для полубесконечного цилиндра, расположенного вверх по потоку. В этом случае потери импульса определяются трением на цилиндре, разрежением в баротропной области и вдувом (отсосом) газа:
6 и 8 т
где Ок.— площадь потери импульса в дальнем следе.
Для вычисления значения 8^ по параметрам ближнего следа в сечении хп использовалась формула типа Сквайра—Юнга.
Результаты расчета представлены на рис. 2—4 для толщины потери импульса пограничного слоя на цилиндре перед донным срезом 8о //?о = 0,012. Все линейные размеры отнесены к радиусу донного среза. Точками нанесены экспериментальные данные из работы [2], представляющей собой обзор экспериментальных и расчетных исследований по обтеканию плоских и пространственных кормовых частей дозвуковым, трансзвуковым и сверхзвуковым потоками. Дозвуковому обтеканию тел вращения посвящены работы [4—6], основные результаты которых представлены в [2]. Исследования, проведенные в работах [5, 6], чисто экспериментальные, а в работе [4] предложена расчетная модель обтекания под нулевым углом атаки и представлены результаты эксперимента.
Ввиду достаточно приближенного описания течения в донной области и следе экспериментальные константы (коэффициенты трения в следе и смешения в свободном пограничном слое) подбирались из условия соответствия экспериментальным данным, приведенным в работе [4]. В результате пробных расчетов оказалось, что коэффициент смешения влияет главным образом на координату точки присоединения и длину баротропной зоны, а коэффициент трения в следе — на донное давление. Следовательно, выбор экспериментальной константы в коэффициенте смешения будет определяться соответствием абсциссы точки присоединения Хи при т= 1 на рис. 3 в расчете с экспериментальными данными [4] при значении параметра 80 /7?0 = 0,012, а константа турбулентности в следе — соответствием расчетного донного давления с измеренным в работе [4] на оси донного среза и представленным на рис. 4. Значения этих коэффициентов оказались следующими: (—ах) = = 0,012, 6 = 0,18. На основании многочисленных опытных данных (например, [1]) значения экспериментальной константы в коэффициенте смешения принято равным 0,27 для начального участка струи и 0,22 для основного. Заниженное значение этой константы, полученное в данной работе, следует объяснить, по-видимому, особенностью модели донной области. Отметим, что в аналогичной задаче для плоского уступа, приведенной в работе [1], величина константы также получилась заниженной: Ь = 0,18—0,20.
На рис. 2 представлены распределения площади вытеснения и се производной, а также нанесена длина баротропной зоны х0. Зависимость формпараметра профиля скорости в следе и его производная представлены на рис. 3. Точке присоединения соответствует значение лг=1. Следует отметить наличие разрыва формпараметров в сечении склеивания ближнего следа с баротропной зоной. Распределения коэффициента давления и его градиент нанесены на рис. 4. Экспериментальные точки [4] соответствуют давлению по оси и толщине вытеснения. Отметим, что моделирование течения в области донного среза зоной с постоянным давлением весьма приближенно и, к тому же, заводит некорректность в постановке задачи. Кроме того, следует отметить наличие поперечного градиента давления в донной области, который не учитывается в приближении пограничного слоя. Но тем не менее, для задач методики эксперимента такая постановка задачи позволяет получить удовлетворительные результаты. На рис. 5, а представлена зависимость коэффициента донного давления от относительной толщины потери импульса перед точкой отрыва в сравнении с экспериментальными данными [4, 6], а на рис. 5,6 —абсциссы точки присоединения в
несжимаемом потоке. На рис. 5,а также приведены результаты расчета работы [4], которые в диапазоне значений параметра 0<&о/Яо< <0,014 аппроксимируются формулой
С
сРо= 1,375-0,132,
а в диапазоне 8о7-/?о>0,014 полагаются константой. Соответствующая аппроксимация для абсциссы точки присоединения по параметру Ьо*/Яо приведена на рис. 5, б и описывается следующей линейной зависимостью:
Зависимости донного давления и координаты точки присоединения от числа Маха набегающего потока приведены на рис. 6, а и рис. 6,6 соответственно с результатами эксперимента. Соответствие результатов расчета и эксперимента можно признать удовлетворительным. По всей видимости, учет сжимаемости только во внешней задаче вполне оправдан.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гогиш Л. В., Степанов Г. Ю. Турбулентные отрывные течения.— М.: Наука, 1979.
2. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука,
1987.
3. Delery J., Siriex М. Ecoulements de culot//AGARD-LS-98.
4. Vanwangenen R. A study of axially-symmetric subsonic base flow//Ph. D. Thesis, University of Washington. — 1968.
5. Rom J., Victor М., Reichenberg М., Salomon M.— Wind tunnel measurements of the base pressure of an axially-symmetric model in subsonic, transonic and supersonic speeds at high Reynolds num-bers//TAE Report 134, 1972.
6. Mers R. A., Rage R. H., P r s i r e m b e 1 С. E. G. Subsonic axisymmetric near wake st,udies//AIAA J.— 1978. Vol. 16, N 7.
Рукопись поступила 25/1 1991 г.
