CC BY
104
^^ npoÔAeMU uHcßopMamuKii. 2016. M 3
SUFFICIENT CONDITIONS FOR STABILITY OF THE DYNAMIC SYSTEM WITH INACCURATE DATA
N. R. Yunicheva
Institute of Information and Computational Technologies, 050010, Alma-Ata, Kazakhstan
Mathematical description of the phenomena and processes of the nature is often carried out with this or that degree of error. Such errors lead to the fact that the mathematical model not rather fully reflects all qualities of studied processes. Desire to eliminate this deficiency contributed to development of a new scientific direction in the modern control theory, which acquires the increasing relevance and a demand in practice now. Within this direction of an error of modeling caused by the reasons of various type are considered directly in the most mathematical model by introduction of interval parameters with set lower and upper bounds. Such approach to a problem allows to judge existence of these or those qualities of the studied phenomenon or process in conditions, so-called, parametrical uncertainty. The most developed in sense of richness of ideas and methods of property research in conditions of parametrical uncertainty there was a class of linear mathematical models to which the most part of scientific works in this area is devoted. However, in practice there are cases when it is impossible to be limited to consideration only of linear mathematical models. On the other hand, today the arsenal of methods for studying dynamical qualities of processes described by nonlinear mathematical model with unknown parameters are presented extremely sparingly in current scientific work. In this regard special relevance is acquired by problems of development new and existing methods of quality research of nonlinear dynamic models of processes in the conditions of parametrical uncertainty.
Studying the properties of nonlinear dynamic systems with unknown parameters interval type is of great scientific interest. Many of the issues relating to the investigation of the stability of nonlinear interval dynamic systems defined in the state space are still open. In this paper we consider the nonlinearitv of sector type. Research problems of dynamic systems with nonlinearitv of sector type, mathematical models are accurately known goes back to the works A. I. Lure, and Popov's and consists of two interrelated areas of the modern theory of absolute stability. The presence of interval uncertainty has given rise to a new round of the relevance of research tasks A. I. Lure nonlinear systems with unknown parameters. For example, obtained by modifying the frequency robust stability criteria absolute uncertainty in the linear part of the system. In contrast to this work, in which the linear part is given in the form of a family of polynomials, the greatest interest in this area is the study of nonlinear systems defined in the state space. In other work using the Lvapunov Krasovskii functional, sufficient conditions for the absolute stability of interval nonlinear systems with delay in state and nonlinearitv of sector type.
The development of Lvapunov's direct method, successfully proven in solving many problems of control theory, a class of interval-specified objects leads to the necessity of the study of solution sets of interval matrix Lvapunov equations, Sylvester. The complexity of the mathematical description of such sets leads to an exponential growth in computing costs in solving the problems of control theory. However, in most cases in practice it suffices to consider the outer or inner interval estimates of these
In this paper, based on the direct method of Lvapunov, an algebraic criterion for absolute stability of zero equilibrium position interval dynamic system with vector nonlinearitv of sector type is proposed.
lOnuneea, H. P.
5
Key words: inaccurate data, stability of a dynamic system, the tolerance solution set.
References
1. Sokolova S. P., Ivlev R. S. Eksponentcialnava ustovchivost' intervalnoi nelineinoi sistemv // Trudy SPIIRAN, 2006. Vvp. 3. Tom 2. P. 366-376.
2. Lure A. I. Nekotorvie nelineynvie zadachi teorii avtomaticheskogo regulirovaniva. M.: Gostehizdat, 1951.
3. Popov V. M. Giperustovchivost avtomaticheskih sistem. M.: Nauka, 1970.
4. Dzhuri E. I., Premaratne K., Ekanavake M. M. Robastnava absolyutnava ustovchivost diskretnvih sistem // Avtomatika i Telemehanika. 1999. N 3. P. 97-118.
5. Ivlev R. S. Absolyutnava ustovchivost nelineynvih dinamicheskih sistem s parametricheskov neopredelennostvu intervalnogo tipa i zapazdvivavuschim argumentom // Materialvi Mezhdunarodnov konferentsii "Vyichislitelnvie tehnologii i matematicheskoe modelirovanie v nauke, tehnike i obrazovanie". VTMM-2002. Novosibirsk-Alma-Ata, 2002. P. 27-34.
6. Kalmv'kov S. A., Shokin lu. I., Iuldashev Z. KH. Metodv' interval'nogo analiza. N.: Nauka SO, 1986.
7. Zholen L., Kifer M., Didri O., Val'ter E'. Pricladnoi' intervaPnv'i' analiz. M.: Institut komp'iuternv'kh issledovanii'. 2007.
8. Gelig A. KH., Leonov G. A., Iakubovich V. A. Ustoi'chivost' nelinei'nv'kh sistem s needinstvennv'm sostoianiem ravnovesiia. M.: Nauka. 1978.
6
^^ Проблемы информатики. 2016. Же 3
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С НЕТОЧНЫМИ ДАННЫМИ
Н.Р. Юыичева
Институт информационных и вычислительных технологий КН МОН РК,
050010, Алма-Ата, Казахстан
УДК 681.5
Развитие прямшх) метода Ляпунова, успешно зарекомендовавших) себя при решении многих задач теории управления, на класс интервально-заданных объектов приводит к необходимости исследования множеств решений интервальных матричных уравнений Ляпунова, Сильвестра. Сложность математических) описания таких множеств приводит к экспоненциальному росту вычислительных затрат при решении поставленных задач теории управления. Однако в большинстве случаев на практике достаточно ограничиться рассмотрением внешних либо внутренних интервальных оценок этих множеств. В статье на основе прямсих) метода Ляпунова предложен а.;п'ебраичеекий критерий абсолютной устойчивости цулевсих) положения равновесия интервальной динамической системы с векторной нелинейностью еекторжих) типа.
Ключевые слова: неточные данные, устойчивость динамической системы, допустимое множество решений.
Введение. Математическое описание явлений и процессов природы чаще всего осуществляется с той или иной долой погрешности. Такие погрешности приводят к тому, что математическая модель недостаточно полно отражает все свойства исследуемых процессов. Желание устранить этот недостаток способствовало развитию нового научного направления в современной теории управления, которое приобретает в настоящее время все большую актуальность и восстребовашюсть на практике. В рамках данного направления погрешности моделирования, обусловленные причинами различного тина, учитываются непосредственно в самой математической модели нутом введения интервальных параметров с заданными нижними и верхними границами. Такой подход к проблеме позволяет судить о наличии тех или иных свойств исследуемого явления или процесса в условиях так называемой параметрической неопределенности. Наиболее развитым в смысле богатства идей и методов исследования свойств в условиях параметрической неопределенности оказался класс линейных математических моделей, которому и посвящена большая часть научных работ в этой области. Однако, на практике часты случаи, когда нельзя ограничиться рассмотрением только линейных математических моделей. Более того, ряд других особенностей природных процессов, таких как наличие конечной памяти, не может быть оставлен без внимания дня более адекватного описания этих процессов. К сожалению, на сегодняшний день арсенал методов исследования динамических свойств процессов, описываемых нелинейными математическими моделями в условиях параметрической
Данная работа выполнена при финансовой поддержке научно-исследовательского проекта № 3329 / ГФ4 КН МОН РК. Особую благодарность автор выражает Руслану Сергеевичу Ивлеву за ценные замечания и поправки.
Юничева Н. Р.
7
неопределенности, представлен в современных научных работах крайне скупо, В этой связи особую актуальность приобретают задачи разработки новых и развитие существующих методов исследования свойств нелинейных динамических моделей процессов в условиях параметрической неопределенности [1]. Изучение свойств нелинейных динамических систем в условиях параметрической неопределенности интервального типа представляет большой научный интерес. Многие из вопросов, касающиеся исследования устойчивости нелинейных интервальных динамических систем, заданных в пространстве состояний, до сих пор остаются открытыми, В настоящей работе рассматривается нелинейность секторного типа. Задачи исследования динамических систем с нелинейностью секторного типа, математические модели которых точно известны, восходят к работам А, И, Лурье [2] и В, М, Попова [3] и составляют два взаимосвязанных направления современной теории абсолютной устойчивости. Наличие интервальной неопределенности обусловило появление нового витка актуальности задач исследования нелинейных систем А, И, Лурье в условиях параметрической неопределенности. Так, например, в работе [4] получены робастные модификации частотных критериев абсолютной устойчивости при неопределенности в линейной части системы, В отличие от указанной работы, в которой линейная часть задана в виде семейства полиномов, наибольший интерес в этой области представляет исследование нелинейных систем, заданных в пространстве состояний, В работе [5], используя функционалы Ляпупова-Красовского, получены достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейной интервальной системы с запаздыванием в состоянии и нелинейностью секторного типа,
1. Постановка задачи. Рассматривается нелинейная динамическая система, математическая модель которой может быть представлена в пространстве состояний в условиях интервальной неопределенности параметров в виде следующего соотношения
где £ — независимая переменная (время); х (¿) = (хг (¿)) — вектор состояний, компонентами которого являются непрерывные на [¿0,го) функции хг (¿), т, е, хг (¿) € С [¿о,го), 1 ^ г ^ щ в начальный момент времени ¿0 значение вектора состояний предполагается известным х0. Пусть А Е /Ягахга, В Е /Ягахт — постоянные интервальные матрицы размерности щ х щи щ х га соответственно. Величина р (■) — непрерывно дифференцируемая вектор-функция р : Я ^ Ят, компоненты рг, 1 ^ г ^ га которой удовлетворяют ограничениям секторного типа (график функции рг (с) расположен в секторе между прямыми рг = 0 и рг = ^1гс, ^г > 0 1 ^ г ^ га).
Класс вектор-функций, обладающих указанными свойствами, обозначим через Фт, т. е.
р Е Фт = {ф (с) Е С^[¿ого), Я, Ят) | 0 ^ фг(с)с ^ ^с2,фг(0) = 0, 1 ^ г ^ га} (2)
Здесь С1 ([¿0,го) ,Я,Ят) — пространство непрерывно дифференцируемых на [¿0,го) вектор-функций р : Я ^ Ят.
Величина определяется согласно выражению
где г Е Яп — вектор размерностп щ х 1,
(1) (2)
функцию х(^0,х0) = х(£), удовлетворяющую при некоторых значениях А Е А и В Е В следующей нелинейной системе дифференциальных уравнений.
х (¿) е Ах (¿) + Вр (а), х (¿0) = х0, £ Е [¿0,го),
(1)
а = гтх (¿) ,
(3)
х (г) = Ах (г) + В<р (а) а = гТх (г) ,
т (+\ х = Хо, 1 е [^го). (4)
В силу свойств функции существует тривиальное решение х (г) = 0 системы (1), которое является ее положением равновесия.
Определение 2, Будем говорить, что нелинейная интервальная динамическая система (1) — (2) обладает некоторым свойством Р, если этим свойством обладает любая система (3) для А е А и В е В,
Задача 1, Определить условия абсолютной устойчивости положения равновесия х (г) = 0 нелинейной интервальной динамической системы (1)-(2) с векторной нелинейностью секторного типа в смысле определения 2,
(А, В)
стабилизируема, т.е. для любых А е А и В е В стабилизируемой является пара (А,В),
Решение поставленной задачи будет осуществлено на основе прямого метода Ляпунова посредством выбора функции Ляпунова в виде квадратичной формы
V (х) = хтНх,
где Н е Япхп, Н = НТ — симметрическая положительно определенная матрица.
Для того чтобы сформулировать основной результат, введем в рассмотрение некоторые объекты и приведем необходимые определения из интервального анализа [6]. Введем в рассмотрение вектор ^ е Ят
^ = ,... ,^т)Т
и диагональную матрицу Л е Ятхт
Л = Diag {Лг,1 ^ г ^ т} . Определение 3, Интервальную квадратную матрицу О е /Япхп, где О = (д,), а д, =
д, ,д
—,
1 ^ г,^ ^ Щ будем называть положительно определенной и записывать О > 0,
если положительно определена любая матрица О е О, т. е. квадратичная форма хтОх > 0 для любой матрицы О е О и любого х е \ {0}, Определение 4, Множество матриц вида
О'ут _ |~О'ут О^^^ _ е ^пхп | О_ОТ О'Ут < О < О'ут 1,
где знак неравенства понимается в поэлементном смысле, будем называть симметрической интервальной матрицей и записывать Оаут = (Оаут)Т,
Пусть ОЦт — некоторая интервальная симметрическая положительно определенная матрица размерности (щ х щ), О12 е /Дпхт — некоторая интервальная матрица размерности (щ х т) и О22 = ОТ2 > 0 — некоторая симметрическая положительно определенная матрица размерности (т х т), такие что интервальная симметрическая матрица следующего блочного вида
/ (-чаут, \ / (-чаут,
О'ут = О11 О11 О11 О11
0П I I С*Т г^
21 О22 О12 О22
положительно определена.
Для точечных значений А е А, В е В О11 е О11; О12 е О12 и О22 введем в рассмотрение следующую систему нелинейных матричных алгебраических уравнений
Юничева Н. Р.
9
Ат Н + НА + = -Сп; НВ + 1 /2Лг^Т + 5 Г = -С12; (5)
?22;
-Л + ГГТ = -С2
относительно матриц Н Е [пхп, 5 Е [пхт и Г Е [тхт; которую для краткости обозначим X (НДГ) = 0.
Уравнения системы (4) называют также разрешающими уравнениями Лурье [2], Определение 5, Следующее множество троек (НДГ) декартового произведения [пхп х [пхт х [тхт вида
(А,В,С1Г,С12) = {(НДГ) Е Япхп х Япхт х Ятхт |(УА Е А) х (6)
х (УВ Е В) (ЗСц Е С1Г) (3^12 Е С12) (X (НДГ) = 0)}
называется допустимым, множеством решений интервальной системы нелинейных матричных алгебраических уравнений [7].
Ат Н + Н А + ББТ = Н В + 1/2Лг^Т + 5Г = -С^; (7)
-Л + ГГТ = -С22.
(4) (6)
разрешающими уравнениями Лурье,
Теорема 1, Пусть для заданных интервальных матриц А Е /Япхп и В Е /Япхт, векторов г Е [п и ^ Е [т, а также некоторых интервальных матриц ОЦт > 0 и О12 Е /Япхт
Л Е [ тх т
(5)
(6)
(Н*,в*,Г*) Е (А, В, О11т, О12);
2) матрица Н* является симметрической положительно определенной. Тогда нулевое положение равновесия х (¿) = 0 нелинейной интервальной динамической (1) (2)
стей.
Доказательство. В соответствии с прямым методом Ляпунова вычислим первую производную функции Ляпунова при произвольных, но фиксированных значениях на траек-
(3)
V (х) = (Ах + Вр (а))Т Нх + хТН (Ах + Вр (а)).
(4)
Для определения условий отрицательной определенности производной V (х) в части пространства [п х [т, выделяемой ограничениями секторного типа, воспользуемся Б-процедурой [8], Предполагая существование положительных чисел Аг > 0 г = 1,2,... ,га, и опуская выкладки, запишем окончательное выражение для Б-формы [8],
Б (х,р) = хт (АтН + НА) х + (втН + У2Л^гт) +
+ хт ^НВ + У2г^тл) р - Л<£. (8)
Используя матрицы ОЦ™, С12 € /Ягахт и О22, построим интервальную симметрическую положительно определенную матрицу О«ут, представимую в блочном виде следующим образом
0/ О «ут О «ут _ / О11 О12 = I Г'Т ^
V О12 С22
и сформируем следующее множество отрицательно определенных квадратичных форм переменных х и ^
2 (х,р) = {- (БТх + Г^)Т (БТх + Г^ - (хт </) ^ ^ ) I С € О«Ут которое для удобства запишем в виде
2 (х,р) = - (Бтх + Г^)Т (Бтх + Г^ - (хт </) О«ут ( х ) . (9)
Потребуем, чтобы для любых значений А € А и В € В Б-форма (8) принадлежала множеству (7). Данное требование будет удовлетворено, если для любых значений А € А и В € В существует такая матрица С € О«ут или, что эквивалентно, существуют такие матрицы С11 € 011™ и С12 € О12, что имеет место равенство
Б (х,р) = - (БТх + Г^)Т (БТх + Г^ - ( хт ) ^ х ) . (10)
Расписывая последнее равенство в развернутом виде, получаем
хт (АтЯ + НА) х + (ВтЯ + 0,5Л^гт) + хт (НВ + 0,5г^тЛ) ^ - =
= хт (ББт + Си) х - </ (ГтБт + СТ2) х - хт (БГ + С^) ^ - </ (ГтГ + С22) ^
Последнее равенство будет выполнено, если система уравнений (4) является совместной, По условию теоремы (Н*,Б*,Г*) € Е4о1 (А,В,О1Ут,О12), Это означает, что для любых значений существуют такие матрицы С11 € ОЦт и С12 € О12, что матрнцы Н*,Б*,Г*
(4)
Далее справедливой является следующая цепочка импликаций (для любых А € А и В € В существуют такие С11 € ОЦ™ и С12 € О12, что имеет место равенство (9)) ^
(для любых А € А и В € В Б-форма (8) принадлежит множеству (7)) ^
(для любых А € А и В € В Б-форма (8) является отрицательно определенной формой
переменных х и ^
(для любых А € А и В € В первая производная V (х) по времени функции Ляпунова па траекториях движения (3) будет отрицательной в части пространства Яга х Ят, выделяемой ограничениями секторного типа) ^
Юн,плева Н. Р.
И
(для любых A Е Аи B е В в силу положительной определенности H * (условие 2 теоремы) положение равновесия x (t) = 0 динамической системы (3) абсолютно устойчиво для выбранного класса векторной нелинейности) ^
(положение равновесия x (t) = 0 нелинейной интервальной динамической системы (1) — (2) абсолютно устойчиво для выбранного класса векторной нелинейности в смысле определения 2),
Теорема доказана.
Заключение, Таким образом, как указывалось выше, развитие прямого метода Ляпунова па класс иптервалыю-задаппых объектов (или объектов с неточными данными) приводит к необходимости исследования множеств решений интервальных матричных уравнений Ляпунова, следовательно, математическое описание таких множеств приводит к экспоненциальному росту вычислительных затрат при решении поставленных задач теории управления как при решении вопросов синтеза, так и при исследовании динамических свойств подобных систем. Использование S-процедуры и методов интервального анализа позволило избежать громоздких вычислительных трудностей. Полученные достаточные условия абсолютной устойчивости нулевого положения равновесия рассматриваемой нелинейной интервальной динамической системы не требуют больших вычислительных затрат дня их проверки, в связи с чем эти условия могут быть успешно применены па практике.
Список литературы
1. Соколова С. П., Ивлев Р. С. Экспоненциальная устойчивость интервальной нелинейной системы /7 Труды СПИИРАН, 2006. Вып. 3. Т. 2. С. 366 376.
2. Лурье А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматических) рсхулирования. М.: Гоетехиздат, 1951.
3. Попов В. М. Гинерустойчивость автоматических систем. М.: Наука, 1970.
4. Джури Э. И., Премаратне К., Эканайаке М. М. Робастная абсолютная устойчивость дискретных систем /7 Автоматика и Телемеханика. 1999. № 3. С. 97 118.
5. Ивлев Р. С. Абсолютная устойчивость нелинейных динамических систем с параметрической неопределенностью интервальнох'о тина и запаздывающим архументом /7 Материалы Межд. конференции „Вычислительные технологии и математическое моделирование в науке, технике и образовании". ВТММ-2002. Новосибирск — Алма-Ата, 2002. С. 27-34.
6. Калмыков С. А., Шокин Ю. И., Юлдашев 3. X. Методы интервальнох'о анализа. Н.: Наука СО, 1986.
7. Жолен Л., Кифер М., Дидри О., Вальтер Э. Прикладной интервальный анализ. М.: Институт компьютерных исследований. 2007.
8. Гелиг А. X., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неедххнетвен-ным состоянием равновесия. М.: Наука. 1978.
Юничева Надия Раф- В 1990 году Н. Р. Юничева окончила Казах-катовна канд. техн. наук, ский политехнический институт им. К. Сатххае-
старш. науч. сотр. Института ва, факультет „Автоматика и системы уххрав-
"
"
"
ту в Институт математики и механики, а за-
тем в 1991 году переводом в Институт проблем информатики и проблем управления АН РК младшим научным сотрудником в названную лабораторию. В 1992 году поступила в очную аспирантуру Института проблем информатики и проблем управления АН РК. В 1998 году защитила кандидатскую диссертацию на тему „Построение и исследование динамических свойств систем управления иптервальпо-заданными объектами на основе метода общего параметра" по специальности 05.13.01 „Управление в технических системах". В 2002 году получила ученое звание доцента по специальности 05.13.00 — „Информатика, вычислительная
"
С 1991 г. по сегодняшний день работает в Институте проблем информатики и управления АН РК (ныне Институт информационных и вычислительных технологий МОИ РК) в лаборатории „Интеллектуальные системы управления "
ника.
Общий трудовой стаж составляет 26 лет, научный стаж работы составляет 20 лет. Опубликовано более 80 печатных работ, в том числе 60 после защиты диссертации. Является рецензентом выпускных работ бакалавров и магистрантов в КазНТУ на кафедре „Техническая кибер-"
С мая 2013 года работает в должности Ученого секретаря в Институте информационных и вычислительных технологий МОИ РК.
In 1990 Yunicheva N. R. graduated from the Kazakh Polytechnic Institute named after
K. Satpaev, Department „Automatics and control systems", specialty „Automatics and telemechanics", has a qualification in electrical engineering. In the same year got a job at the Institute of mathematics and mechanics, and then in 1991 at the Institute of Problems of Informatics and Control as a junior researcher in the laboratory. In 1992 entered the graduate school of the Institute of Problems of Informatics and Control, of the Academy Sciences of the Republic of Kazakhstan.
In 1998 defended master's dissertation on the theme „Construction and study of dynamic properties of control systems with interval-defined objects based on the method of common
parameter" on specialty 05.13.01 — „Management "
academic title of Associate Professor on specialty
05.13.00 — „Computer science, computer
"
From 1991 to present day is working at the Institute of Problems of Informatics and Control of the Academy Sciences of the Republic Kazakhstan
(now HCT) in the „Intelligent control systems and "
General labor experience is 26 years, scientific experience is 20 years. Has published more than 80 publications, including 60 after the thesis defense. Is a reviewer of final works of bachelors and master students of KazNTU in the Department „Technical Cybernetics".
Since May 2013 has been working as a Scientific Secretary at the Institute of Information and Computational Technologies.
Дата, поступления — 01.07.2016
