Достаточные условия терминальной инвариантности скачкообразных стохастических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

М. М. Хрусталев, К. А. Царьков 81

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ТЕРМИНАЛЬНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ СКАЧКООБРАЗНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

М. М. Хрусталев, К. А. Царьков

Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН

117997, Москва

УДК 517.977

Б01: 10.24411/9999-018А-2019-100011

В работе предлагаются условия терминальной инвариантности динамических стохастических кусочно-непрерывных управляемых процессов. Рассматриваемые процессы описываются системами нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих в правой части наряду с детерминированным непрерывным слагаемым стохастическую скачкообразную компоненту в виде интеграла по случайной мере Пуассона. Предполагается, что параметры меры (интенсивность и распределение величин скачков) могут меняться со временем. Начальное условие фиксировано. Под терминальной инвариантностью понимается постоянство значения заданного функционала (терминального критерия), выполненное с вероятностью 1. Формулируются достаточные условия терминальной инвариантности, позволяющие вычислить указанное значение явно. Схема применения условий демонстрируются на модельном примере. В рамках данного примера показаны ключевые свойства терминально инвариантной стратегии управления, которые обеспечивают парирование произвольных реализаций случайного скачкообразного процесса.

Ключевые слова: терминальная инвариантность; скачкообразные случайные процессы; стохастические управляемые системы.

Введение

Проблема построения терминально инвариантных динамических систем весьма актуальна на практике, и в то же время изучена в настоящее время не достаточно хорошо. Особенно это касается математических моделей реальных процессов, учитывающих случайные внешние возмущения. Одной из первых работ в этой области явлется статья [1]. В ней не только сформулированы и строго обоснованы достаточные условия терминальной инвариантности стохастических систем, но и введены сами понятия терминальной инвариантности по возмущениям и абсолютной терминальной инвариантности.

Настоящая работа является продолжением исследований статьи [1]. В отличие от [1], где были рассмотрены системы диффузионного типа, здесь в аналогичном аспекте исследуется класс скачкообразных стохастических систем. Предлагаемые достаточные условия терминальной инвариантности в терминологии работы [1] обеспечивают инвариантность системы по возмущениям при произвольном начальном условии. Это означает, что в случае фиксированного начального условия терминальный критерий почти наверное принимает постоянное значение.

1. Постановка задачи

Предположим, что управляемая динамическая система описывается стохастическим дифференциальным уравнением [2, 3]

82 "Проблемы оптимизации сложных систем - 2019"

dx(t ) = f (t, x(t ), u (t, x(t ), v(t )), v(t ))dt + J h(t, x(t- ), u(t, x(t- ), v), v)|(dt, dv),

Mr (1)

x(t0 ) = xo,

где t е T :=[t0; tj œ M - время; начальное условие (t0, x0) е T х M" фиксировано; x(t) - и -мерный вектор, характеризующий состояние системы в момент времени t ; t ^ v(t) - r -мерный случайный процесс с заданным распределением (вероятностной мерой) v(t, •) ; iи(-) - неоднородная случайная пуассоновская мера на T х Mr с интенсивностью t ^ n(t, •) , в каждый момент времени t значение П(t, •) - заданная неслучайная ненормированная мера на Mr с условием 0<n(t, Mr )<+œ такая, что выполнено равенство П (t, •) = П(t, Mr )v(t, •) ; (t, x, v) ^ u (t, x, v) - m -мерная неслучайная измеримая стратегия управления (заранее не задана, но может быть выбрана произвольно в целях, формулируемых далее); f (•), h(•) - заданные измеримые " -мерные вектор-функции; здесь

и далее в работе используется обозначение x(t- ) := lim x(s) . Предполагается, что процесс

х ^t-0

v(t ) и мера i(-) независимы.

Введем в рассмотрение множество V допустимых процессов управления (x(), u(•)), удовлетворяющих условию: при заданной стратегии управления (t, x, v) ^ u (t, x, v) случайный процесс x(t) является сильным решением [2, стр. 519] уравнения (1) на T . На множестве V определим функционал (терминальный критерий)

J(x(-),u(0) = F(x(tj)), F(•) е С2(M"). (2)

Систему (1) при фиксированной стратегии (t, x, v) ^ u (t, x, v) будем называть терминально инвариантной, если критерий (2) принимает постоянное значение Jc с вероятностью 1.

Требуется определить стратегию управления, обеспечивающую терминальную инвариантность динамической системы (1) в смысле определения 2.

2. Достаточные условия терминальной инвариантности

Введем в рассмотрение множество Ф функций (г, х) ^ ((г, х): Т х Мп ^ М , имеющих непрерывные производные (, (рх, ( . Для краткости обозначим

К (г, х, и, V) = (, х) + ( (г, х) / (г, х, и, V), (3)

Г (г, х, и, V) = ((/, х + к(г, х, и, V)) - ((/, х), (4)

Л (г, х, и, V) = Г (г, х, и, V) - (1 (г, х)Н(г, х, и, V), (5)

Щ, х, и, V) = К (г, х, и, V) + |Л(г, х, и, v)П(г, dv). (6)

®1

Если при фиксированной стратегии (г, х, V) ^ и(г, х, V) существуют измеримая ограниченная функция г ^ ц(г): Т ^ М и функция ((•) еФ такие, что для всех х е Мп, V е Мг выполнены условия 1 ((1,х) = Г (х) ,

2. Ь(г, х, и (г, х, V), v) = п(г) п.в. на Т,

3. Г( г, х, и (г, х, V), v) = 0 всюду на Т ,

то система (1) терминально инвариантна, а значение критерия

М. М. Хрусталев, К. А. Царьков 83

J = хс) + \n(t )dt. (7)

t0

3. Модельный пример

Рассмотрим систему

\dx1 (t) = x2 (t )dt + x2 (t- ) n(dt, M), [dx2 (t) = - x (t )dt + u(t, x(t- )) ¡Li(dt, M),

где t e T = [—1; 0]; x(-1) = (-1,1)T; интенсивность пуассоновской меры П(t, M) = 5; размерности векторов n = 2, m = l = 1; отсутствуют возмущения, связанные со случайным процессом v(t), и можно считать, что r = 1.

Требуется обеспечить терминальную инвариантность системы относительно величины J = Х2(0).

Функции р(-) и п(') построим в форме

(p(t, x) = у (t) Х1 + у/2(t) Х2, n(t) = 0, тогда условия теоремы 3 с учетом обозначений (3)-(6) примут вид L у(0)Х1 +У2(0)Х2 = Х2 ,

2. y(t)х1 + y2(t)Х2 + y(t)Х2 — y2(t)Х1 = 0 п.в. на T ,

3. y1(t)x2 +y2(t)u (t, x) = 0 всюду на T .

Из условия (iii) получаем структуру инвариантного управления

u (t ,x) = —^^ x2, У2 (t)

а коэффициенты y(t), y2(t) найдем из условий (i), (ii). В силу произвольности значений x1, x2 имеем задачу Коши

^'ЧлО), у(0) = 0,

dt

)

= —y(t), У2 (0) = 1,

dW2(t )_

dt

которая имеет решение ц/х(1) = sin(t), у/2^) = cos(t) . Таким образом,

и ^, х) = -tg(t) Х2.

На рисунках 1-2 представлены результаты простейшего численного моделирования методом Эйлера для нескольких реализаций траекторий компонент вектора состояния х^) и управления и (^ х^)) .

Значения величины J = х2 (0) отличаются друг от друга в пределах погрешности и равны 1.386, 1.382, 1.387 соответственно для полученных реализаций. Точное терминальное значение критерия по формуле (7) Jc = sin(1) + cos(1) «1.381.

Рисунок 1: Три реализации (черный, зеленый и красный цвета) состояния x(t)

-1 -0.8 -Об -0.4 -02 0,

Рисунок 2: Три реализации (цвета те же) управления u (t, x(t))

Результаты моделирования свидетельствуют о том, что величина x2(0) не меняется в зависимости от реализации случайной меры v(-). Таким образом, найденная стратегия управления действительно обеспечивает терминальную инвариантность заданной динамической системы.

Список литературы

1. Хрусталев М.М. Терминальная инвариантность стохастических систем диффузионного типа // АиТ. 2018. 8. С. 81-100.

2. Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Наука, 1985. - 640 с.

3. 0ksendal B., Sulem A. Applied Stochastic Control of Jump Diffusions. - Berlin Heidelberg, Germany: Springer, 2005. - 266 p.

Хрусталев Михаил Михайлович - д-р. физ.-мат. наук, гл. науч. сотр. Института проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН; email: mmkhrustalev@mail.ru; Царьков Кирилл Александрович - канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Института проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН; email: k6472@mail.ru