Достаточные условия нелокальной разрешимости системы двух квазилинейных уравнений первого порядка со свободными членами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета

2020. Том 55. С. 60-78

УДК 517.9 © М. В. Донцова

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ НЕЛОКАЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ СИСТЕМЫ ДВУХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СВОБОДНЫМИ ЧЛЕНАМИ

Рассмотрена задача Коши для системы двух квазилинейных уравнений первого порядка со свободными членами. Исследование разрешимости задачи Коши для системы двух квазилинейных уравнений первого порядка со свободными членами в исходных координатах основано на методе дополнительного аргумента. Сформулированы и доказаны теоремы о локальном и нелокальном существовании и единственности решений задачи Коши. Доказаны существование и единственность локального решения задачи Коши для системы двух квазилинейных уравнений первого порядка со свободными членами, которое имеет такую же гладкость по х, как и начальные функции задачи Коши. Определены достаточные условия существования и единственности нелокального решения задачи Коши для системы двух квазилинейных уравнений первого порядка со свободными членами, продолженного конечным числом шагов из локального решения. Доказательство нелокальной разрешимости задачи Коши для системы двух квазилинейных уравнений первого порядка со свободными членами опирается на глобальные оценки.

Ключевые слова: система квазилинейных уравнений, метод дополнительного аргумента, задача Коши, глобальные оценки.

001: 10.35634/2226-3594-2020-55-05 Введение

Рассмотрим систему вида

где и(г, х), ь(Ь,х) — неизвестные функции, /^^х), /2(г,х), Б1, Б2 — известные функции. Для системы уравнений (0.1) определим начальные условия:

В работе [1] изучена краевая задача с операторами М. Сайго для уравнения смешанного типа с дробной производной. Уравнения и системы дифференциальных уравнений в частных производных первого и второго порядка, в частности системы квазилинейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, описывают различные задачи из физики и механики. Для систем квазилинейных и нелинейных уравнений первого порядка нет достаточно полной теории, нет общих теорем существования и единственности решения задачи Коши, а также универсальных методов решения любых систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Разработано несколько разных методов для исследования разрешимости систем квазилинейных

(0.1)

и(0,х) = ^(х), г>(0,х) = <^2(х). Задача (0.1), (0.2) определена на

пт = {(г,х) | о ^ г ^ т, х е (-то, т > 0}.

(0.2)

и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Например, всем известный классический метод характеристик, метод Галёркина, метод потоков. Как и любой метод, каждый из них имеет свои преимущества и свои недостатки. Нельзя выделить какой-либо метод, позволяющий решать любые дифференциальные уравнения и системы в частных производных первого порядка. Каждый из известных методов хорошо применим только к определенному классу уравнений и систем. Например, метод характеристик сложно применять для систем квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка. В методе характеристик условием разрешимости в исходных координатах является существование обратной функции для решения характеристического уравнения. Нахождение обратной функции в общем случае представляет собой непростую задачу [2-8].

Задача определения условий разрешимости в исходных координатах систем нелинейных и квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка эффективно решается в рамках метода дополнительного аргумента [9-11]. Он не заменяет собой другие известные методы, а дополняет их. Применение этого метода позволяет во многих случаях более эффективно и конкретно определить условия разрешимости систем, интервал разрешимости и избежать необходимости находить обратную функцию.

Впервые метод дополнительного аргумента был предложен академиком М. И. Имана-лиевым. Одной из первых работ, содержащей предпосылки метода дополнительного аргумента, была статья [9]. В работе [10] с помощью метода дополнительного аргумента определены условия локальной разрешимости задачи Коши в исходных координатах для системы двух квазилинейных уравнений первого порядка, при которых решение имеет меньшую гладкость, чем начальные функции <^(х), <^2(х), и указаны границы интервала разрешимости. В работе [11] описан метод дополнительного аргумента. В работе [12] метод дополнительного аргумента применяется для изучения разрешимости обратной задачи для квазилинейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка. В работе [13] с помощью метода дополнительного аргумента изучена однозначная разрешимость начальной задачи для одного квазилинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных высшего порядка с вырожденным ядром.

В работах [14-22] рассмотрено применение метода дополнительного аргумента к исследованию локальной и нелокальной разрешимости задачи Коши в исходных координатах для некоторых систем нелинейных и квазилинейных уравнений первого порядка.

В работе [23] с помощью метода дополнительного аргумента определены достаточные условия существования и единственности локального решения задачи Коши (0.1), (0.2), при которых решение имеет такую же гладкость по х, как и начальные функции задачи Коши, и достаточные условия нелокальной разрешимости задачи Коши (0.1), (0.2). В данной работе с помощью метода дополнительного аргумента определен еще один вариант достаточных условий существования и единственности локального решения задачи Коши (0.1), (0.2), при которых решение имеет такую же гладкость по х, как и начальные функции задачи Коши, и вариант достаточных условий нелокальной разрешимости задачи Коши (0.1), (0.2). В данной работе добавлены подробности в доказательства. Рассмотрим отличие условий.

В работе [23] мы можем доказать существование и единственность локального решения задачи Коши в исходных координатах, у которого гладкость по х не ниже, чем у начальных функций задачи Коши (0.1), (0.2), если

дв1 П . дБ2 д$2

— < 0, — > 0, — < 0, — > 0 на Zк, ди дь ди дь

р1(х) ^ 0, </2(х) ^ 0 на К, ^ ^ 0, ^ ^ 0 на Пт,

дх дх

где Zк = {(и,ь) | и, V е [-К,К]}, К = 2 шах ] вир | I = 1, 2, I = 0,2

I К

В работе [23] мы можем доказать существование и единственность нелокального решения задачи Коши (0.1), (0.2) в исходных координатах, если

551

< 0,

> 0,

552

< 0,

ад2

5м 5м 5м

дЛ ^ п 5/

> 0 на £

к,

р1(х) ^ 0, </2(х) ^ о на К, 5/1 ^ 0, 5/2 ^ 0 на Пт,

5х 5х

где £к = |(м,м) |м, v е [-К, К]},

К = вир

(г)

| г =1, 2, / = 0, 2 }> + Тша^] вир |/1|, вир |/2|, вир

Пт Пт Пт

5/1

5х

, вир

Пт

5/2

5х

В данной работе мы можем доказать существование и единственность локального решения задачи Коши в исходных координатах, у которого гладкость по х не ниже, чем у начальных функций задачи Коши (0.1), (0.2), если

551 < 0 5^1 < 0 5^2 < 0 5^2 < 0 _ — < 0 , — < 0 , — < 0 , — < 0 на £к , 5м 5v 5м 5v

р1(х) ^ 0, р'2(х) ^ 0 на К, 5/1 ^ 0, 5/2 ^ 0 на Пт,

5х 5х

где £к = {(м, V) |м, V е [-К,К]} , К = 2 шах] вир |г = 1, 2,/ = 0,2

[ К

В данной работе мы можем доказать существование и единственность нелокального решения задачи Коши (0.1), (0.2) в исходных координатах, если

551

< 0,

551

< 0,

552

< 0,

552

5м 5v 5м 5v

5/1 5/2

< 0 на £

к,

(х) ^ 0, </2(х) ^ 0 на К, 5/1 ^ 0, 5/2 ^ 0 на Пт, 1 2 5х 5х

где £к = {(м,v) | м, v е [—К, К]},

К = шах вир

К

(г)

| г =1, 2, / = 0, 2 }> + Тшах вир |/1|, вир |/2|, вир

Пт Пт Пт

5/1

5х

, вир

Пт

5/2

5х

В данной работе и в работе [23] приведены достаточные условия разрешимости, которые используются при доказательстве теорем, выводе оценок, глобальных оценок, на многих этапах доказательств. Нелокальная разрешимость возможна лишь при определенных ограничениях на функции /1, /2, 51, 52, . Для того чтобы вывести оценки, глобаль-

ные оценки, доказать существование и единственность локального решения задачи Коши в исходных координатах, у которого гладкость по х не ниже, чем у начальных функций задачи Коши (0.1), (0.2), вводятся ограничения на функции /1, /2, 51, 52, <^2. В работе [23] и в данной работе ограничения на функции /1, /2, 51, 52, отличаются.

§ 1. Существование локального решения

В соответствии с методом дополнительного аргумента запишем для задачи (0.1), (0.2) расширенную характеристическую систему [10,11,14-23]:

5^1(в, ¿, х)

5п2 (в, ¿, х) 5в

51(м(в, п1(в, ¿, х)), v(s, п1(в, х))),

52(м(s,n2(s,í,x)), v(s,n2(s,í,x))),

К

duis, mis, t, x)) „ , , чч 1 J J = fi (s,m(s,t,x)),

-ds- = f2[s,n2[s,t,x)),

u(0,ni(0,t,x)) = ^i(ni(0,t,x)), v(0,n2(0,t,x)) = p2("q2(0,t,x)), ni(t,t,x) = x, i = 1, 2. Вводим новые неизвестные функции:

wi(s,t,x) = u(s,ni(s,t,x)), w2(s,t,x) = v(s,n2(s,t,x)),

w3(s,t,x) = v(s,ni(s,t,x)), w4(s,t,x) = u(s,n2(s,t,x)). Тогда расширенная характеристическая система примет вид

drqi(s, t, x)

ds

dn2(s, t, x)

ds

dwi(s, t, x) ds

dw2(s, t, x)

Sl(wi(s,t,x),w3(s,t,x)), (1-1)

S2(w4(s,t,x),w2(s,t,x)), (1-2)

fi(s,ni(s,t,x)), (1-3)

f2(s,m(s,t,x)), (1-4)

дв

13(в,Ь,х) = 12(в, в,щ(в,1,х)), 14(в,Ь,х) = 1\(в, в,Ц2(в,Ь,х)), (1-5)

1\(0,Ь,х) = <^1(щ(0,1,х)), 12(0,Ь,х) = р2(п2(0,Ь,х)), Пг(Ь,Ь,х) = х, г = 1, 2. (1.6)

Неизвестные функции , г = 1, 2, ] = 1, 4, зависят не только от Ь и х, но и от дополнительного аргумента в. Интегрируя уравнения (1. 1)—(1.4) по аргументу в и учитывая условия (1.5), (1.6), получим эквивалентную систему интегральных уравнений:

щ(в,1,х) = х — J 81(11 (и,Ь,х),13(и,Ь,х)) ¿V, (1.7)

П2(в,Ь,х) = х — J 82(14(у,Ь,х),12(у,Ь,х)) ¿V, (1.8)

1\(в,Ь,х) = 1р\(щ(0,1,х)) + / ¡\ (у,щ(у,Ь,х)) ¿V, (1.9)

./0

12(в,Ь,х) = р2(п2(0,ь,х))+ ¡2 (у,п2(у,ь,х)) ¿V, (1.10)

0

13(в,Ь,х) = 12(в, в,щ(в,1,х)), 14(в,Ь,х) = 1\(в, в,п2(в,Ь,х)). (1.11)

Подставим (1.7), (1.8) в (1.9)—(1.11), получим следующую систему:

1\(в,Ь,х) = ^\(х — 8\(1\(у,1,х),13(у,1,х)) ¿у) +

J 0

+ / fi(v,x — Sl(wl(r,t,x),wa(r,t,x)) dr) dv, Jo Jv

w2(s,t,x) = <p2(x — S2(w4(v,t,x),w2(v,t,x)) dv) +

J 0

+ / f2(v,x — S2(w4(r,t,x),w2(r,t,x)) dr) dv,

0v

(1-12)

(1-13)

и2(в,5,х — / ¿, х), ¿, х)) ¿V),

и4(з, г, х) = и (в, 5, х — J (и4 ( V, г, х), ¿, х)) ¿V),

где и2, и3, и4 — неизвестные функции.

Обозначим Гт = |(М,х) | 0 ^ 5 ^ г ^ Т, х € (—то, +то), Т> 0},

(1.14)

(1.15)

С^ = шах < вир

(0

| г = 1, 2, / = 0, 2

С/ = шах ^ вир |/!|, вир |/2|, вир Пт Пт Пт

д/!

дх

вир

Пт

д/2

дх

= {(и, V) | и, v € [—К, К]}, где К — произвольно зафиксированное положительное число,

/ = шах ^ вир

дб!

ди

, вир

дv

вир

ди

, вир

дv

= вир |и (в, г, х)|, Гт

= эир |/(г,х)1,

Пт

С а1

а 2

(П*) — пространство функций, определенных, непрерывных и ограниченных вместе со своими производными до порядка ат по т-му аргументу, т = 1, п, на неограниченном подмножестве П* С п = 1, 2 ....

Справедлива следующая теорема, в которой сформулирован вариант достаточных условий существования и единственности локального решения задачи Коши (0.1), (0.2), при которых решение и(г,х) = и^г, х), v(t,x) = и2(г, г,х) имеет такую же гладкость по х, как и начальные функции ^1(х), <^2(х).

Теорема 1.1. Пусть € £2(К), /1,/2 € £2'2(ПТ), € £2'2^к), где

С

Т < шт' ^

3

4С/ 40 С^/

К = 2С

и выполняются условия

ди

< 0,

д^1

дv

< 0,

< 0,

ди дv

д/^ д/2

< 0 на ZK,

^(х) ^ 0, </2(х) ^ 0 на К, д/1 ^ 0, ^ ^ 0 на Пт.

дх дх

Тогда для любого Т ^ шт^, 40С ¡^ задача Коши (0.1), (0.2) имеет единственное

решение и (г, х), v(t, х) € С1,2(ПТ), которое определяется из системы интегральных уравнений (1. 12)—(1.15).

Теорема 1.1 следует из выполнения условий трех лемм.

Лемма 1.1. Если функции и, ] = 1, 4, удовлетворяют системе интегральных уравнений (1.12)—(1.15) и являются непрерывно дифференцируемыми и ограниченными вместе со своими первыми производными, то функции

и (г, х) = и1(г, г, х), v(t, х) = и2(г, г, х)

будут решением задачи Коши (0.1), (0.2) на ПТо, Т0 ^ Т, где Т0 — константа, определяемая через исходные данные.

г

г

К

Лемма 1.1 составляет основу метода дополнительного аргумента. Лемма 1.1 доказывается аналогично утверждению из работ [10,11,15,17,18,20,21].

Лемма 1.2. При выполнении условий

е С2(Ш), ¡г,¡2 е С2,2(Пт), Яй е С2,2^к), К = 2Сц

и

т < • щц) (116)

система интегральных уравнений (1. 12)—(1.15) имеет единственное решение:

wj е С 1'1'\Ттз = 14.

Доказательство. Доказательство этой леммы проводится по схеме, изложенной в [10], и так же, как в статьях [10,17,18,20]. Поэтому приведем только его ключевые пункты. Основная трудность состоит в том, что в системе (1.12)—(1.15) присутствует суперпозиция неизвестных функций. Для преодоления этой трудности используется «двухуровневый» алгоритм последовательных приближений.

Нулевое приближение к решению системы интегральных уравнений (1.12)—(1.15) зададим равенствами ,ш10(з, Ь, х) = '1(х), /ш20($, Ь, х) = '2(х), 'ш30(в, Ь, х) = '2(х), /ш40($, Ь, х) = = '1(х).

Первое и последующие приближения системы уравнений (1.12)—(1.15) определим при помощи рекуррентной последовательности систем уравнений (п = 1, 2,...):

г

ты(в,г,х) = 1рг(х — I Б1(т1п(и,г,х),т3п(и,г,х)) ¿V) +

о

я г

+ I ¡г(и,х — I Б1(т1п(т, Ь, х),'ш3п(г, Ь, х)) ¿т) ¿V,

о V

г

т2п^,Ь,х) = '2 (х — I Б2^4п^,1,х),'Ю2п^,1,х)) ¿V) +

о

я г

+ I ¡2^,х — I Б2(т4п(т,Ь,х),т2п(т,Ь,х)) ¿т) ¿V,

0 V

(1.17)

(1.18)

г

1Шзп(в,Ь,х) = ^2(п-1)(з, 8,х — I Бг(1Ш1п^^,х),'Шзп,х)) йV), (1.19)

я

г

т4п(э,Ь,х) = т1(п-1)(в, в,х — I Б2('ш4п^,Ь,х),'Ш2п^,Ь,х)) в,V). (1.20)

я

Для системы уравнений (1. 17)—(1.20) нулевое приближение определим равенствами

Ы°оп = wj(n-1), 3 = 1, 4

Для системы уравнений (1. 17)—(1.20) первое и все последующие приближения определим на основе соотношений

г

Ь, х) = '1(х — I Б1(1ш!кп^, Ь, х),-юкп^, Ь, х)) ¿V) +

я 0 о.21)

+ I ¡^,х — I Б1(,ш^п(т, Ь, х),т/кп(т, Ь, х)) ¿т) ¿V,

0 V

г

12+1(в,Ь,х) = у2(х — / 82(14п(у,ь,х),12п(у,Ь,х)) ¿V) +

+ / ¡2 (V, х — / 82(14п(т,Ь,х),12п(т,Ь,х)) ¿Т) ¿V,

(1.22)

1зП+1(в,Ь,х) = 12(п-1)(в, в,х — / 81(111п(у,Ь,х),13п(у,Ь,х)) ¿V)

(в,Ь,х) = 11(п-1)(в, в,х — / 82(14п(у,Ь, х) ,12п(у,Ь, х)) ¿V).

в

При выполнении условия

Т < шт(

1

(1.23)

(1.24)

(1.25)

,2С/ 12С^1,

справедливы оценки ||1кп|| ^ 2Су, 3 = 1, 4.

При выполнении условия (1.25) последовательные приближения (1.21)—(1.24) сходятся к непрерывному и ограниченному решению системы (1. 17)—(1.20). Справедливы оценки

1Кп|| ^ 2Су, 3 = 1~4. Продифференцируем последовательные приближения (1.21)—(1.24) по х, получим

г

дх

д^1

дх

= <А(х — / 81(11п,13п) м 1 — /

\ ( д81 д11п 1 д81 д13п

+

+о дх (1 / (

ч ди дх ду дх

\ (д81 д1кп д81 д1к \ , , , 1 ат аV,

¿у) +

ди дх

+

ду дх

= у2(х — / 82 (1кп, 12п) И 1 — /

д ¡2

\ ( д82 д14п д82 д1к

+

2п

ди дх ду дх

¿И +

+01— /

\ ( д82 д1%п д82 д1к.

п- 1)

дх дх

п- 1)

ди дх г

1 — /

+

2п

ду дх

ат I аV,

г ( д81 д1\п д81 д13п

ди дх

+

ду дх

дх

дх

1 — }(д1кп + д12п

в V ди дх ду дх

аV

аV

При выполнении условия (1.25) справедливы оценки

д1

1п

дх

^ 4Су

д1к

2п

дх

^ 4Су

д1к

3п

дх

^ 8СМ

д1к

кп

дх

< 8Су.

Продифференцируем последовательные приближения (1.17)—(1.20) по х, получим

д1

1п

дх

,, г О ( ^ Л ^ Л г {д81 д11п , д81 д13п

у1(х — о 81(11п, ^и 1 — я -ди^х- + -зу^х-

аи +

+/^ (1—Я

о дх \ V V

г (д81 д11п + д8г дщп\ ,

ди дх ду дх

(1.26)

д1-

2п

дх

,, г с , ч , ч Л г (д82 д1кп , д82 д12п

у2(х — 0 82(1кп, 12п) ) ^ — Ц — — + — —

+1 Л — д1кп + 982 ¿Л

о дх V ^ V ди дх ду дх ) ) '

¿И +

(1.27)

в

г

г

г

в

к

дшзп _ д^2( п- 1)

дх дх

дт4п = д'Ш1(п-1) дх дх

1 — I (дБ± д™1п + дБ1 д'зп | ¿1/

ди дх

дь дх

1 — I (д™4п + дт2'п | ^ « V ди дх дь дх

При выполнении условия (1.25) последовательные приближения

дКп

дх

д'Шлп д'Ш2п дшзп дш.

сходятся к

'Мп

дх дх дх дх

при к ^ то, справедливы оценки

(1.28) (1.29)

дЩп ^п дШ^п дх

дх дх

д'ш

1п

дх

^ 4Сц

д'

2п

дх

^ 4Сц

д'

3п

дх

^ 8Сц

д'

4п

дх

^ 8Сц

При выполнении условия (1.16) последовательные приближения (1.17)—(1.20) сходятся к непрерывному и ограниченному решению системы (1.12)—(1.15), у которого существуют

дш. -—г

непрерывные и ограниченные производные

дх

3 = 1, 4. Справедливы оценки

\wj | ^ 2Сц, 3 = 1,4,

дш1

дх

^ 4Сц

д'2

дх

^ 4Сц,

дшз

дх

< 8Сц,

дш4

дх

^ 8С

ц-

Аналогично доказывается, что Wj, 3 = 1, 4, имеют непрерывные и ограниченные производные по переменной Ь на Гт. Единственность решения доказывается так же, как в ста-

тье [10].

Введем условия

□

дБ1

< 0,

дБ1

ди дь

'1(х) ^ 0, '2(х) ^ 0 на К

< 0,

дБ2

ди

дА

дх

< 0, ^ 0,

дБ2 < 0 7

—— < 0 на '¿к, дь

А ^ 0 на Пт.

дх

(1.30)

Лемма 1.3. Пусть е <С2(К), ¡1, ¡2 е С2'2(Пт), БиБ2 е С2'2^к), К = 2СЦ,

тогда при выполнении условий (1.16), (1.30) функции Wj, 3 = 1, 4, представляющие собой решение системы уравнений (1.12)—(1.15), имеют непрерывные и ограниченные производ-

д2ш,• д2ш,• . -—г

ные

дх2 ' дхдЬ'

3 = 1, 4, на Гт, где Т ^ шш

С

3

4С/ 40Сц1

Доказательство. Дважды продифференцируем последовательные приближения

(1.17)—(1.20) по х. Обозначим ш

д2Wjn .

дх2

3 = 1, 4, получим систему уравнений

ш'п (в,Ь,х) = 1 (х — I Б1('1п,шзп) ¿V) I ( ^шп^,г,х) + шп^,г,х)) ¿V —

о о \ ди дь )

я дЬ и дБ1 п( , ч . дБ1 п( . Л , , . п ( . дш1п дш3п

— I I "т;— ш1 (т, Ь, х) + -7— ш3 (т, Ь, х) ат¿V + ин в, Ь, х, ш1п, ш3п,

о дх V \ ди

дь

дх дх

, г г / дБ2 дБ2

ш'п (в,Ь,х) = 2(х — I Б2('4п,'2п) ¿V) I —-шп^,Ь,х) + -р— шп^,Ь,х)\ dV —

о о ди дь

я д¡2 и дБ2 п( , ч . дБ2 п( . Л , , . п ( . дш2п дш4п

— о дх I V ~дйШ4 (т,Ь,х) + ~дьШ2 (т, Ь, х) I dтdv + иН в,Ь,х,Ш2п,Ш4п,—д^,—дхГ

П( . Ч n-1 I, t f ^ dW^ I ^ й 1

3w2(n-i) \ (dS

dSi

дх /\ ~du"n(v, t,x) + ~Q^—3i(v,t,x)\ dv + GW s,t,x,win,w3n, ^ ,

dwin dw3n

,nf„ t x)___n-i i л t (dS2 dw4n , dS2 dw2n , dv \ _

—41 (s ,t ,x) = шn-1 ■ 1 — /

ди dx + dv dx

dwi(n-i) t f dS2

dx

dS-

/ -7— —4n(v, t, x) + -p——n(v, t, xn dv + G4\ s, t, x, w2n, w4n

ди

dv

dw2n dw4n

dx dx

где С], 3 = 1,2,3,4, — известные функции.

При выполнении условия (1.16) с учетом установленных выше оценок ||1]п|| ^ 2Су, 3 = 1,4, получаем

гг |/ 81 (11п,1зп) аV| ^ 8кТ, |/ 82(1кп,12п) аV| ^ 8кТ,

SK = max < sup |Si|, sup |S2| >, K = 2Ci

{ Zk ZK J

Зафиксируем точку x0 £ R. Рассмотрим множество

= {x |x0 — SKT < x < x0 + SKT}, K = 2Ср.

Возьмем xi ,x2 £ ПХ0.

Докажем, что при выполнении условий (1.16), (1.30) справедливы неравенства

Inin (s,t,xi) — nin (s,t,x2) | < |xi — x2 |,

IV2n (s,t,xi) — П2П (s,t,x2) I < |xi — x2 |,

где

(1.31)

(1.32)

nin(s,t,x) = x — / Si(win(v,t,x),w3n(v,t,x)) dv,

s t

n2n(s,t,x) = x — / S2(w4n(v,t,x),w2n(v,t,x)) dv.

Предположим, что

dwi(n-i) < 0 dw2(n-i) < 0

dx

dx

При выполнении условия (1.16) с учетом установленных оценок

dw

in

dx

< 4Ср

dw

2n

dx

< 4Ср

dw

3n

dx

< 8Ср

dw

4n

dx

< 8Ср

установлено, что для всех n £ N на Гт справедливы неравенства

i — jf dSi dwin + dSi dw3n\ dv > 0 1 — j(dSi dw4n + dSidv > 0

du dx dv dx

du dx dv dx

(1.33)

(1.34)

Из (1.28), (1.29), (1.33), (1.34) следует, что ^ 0, ^ 0.

дх дх

Из (1.26), (1.27) при выполнении условий (1.30) с учетом неравенств (1.34), получаем

д'1п < 0 д'2п < 0

дх дх

т д'1п д'2п , п дтЯп ^ п д'4п . „

Так как —— < 0, —— < 0, < 0, —— < 0, то

дх дх дх

1 — ¡(д'1п + дш3,п\ ^ < 1 1 — г /дБ2 д'4п + дш^Х ^ < 1 (135)

я \ ди дх дь дх ) ^ ' я \ ди дх дь дх ) ^

В силу неравенств (1.34) и (1.35), по теореме о конечных приращениях получаем, что справедливы неравенства (1.31), (1.32).

Так же, как в [17,18,20,23], установлена равностепенная непрерывность функций шп, шп по х при х е ПХ0, из которой следует равностепенная непрерывность функций шп, шп по х в выбранной, произвольной точке хо е К.

Рассмотрим систему уравнений

й1 = —'1(х — } Б1('1,шз) ¿V) I (ди шп + дь ш^ ¿V —

я д¡1 г (дБ1~ п . дБ1~ п\ А А . п ( . дш1 дш3

о дх V \ ди дь ) \ дх дх

, г г / дБ2 дБ2 \

ш'2 = '2 (х — о Б2('4,Ш2) ¿V) о I -диш'4 + -д^ш'2 \ ¿V —

* дЬ \( дБ2 ~ п . дБ2 ~ Л , , . п ( , дш2 дш4

— I -7— I —— ш4 + —— ш2 \ ¿т ¿V + С2\ в, Ь, х, ш2,ш4,

дх V V ди дь ) \ дх дх

~п ~п-1 1-, и дБ1 д'1 , дБ1 д'з\ й\2 дш2 и дБ1~ п, дБ1~ п\Й ,

дш1 дшз "

+ I в, Ь, х, ш1,ш3,

дх дх

.4 = шп-1 I 1 — I (дБ! + дБ! д'2

4 1 я V ди дх дь дх

д'1 \ (дБ2 „ п дБ2 „ Л , „ / , д'2 д'4

I т;— ш4 + -7— ш2 \ ¿V + С4\ в, Ь, х, ш2,ш4

дх я \ ди дь ) \ дх дх

где С,, 3 = 1, 2, 3, 4, — известные функции.

и выполнении условий (1 1 6) (1 30) доказано что ш ■ _7

При выполнении условий (1.16), (1.30) доказано, что шп ^ ш,, 3 = 1, 4. При выполнении

условий (1.16), (1.30) доказано, что справедливы оценки

||ш1|| < 2Сц, ||ш2|| < 2Сц, ||шз|| < 4Сц, ||ш4| < 4Сц.

Покажем, что при выполнении условий (1.16), (1.30) последовательные приближения шп сходятся к функциям ш,, 3 = 1, 4, при п ^ то на Гт.

При выполнении условий (1.16), (1.30) в любой точке хо е К:

К — ш^ < 1нщ + (С1 и2 + Сци)(Цшп — ш4 + ||шп — шз!),

||шп — шзЦ < 1ЯЩ + |шп-1 — ш2\+4СцИ(Цшп — ш4 + ||шп — шзЦ),

где Нп, Щ — известные величины. Установлено, что при выполнении условия (1.16) справедливы неравенства

к — ш11 < 1Нп1 +0.1(||шп — ш1Ц + Цшп — Шз|

■^з — '

|шп — шз| < 1ЩI + |шп-1 — ш2\ + 0.3(|шп — ш4 + Цшп — шз|

2

где Щ, Щ — известные величины.

Пользуясь равномерной и равностепенной непрерывностью, а также ограниченностью всех функций, входящих в Щ, Щ, в частности равностепенной непрерывностью функций ^п, шп по х при х Е ПХ0, для любого сколько угодно малого числа е можно подобрать такой номер М, что при п ^ N

|ЯШ < е, |ЯШ < е.

Следовательно, при п ^ N

К — Cji\ ^ е + 0.1(|К — wi|| + |w — w||), un — w || ^ е — CD2I + 0.3(|K — wiH + ||un — ¿Ds|).

Значит, при n ^ N

Il n ~ Il ^10 1 II n ~||

||ui — ^ -9е + 9 Hw —

, n ~ „ 10 10 m n-i _ m 3 .. n _ .. |w3 — w3|| ^ — е + — \\w2 — w2\\ +7 ||и1 —

Получаем при n ^ N

10 1 n 10 1 10 10 n i 3

Wi — w iW ^ уе + 9||иП — ¿^з П ^ уе +д[ уе + у \\шП 1 — и2М + 7 № — ui|

In ~ 11 80 10 П n_1 ~ll 1 11 n у-11 Л

\иП - wj ^ — е +--\\un - w2\\ +--\\шП - wj , (1-36)

1 1 1п ^ 63 Q3U 2 2II 21" 1 1|1' v y

4 1

||wn — Wi| ^ -е + - \\wn-1 — w2\.

3 6 11 11

Аналогично: при n ^ N

41

W — Û2H < 4е + - \\wn-1 — Wi\. (1-37)

36

Сложим неравенства (1-36), (1-37), получим при n ^ N

8 1

||wn — w11| + ||wn — ÛJ21| ^ -е + -(\\w2i-1 — ¿2\\ + \\wi-1 — wi \\).

36

С помощью метода математической индукции установлено, что справедливо неравенство

1\ fc,ll M „ Il . Il M „ Ils 16

\\ш?+к — Ш11| + — Ш2|| ^б) (К — ш>1 II + — Ш2||) + уе.

Следовательно, ш^+к ^ шШ1, ш^+к ^ ш2 при N ^ то, к ^ то. Отсюда следует, что ш'п ^ ш3,

шкп ^ шк при п ^ то.

т п д21]п . -—г „ д21]п д 21]

Так как ш'п = , 3 = 1, 4, то при выполнении условий (1.16), (1.30) ;;--> =

дх2 дх2 дх2

д 21 ■ _

= ш], где функции ], 3 = 1, 4, непрерывные и ограниченные на Гт.

дх2

Далее установлено, что при выполнении условий (1.16), (1.30) существуют непрерывные

д 21 ■ _

и ограниченные производные п ^ , 3 = 1, 4, на Гт. □

дхдЬ

§ 2. Существование нелокального решения

Теорема2.1. Пусть

<РЪ<Р2 е С2{Щ, ¡г, ¡2 е С2'2(Пт), ве С2'2^к), К = С^ + ТС1

и выполняются условия (1.30). Тогда для любого Т > 0 задача Коши (0.1), (0.2) имеет единственное решение и{Ь,х),ь{1,х) е Сг'2 (Пт), которое определяется из системы интегральных уравнений (1. 12)—(1. 15).

Доказательство. Для доказательства существования нелокального решения задачи Коши (0.1), (0.2) и вывода для него глобальных оценок надо дополнить систему (1.7)— (1.11) двумя уравнениями. Продифференцируем систему уравнений (0.1) по х.

ди ду

Обозначим рН,х) = —, я{Ь,х) = —, получим

дх дх

Г дР , о / ,дР дв1 2 дв1 , дЬ дЬ дх ди ду дх

дЯ дв2 2 дв2 . дЬ — + 02\и,у)~ = —— я т; РЯ ,

дЬ дх ду ди дх

,Р{0,х) = р'Лх), Я{0,х) = ^2(х)-Добавим к системе уравнений (1.7)—(1.11) два уравнения:

д^1(8,г,х) дв1 2( . ч двг , , , . д¡г

д* = - {8>1>х) - -дьЪ{*ЛхЫ*,*,гп) +

д^2{в,Ь,х) дв2 2. дв2 д¡2

д8 = - Ы,х) - —Ъ(а,8,тЫ8,1,х) +

с начальными условиями

Ъ{0,Ь,х) = ЖШ, 12 {0,Ь,х) =

Перепишем систему уравнений (2.1) в следующем виде:

^г (8,1,х) = <р'г{пг) + 0 [-ди 12(У,1,х) - дУ+ ^] ^

5 дв2 дБ2 д ¡2

Ъ{8,г,х) = ^2 {П2) + 0 [- - V,П2) + ]

(2.1)

(2.2)

Так же как в [15,17,18,20,21,23], доказывается существование непрерывно дифференцируемого решения задачи (2.2). Следовательно,

du dv

Yi(t, t, x) = p(t,x) = —, Y2(t,t,x) = q(t, x) = —■

Из (1.7)—(1.11) следуют оценки

IMI ^ Cv + TCf, i = 1, 2. Так как u(t, x) = wl(t, t, x), v(t, x) = w2(t, t, x), то при всех t и x на QT справедливы оценки

MI ^ Cv + TCf, M ^ Cv + TCf ■ (2.3)

Далее, из (2.1) имеем

в /д8 д8 \ ъ(8^,х) = ^1(П1)ехр(— 0 у —1 ъ(у,г,х) + 12(у,у,п1)) ) +

+ 0ехр(— Т (1-иъ(у,г,х) + )¿т,

(2.4)

-¡2

д82

д82

+ I дх ехР(— {(~дйъ(у,у,П2) + -уъ(у,1,х)) ) ат.

Из (2.4) при выполнении условий

д81 д81 д82 д82

< 0^ ^— < 0^ ^— < 0^ ^— < 0 на Zк,

ди

ду

ди ду

-¡1 ^ -¡2

(х) ^ 0, у'2(х) ^ 0 на К, ^ 0, ^ 0 на П

1 2 дх дх

т,

получаем, что ^ 0, у2 ^ 0 на Гт, значит, ^ Су + TCf, г = 1, 2. Так как

ди ду

ъ(^,х) = -х, ъ(ы,х) = -х,

то при всех г и х на 0,т справедливы оценки

ди

дх

^ Су + TCf,

ду

дх

^ Су + TCf.

(2.5)

Так же как в [15,17], установлено, что при всех г и х на 0,т справедливы оценки

д2и

дх2 д2у

^ Еи еЬ (^С12С21) + Е211 «Ь ЫС12С21) + С12С2зЬ2, (2.6)

С12С21

дх2

^ Е21 еЬ (г^С^?) + ЕпС1+<С23 (VС12С21) + С21С1312, (2.7)

С12С21

где Е11, Е21, С12, С13, С21, С23 — постоянные, которые определяются через исходные данные.

ди ду д2и д2у

Полученные глобальные оценки для и, у, —, —, 7——, 7—— ((2.3), (2.5)-(2.7)) дают

дх дх дх2 дх2

возможность продолжить решение на любой заданный промежуток [0, Т].

Возьмем в качестве начальных значений и(Т0,х), у(Т0,х), используя теорему 1.1, продлим решение на некоторый промежуток [Т0, Т1], а затем возьмем в качестве начальных значений и(Т1,х), у(Т1,х), используя теорему 1.1, продлим решение на промежуток [Т1, Т2]. В частности, начальные значения

и(Тк,х), у(Тк,х) Е С2(К), 1и(Тк,х)1 ^ Су + ^, 1у(Тк,х)1 ^ Су + ^;

ди

-х(Тк ,х)

^ Су + TCf,

ду

-х(Тк ,х)

^ Су + TCf.

Для вторых производных справедливы оценки (2.6), (2.7), где в качестве г можно взять Т. В результате за конечное число шагов решение может быть продлено на любой заданный промежуток [0, Т].

в

в

Единственность решения доказывается применением аналогичных оценок, которые позволили установить сходимость последовательных приближений. □ Пример. Рассмотрим задачу Коши для системы вида

ди(г,х) + 1 ди(г,х) ^ + 1

дг ду(г, х)

еи+'0 + 1 дх + агС^(—3и — у)

ду(г, х)

2х +2' = г2 +

1

дг т ' дх '' 3х + 3'

где и(г,х), у(г,х) — неизвестные функции с начальными условиями

и(0,х) = у\(х) = 2 — 7 агс^ х, Задача (2.8), (2.9) определена на

у(0,х) = Р2(х)

ех + 4

Пт = {(г,х) | о ^ г ^ т, х е (—то, т> 0}.

Здесь

¡г(г,х) = 2г +

1

2х + 2

!2(г,х) = г2 +

1

3х + 3

!3\(и, у)

1

еи+' + 1 д!г 2х1п2

дх

Б2(и, у) = агС^(—3и — у), д/2 3х1п3

У\(х) = — У1(х)

7

1 + х2

14х

(1 + х2)2

У2(х)

(3х + 3)2'

ех

(ех + 4)2

е2х — 4ех

(ех + 4)3

С% = шах! вир ур I г = 1, 2, I = 0, 2 \ = 2 + ^-

7п

С/ = шах] вир 1/\1, вир ¡21, вир

Пт Пт Пт

дк

дх

вир

Пт

д/2

дх

2

шах{2Т +-, Т2 + -23

Так как

у1, у2 е С2

к, ¡2 е С2,2 (Пт), Би Б е С2,2 {2кК = С% + ТС/

двг

ди

дБо

(еи+' + 1)2

3 < о.

< о,

дБ1 ду

к)

ди 1 + (3и + у)2

дкг 2х1п2

ад

ду

(еи+' + 1)2 1

1 + (3и + у)2

< о,

< 0 на 2

к,

дх (2х + 2)2

п дк2 3х1п3 < 0, = —-гх < о на Пт,

' \ _ . / О т I о \ ) >

дх (3х + 3)2

7 ех

у[(х) = — ^-2 < 0 у2 (х) = —-

< 0 на К,

1+ х2 ' (ех + 4)

то по теореме 2.1 задача Коши (2.8), (2.9) имеет единственное решение:

и(г,х), у(г,х) е С12 П)•

(2.8)

(2.9)

1

К

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1- Репин О-А- Краевая задача с операторами М- Сайго для уравнения смешанного типа с дробной производной // Известия высших учебных заведений- Математика- 2018- № 1- С- 81—86-http://mi-mathnet-ru/ivm9322

2- Глушко А-В-, Логинова Е-А-, Петрова В-Е-, Рябенко А-С- Изучение стационарного распределения тепла в плоскости с трещиной при переменном коэффициенте внутренней теплопроводности // Журнал вычислительной математики и математической физики- 2015- Т- 55- № 4-С- 695-703- http://doi-org/10-7868/S0044466915040055

3- Glushko A- V-, Ryabenko A- S-, Petrova V- E-, Loginova E- A- Heat distribution in a plane with a crack with a variable coefficient of thermal conductivity // Asymptotic Analysis- 2016- Vol- 98- No- 4P- 285-307- https://doi-org/10-3233/ASY-161369

4- Рождественский Б- Л-, Яненко Н- И- Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике- М-: Наука, 19685- Lannes D- The water waves problem: mathematical analysis and asymptotics- Providence: AMS, 2013-

https://doi-org/10-1090/surv/188 6- Bressan A- Hyperbolic systems of conservation laws: the one-dimensional Cauchy problem- Oxford:

Oxford University Press, 20007- Горицкий А-Ю-, Кружков С-Н-, Чечкин Г-А- Уравнения с частными производными первого порядка- М-: Издательство Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 19998- Chen G- Q-, Wang D- H- The Cauchy problem for the Euler equations for compressible fluids // Handbook of Mathematical Fluid Dynamics- 2002- Vol- 1- P- 421-543-https://doi-org/10-1016/S1874-5792(02)80012-X

9- Иманалиев М- И-, Ведь Ю- А- О дифференциальном уравнении в частных производных первого порядка с интегральным коэффициентом // Дифференциальные уравнения- 1989- Т- 25- № 3-С- 465-477- http://mi-mathnet-ru/de6793

10- Иманалиев М-И-, Алексеенко С-Н- К вопросу существования гладкого ограниченного решения для системы двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка//Докл- РАН- 2001- Т- 379- № 1- С- 16-21- http://mi-mathnet-ru/dan2413

11- Иманалиев М- И-, Панков П- С-, Алексеенко С- Н- Метод дополнительного аргумента // Вестник КазНУ- Сер- Математика, механика, информатика- Спец- выпуск- 2006- № 1- С- 60-6412- Юлдашев Т- К- Об обратной задаче для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка // Вестник Томского государственного университета- Математика и механика- 2012-№ 2 (18)- С- 56-62- http://mi-mathnet-ru/vtgu253

13- Юлдашев Т- К- Начальная задача для квазилинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных высшего порядка с вырожденным ядром // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета- 2018- Т- 52- С- 116-130-https://doi-org/10-20537/2226-3594-2018-52-09

14- Алексеенко С- Н-, Донцова М- В- Исследование разрешимости системы уравнений, описывающей распределение электронов в электрическом поле спрайта // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона- 2012- Вып- 14- С- 34-4115- Алексеенко С-Н-, Шемякина Т-А-, Донцова М-В- Условия нелокальной разрешимости систем

дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка // Научно-технические ведомости СПбГПУ- Физико-математические науки- 2013- № 3 (177)- С- 190-20116- Алексеенко С- Н-, Донцова М- В- Условия разрешимости системы уравнений, описывающих длинные волны в водном прямоугольном канале, глубина которого меняется вдоль оси // Журнал Средневолжского математического общества- 2016- Т- 18- № 2- С- 115-124-http://mi-mathnet-ru/svmo600 17- Донцова М- В- Условия нелокальной разрешимости задачи Коши для системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с непрерывными и ограниченными правыми частями // Вестник ВГУ- Сер- Физика- Математика- 2014- № 4- С- 116-130-

18. Донцова М. В. Нелокальное существование ограниченного решения системы двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с непрерывными и ограниченными правыми частями // Вестник ТвГУ. Сер. Прикладная математика. 2014. № 3. С. 21-36.

19. Алексеенко С. Н., Донцова М. В. Локальное существование ограниченного решения системы уравнений, описывающей распределение электронов в слабоионизированной плазме в электрическом поле спрайта // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2013. Вып. 15. С. 52-59.

20. Донцова М. В. Условия нелокальной разрешимости задачи Коши для системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с правыми частями специального вида // Уфимский математический журнал. 2014. Т. 6. № 4. С. 71-82. http://mi.mathnet.ru/ufa261

21. Донцова М. В. Разрешимость задачи Коши для системы квазилинейных уравнений первого порядка с правыми частями f = a2u(t,x) + b2(t)v(t,x), f2 = g2v(t,x) // Уфимский математический журнал. 2019. Т. 11. № 1. С. 26-38. http://mi.mathnet.ru/ufa458

22. Alekseenko S. N., Dontsova M. V., Pelinovsky D. E. Global solutions to the shallow water system with a method of an additional argument // Applicable Analysis. 2017. Vol. 96. No. 9. P. 1444-1465. https://doi.org/10.1080/00036811.2016.1208817

23. Донцова М. В. Условия нелокальной разрешимости одной системы двух квазилинейных уравнений первого порядка со свободными членами // Журнал Средневолжского математического общества. 2019. Т. 21. № 3. С. 317-328. https://doi.org/10.15507/2079-6900.21.201903.317-328

Поступила в редакцию 04.11.2019

Донцова Марина Владимировна, к. ф.-м. н., старший преподаватель, Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, 603950, Россия, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23. E-mail: dontsowa.marina2011@yandex.ru

Цитирование: М. В. Донцова. Достаточные условия нелокальной разрешимости системы двух квазилинейных уравнений первого порядка со свободными членами // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2020. Т. 55. С. 60-78.

M. V. Dontsova

Sufficient conditions of a nonlocal solvability for a system of two quasilinear equations of the first order with constant terms

Keywords: a system of quasilinear equations, the method of an additional argument, Cauchy problem, global estimates.

MSC2010: 35F50, 35F55, 35A01, 35A02, 35A05 DOI: 10.35634/2226-3594-2020-55-05

We consider a Cauchy problem for a system of two quasilinear equations of the first order with constant terms. The study of the solvability of the Cauchy problem for a system of two quasilinear equations of the first order with constant terms in the original coordinates is based on the method of an additional argument. Theorems on the local and nonlocal existence and uniqueness of solutions to the Cauchy problem are formulated and proved. We prove the existence and uniqueness of the local solution of the Cauchy problem for a system of two quasilinear equations of the first order with constant terms, which has the same smoothness with respect to x as the initial functions of the Cauchy problem. Sufficient conditions for the existence and uniqueness of a nonlocal solution of the Cauchy problem for a system of two quasilinear equations of the first order with constant terms are found; this solution is continued by a finite number of steps from the local solution. The proof of the nonlocal solvability of the Cauchy problem for a system of two quasilinear equations of the first order with constant terms relies on global estimates.

REFERENCES

1. Repin O.A. Boundary-value problem with Saigo operators for mixed type equation with fractional derivative, Russian Mathematics, 2018, vol. 62, no. 1, pp. 70-75. https://doi.org/10.3103/S1066369X18010103

2. Glushko A. V., Loginova E. A., Petrova V. E., Ryabenko A. S. Study of steady-state heat distribution in a plane with a crack in the case of variable internal thermal conductivity, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2015, vol. 55, no. 4, pp. 690-698. https://doi.org/10.1134/S0965542515040053

3. Glushko A. V., Ryabenko A. S., Petrova V. E., Loginova E. A. Heat distribution in a plane with a crack with a variable coefficient of thermal conductivity, Asymptotic Analysis, 2016, vol. 98, no. 4, pp. 285-307. https://doi.org/10.3233/ASY-161369

4. Rozhdestvenskii B.L., Yanenko N.N. Sistemy kvazilineinykh uravnenii i ikh prilozheniya k gazovoi dinamike (Systems of quasilinear equations and their applications to gas dynamics), Moscow: Nauka, 1968.

5. Lannes D. The water waves problem: mathematical analysis and asymptotics, Providence: AMS, 2013. https://doi.org/10.1090/surv/188

6. Bressan A. Hyperbolic systems of conservation laws: the one-dimensional Cauchy problem, Oxford: Oxford University Press, 2000.

7. Goritskii A. Yu., Kruzhkov S. N., Chechkin G. A. Uravneniya s chastnymi proizvodnymi pervogo poryadka (Partial differential equations of the first order), Moscow: Lomonosov Moscow State University, 1999.

8. Chen G. Q., Wang D. H. The Cauchy problem for the Euler equations for compressible fluids, Handbook of Mathematical Fluid Dynamics, 2002, vol. 1, pp. 421-543. https://doi.org/10.1016/S1874-5792(02)80012-X

9. Imanaliev M. I., Ved' Yu. A. First-order partial differential equation with an integral as a coefficient, Differential Equations, 1989, vol. 25, no. 3, pp. 325-335. https://zbmath.org/?q=an:0689.45019

10. Imanaliev M.I., Alekseenko S.N. On the existence of a smooth bounded solution for a system of two first-order nonlinear partial differential equations, Doklady Mathematics, 2001, vol. 64, no. 1, pp. 10-15. https://zbmath.org/?q=an:1054.35025

11. Imanaliev M. I., Pankov P. S., Alekseenko S.N. Method of an additional argument, Vestnik Kazakh-skogo Natsional'nogo Universiteta. Ser. Matematika, Mekhanika, Informatika. Spetsial'nyi vypusk, 2006, no. 1, pp. 60-64 (in Russian).

12. Yuldashev T. K. On the inverse problem for a quasilinear partial differential equation of the first order, Vestnik Tomskogo Gosudarstvennogo Universiteta. Matematika. Mekhanika, 2012, no. 2 (18), pp. 56-62 (in Russian). http://mi.mathnet.ru/eng/vtgu253

13. Yuldashev T. K. The initial value problem for the quasi-linear partial integro-differential equation of higher order with a degenerate kernel, Izvestiya Instituta Matematiki i Informatiki Udmurtskogo Gosudarstvennogo Universiteta, 2018, vol. 52, pp. 116-130 (in Russian). https://doi.org/10.20537/2226-3594-2018-52-09

14. Alekseenko S. N., Dontsova M. V. The investigation of a solvability of the system of equations, describing a distribution of electrons in an electric field of sprite, Matematicheskii Vestnik Pedvuzov i Universitetov Volgo-Vyatskogo Regiona, 2012, issue 14, pp. 34-41 (in Russian).

15. Alekseenko S.N., Shemyakina T. A., Dontsova M. V. Nonlocal solvability conditions for systems of first order partial differential equations, St. Petersburg State Polytechnical University Journal. Physics and Mathematics, 2013, no. 3 (177), pp. 190-201 (in Russian).

16. Alekseenko S.N., Dontsova M. V. The solvability conditions of the system of long waves in a water rectangular channel, the depth of which varies along the axis, Zhurnal Srednevolzhskogo Matematich-eskogo Obshchestva, 2016, vol. 18, no. 2, pp. 115-124 (in Russian). http://mi.mathnet.ru/eng/svmo600

17. Dontsova M.V. Nonlocal solvability conditions of the Cauchy problem for a system of first order partial differential equations with continuous and bounded right-hand sides, Vestnik Voronezhskogo Gosudarstvennogo Universiteta. Ser. Fizika. Matematika, 2014, no. 4, pp. 116-130 (in Russian).

18. Dontsova M.V. The nonlocal existence of a bounded solution of the Cauchy problem for a system of two first order partial differential equations with continuous and bounded right-hand sides, Vestnik Tverskogo Gosudarstvennogo Universiteta. Ser. Prikladnaya Matematika, 2014, no. 3, pp. 21-36 (in Russian).

19. Alekseenko S.N., Dontsova M.V. The local existence of a bounded solution of the system of equations, describing a distribution of electrons in low-pressure plasma in an electric field of sprite, Matematicheskii Vestnik Pedvuzov i Universitetov Volgo-Vyatskogo Regiona, 2013, issue 15, pp. 52-59 (in Russian).

20. Dontsova M. V. Nonlocal solvability conditions for Cauchy problem for a system of first order partial differential equations with special right-hand sides, Ufa Mathematical Journal, 2014, vol. 6, no. 4, pp. 68-80. https://doi.org/10.13108/2014-6-4-68

21. Dontsova M.V. Solvability of Cauchy problem for a system of first order quasilinear equations with right-hand sides f\ = a2u(t,x) + b2(t)v(t,x), f2 = g2v(t,x), Ufa Mathematical Journal, 2019, vol. 11, no. 1, pp. 27-41. https://doi.org/10.13108/2019-11-1-27

22. Alekseenko S. N., Dontsova M. V., Pelinovsky D. E. Global solutions to the shallow water system with a method of an additional argument, Applicable Analysis, 2017, vol. 96, no. 9, pp. 1444-1465. https://doi.org/10.1080/00036811.2016.1208817

23. Dontsova M. V. The nonlocal solvability conditions for a system of two quasilinear equations of the first order with absolute terms, Zhurnal Srednevolzhskogo Matematicheskogo Obshchestva, 2019, vol. 21, no. 3, pp. 317-328 (in Russian). https://doi.org/10.15507/2079-6900.21.201903.317-328

Received 04.11.2019

Dontsova Marina Vladimirovna, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Lecturer, National Research Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod, pr. Gagarina, 23, Nizhny Novgorod, 603950, Russia.

E-mail: dontsowa.marina2011@yandex.ru

Citation: M.V. Dontsova. Sufficient conditions of a nonlocal solvability for a system of two quasilinear equations of the first order with constant terms, Izvestiya Instituta Matematiki i Informatiki Udmurtskogo Gosudarstvennogo Universiteta, 2020, vol. 55, pp. 60-78.