Достаточное условие устойчивости систем управления с одномерными блоками нечеткого вывода Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.254

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С ОДНОМЕРНЫМИ БЛОКАМИ НЕЧЕТКОГО ВЫВОДА

A.A. Усков

Предложено достаточное условие устойчивости замкнутых систем управления с одномерными блоками нечеткого логического вывода. Приведены случаи применения в системах управления наиболее распространенных алгоритмов нечеткого логического вывода Сугено — Такаги и Цукамото. Отмечено, что полученные результаты могут использоваться в инженерной практике при разработке нечетких систем управления рассматриваемого класса.

Ключевые слова: алгоритм нечеткого логического вывода, нечеткий регулятор, нечеткая система управления, асимптотическая устойчивость, критерий устойчивости.

ВВЕДЕНИЕ

Широкое распространение замкнутых систем управления с нечеткой логикой делает актуальной задачу анализа их устойчивости. Основная трудность аналитического исследования устойчивости систем управления, в которых используются блоки, реализующие алгоритмы нечеткого логического вывода (далее для краткости БНВ — блоки нечеткого вывода), определяется существенной нелинейностью характеристик данных блоков и их сложностью.

По мнению ряда специалистов, наиболее перспективные методы анализа устойчивости замкнутых систем управления с блоками нечеткого логического вывода, восходящие из идей В.М. Попова [1], базируются на применении критериев абсолютной устойчивости и гиперустойчивости [2]. Удовлетворительным результатом может быть признано получение достаточных условий устойчивости, позволяющих определять не менее 25 % истинной области устойчивости систем в пространстве параметров или переменных состояния, имеющих достаточно простой «обозримый» вид входящих в них выражений.

Настоящая статья продолжает серию работ автора [3—14], посвященных методам анализа сис-

тем управления с нечеткой логикой. В ней рассматривается достаточное условие устойчивости систем управления с одномерными БНВ, наиболее распространенными на практике благодаря простой алгоритмической реализации, с алгоритмами Сугено — Такаги (8и§епо — Така§1) [15] и Цукамото (Т8икато1;о) [16], основанное на круговом критерии абсолютной устойчивости [17, 18]. Работа расширяет опубликованные ранее автором результаты, в частности, в статье [14] также рассматривались системы с одномерными блоками нечеткого вывода, но изучался лишь случай применения упрощенного алгоритма нечеткого логического вывода (алгоритма Сугено нулевого прядка) и нахождения БНВ в объекте управления. В настоящей статье эти ограничения сняты.

1. ПРОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

Определенное распространение на практике получили системы управления с одномерными БНВ [2, 19].

Рассмотрим структурную схему системы управления (на рис. 1).

Система содержит нечеткий регулятор НР и объект управления ОУ. Линейные динамические

Рис. 1. Система с несколькими одномерными блоками нечеткого вывода

звенья ЛДЗ1 и ЛДЗ2 соответственно описываются импульсными передаточными функциями

W1(z) =

>п( Z ) xn (Z)

W12( Z) = 1 x12 ( Z)

e (Z)

W1s( Z) x1s ( Z)

и

>21( Z ) x21( Z)

W22( Z) = _1_ x22 ( Z)

U ( Z)

Wp ( Z) _x2 p ( Z )

W2(z) =

Блоки нечеткого вывода БНВ.. со скалярными

у

входами хУ и выходами у.. реализуют функцио-

У У

нальные зависимости

yj = ^jj

(1)

где / и у — индексы, соответствующие обозначениям на рис. 1 (в дальнейшем, где это не наносит ущерба ясности изложения, индексы будут опускаться).

Зависимости (1) определяются либо с помощью алгоритма нечеткого логического вывода Сугено — Такаги [15] с продукционными правилами вида

Пг: если x есть Ar, то y = f.(x), в соответствии с выражением

(2)

y(x) =

X (x) -fr(x) r = 1_

m

X ^r(X)

r = 1

(3)

где цДх) — функции принадлежности нечетких множеств Лг, г — номер нечеткого продукционного правила, т — число нечетких продукционных правил, либо с помощью алгоритма нечеткого логического вывода Цукамото [16] с продукционными правилами вида

Пг: если x есть Ar, то y есть Br,

в соответствии с выражением

(4)

y(x) =

X Цг(x) ■ Ю- (^r(x))

r = 1_

m

X ЦГ(x)

r = 1

(5)

где rar(x) — функции принадлежности нечетких множеств Br (согласно требованиям алгоритма функции <ör(x) являются монотонными на R и, следовательно, имеют обратные функции ю"1 (•)).

Требуется для рассматриваемой системы определить достаточное условие асимптотической устойчивости в целом [18].

2. ХАРАКТЕРИСТИКА БЛОКОВ НЕЧЕТКОГО ЛОГИЧЕСКОГО ВЫВОДА

Далее рассмотрен подход к анализу устойчивости систем управления с БНВ, при котором нелинейность БНВ характеризуется одним параметром, что позволяет определить устойчивость для всех систем, принадлежащих заданному классу.

Предположим, что зависимость (1) является однозначной, находится в I и III квадрантах и обладает свойством: y(0) = 0 (в ряде случаев, добиться выполнения указанных требований удается линейным преобразованием переменных состояния).

Введем в рассмотрение коэффициент передачи БНВ, зависящий от входного сигнала х:

k(x) = "ff-|x|

(6)

Определение 1. Под максимальным коэффициентом передачи БНВ будем понимать параметр, характеризующий зависимость (6) и определяемый формулой:

KH = max k(x). ♦

Vx e R

(7)

Для определения максимального коэффициента передачи БНВ необходимо решить задачу одномерной безусловной оптимизации (7) с учетом выражений (3) и (6) (для алгоритма Сугено — Такаги)

m

m

или (5) и (6) (для алгоритма Цукамото). При использовании современных систем компьютерной математики [20] решение данной оптимизационной задачи никаких сложностей не вызывает, кроме того, можно найти зависимости Кн от параметров функций принадлежности нечетких множеств, входящих в продукционные правила (2) и (4).

Для оценки максимального коэффициента передачи БНВ можно также воспользоваться приведенными далее теоремами.

Теорема 1. Пусть система нечеткого логического вывода Сугено — Такаги описывается набором нечетких продукционных правил (2), тогда для параметра (7) справедливо соотношение:

Kr, < KTT = max

H H

max ЦМ, max \Ш

x e C1 |x| x e C2 |x|

max

x e C„

\fm ( x )|

|x |

(8)

где С,, С, ..., С — носители нечетких множеств

12 'Ж

А,, А, ..., А соответственно.

Доказательство. Решая совместно уравнения (3), (6) и (7), получим:

K„ = max

H x e R

2 fr(X) • Vr(X)

r = 1

M

(9)

2 Vr(X)

r = 1

Воспользовавшись свойством модуля функции [21], из выражения (9) получим:

2 fr(X) • Vr(X)

KH < max

r = 1

x e R

(10)

|X| • 2 Vr(X)

r = 1

Заметим, что формула

2 fr(X) • Vr(X)

r = 1

= X

с

(11)

2 ^г(X)

г = 1

определяет координату центра масс Хс невесомого стержня с расположенными на нем грузами с массами р.Дх) в точках с координатами | /(х)| [21].

Очевидно, что координата центра масс Хс не может превышать координаты крайнего справа груза с массой, отличной от нуля. Таким образом,

Хс < шах[|/Дх)| •10(ц1(х)), |/(х)| -10(ц2(х)), ...,

|//х)|-10(ц„(х))], (12)

[1 при г > 0,

где 10(г) = <! — единичная функция.

0 [0 при г = 0

Сопоставляя соотношения (10)—(12), можно записать:

kh < maX ¡X] ' max[|/r(X)|-10(v1(X)), |/,.(x)|-10(v2(x)), ...,

I / (x)| -1o(Vm(x))].

(13)

Последнее выражение приводится к виду, дающему искомую оценку (8), что и доказывает теорему. ♦

Следствие 2.1. Пусть в условиях теоремы 1 функции f((x) имеют вид:

f(x) = pr x, (14)

где pr — вещественные константы, тогда

Kh < max | Pr |. (15)

r = 1,2,m

Доказательство. Подстановка выражения (14) в формулу (13) дает:

Кя < max ¡-1 • max[|px| -y^x)), |px| • 1o(^W), ...,

x e R |X|

|PrX| -1o(Vm(x))]. Последнее выражение приводится к виду:

I PrX|

KH < max

H r = 1, 2,..., m, x e R |x|

(16)

Воспользовавшись свойствами модуля функции [21] из выражения (16) можно получить неравенство (15). ♦ Следствие 2.2. Пусть в условиях теоремы 1 функции /г(х) имеют вид:

/(х) =

где wJ. — вещественные константы, тогда

Kh < KH =

= max

w1

Kl

w

'v n

max , max , ... , max

x e C1 \x\ x e C2 \X\ x e Cm |x|

♦ (17)

Формула (20) ранее приводилась в работах автора [3, 4, 14].

Теорема 2. Пусть система нечеткого логического вывода Цукамото описывается набором нечетких продукционных правил (4), тогда для параметра (7) справедливо соотношение:

Kr, < KTT = max

HH

max

x e C

Ю

11(^1 (x ))|

max

x e Co

|®2

1(^2 ( x ))|

|x|

max

x e C,

i |x| '

'»m1 (^m (x ))|

m

x

, (18)

где C, C,, ..., C — носители нечетких множеств

1 2 m

A,, A, ..., А соответственно.

1 2 m

л

m

л

m

л

Рис. 2. Функции принадлежности нечетких множеств БНВ

Рис. 3. Характеристика блока нечеткого вывода

Доказательство. Из сопоставления нечетких продукционных правил (2) и (4), а также соотношений

(3) и (5) приходим к выражению /(x) = ш-1(цг(х)), подставляя которое в соотношение (8), приходим к неравенству (18). ♦

Пример 1. Рассмотрим БНВ, имеющий набор нечетких продукционных правил:

П^ если x есть Z, то u = 0; П2: если x есть PS, то u = x; П3: если x есть PM, то u = x/| x |; П4: если x есть NS, то u = x; П5: если x есть NM, то u = x/| x |.

На рис. 2 приведены функции принадлежности нечетких множеств Z, PS, PM, NS и NM

Выходной сигнал БНВ в данном случае определяется формулой (3). Воспользуемся оценкой (8).

Для правила П носитель нечеткого множества Z —

xe [—1, 1], значениеfj(x) = 0, следовательно max

j x е C1 |x|

= = max M = 0.

x е [-1, 1] Ix|

Для правила П2 носитель нечеткого множества PS — x e [0, 5, 2], значение /2(x) = x, следовательно

max l/M = max |*| = 1.

x е C2 \x\ X е [0,5, 2] |x|

Для правила П3 носитель нечеткого множества PM— x e [1, +да], значение /3(x) = x/|x|, следовательно

max = max JiL = 1.

X е C3 ix X е [ 1, + ю] ixixl

Для правила П4 носитель нечеткого множества NS — x e [—2, —0,5], значение /4(x) = x, следовательно

max = max И = 1.

x е C4 \x\ x е [-2, -0,5] Ix|

Для правила П5 носитель нечеткого множества NM— x e [—1, —да], значение /5(x) = x/|x|, следовательно

max /^i = max JiL = 1.

x е C5 |x| x е [-»,-1] ixixl

Подставляя данные частные результаты в выражение

л

(8), получим KH = max(0, 1, 1, 1, 1, 1) = 1.

На рис. 3 показаны зависимости y = y(x) и y = K^x.

3. ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ УСТОЙЧИВОСТИ

Рассмотрим автономный режим работы системы (х0 = 0), см. рис. 1. Представим структурную схему системы в виде, приведенном на рис. 4.

Ун Хп БНВп Ун

У.2 Xl2 БНВ12 У12

-►

... • • •

У* Xls ВЯВи y.s

Р

лдз

У, Х21 БНВ21 у21

У22 Х22 БНВ22 У22

Г

... ...

Х2 р Б НВгр У2р

>

Рис. 4. Эквивалентная схема системы

Рис. 5. Система управления с нечетким ПИД-регулятором

Линейное динамическое звено ЛДЗ системы описывается импульсной передаточной функцией

Щг) =

-Wn(z) -Wn(z) ... -Wn(z) -W12(z) -W12(z) ... -W12(z)

-Wls(z) -Wis(z) ... -Wis(z)

W21 (z) W21 (z) W22(z) W22(z)

W21 (z) W22 (z)

W2p(z) W2p(z) ... W2p(z)

(19)

Допустим, что характеристики всех БНВ описываются наборами нечетких продукционных правил и находятся в I и III квадрантах. Для каждого из БНВ определены максимальные статические коэффициенты передачи, которые представлены в виде матрицы

KH =

Kh11 0

0 KH12

0 0

KH1 s 0

0 KH21 0

0 0 Kh22

0 0

0

K

H2p_

Согласно геометрическому критерию абсолютной устойчивости для импульсных систем с несколькими нелинейными блоками [17], если ЛДЗ системы (см. рис. 4) устойчиво и существует дейс-

твительное число 9 такое, что выполняется соотношение

Ал — —Ля

KH ■ W(jw) + W(-/w )• KH

H

+ K^-1 > 0,

0 < w < n,

(20)

где Ж(г) — передаточная матрица (19), г = ехр(—/^), «>0» — обозначает положительную определенность матрицы; то рассматриваемая система будет асимптотически устойчива в целом.

Отметим, что области устойчивости, полученные с помощью геометрического критерия, не уже областей, полученных с помощью второго метода Ляпунова с функцией Ляпунова в виде квадратичной формы от переменных состояния системы [17, 18].

Пример 2. Рассмотрим систему управления с нечетким ПИД-регулятором, содержащим одномерные блоки нечеткого логического вывода (рис. 5). Система с таким нечетким регулятором рассматривается в работе [19].

На рис. 5 приняты М1 и М2 — амплитудно-импульсные модуляторы с фиксаторами нулевого порядка, работающие синхронно и синфазно с периодом квантования Т0. Динамическое звено Щ(р) описывается переда-

к

точной функцией Щ(р) = ----(1 + р7\)( 1 + рТ2)

В качестве блоков нечеткого вывода БНВ11 — БНВ13 и БНВ21 используются БНВ из примера 1.

Передаточная функция (19) в рассматриваемом случае принимает вид:

W(z) =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

W21 (z) W21( z) W21( z)

-(1 - z-1) -1

__z_

z -1 0

p

0

0

s

50

40

30

20

10

2

0,5

1,5

2,5

3,5

Рис. 6. Области устойчивости системы в целом

где

W21(z) =

~-Т2 - Т 1 - Т еХР ( - Т0 / Т ) + Т2 еХР ( - Т / Т2 ) ] Т z +

(Ti - T2)z2 + [(T2 - Ti)exp(-Го/ Ti) + + [- Ti exp (3 + Ti exp[- T ^ + ^

0 TXT2 j

+ (Т2- 7\)ехр(-70/72)] +

^ + - ехр (Т°)--2ехр[--071--]]-0

+ (Т\ - 72) ехр (- 70/ 7\) ехр (- 70/ 72) '

Достаточное условие асимптотической устойчивости в целом рассматриваемой системы определяется соотношением (20).

Приняв 9 = 0 (простейший случай), Кн = 1 (из примера 1) и 70 = 71 = 0,1 определим область асимптотической устойчивости в целом рассматриваемой системы, что отображено на рис. 6 (область ниже линии 1). Для сравнения на данном рисунке показана также действительная область устойчивости системы, полученная путем численного моделирования (ниже линии 2).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Получены достаточные условия асимптотической устойчивости в целом систем с одномерными блоками нечеткого логического вывода с алгоритмами Сугено — Такаги и Цукамото. Они достаточно просты и могут найти применение в инженерной практике.

ЛИТЕРАТУРА

1. Попов В.М. Гиперустойчивость автоматических систем. — М.: Наука, 1970. — 456 с.

2. Пегат А. Нечеткое моделирование и управление / 2-е изд. —

М.: Бином; Лаборатория знаний, 2013. — 798 с.

3. Kruglov V.V., Uskov A.A. A sufficient stability condition for closed-loop control systems with fuzzy logic controllers // Journal of Computer and Systems Sciences International. — 2004. — № 4 (43). — P. 537—541.

4. Круглов В.В., Усков A.A. Достаточное условие устойчивости замкнутых систем управления с нечеткими логическими регуляторами // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2004. — № 4. — С. 47—51.

5. Усков A.A., Круглов В.В. Устойчивость систем с блоками нечеткого логического вывода в объекте управления // Вестник Московского энергетического института. — 2003. — № 3. — С. 108—110.

6. Усков A.A. Подход к анализу устойчивости систем управления с нечеткой логикой // Вестник Московского энергетического института. — 2004. — № 2. — С. 76—81.

7. Усков A.A., Киселев Е.В. Анализ систем управления с нечеткими комплексными моделями. I. Применение теории линейных интервальных динамических систем // Вестник Московского энергетического института. — 2004. — № 4. — С. 98—103.

8. Усков A.A., Киселев Е.В. Анализ систем управления с нечеткими комплексными моделями. II. Применение частотных методов // Там же. — 2004. — № 5. — С. 53—57.

9. Усков A.A. Устойчивость замкнутых систем управления с нечеткой логикой // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. — 2003. — № 9. — С. 8—9.

10. Усков A.A., Киселев Е.В. Системы управления с нечеткими супервизорными ПИД-регуляторами // Там же. — 2005. — № 9. — С. 31—33.

11. Усков A.A., Киселев Е.В. Системы управления с нечеткими комплексными моделями и их устойчивость // Автоматизация и современные технологии. — 2005. — № 2. — С. 45—48.

12. Усков A.A. Устойчивость систем управления с гибридными (нечеткими) нейронными сетями // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. — 2003. — № 3—4. — С. 23—26.

13. Усков A.A., Круглов В.В. Интеллектуальные системы управления на основе методов нечеткой логики. — Смоленск, 2003. — 177 с.

14. Усков A.A. Устойчивость систем с блоками нечеткого логического вывода в объекте управления // Управление большими системами. — 2012. — Вып. 39. — С. 155—164.

15. Осовский С. Нейронные сети для обработки информации. — М.: Финансы и статистика, 2002. — 344 с.

16. Круглов В.В., Дли М.И. Интеллектуальные информационные системы: компьютерная поддержка систем нечеткой логики и нечеткого вывода. — М.: Издательство Физмат-лит, 2002. — 256 с.

17. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. — М.: Наука, 1973. — 416 с.

18. Видаль П. Нелинейные импульсные системы. — М.: Энергия, 1974. — 336 с.

19. Интеллектуальные системы автоматического управления / Под. ред. И.М. Макарова, В.М. Лохина. — М.: Физматлит, 2001. — 576 с.

20. Дьяконов В.П. Энциклопедия компьютерной алгебры. — М.: ДМК Пресс, 2009. — 1264 с.

21. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — М.: АСТ. Астрель, 2006. — 991 с.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

В.Ю. Рутковским.

Усков Андрей Александрович — д-р техн. наук, профессор,

Российский университет кооперации, г. Мытищи, Моск. обл.,

^profuskov@gmail.com.

>