CC BY
35
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ
УДК621.396, 621.391
ДОСЛІДЖЕННЯ ВЛАСТИВОСТЕЙ НЕЛІНІЙНОГО ЕЛЕМЕНТА ПЕРЕДАВАЧА ХАОТИЧНОЇ СИСТЕМИ ЗВ’ЯЗКУ
ЕЛІЯШІВ О.М., РУСИН В.Б.,
ПОЛІТАНСЬКИЙ Л. Ф., КУШНІР М.Я., ПОЛІТАНСЬКИЙ Р.Л.______________________
Описуються результати чисельного моделювання та експериментальних досліджень роботи нелінійних елементів схеми генератора Чуа для хаотичних систем зв’язку.
1. Вступ
В наш час інтенсивно досліджуються системи зв ’яз-ку, в основу роботи яких покладені властивості детермінованого хаосу [1-3]. Базовим елементом приймально-передавальних трактів таких систем є так званий ,,діод Чуа”, тобто радіокомпонент, який має суттєво нелінійні властивості [4-5]. Його наявність є необхідною умовою для реалізації у вказаних системах хаотичних коливань. Серед перших ґрунтовних досліджень поведінки цих елементів слід назвати роботи Л. Чуа, У. Сюсаня та Т. Мацумото [68]. В подальшому при аналізі передавання, приймання та обробки інформації в хаотичних системах зв’язку в більшості робіт поведінка нелінійних елементів описується в основному аналітично (див., наприклад [9-10]).
На нашу думку, чисельне моделювання і, особливо, саме аналіз експериментальних результатів роботи нелінійних елементів дають можливість повноцінно використовувати всі переваги детермінованого хаосу при практичній реалізації сучасних захищених систем зв’язку. Цьому важливому питанню і присвячена дана робота, в якій, зокрема, досліджено значення параметрів, при яких система характеризується хаотичною поведінкою, отримані результати чисельного моделювання та експериментальних досліджень роботи нелінійних елементів схеми.
Рис. 1. Генератор Чуа
Г енеруючий резонансний коливний контур rLC2 зв’язаний з активним нелінійним елементом через інерційну ланку RC1. Поведінка системи визначається впливом нелінійного елемента, що відіграє роль джерела живлення системи. Нагадаємо, що присутність не-лінійності є необхідною, але недостатньою умовою для виникнення хаосу в системі.
а ^ ^ /иЬ вр Вр
-Вр -Вр ГТ7іЬ і і 1 v і ] і 1 і |' і / і} i і| ii
Рис. 2. Вольт-амперна характеристика нелінійного елемента
Обмежений характер хаотичних траєкторій обумовлений розсіюванням енергії в пасивних елементах R i r, що стримує її зростання в коливному контурі. Проте баланс енергії виявляється досить нестійким, неперервно змінюється в часі і ніколи не повторюється як періодичне явище.
Візьмемо як складові компоненти вектора стану системи струм і в контурі, напругу u на ємності С2 контура rLC2 і напругу v на нелінійному елементі. Згідно з першим і другим законів Кірхгофа запишемо систему трьох диференціальних рівнянь:
т di .
L— = —ri - u, dt
^ du _ . v — u dt R
u—v
C1 = —----f(v),
R
(1)
2. Аналітична модель хаотичного генератора Чуа
Розглянемо більш детально роботу схеми Чуа, яка є однією із найпростіших систем з хаотичною поведінкою і представляє собою автоколивальну систему з 1,5 степенями свободи [11]. Схема складається з коливного контуру з втратами rLC2, інерційної ланки RC1 і активного нелінійного елемента, зображеного на схемі в вигляді нелінійної провідності (рис. 1).
де f(v) - кусково-лінійна характеристика нелінійного елемента;
f (v) = mbv + 0,5(mb — ma)[| v + Bp| — | v — Bp|], (2)
тут ma,mb - розмірні крутизни лінійних ділянок; +Bp, -Bp - точки перегину нелінійної характеристики (рис. 2).
12
РИ, 2011, № 2
Перше рівняння представляє суму падіння напруги при круговому обході резонансного коливного контура, а друге і третє дають відповідно суму струмів для вузлових точок а і b схеми, представленої на рис. 1.
Проведемо нормування змінних i, u, v в системі відносно напруги Bp:
x = v/Bp,y = u/Bp,z = Ri/Bp (3)
і перейдемо до безрозмірного часу t = t/Rc. В безрозмірних величинах система рівнянь (1), що описує схему Чуа, приймає такий вигляд:
dx/dt = a[y - x - f (x)];
< dy/ dt = x - y + z; (4)
dz/dt = -Py + (T/ Tk)z,
де a = C2/C1, P = T/т , t= L/R ,T = RC (міра інерційності RC кола); Tp = L/r, де T = RC .
З врахуванням нормування напруги v = x • Bp можемо замість (4) записати безрозмірну характеристику активного елемента у вигляді:
f(x) = bx + 0,5(a -b)[|x +1| -1 x -1|], (5)
де коефіцієнти a = Rma ,b = Rmb - також безрозмірні величини.
Щоб спростити аналіз схеми, знехтуємо доданком (T / Tp)z в третьому рівнянні (4). Це значить, що
ми нехтуємо втратами в rLC2 контурі, приймаючи, що r=0. Тоді при вибраних коефіцієнтах a, b характеристики (5) реалізація тих чи інших процесів у схемі Чуа визначається значеннями її двох основних параметрів. Роль першого параметра відіграє відношення ємностей a = C / C1 , а другого - відношення постійних часу р = T/ т . Постійна T = RC є мірою інерційності RC кола, а постійна часу т= L/R характеризує інерційність ланки, що складається з елементів L i R.
3. Комп’ютерне моделювання схеми
Моделювання схеми проводилось, вважаючи, що вольт-амперні характеристики (ВАХ) для конденсаторів, резисторів та індуктивності є лінійними, а ВАХ нелінійного елемента є кусково-лінійною. Головним завданням при дослідженні є коректне моделювання нелінійного елемента. В нашому випадку нелінійність реалізована в двох варіантах - на операційному підсилювачі в сукупності з діодами та на двох операційних підсилювачах.
3.1. Моделювання схеми Чуа з використанням як нелінійного елемента операційного підсилювача в сукупності з діодами
Характеристична часова константа, що використовувалася при моделюванні становила, 50 мс.
Для моделювання схеми генератора Чуа використовувалися компоненти з такими номіналами: 01=100
нФ, 02=10 нФ, L= 22 мГн, R1=2 кОм, R2= R3= 3,3 кОм, R4= R5=4,62 кОм, R7= R8=300 Ом, R6=1,25 кОм, DA=TL082, VD1=VD2=1N914.
Результати комп’ютерного моделювання схеми генератора Чуа з використанням нелінійного елемента на операційному підсилювачі та діодах (рис. 3) в програмному середовищі Micro-Cap наведені на рис. 4 та 5.
Рис. 3. Досліджувана схема генератора Чуа (класичний варіант)
Рис. 4. Хаотичний двохспіральний атрактор схеми генератора Чуа (осцилограма фазової траєкторії на
площині Vc1 , Vc2 )
Рис. 5. Осцилограма часових залежностей сигналів Vc1, VC2 генератора Чуа
Гранична частота генерованих коливань залежить від типу діодів VD1, VD2, що формують кусково-лінійну характеристику нелінійного елемента.
РИ, 2011, № 2
13
3.2. Моделювання схеми Чуа з використанням нелінійного елемента на операційних підсилювачах
Для моделювання схеми генератора Чуа (рис.6) використовує алися компоненти з такими номіналами: С1=10 нФ, С2=100 нФ, L=22 мГн, R1=2 кОм, R4= R3= 220 Ом, R5= R6=22 кОм, R2=2,2 кОм, R7=3,3 кОм, DA1=DA2=TL082.
Результати моделювання наведені на рис. 7 та 8.
Рис. 6. Схема генератора Чуа (нелінійний елемент реалізований на операційних підсилювачах)
Рис. 7. Хаотичний двохспіральний атрактор схеми генератора Чуа з використанням операційних підсилювачів (осцилограма фазової траєкторії на площині
VC1,VC2)
4. Експериментальні результати
ВАХ нелінійного елемента досліджувалася за схемою, наведеною на рис. 9. При цьому на нелінійний елемент подавався сигнал синусоїдальної форми (рис .10). Необхідно зазначити, що амплітуда вхідного сигналу не повинна перевищувати напругу живлення нелінійного елемента, оскільки в противному разі система є дисипативною.
Рис. 9. Схема зняття кусково-лінійної характеристики нелінійного елемента
Кусково-лінійна характеристика була знята при таких параметрах схеми включення: ивх=8,5В, R=400 Ом, Р=2кГ ц.
б
Рис. 10. Вольт-амперна характеристика нелінійних елементів генератора Чуа при різних схемах реалізації: а - класичний варіант реалізації генератора Чуа; б -реалізація генератора Чуа з використанням операційних підсилювачів
За допомогою експериментально реалізованих гене-Рис. 8. Часова залежність сигналів VC1, VC2 генератора раторів були отримані атрактори, наведені на рис. 11.
Чуа
а
14
РИ, 2011, № 2
На рис. 12 та 13 наведені відповідно перехідні хаотичні процеси та їх спектри сигналів.
а
Тек Л. □ Triq'd +
Рок 2.500кНг MATH - Operation
as
Source
б
Рис. 11. Атрактори генератора Чуа при різних схемах реалізації: а - класичний варіант реалізації генератора Чуа; б - реалізація генератора Чуа з використанням операційних підсилювачів
а
б
Рис. 12. Перехідні хаотичні процеси генератора Чуа: а -класичний варіант реалізації генератора Чуа (VC2, VC1); б - реалізація генератора Чуа з використанням операційних підсилювачів (VC2, VC1)
а
Tek .XL • Stop Pos: 2.500kHz MATH
Operation
і» Source ига • Window ЦДЦДДЗ FFT Zoom a
.; mode 500Hz аожл і Nattop 289.540Hz
б
Рис. 13. Спектри сигналу (VC1, VC2): а - класичний варіант реалізації генератора Чуа; б - реалізація генератора Чуа з використанням операційних підсилювачів
Як видно з рис. 13, спектри хаотичних сигналів знаходяться в діапазоні 0-5 кГц, що вказує на можливість їх використання для маскування мовних сигналів.
5. Висновки
1) В роботі представлені результати чисельного моделювання та експериментальних досліджень роботи двох модифікацій схеми Чуа та її нелінійного елемен-
РИ, 2011, № 2
15
та. Повне якісне та частково кількісне збігання цих результатів вказує на правильний методологічний підхід при теоретичному та практичному аналізах складних явищ у фазовому просторі хаотичних осциляторів.
2) Експериментально підтверджена можливість певного контролю хаотичної поведінки у фазовому просторі осцилятора Чуа.
3) Оскільки розглянуті схеми є основними елементами передавально-приймальних блоків хаотичних систем зв’язку, то хаотичний контроль дасть можливість схемотехнічно реалізувати інтегровану систему вказаного типу. Результати таких досліджень будуть представлені в наступних роботах.
Література: 1. Stavrinides S.G., Anagnostopoulos A.N., Miliou A.N., Valaristos A., Magafas L., Kosmatopoulos K. and Papaioannou S. Digital Chaotic Synchronized Communication System // Journal of Engineering Science and Technology. Review 2 (1). 2009. P. 82-86. 2. Wagemakers A., Buldu J.M. andSanjunM.A.F. Experimental demonstration of bidirectional chaotic communication by means of isochronal synchronization // EPL. 2008. № 81. P. 405. 3. Стасєв Ю.В., Васюта К.С., Женжера С.В. Інформаційні системи на основі динамічного хаосу // Системи озброєння і військова техніка. 2009. №1(17). С. 134-138. 4. Galias Zbigniew. Study of Poincare map associated with the Chua’s circuit using interval arithmetic // International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications. Xi’an, PRC. October 7-11,2002. P. 779-782. 5. Rammez-3vila GonzaloM., Gallas Jason A.C. How similar is the performance of the cubic and the piecewise-linear circuits of Chua? // Physics Letters A 375. 2010. P. 143-148. 6.ХаслерМ.Ж. Электрические схемы с хаотическим поведением // ТИИЭР. Хаотические системы (тематический выпуск). 1987. Т. 75, №8. С. 40-54. 7. Сюсань У. Семейство схемы Чжуа // ТИИЭР. Хаотические системы (тематический выпуск). 1987. Т. 75, №8. С. 5565. 8. Мацумото Т. Хаос в электронных схемах // ТИИЭР. Хаотические системы (тематический выпуск). 1987. Т. 75, №8. С. 66-87. 9. Maranhao D. M. and Prado P.C. Evolution of chaos in the Matsumoto-Chua circuit: a symbolic dynamics approach // Brazilian Journal ofPhysics. Vol. 35. March 2005. № 1. P. 162-169. 10. Control of chaos in nonlinear circuits and systems. Edited by Bingo Wing-Kuen Ling, Herbert Ho-Ching Lu, Hak-Keung Lam. Singapore: World Scientific
Publishing Co. Pte. Ltd. Vol. 64. 2009. P. 281. 11. Torresand L. B., Aguirre L. A. PCCHUA - A Laboratory setup for realtime control and synchronization of chaotic oscillations // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2005. Vol. 15. № 8. P. 2349-2360.
Надійшла до редколегії 24.05.2011
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Лукін В.В.
Еліяшів Олег Миронович, асистент кафедри радіотехніки та інформаційної безпеки фізичного факультету Чернівецького національного університету імені Юрія Федько-вича. Наукові інтереси: хаос та програмування мікрокон-тролерів. Захоплення і хобі: шахмати, орігамі. Адреса: Україна, 76006, Івано-Франківськ, вул. Миколайчука, 26, кв. 46. тел. 0633267760.
Русин Володимир Богданович, асистент кафедри радіотехніки та інформаційної безпеки фізичного факультету Чернівецького національного університету ім. Юрія Федь-ковича. Наукові інтереси: управління детермінованим хаосом. Захоплення і хобі: футбол, теніс, персональний комп’ютер. Адреса: Україна, 58000, Чернівці, вул. Чапає-ва, 43, кв. 89, тел. 0977496088.
Політанський Леонід Францович, д-р техн. наук, професор, завідувач кафедри радіотехніки та інформаційної безпеки фізичного факультету Чернівецького національного університету ім. Юрія Федьковича. Наукові інтереси: інформаційні системи зв’ язку на основі детермінованого хаосу. Захоплення і хоббі: футбол. Адреса: Україна, 58000, Чернівці, вул. Руська, 251, кв. 55, тел. (03722) 6-18-61.
Кушнір Микола Ярославович, канд. фіз-мат. наук, доцент кафедри радіотехніки та інформаційної безпеки фізичного факультету Чернівецького національного університету ім. Юрія Федьковича. Наукові інтереси: детермінований хаос. Захоплення і хобі: футбол, класична рок-музика. Адреса: Україна, 58000, Чернівці, пров. Курильський, 24Б, тел. 0506772202.
Політанський Руслан Леонідович, канд. фіз-матем. наук, доцент кафедри радіотехніки та інформаційної безпеки фізичного факультету Чернівецького національного університету ім. Юрія Федьковича. Наукові інтереси: генератори псевдовипадкових послідовностей. Захоплення і хобі: теніс. Адреса: Україна, 58000, Чернівці, вул. Руська, 251, кв. 55, тел. (03722) 6-18-61.
16
РИ, 2011, № 2
