CC BY
5
hoi величини, що ускладнюе визначення часово1 за- тилежнии, в момент якии доргвнюе величинi часово1 за-тримки, внаслiдок чого перевагу мае ВКФ. тримки, дае можливiсть використання алгоритму в ди-
2. Взаемна кореляцшна обробка, з застосуванням ференцшних схемах пеленгування. перетворення Пльберта до одше1 з приИнятих акустич- 3. Алгоритм визначення часово1 затримки ба-
них хвиль, дозволяе досить точно визначати часову за- жано мати адаптивним до дiючоï величини акустич-тримку за наявносп завад. Змша знаку функцп на про- hoï завади.
Лiтература
1. Митько, В. Б. Гидроакустические средства связи и наблюдения [Текст] / В. Б. Митько, А. П. Евтютов, С. Е. Пущин. - Л.: Судостроение, 1982. - 200 с.
2. Евтютов, А. П. Справочник по гидроакустике [Текст] / А. П. Евтютов, А. Е. Колесников и др. - Л.: Судостроение, 1982. - 344 с.
3. Горбатов, А. А. Акустические методы измерения растояний и управления [Текст] / А. А. Горбатов, П. Е. Рудашев-ский. - М.: Энергоиздат, 1981. - 208 с.
4. Новиков, А. К. Статистические измерения в судовой акустике [Текст] / А. К. Новиков. - Л.: Судостроение, 1985. - 272 с.
5. Damarla, Т. Battlefield Acoustics [Text] / T. Damarla. - Cham: Springer International Publishing, 2015. - 262 p. doi: 10.1007/978-3-319-16036-8
6. Reid, W. P. Microphone array location from sounding made by a passing projectile [Text] / W. P. Reid // Technical Report, NASA Langley Research Center. - Langley, 1975.
7. Gervaslo, P. An acoustic sniper localization system [Text] / P. Gervaslo, D. Dhaliwal, O. M. Philip // Proceedings of the SPIE, Command, Control, Communications, and Intelligence Systems for Law Enforcement. - Boston, 1997. - P. 318-325.
8. Козерук, С. О. Визначення координат джерела иостршу по акустичним хвилям [Текст] / С. О. Козерук, Д. В. Маз-шченко // Elegtronics and Commucations. - 2017. - С. 45-49.
9. Maher, R. C. Modeling and Signal Processing of Acoustic Gunshot Recordings [Text] / R. C. Maher // Proceedings of IEEE Signal Processing Society 12th DSP Workshop. - Wyoming, 2006. - P. 257-261. doi: 10.1109/dspws.2006.265386
10. Бендат, Дж. Прикладной анализ случайных данных [Текст] / Дж. Бендат, А. Пирсол. - М.: Мир, 1989. - 540 c.
11. Сергиенко, А. Б. Цифровая обработка сигналов [Текст] / А. Б. Сергиенко. - СПб.: Питер Принт, 2003. - 606 c.
Рекомендовано до публгкацИ' д-р техн. наук Продеус А. М.
Дата надходженнярукопису 27.10.2017
Козерук Сергш Олександрович, кандидат фiзико-математичних наук, доцент, кафедра акустики та аку-стоелектрошки, Нацюнальний техшчний ушверситет Украши «Кшвський полггехшчний шститут iменi 1горя Окорського», пр. Перемоги, 37, м. Кшв, Украша, 03056 E-mail: so.kozeruk@aae.kpi.ua
Сероенко Олексш Володимирович, кафедра акустики та акустоелектрошки, Нацюнальний техшчний ушверситет Украши «Кшвський полггехшчний шститут iменi 1горя Сжорського», пр. Перемоги, 37, м. Кшв, Украша, 03056 E-mail: sfeara86@gmail.com
УДК 539.3
Б01: 10.15587/2313-8416.2017.117676
ДОСЛ1ДЖЕННЯ РУХОМО1 ТР1ЩИНИ В АН1ЗОТРОПНОМУ МАТЕР1АЛ1 ©Д. В. Бший, О. В. Комаров
Розв'язано задачу про визначення напруженого стану в окол1 тргщини 1оффе, що рухаеться зусталеною швидюстю в пружному одноргдному ангзотропному просторI тд д1ею зосередженого навантаження, прикладеного до и береггв, яке рухаеться разом 1з тргщиною. За допомогою методу узагальнених ком-плексних потенцгалгв отримано систему задач лтшного спряження, як розв'язано аналгтично за в1дпо-в1дним алгоритмом
Ключовi слова: рухома трщина, атзотропний простгр, напруження, задача лгтйного спряження, ком-плексний потенцгал
1. Вступ
В сучасному будiвництвi, машинобудуванш лггако- та ракетобудуванш ашзотропш матерiали на-бувають дедалi ширшого застосування завдяки вщ-повщним фiзичним характеристикам. Як наслвдок, виникае загроза появи i розповсюдження дефекпв, яш найчастше являють собою трщини. Дослвджен-
ню особливостей пружно-деформiвного стану в околi рухомоï трщини в ашзотропному матерiалi останнiм часом придметься багато уваги як актуальнш i складнiИ проблемi.
Таким чином можна зробити висновок, що проблема дефекпв проникла у всi галуз^ як1 зв'язанi з роботою над вщомими матерiалами.
Цим обгрунтовуеться актуальнiсть проведения даних дослiджень.
2. Аналiз лiтературних даних та постановка проблеми
Рух трщини вперше був розглянутий в po6oTi [1], де була запропонована модель рухомо! тpiщини кiнцевоi довжини що рухаеться з усталеною швидш-стю в iзотpопному матеpiалi. Шляхом введення рухомо! разом i3 трщиною системи координат отрима-нi piвняння, якi формально повнiстю аналогiчнi piв-нянням для статичного випадку при умов^ що швид-кiсть руху тpiщини не перевищуе швидкiсть поверх-невих хвиль Релея. Це дало можливють використати методи, аналогiчнi статичному випадку, i отримати розв'язок поставлено! задача Далi в моногpафii' [2] було детально пpоаналiзовано даний шдхщ i доведено пpавомipнiсть його використання при усталених швидкостях. В робот [3] було запропоновано використання пвдходу узагальнених комплексних потен-цiалiв щодо розв'язання задач усталеного руху трь щини. Випадок юнування тертя мiж берегами рухомо! тpiщини дослiджено в pоботi [4]. Дослвдження для напiвнескiненоi тpiщини, що рухаеться в несшн-ченому iзотpопному пpостоpi проведено в pоботi [5]. У випадку, коли прямолшшшсть руху трщини за-безпечуеться заздалегiдь, гранична швидшсть трщи-ни в однорщному матеpiалi доpiвиюе швидкостi по-верхневих хвиль Релея.
3. Мета та задачi дослiдження
Мета дослвдження - розробити метод для визна-чення напружень перед фронтом рухомо! в ашзотроп-ному матеpiалi тpiщини та пpоаиалiзувати !х залеж-нiсть вiд швидкостi для найбшьш загального випадку.
Для досягнення поставлено! мети необхщно було виpiшити наступш основнi задачi:
1. Представлення напружень в ашзотропному пpостоpi через узагальнеш комплекснi потенцiали;
2. Зведення поставлено! задачi до системи задач лшшного спряження.
3. Знаходження узагальнених комплексних по-тенцiалiв;
4. Ршення поставлено'1 задачi методом зведення до системи задач лшшного спряження
Розглянемо трщину скшчено! довжини, яка рухаеться з усталеною швидюстю v < vR , де vR - швид-кiсть хвиль Релея з фронтом, паралельним фронту трь щини. Тpiщина знаходиться в ортотропному пpостоpi, осi пружно! симетри якого оpiеитоваиi довiльним чином, шд дiею зосередженого навантажения прикладе-ного до !! беpегiв (р, р, р) (рис. 1). Пружш властиво-ст простору визначаються елементами матpицi коефь цiеитiв податливостi (atJ; i, j = 1,6).
Рiвияния руху для ортотропного матеpiалу в неpухомiй системi координат (X, X2, X3) мають на-ступний вигляд:
С,
д2 и.
д2 и
iJsI дХ, dXj Р д t2
i,j, s, l = 1,2,3,
(1)
де Сщ - компоненти тензора пружних сталих, а р -
густина матерiалу. Тут i в подальшому по iндексам, що повторюються, проводиться додавання.
Рис.1. Схема розташування трщини в простора v - швид-кiсть трщини; a , b - лiва i права границя трщини вдао-вдао; р , р , р - компоненти вектора навантажень
Визначальнi спiввiдношения для ашзотропно-го матеpiалу задаються узагальненим законом Гука:
а = С
uij Cijkl
д X,
i, j, k, l = 1,2,3.
(2)
До системи рiвнянь додаемо сшвввдношения
Кошi:
(
sj = 2
л
ди,. ди} дХ. дХ.
\ j ' У
i, j = 1,2,3
(3)
i гpаиичнi умови на берегах трщини:
= -р8(Х, -c), i = 1,2,3 (4)
де Xl е [a, b].
Представлення напружень в ашзотропному простора Розглянемо трщину в ашзотропному прос-TOpi, що рухаеться усталено зi швидкiстю v < vR , де vR - швидкiсть хвиль Релея з фронтом, паралельним фронту трщини (рис. 1). Рухома трщина, в даному випадку, е iдеалiзацiею запропонованою в pоботi [1]. Ця iдеалiзацiя е доцiльною при вивченш локальних особливостей напружено-дефоpмiвного стану бшя вершини усталено рухомо! тpiщини, це детально показано в дослщженш [2].
Рiвняння руху для ортотропного матеpiалу в не-pухомiй систем координат (X, X2, X ) мають вигляд
(1).Визначальш спiввiдношения для аиiзотpопного ма-теpiалу задаються узагальненим законом Гука (2).
Зробимо замшу координат
X = X^ — vt, x = X2, x = X^.
Тодi piвняння (1) набувае наступного вигляду
•(v )
д и.
^ijslV_
д x д Xj
= 0, i, j, s, l = 1,2,3,
(5)
де cijsi (v) = Ctjsi -PvA1j^As, smn- символ Кро-
некера.
Вважаемо справедливими наступнi рiвностi:
= , = СТ22 , СТ23 = СТ23 ,
якi справедливi для бiльшостi типiв навантаження.
При виконанш умови V < ся для швидкостi руху трщини рiвняння (5) е системою однорщних рь внянь в частинних похщних елiптичного типу, тому для 11 розв'язку можна застосувати пiдхiд узагальне-них комплексних потенцiалiв, запропонований в ро-ботi [6]. Для розв'язання плоских задач пiдхiд було розвинуто в монографii [7]. Аналопчний метод, але з постановкою задачi в перемiщеннях, викладено автором [8]. Припустимо, що поле перемщень не зале-жить вiд координати х3, що справедливе для бшьшо-стi навантажень, що не залежать вщ х3. Представимо вказане поле перемщень через дов№ну функцш / ( Х1, Х2
) у виглядi
: = Sf(xl +рх2),
(7)
де а - довшьнии вектор, р. - нев1дом1 поки що пос-
тiйнi. Далi пiдставимо (7) в (6), звщки отримаемо систему однорадних лшшних алгебра1чних р1внянь в1д-носно компонент вектора а.
(Ci1k1 +{CHk2 + Ci2k1 ) Р + Ci2k2 P1) ak = 0
(8)
Не тривiальне рiшення цiеi' системи буде юну-вати тiльки у випадку, коли визначник матриц кое-фiцiентiв дорiвнюе нулю
^ [<С Ш + ( С 1к 2 + С 2к1 ) Р + С 2к 2 Р2 ] = 0 и к = 1,2,3. (9)
Отриманий вираз представляе собою рiвняння шостого порядку вщносно р, ршенням якого, в зага-льному випадку, е три пари комплексно спряжених коренiв, якi необхщно знайти чисельно. Обравши три коренi з додатною уявною частиною, можна записати загальний розв'язок системи (8) в наступному виглядi:
ü = Af{z) + Af{z)
(10)
де А = (öj, а2, а3) - матриця власних вектор1в системи
(8), f(z) = (fl(zl),f2(z2),f3(z3)) - вектор-функщя узагальнених комплексних змiнних
z,. = + Р х2 (i = 1,2,3).
Щоб знайти напруження, що дють на площi ш-терфейсу введемо в розгляд вектор t = (ст21 ,ст22 ,ст23), вираз для якого через похiдну вщ функцй' f (z) отримаемо поставивши (10) в (2)
де
t=Bf'(z) + Bf'(z),
В = (с,2,1 + Рк Спп ) Ajk > h ^ = 1,2,3, f(z) = (f\zx)j\z2),f(zз)).
(11)
Зведення до лiнiйно спряжено! задача Вираз (11) запишемо покомпонентно:
^2 j = B kf'k + B kf k .
jkJ к 1 "jkJ к •
(12)
Введемо в розгляд коефiцiенти ml та m2 на яш помножимо перший i третiй вираз (12) [9], i додамо вс три вирази. Отримаемо представления наступного вигляду:
= (Bnm 1 + B21 + B3m2)f'+ +
+(Bnmt + B22 + B^m2) f'+ +
+(Bi3m 1 + B23 + B33m2)f '+-
-(B11m 1 + B21 + B31m2)f '--
-(B12m 1 + B22 + B32m2)f '--
-(B13m 1 + B23 + B33m2)f '- .
(13)
Шсля вiдповiдних алгебра!чних перетворень одержимо:
де
T j (F + gjFj ) = m1ja21 + CT22 + m2j°2:
Fj = f \ Sj + f \ + f '3 Sj
Tj = B12m1j + B22 + B32m2j,
m1 jB12 + B22 + m2 j B32
s =—-—
j m,:B,i + B„ + m tBv
(14)
(15)
(16)
(17)
"1 jB12
'2 jB32
s = m1 Bn + B21 + m2 BJL= m1B11 + B21 + m2B31 (18) 1 m B12 + B22 + m2 B32 m1B12 + B22 + m2B32 ,
S =m1 B13 + B23 + m2 B31 = m1B13 + B23 + m2 B33 (19)
^ m1 B12 + B22 + m2 B32 m1B12 + B22 + m2 B32 ' j = 1,2,3.
Необхвдно щоб коефiцiенти при fта f, (j = 1,2,3) були р!вними, для цього знайдемо коефще-нти m та m2 при яких ця умова буде виконуватись. Знайти можемо чисельно, з наступних рiвнянь :
mBu + B2l + m2B3l mxBn + B21 + m2By
m1B12 + B22 + m2B32 m1 B12 + B22 + m2 B32 m1B13 + B23 + m2 B33 _ m1 B13 + B23 + m2 B33
m1B12 + B22 + m2 B32 m Bl2 + B22 + m2 B3;
При рiшеннi рiвняння (20) виникають три пари коренiв m та m2 . А це означае що можна записати три задачi лшшного спряження напружень, з яких
можна визначити напруження. Система рiвнянь ма-тиме такий вигляд:
T (Fi+ (х,0) + gtF- (x, 0)) = = mPA(x - c) + PA(x - c) + m2PA(x - c), (21)
де i = 1,2,3 .
Ршення ще! задачi лшшного спряження пред-ставлене в [10] в наступному виглядi:
F« - Xi? i
Xo( z)f f (t)dt
- + Xo(z)P( z), (22)
2mi LXo+ (t)(t - z)
де P(z) - довшьний полiном. У випадку, який розг-лядаеться в даному дослiдженнi, за вiдсутностi сил шерцп, розв'язок (22) набуде наступного вигляду
F (z) = J
Xо( z)r f (t)dt
2mi LXo+ (t)(t - z)
(21)
Запишемо частковi розв'язки X0 (z) i X„ (x) в загальному виглядi, так як отримаш у - комплекс -нi числа:
Xo( z) = (z - а)-у (z - by-', X+ (x ) = - (x - a)-y (b - x )у-1 eimy. (22)
Щдставляючи (4) i (22) в (21) отримаемо (z - a)-y(z - b)1-y
F (z) = -
2 mi
f (x)dx
,(x - a)-y (b - x ) у e'm (x - z)
(23)
де
f (x) = PmA(x - c) + PA(x - c) + pm2S(xi - c).
Для запису шнцевого результату, необхiдно обчислити штеграл у виразi (23). Так як шдштегра-льна функцiя е дельта-функщею, рiшення набуде такого вигляду:
F ( z) =
Pm + p + Pm (z - ay (z - b)y-1
2mTe"y (c - a)-y (b - c)y-1
z - c
,(24)
де Т - постшна отримана за формулою (16). Визна-чимо, тепер, значення функцш F±(x) перед фронтом трщини:
Pm 1 + P2 + pmt 3
F (x) = - .
11 2niTe'm (c - a)-y (b - c)y-1 (x - a)-y(x - b)y-1
(25)
Пiсля чого розв'язуючи систему (14) ввдносно u2i (i -1,2,3) отримуемо напруження.
5. Результати дослщжень напруженого стану в око. ii вершини трщини
Проведена чисельна реалiзацiя по представле-ному вище алгоритму i отримаш результати для аш-зотропного простору. Розрахунки були виконанi для вуглепластику при рiзних значеннях швидкостi.
На наведених графшах (рис. 2-4) зображено залежшсть напружень на площинцi з нормаллю х2 ввд вiдстанi до фронту трщини.
Рис. 2. Змша напружень а21 iз ростом швидкостi руху трпцини
О ОД 0,2 0,3 0,4
Рис. 3. Змша напружень а22 iз ростом швидкосп руху трщини
- —v=0
-- v-500 ----v-1100
-v-1800
1
1 1
Рис. 4. Змша напружень а23 iз ростом швидкосп руху трщини
Кожна з кривих показуе значення напружень при рiзних швидкостях руху трщини, як i можна було очшувати, з зростанням швидкосп руху трщини, зростають i напруження, безпосередньо перед перед юнцем прямуючи до нескшченост! Також можна помiтити, що напруження о21 ввд'емними безпосе-редньо перед самим фронтом трщини, це може бути обумовленим анiзотропною структурою простору. Iншi два напруження, не мають тако! особливосп i вони зажди додатнi. Найбшьшими напруженнями е с22, це
b
X
зумовленне тим що був розглянутий випадок трiшiни ввдрива (1 моди деформаци).
6. Висновки
У результата проведених дослвджень: - запропоноване ршення задачi лiнiйного спряження для трщини в ашзотропному просторi;
- розглянутий вплив швидкосп руху трь щини на напруження, якi виникають перед ïï фронтом;
- проведено дослвдження трщини в ашзотропному однородному просторц
- розроблений алгоритм, за допомого! якого можна провести числову реалiзацiю даноï задачi.
Лiтература
1. Yoffe, E. H. LXXV. The moving griffith crack [Text] / E. H. Yoffe // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. - 1951. - Vol. 42, Issue 330. - P. 739-750. doi: 10.1080/14786445108561302
2. Черепанов, Г. П. Механика хрупкого разрушения [Текст] / Г. П. Черепанов. - М.: Наука, 1974. - 640 с.
3. Radok, J. R. M. On the solution of problems of dynamic plane elasticity [Text] / J. R. M. Radok // Quarterly of Applied Mathematics. - 1956. - Vol. 14, Issue 3. - P. 289-298. doi: 10.1090/qam/81075
4. Баренблатт, Г. И. О расклинивании хрупких тел [Текст] / Г. И. Баренблатт, Г. П. Черепанов // ПММ. - 1960. -№ 24. - С. 4-10.
5. Craggs, J. W. On the propagation of a crack in an elastic-brittle material [Text] / J. W. Craggs // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 1960. - Vol. 8, Issue 1. - P. 66-75. doi: 10.1016/0022-5096(60)90006-5
6. Лехницкий, С. Г. Теория упругости анизотропного тела [Текст] / С. Г. Лехницкий. - М.: Наука, 1977. - 416 с.
7. Lekhnitsky, S. G. Anisotropic plates [Text] / S. G. Lekhnitsky. - New York: Gordon and Breach, Science Publishers, 1984. - 546 p.
8. Stroh, A. N. Steady State Problems in Anisotropic Elasticity [Text] / A. N. Stroh // Journal of Mathematics and Physics. -1962. - Vol. 41, Issue 1-4. - P. 77-103. doi: 10.1002/sapm196241177
9. Herrmann, K. P. Contact zone assessment for a fast growing interface crack in an anisotropic biomaterial [Text] / K. P. Herrmann, V. V. Loboda, A. V. Komarov // Archive of Applied Mechanics. - 2004. - Vol. 74, Issue 1-2. - P. 118-129. doi: 10.1007/s00419-004-0342-9
10. Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости [Текст] / Н. И. Мусхели-швили. - М.: Наука, 1966. - 707 с.
Рекомендовано до публгкацИ д-р ф1з.-мат. наук Лобода В. В.
Дата надходження рукопису 23.10.2017
Бший Дмитро Володимирович, кафедра теоретично! та комп'ютерно! мехашки, Дшпровський нацюнальний ушверситет iменi Олеся Гончара, пр. Гагарша, 72, м. Дшпро, Украша, 49010 E-mail: biliy.dmitry@gmail.com
Комаров Олександр Вшторович, кандидат фiзико-математичних наук, доцент, кафедра теоретично! та комп'ютерно! мехашки, Дшпровський нацюнальний ушверситет iменi Олеся Гончара, пр. Гагарша, 72, м. Дншро, Укра!на, 49010 E-mail: avikomarov@gmail.com
УДК 517.928.2
DOI: 10.15587/2313-8416.2017.118874
1НТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ ДИФЕРЕНЦ1АЛЬНИХ Р1ВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ ЗА ДОПОМОГОЮ ПОДВ1ЙНИХ РЯД1В
© О. В. Чорненька, А. С. Гусак
Представлено короткий iсторичний анализ питання про побудову асимптотичних розв'язтв лттних диференщальних рiвнянь та систем з малим параметром. Розроблено метод iнтегрування сингулярно збурених диференщальних рiвнянь другого порядку за допомогою подвшних розвинень. Даний mdxid Трун-туеться на зведенш до^джуваного рiвняння до вiдповiдноi сингулярно збурено'1 лтйног системи дифе-ренщальних рiвнянь. Наголошено на перевагах застосування теорп подвшних рядiв
Ключовi слова: диференщальне рiвняння, подвшш ряди, малий параметр, формальнi розв 'язки, асимп-тотичш розв 'язки
1. Вступ
Ряд задач з рiзних галузей знань зводяться до математичних моделей, що описуються звичайними лшшними диференщальними рiвняннями другого порядку. Побудова розв'язшв таких рiвнянь зале-жить вщ особливостей визначення !х коефщенлв.
Досить часто, приймаючи до уваги постановку при-кладно! задач^ доводиться у вщповщнш математи-чнш моделi вводити малий параметр. При цьому бшьш складним е випадок сингулярного збурення, тобто наявшсть малого параметра при похвднш другого порядку.
