Дослідження оптимальних параметрів одно-, дво- та тришарових однорідних оптичних структур для низькозаломлюючої підкладинки Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.87; 535.345.67

ДОСЛІДЖЕННЯ ОПТИМАЛЬНИХ ПАРАМЕТРІВ ОДНО-, ДВО- ТА ТРИШАРОВИХ ОДНОРІДНИХ ОПТИЧНИХ СТРУКТУР ДЛЯ НИЗЬКОЗАЛОМЛЮЮЧОЇ ПІДКЛАДИНКИ

МІЦА О.В., ГОЛОВАЧЙ.І.

Визначаються теоретичні можливості просвітлення одно-, дво- та тришаровими однорідними оптичними структурами низькозаломлюючої підкладинки та найбільш ефективні методи для розв’язання даної задачі.

1. Вступ

Теоретичні можливості просвітлення багатошаровими однорідними структурами не вивчені повністю. Тому метою даної роботи є визначення оптимальних параметрів одно-, дво- та тришарових однорідних структур, динаміки їх зміни із збільшенням спектрального інтервалу, а також найбільш ефективних методів багатовимірної оптимізації для розв’язання даної задачі. У роботі вибираємо найбільш поширену низькозаломлюючу підкла-динку з показником заломлення ns = 1.51 (скло).

2. Математична модель

Знаючи характеристичну матрицю одного шару

[1-4]

M(n,d, 7)

cos( 5(n,d, 7))

- i • p • sin( 5(n,d, 7))

-p • sin( 5(n,d, 7)) cos(5(n,d, 7))

’ (1)

де 5(n, d, 7) =

2n • n • d • cos(0)

7

можемо записати

характеристичну матрицю однорідної N-шарової структури:

M(n,d, 7) - MN (nN, dN> 7)' MN-l(nN-1 > dN-1 > 7) ••• M^n2,d2, 7) • Ml(n1,d1,7),

тут Mj — характеристична матриця j-го шару;

n = (ni,n2,...,nN_i,n^ — вектор значень показників заломлення; d = (di,d2,...,dN-i,d^ — вектор значень геометричної товщини.

Цільова функція представляється у вигляді:

3. Обчислювальний експеримент

Для знаходження оптимальних параметрів однорідних оптичних структур було випробувано різні методи багатовимірного пошуку екстремумів нелінійних функцій без обмежень [2, 5]. Серед них методи конфігурацій (Хука-Дживса), Розенброка, найскорішого спуску, спряжених градієнтів (Флет-чера-Рівса, Поллака-Рібб’єра), змінної метрики (Девідона-Флетчера-Пауелла, Гольдфарба, Фіак-ко—Мак-Корміка, Грінстадта). Критерієм порівняння були величина області збіжності, що характеризувалась кількістю точок, із яких можна досягнути максимуму, та середня витрата машинного часу на пошук.

Окремо наведено результати досягнення максимуму з точністю 10-6—10-4 і окремо — з точністю 10-7. При дослідженні одно- та двошарових структур як початкові (нульові) наближення вибирались 256 точок, а для тришарової — 216 початкових наближень. Для одно- та двошарових структур вся область можливих значень параметрів (3) розбивалася на 256 підобла-стей, із яких вибиралося по одному нульовому наближенню. Для тришарових структур при розбитті всієї області (3) для вибору нульових наближень отримано незначну кількість точок, із яких можна досягнути оптимальне значення. Тому нульові наближення вибирались із широкого околу оптимальних параметрів, щоб краще перевірити ефективність кожного із методів.

Програмне забезпечення написане мовою програмування Pascal. Розрахунки проводились на комп’ютері з процесором AMD Athlon 1.2 ГГц 128 Мбайт ОЗП.

4. Результати

4.1. Одношарові однорідні плівки

Розглянемо оптимальні значення параметрів та значення функціоналу (2) для одношарової (А=1) структури (рис. 1,2).

d, нм

^(7 2/7і )

= max

n,d

І т2(м, 7(i))

i=1

1/2

(2)

де T — коефіцієнт пропусканя [1—4], залежний від параметрів n, d, 7q ; L — число точок сітки спектрального інтервалу від 7і до 72 ; 7(і) — значення довжин хвиль на даній сітці.

Рис.1. Динаміка зміни оптимальних значень геометричної товщини одношарової однорідної структури

Відомо, що найкраще серед одношарових структур просвітлює діапазон в околі довжини хвилі 70 одиничний шар з показником заломлення, рівним д/й7, і оптичною товщиною 70/4 [1]. Не існує показника заломлення л/1-51, оскільки це значення менше 1.35. Тому оптимальним з наченням показ-

105

РИ, 2003, № 1

ника заломлення одношарової структури для всіх спектральних діапазонів є його нижня можлива межа n1=1,35.

Рис. 2. Динаміка зміни функціоналу о(Л-2 / для

одношарової однорідної структури

Графік оптимальних значень геометричної товщини містить різкі скачки при збільшенні правої границі від 250 до 300 нм та від 800 до 850 нм. Це свідчить про нестійкість оберненої задачі для одношарових однорідних структур.

Оптимальне значення геометричної товщини (див. рис. 1) при збільшенні правої границі від 250 до 300 нм зменшується від 123,8 до 50,0 нм. Далі поступово зростає із збільшенням спектрального інтервалу.

Функціонал о(Л-2 / ^і) при збільшенні правої границі від 250 до 300 нм зростає від 0,9877589 до 0,9890731 (див. рис.2). Далі поступово спадає із збільшенням правої границі Х2 до 800 нм. При збільшенні правої границі Х2 від 800 до 1200 нм значення функціоналу практично не змінюється і тримається в околі 0,982.

Серед методів багатовимірного пошуку найбільшу область збіжності має метод Девідона-Флетчера-Пауелла. Він дозволяє досягнути максимуму із 154 початкових значень при 256 можливих. Далі йдуть метод Фіакко—Мак-Корміка (із 135) та метод конфігурацій (із 112) (табл. 1). Але слід відзначити, що поки методи змінної метрики визначать кінцеве значення збіжності для одного нульового наближення, метод конфігурацій визначить кінцеві значення збіжності як мінімум для трьох нульових наближень. Тому найбільш ефективним для визначення оптимальних параметрів одношарової структури є метод конфігурацій.

Інші два методи змінної метрики — метод Гольдфарба і Грінстадта, маючи незначну перевагу в

106

часі збіжності над методами Девідона-Флетчера-Пауелла та Фіакко—Мак-Корміка, поступаються їм більш, ніж у два рази розмірами області збіжності.

Найбільш неефективним виявився метод Розенб-рока, який досягає максимуму лише при 10 нульових наближеннях.

Методи найскорішого спуску, Флетчера-Рівса та Поллака-Рібб’єра досягають максимуму при однаковій кількості нульових наближенню Але середній час збіжності є найменшим у методі найскорішого спуску, тому він є більш ефективним, ніж методи спряжених градієнтів.

Серед методів спряжених градієнтів більш ефективним є метод Поллака-Рібб’єра. Середній час збіжності його становить 0,21 с, а методу Флетчера-Рівса — 0,24 с.

4.2. Двошарові однорідні плівки

Оптимальні значення параметрів та значення функціоналу (2) для двошарової (N=2) структури наведено на рис. 3—5.

Графік оптимальних значень геометричної товщини містить досить різкі скачки при збільшенні правої границі. Так, для 1-го шару — це від 550 до 600 нм, від 750 до 800 нм та від 900 до 950 нм, для 2-го шару — від 250 до 300 нм та від 950 до 1000 нм. Оптимальне значення показника заломлення 2-го шару стале і рівне 1,35. Графік оптимальних значень показника заломлення 1-го шару містить різкі скачки при збільшенні правої границі від 250 до 300 нм, від 750 до 800 нм та від 900 до 950 нм.

Це свідчить про нестійкість оберненої задачі для двошарових однорідних структур. Оптимальні значення геометричної товщини (див. рис.3) при збільшенні правої границі зростають, за винятком проміжків (750, 950 нм) для 1-го та (250, 300нм) для 2-го шару.

Оптимальне значення показника заломлення 1-го шару при збільшенні правої границі від 250 до 550 нм поступово спадає від 2,21 до 1,63, далі від 550 до 750 нм залишається на одному рівні: 1,60—1,63,

Таблиця 1

Кількість початкових значень, які дозволяють досягнути максимуму, та середня витрата машинного часу на пошук методів багатовимірного пошуку при дослідженні одношарових структур

Методи Досягнутий результат з точністю 10"6-і0"4 Досягнутий результат з потрібною точністю (10-7)

Кількість точок Середній час, с Кількість точок Середній час, с

Конфігурацій (Хука-Дживса) 44 0.09 68 0.13

Розенброка 10 0.05 0 -

Найскорішого спуску 0 - 87 0.16

Флетчера-Рівса 0 - 87 0.24

Поллака-Рібб’ єра 0 - 87 0.21

Девідона-Флетчера- Пауелла 5 0.57 149 0.54

Гольдфарба 47 0.30 18 0.42

Фіакко-Мак-Корміка 8 2.28 127 0.46

Грінстадта 46 0.28 17 0.39

РИ, 2003, № 1

Рис.3. Динаміка зміни оптимальних значень геометричної товщини двошарової однорідної структури

n

2.2

2

1.8

1.6

1.4

J 1 ЮОі шар 2 ВВВ шар 1

рн і—ьм н=н ]

1 2 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 Х2Гк1

Рис.4. Динаміка зміни оптимальних значень показника заломлення двошарової однорідної структури

Рис. 5. Динаміка зміни функціоналу 0.(^2 /■%) для двошарової однорідної структури

потім від 750 до 950 різко спадає до 1,41—1,43, і від 950 до 1200 нм тримається на рівні приблизно 1,57.

Функціонал q(^2/ 2,1) при збільшенні правої границі від 250 до 300 нм спадає від 0,9962123 до 0,9942016, потім від 300 до 350 нм зростає до 0,9957842 (див. рис.5). Далі поступово спадає до 0,983 із збільшенням правої границі Х2 до 800 нм. При збільшенні правої границі Х2 від 800 до 1200 нм протягом всього проміжку функціонал змінюється на значення не більше 5-10-4.

Якщо для одношарових структур метод Розенброка при визначенні оптимальних параметрів виявився найбільш неефективним, то для двошарових струк-

тур він є найбільш ефективним серед усіх методів. Метод Розенброка кращий від інших методів і за величиною області збіжності, і за середнім часом збіжності. Інший метод прямого пошуку — метод конфігурацій, який є найбільш ефективним при визначенні оптимальних параметрів одношарових структур, виявився при дослідженні двошарових структур одним із малоефективних. Розглянемо методи спряжених градієнтів. При дослідженні двошарових структур метод Флетчера-Рівса має область збіжності приблизно на 20% меншу, ніж метод Поллака-Рібб’єра, але середній час збіжності його на 30% кращий (табл.2).

Метод найскорішого спуску є другим за ефективністю після методу Розенброка. Виходячи з критерію величини області збіжності та середньої витрати машинного часу, він є більш ефективним, ніж методи спряжених градієнтів чи методи спряженої метрики.

Серед методів змінної метрики найбільш ефективними є методи Девідона-Флетчера- Пауелла та Фіак-ко—Мак-Корміка. Методи Гольдфарба і Грінстадта є найменш ефективними серед усіх інших. А загалом, методи змінної метрики поступаються за ефективністю методу Розенброка, методу найскорішого спуску та методам спряжених градієнтів.

4.3. Тришарові однорідні плівки

Розглянемо оптимальні значення параметрів та значення функціоналу (2) для тришарової (N=3) структури (рис. 6—8). Графік оптимальних значень геометричної товщини (див. рис.6) має скачки. Особливо різкі вони при збільшенні правої границі: для 1-го шару — від 250 до 300 нм, від 400 до 450 нм, від 550 до 600 нм, від 750 до 800 нм та від 1000 до 1050 нм; для 2-го шару — від 550 до 600 нм; для 3-го шару — від 250 до 300 нм, від 1100 до 1150 нм. Це свідчить про нестійкість оберненої задачі для тришарових однорідних структур (табл. 3). Оптимальні значення показника заломлення особливо різких скачків не мають (див. рис.7).

Рис.6. Динаміка зміни оптимальних значень геометричної товщини тришарової однорідної структури

Оптимальне значення показника заломлення 1-го шару для всіх спектральних інтервалів міститься в межах приблизно 1,6—1,7.

РИ, 2003, № 1

107

Таблиця 2

Кількість початкових значень, які дозволяють досягнути максимуму, та середня витрата машинного часу на пошук методів багатовимірного пошуку при дослідженні

двошарових структур

Методи Досягнутий результат з точністю 10-6-і0-4 Досягнутий результат з потрібною точністю (10-7)

Кількість точок Середній час, с Кількість точок Середній час, с

Конфігурацій (Хука-Дживса) 5 0.44 7 0.49

Розенброка 72 0.27 6 0.34

Найскорішого спуску 63 і.6і і 0.13

Флетчера-Рівса 0 - 56 1.88

Поллака-Рібб’ єра 0 - 67 2.43

Девідона-Флетчера- Пауелла 52 3.52 4 3.75

Гольдфарба 7 0.77 0 -

Фіакко-Мак-Корміка 46 і.3і 0 -

Грінстадта 7 і.03 0 -

Оптимальне значення показника заломлення верхнього шару є сталим і рівним нижній межі показника заломлення — 1,35, як і для двошарових структур.

Функціонал / Ті) при збільшенні

правої границі від 250 до 300 нм спадає від 0,9978740 до 0,9975247, потім від 300 до 350 нм — зростає до 0,9977872 (див. рис. 8). Далі поступово спадає приблизно до 0,9841815 із збільшенням правої границі Х2 до 1200 нм.

Отже, графіки оптимальних значень геометричної товщини і показника заломлення тришарової структури мають скачки. Так само вони спостерігались для одно-, двошарових структур. Це означає, що при невеликій зміні досліджуваного проміжку оптимальні параметри різко змінюються. Отже, можна висловити твердження.

Оптимальне значення показника заломлення 2-го шару при збільшенні правої границі від 250 до 1100нм логарифмічно спадає від 2,237 до 1,434, далі незначно зростає.

Рис .7. Динаміка зміни оптимальних значень показника заломлення тришарової однорідної структури

Q

0.995

0.99

0.985

0.98

’! '-ЄН 1-в-н ]

і і.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 Х2/Хі

Рис.8. Динаміка зміни функціоналу для тришарової однорідної структури

Твердження. Обернена задача синтезу для одно-, дво- та тришарових однорідних структур є нестійкою.

Найбільшу область збіжності серед усіх інших має метод Девідона-Флетчера-Пауелла. Він дозволяє досягати максимуму з певною точністю при 182 нульових наближених із 256 розглядуваних. Але середня витрата машинного часу його є найбільшою серед усіх методів.

Метод змінної метрики — Фіакко—Мак-Корміка має область збіжності майже наполовину меншу, ніж метод Девідона-Флетчера-Пауелла, але середня витрата машинного часу його майже у два рази менша. Інші два методи змінної метрики — Голь-фарба і Грінстадта, як і для двошарових структур, є найменш ефективними серед усіх методів.

Серед методів спряжених градієнтів ефективнішим виявився метод Флетчера-Рівса. Він має область збіжності більшу, ніж метод Поллака-Рібб’єра, і час збіжності його є кращим.

Зіставляючи область збіжності та середню витрату машинного часу для методів найскорішого спуску і Флетчера-Рівса, можна стверджувати, що ефективність цих методів приблизно однакова.

Метод конфігурацій має час збіжності у 5,2 рази менший і область збіжності у 3,5 рази меншу, ніж метод Флетчера-Рівса. Але за часом та областю збіжності поступається методу Розенброка.

Метод Розенброка дозволяє досягати максимуму з певною точністю із 139 нульових наближень. Це приблизно на 24% менше, ніж метод Девідона-Флетчера-Пауелла, і на 12% менше, ніж метод Флетчера-Рівса. Але середня витрата машинного часу його понад 10 разів менша, ніж у методу Девідона-Флетчера-Пауелла, і у понад 6 разів менша, ніж у методу Флетчера-Рівса. Отже, метод

108

РИ, 2003, № 1

Таблиця 3

Кількість початкових значень, які дозволяють досягнути максимуму, та середня витрата машинного часу на пошук методів багатовимірного _______________________пошуку при дослідженні тришарових структур

Методи Досягнутий результат з точністю 10-6-10-4 Досягнутий результат з потрібною точністю (10-7)

Кількість точок Середній час, с Кількість точок Середній час, с

Конфігурацій (Хука-Дживса) 7 0.88 38 1.13

Розенброка 130 0.72 9 0.85

Найскорішого спуску 148 3.94 0 -

Флетчера-Рівса 48 4.58 109 6.15

Поллака-Рібб’ єра 137 6.77 15 8.92

Девідона-Флетчера- Пауелла 177 8.82 5 8.97

Гольдфарба 3 1.66 0 -

Фіакко-Мак-Корміка 92 4.61 0 -

Грінстадта 3 1.21 0 -

Розенброка є найбільш ефективним для визначення оптимальних параметрів тришарових структур.

5. Висновки

У даній роботі отримано результати, які легко спроектувати на реальні матеріали. Це дозволяє розширити можливості просвітлення одно-, дво-та тришаровими однорідними оптичними структурами підкладинок із низьким показником заломлення.

При визначенні оптимальних значень параметрів однорідних структур найкраще використовувати: для одношарових структур — метод конфігурацій (Хука-Дживса), для дво- та тришарових структур — метод Розенброка.

Література: 1. Яковлев П.П., Мешков Б.Б. Проектирование интерференционных покрытий. М.: Машиностроение, 1987. 192с. 2. AbelesF. Ann. de Physique. 1950. V.5. P.596-640. 3. Міца О.В. Оптимізація характеристик оптичних покриттів на основі неоднорідних плівок з різним типом розподілу показника заломлення // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Сер. матем. і інф. 2001. Вип. 6. С.95-99. 4. Мица А.В., Первак Ю.А., Фекешгази И.В. Расчет и оптимизация оптических свойств неоднородных пленок на подложках Ge с квадратическим распределением показателя преломления // Харьковская научная ассамблея (14-й международный симпозиум “Тонкие пленки в оптике и электронике”). Харьков: Контраст, 2002. С. 62-65. 5. Ляшенко И.Н., Карагодова Е.А., ЧерниковаН.В., ШорН.З. Линейное и нелинейное программирование. К.: Вища шк., 1975. 372с.

Надійшла до редколегії 01.10.2002

Рецензенти: д-р техн. наук, проф. Василенко Ю.А.,

д-р техн. наук, проф. Путятин В.П.

Міца Олександр Володимирович, аспірант кафедри кібернетики та прикладної математики Ужгородського національного університету. Наукові інтереси: математичне моделювання технічних та економічних систем, оптимізаційні методи. Адреса: Україна, м.Уж-город, вул. Бестужева, 4/10, тел. 8 (03122) 5-46-47 email: mitsa@univ.uzhgorod.ua.

Головач Иожеф Ігнацович, д-р техн. наук, професор, завідувач кафедри Егерського інституту ім. Естергазі (Угорщина), професор кафедри кібернетики та прикладної математики Ужгородського національного університету. Наукові інтереси: математичне моделювання технічних та економічних систем, оптимізаційні методи, системи штучного інтелекту, бази даних. Адреса: Україна, Ужгород, провул. Університетський, 4/ 2, тел. 8 (03122) 4-21-05

УДК 621.327

МЕТОД ДВУМЕРНОГО СТРУКУТРНОГО КОДИРОВАНИЯ ДВОИЧНЫХ ДАННЫХ

БАРАННИК В.В.___________________________

Излагается метод компактного представления двоичных данных на основе исключения двумерной структурной избыточности. Разрабатывается обобщенное двумерное структурное кодирование двоичных массивов, позволяющее организовать равномерное представление кодовых комбинаций. Определяются нижние границы эффективности простого и обобщенного двумерного структурного кодирования.

Введение

Данные, полученные в результате оцифровки различных видов сигналов (речь, текст, изображения, аудио сигналы), представляются в информационно — вычислительных системах (ИВС) в двоичном виде. Значит, подход к устранению избыточности обрабатываемых и передаваемых в ИВС данных на двоичном уровне является общим средством для

РИ, 2003, № 1

компактного представления информации. В то же время для сжатия двоичной информации в основном используются методы статистического кодирования. К ним относятся адаптивный код Хаффмена — Галлагера, арифметические коды, неравномерные символьные коды [1-3]. Основными недостатками статистического подхода являются: неравномерность кодовых комбинаций, необходимость вычислять статистические характеристики, использование разделителей, слабая помехоустойчивость . Это приводит к снижению коэффициента сжатия и повышению времени кодирования.

Одним из вариантов устранения перечисленных недостатков является компактное представление, основанное не на статистических свойствах двоичных данных, а на их структурных свойствах [4, 5].

1. Разработка метода кодирования двумерных двоичных структур данных

Суть структурного подхода к компактному представлению информации состоит в том, что кодирование осуществляется с учетом выявленных закономерностей в массивах данных. Рассмотрим двоичный массив A={aij} , i = 1,m ; j = 1, n, где m , n

109