CC BY
13
УДК 622.271
ДОПУСТИМЫЙ ПЕРИОД ОСНОВАНИЯ ПРОГНОЗА ТЕХНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ОБЪЕКТОВ АВИАЦИОННОЙ ТЕХНИКИ
В.З. Чокой1, Р.В. Чокой2
Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
2Московская академия государственной пожарной службы Министерства по чрезвычайным ситуациям, 129366, Москва, ул. Бориса Галушкина, 4.
Показан подход к оценке достаточного объема наблюдений для корректного прогноза управляемых процессов. Представлены численные значения оценок достаточного объема наблюдений для линейной и параболической прогнозных моделей при различных требованиях к задаваемой точности. Рассмотрены алгоритмические решения по прогнозированию в условиях достаточного, критического и недостаточного объемов наблюдений. Ил. 1. Табл. 1. Библиогр. 7 назв.
Ключевые слова: алгоритм; анализ; модель; прогноз; процесс; тренд.
FORECAST BASIS PERMISSIBLE PERIOD FOR THE OPERATING CONDITIONS OF AIRCRAFT FACILITIES OBJECTS V.Z. Chokoy, R.V. Chokoy
National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.
2Moscow Academy of State Fire Service of the Ministry of Emergency Situations, 4, Boris Galushkin St., Moscow, 129366.
The authors demonstrate the approach to the evaluation of the sufficient amount of observations for a correct forecast of controlled processes. They present numerical values of the estimates of the sufficient amount of observations for the linear and parabolic predictive models under various requirements for the specified accuracy. The authors consider algorithmic solutions on forecasting in conditions of a sufficient, critical and insufficient amount of observations. 1 figure. 1 table. 7 sources.
Key words: algorithm; analysis; model; forecast; process; trend.
Предположим, что интересующий нас одномерный процесс в дискретный момент времени t характеризуется некоторой величиной уеЯ. Последовательность у{, VI = ...,-1, 0, 1,... понимается как временной ряд, а величины - значениями ряда. Считаем, что значения временного ряда наблюдаются на периоде основания прогноза (1, ...,т), и результаты наблюдений образуют последовательность
у*^ = 1,...,т (1)
Задача корректного прогнозирования состоит в отыскании такой последовательности у{, V t = т + 1,...,т + п,определённой на периоде упреждения прогноза п, которая наилучшим образом согласуется с имеющейся информацией о прошлом, настоящем и будущем процесса.
Известно, что корректный прогноз временного ряда возможен лишь в случае, когда продолжительность периода основания тт1п достаточна для получения достоверных выводов относительно характера изменения во времени каждой составляющей ряда. Для этих случаев сформированы многочисленные модели временных рядов, успешно используемые для прогнозирования процессов [1, 2].
В то же время нередки случаи вынужденного про-
гнозирования при весьма малых периодах основания прогноза т < mmin. В этих случаях нужны не традиционные подходы, а, например, такие, в которых используется дополнительная информация о прогнозируемом процессе [3, 4], интервальные переменные и нечёткие множества [5, 6] и т.д. Перечисленные подходы к прогнозированию реализованы в автоматизированной системе управления эксплуатационной надёжностью авиационных объектов [4]. В ней прогноз выполняется с помощью трёх частных моделей, используемых в зависимости от текущего значения т.
Рассмотрим вопрос определения величины mmin на примере прогнозирования с использованием модели линейного тренда. Предположим, что модель временного ряда yt = + в2 ■ t + £t,V t = l,..,m определена в виде суммы линейного тренда F(t; в1,в2) = 0! + в2 ■ t,Vt = l,...,m с неизвестными параметрами в1,в2 ей и последовательности ошибок наблюдений £t,Vt = 1,.,m. Ошибки наблюдений отождествим с т случайными величинами, независимыми и одинаково распределёнными по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и средним квадрати-ческим отклонением и.
Способы отыскания оценок в1,в2 известны из теории парной линейной регрессии. Так, например, для
1Чокой Владимир Захарьевич, кандидат технических наук, доцент кафедры самолетостроения и эксплуатации авиационной техники, тел.: 89149044086, (3952) 542850, e-mail: [email protected]
Chokoy Vladimir, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the chair of Aircraft Construction and Maintenance, tel.: 89149044086, (3952) 542850, e-mail: [email protected]
2Чокой Роман Владимирович, адъюнкт, тел.: 89151722348. Chokoy Roman, Adjunct, tel.: 89151722348.
линеинои модели они рассчитываются как
а-1 — 2 ---'
= -6
т • (т -(т + 1)^У V
1)
- 2 •lt^y*t
т ■ (т2 - 1)
При принятых предположениях о свойствах случайных величин £{ дисперсии и коэффициент кова-риации этих оценок соответственно равны
D0, = 2 • <г
D9, =
m-(m2- 1) '
m-(m-l) '
COv(eudn) =--——.
4 1 2' m-(m-l)
Из (2) и (3) дисперсия прогноза т(г < п) равна
Dym+i = К(т,т) • а2, К(т,т) =
Ут+i
(2) (3)
глубиной
где
4- + 12- m • г - 6- m + 12- г - 12- г + 2
т
з _
т
Величина К(т,т) при длительности периода основания т и глубине прогноза г представляет собой отношение дисперсии прогноза к дисперсии ошибок наблюдения прогнозируемого процесса и является исчерпывающей характеристикой применимости модели тренда. Так, если требуется, чтобы средняя ошибка прогноза не превышала более чем в к раз дисперсию наблюдений а2, минимальная длительность периода основания должна быть не менее величины тт1п, определяемой решением уравнения: к(т3 - т) = 4- т2 + 12- т ■ п- 6- т + 12- п2 - 12 ■ ■п + 2 (4)
в целых числах. В частности, для некоторых п и к решения уравнения (4) представлены в верхней части таблицы. Сходным образом может быть найдена минимальная величина тт1п для других классов функций тренда. Так, в нижней части таблицы величина тт1п рассчитана для параболического тренда, описываемого уравнением:
F(t,01,02,0з) = в1 + в2-1 + в3- ^^ = 1, ...,т.
Найденные величины ттПп дают основание для классификации временных рядов по их длине. Так, если для заданных п и к выполняется условие т > тт1п, то временной ряд признаётся достаточным. Если же т « тт1п, то рассматриваемый ряд признаётся коротким. Если т < тт1п, то ряд признаётся сверхкоротким.
Допустимое основание корректного прогноза
ттт
n/k 0,1 0,5 1 2 3 5
Для линейного тренда
1 42 10 6 4 3 2
2 45 12 8 5 4 3
3 47 14 9 6 5 4
4 50 15 10 7 6 5
5 52 17 11 8 7 6
Для параболического тренда
1 53 19 14 11 10 8
2 57 22 15 12 10 8
3 60 23 16 13 11 9
4 63 25 17 14 12 11
5 65 26 18 15 13 12
Алгоритм, используемый при управлении эксплуатационной надёжностью авиационных объектов, предусматривает трёхвариантное прогнозирование: для достаточных временных рядов - с использованием модели гармонических весов (автокорреляционной функции процесса и фазированного скользящего среднего) [1, 4]; для коротких рядов - с использованием модели линейного тренда [1, 2, 4]; для сверхкоротких рядов - с использованием комбинации линейного тренда и дополнительной информации, содержащейся в обучающих выборках (ОВ).
Схема алгоритмического модуля (рисунок), реализующего трёхвариантный прогноз, представляет собой слабо ветвящуюся последовательность из 11 частных алгоритмов (далее- по номерам, в соответствии с рисунком): 1 - анализа на пропуски в данных; 4 - устранения пропусков в данных; 5 - анализа данных на наличие интервенций; 10 - элиминирования данных с умеренно аномальными значениями; 12 - удаления из данных аномальных значений; 13 - анализа данных на стационарность; 17 - вычисления значения границы надёжного прогноза; 19, 21, 22 - соответственно, алгоритмов прогноза при достаточных, при частично достаточных, при недостаточных данных (в последнем случае с использованием ОВ); 23 - анализа взаимопротекания траектории прогноза и граничных уровней прогнозируемого процесса.
В модуле предусмотрена интерактивная работа в диалоговом режиме с пользователем (операторы с номерами 3, 7, 8, 15, 24). Модуль содержит две ветви: короткую (между операторами с номерами 1...16) и длинную (между операторами с номерами 1.14, 17.25). Операции по короткой ветви выполняются в случае, когда наблюдаемый процесс признаётся стационарным. Операции по длинной ветви выполняются в случае, когда в наблюдаемом процессе выявлено статистически значимое изменение (нестационарность). В первом случае алгоритм записывает (оператор 16) новое (текущее) значение процесса в матрицу данных. Во втором случае алгоритм записывает (оператор 25) как новое значение процесса, так и его прогнозные значения.
Номера, вписанные на блок-схеме модуля в алгоритмические элементы типа «решение» (ромб) обозначают следующие вопросы: «1?» - пропуски обнаружены?; «2?» - интервенции обнаружены?; «3?» -интервенцию элиминировать?; «4?» - интервенцию удалить?; «5?» - наблюдаемый процесс стационарен?; «6?» - текущая длина ряда превышает порог надёжного прогноза?; «7?» - текущая длина ряда соизмерима с порогом надёжного прогноза?
Показанные на блок-схеме элементы типа «дисплей» обеспечивают возможность информирования пользователя о следующих результатах анализа (по номерам, в соответствии с рисунком): 3 - в данных обнаружены пропуски; 7 - в данных обнаружены интервенции, требуется указать способ реагирования; 15 - данные стационарны, необходимости в прогнозе процесса нет; 24 - результаты анализа взаимопротекания траектории процесса (с учётом прогноза) и линий ограничений процесса.
Работа модуля начинается с анализа данных, поступивших в модуль после выполнения текущего мониторинга. При этом текущее значение процесса добавляется к ретроспективной совокупности значений, образующей временной ряд процесса. Если при анализе оператором 1 в данных обнаружены пропуски, то управление передаётся оператору 4, устраняющему пропуски.
На следующем этапе оператором 5 выполняется анализ на наличие интервенций (значений, существенно отличающихся от предшествующих значений ряда). Если интервенции обнаружены, то через меню 8 управление передаётся оператору 10 (для элиминирования), или оператору 12 (для удаления интервен-
ции и возврата в начало), или оператору 13 (для выполнения следующего этапа - анализа наблюдаемого процесса на стационарность).
Если выявляется стационарность процесса, то пополненный текущим значением ряд записывается в базу данных и модуль прекращает работу. При выявлении нестационарности управление передаётся оператору 17, осуществляющему расчёт порогового значения тт1п корректного прогноза для наблюдаемого процесса. При объявлении анализируемого ряда достаточным, управление передаётся оператору 19, при объявлении коротким - оператору 21, а при объявлении сверхкоротким - оператору 22.
^ Начало ^
Анализ на пропуски
Устранение пропусков
Анализ на интервенции
Выбор: 1, 2, 3 уЛ--С —3
Прогноз для т ~ шт1п
-С Конец Массив & „} 24
Анализ прогноза и ограничений
Блок-схема модуля анализа и прогноза
1
4
8
После выполнения одного из вариантов прогноза управление передаётся оператору 23, осуществляющему анализ результатов прогноза путём сопоставления прогнозной траектории процесса с существующими нормативными ограничениями. На завершающем этапе пополненный текущим и прогнозными значениями ряд записывается в базу данных, выводятся результаты анализа прогнозной траектории, после чего завершается текущий сеанс работы алгоритмического модуля.
Рассмотрим подход, используемый для прогнозирования в операторе 22 алгоритмического модуля. Реально доступными обычно являются лишь два источника дополнительной информации об управляемом процессе: значения наблюдаемого параметра по другим объектам, и значения, так или иначе формируемые экспертами. Дополнительная информация хранится в виде регулярно пополняемых массивов ОВ.
Учитывая вероятную противоречивость данных в ОВ, дополнительная информация представляется в виде интервальных (одно- и двухсторонних) оценок-ограничений будущих значений ряда в интересующие моменты наработки. При этом формально данные из ОВ используются как система ограничений учитываемая при оценке параметров текущей прогнозной модели процесса.
В общем случае каждое отдельное ограничение Щ может быть представлено в виде совокупности элементарных фрагментов ОВ вида
а + Р ■ У„ >7 + 8 ■ур, (5)
где моменты периода упреждения р,р и величины а,р,у,8 (коды) формируются как при извлечении дополнительной информации из ОВ, так и при пополнении ОВ новыми данными.
Так как значения временного ряда на периоде упреждения должны соответствовать модели да (например, линейного) (£:; в1,в2) = в2^,\/ t = 1, ...,т, то ограничение (5) определяет ограничение на параметры модели в1 в виде системы линейных неравенств
{в1,р ■ ф) - 8 ■ <р{р)) >у-а.
Система линейных неравенств имеет вид:
- для двухстороннего интервального ограничения
- для односторонних вариантов интервального ограничения
(вьр1 ■рОО - З^^р1)) > у1 - а1,V I = 1,...Л где I - индекс ограничения из ОВ, объёмом Ь значений.
При работе с ОВ оказалось необходимым ввести для каждого ограничения ж1 меру правдоподобия р1, определяемую из условия р1 е [0,1], V( = 1 ,...Д и рассматриваемую как весовой коэффициент соответствующего ограничения.
Рассмотрим случай, когда имеются интервальные ограничения wl (значение временного ряда в момент t окажется в интервале все ограничения неза-
висимы друг от друга, так что при всех t еТ и кФ1 справедливы неравенства а\ Ф а*; а\ Ф ЬФ Ь*. Поставим в соответствие каждому такому ограниче-
нию равномерно распределённую случайную величину с плотностью: //(у) = ~тЦ, еслиуе(а[,Ь£], или
//(у) = 0, если у е (-м,а[] и (&£,+<»)]. Тогда, если для момента ь еТ число ограничений ^ > 1, то распределение правдоподобий на множестве всей ОВ можно представить смесью распределений для отдельных ограничений. Плотность вероятностей такой композиции в общем виде
ЛОО^е^Л'ОО, (6)
где весовые коэффициенты р[ выражены через правдоподобия ограничений р[ как
(7)
Если ввести множество £),. = {а[: I ЕЦ} и {Ь[: I е Lt} и ранжировать его элементы ^ в неубывающем порядке, то плотность вероятностей (6) можно представить в виде системы: Л(у) = если у е №Л2];
Ш = Я?1''1, если(8) = 0, если у е (-"А1,] и (сI
п1 - Pt pt ~ Евд*
где =
£ieLtPt
bl-4
, если L" Ф 0, и q" = 0, если L" = 0.
Оценки параметров текущей трендовой модели в = (в1,в2,.,вК) в алгоритмическом модуле отыскиваются из условия максимальной согласованности модели тренда с результатами имеющихся наблюдений и с имеющимися ограничениями из ОВ. В частности, в качестве меры согласованности для каждого момента teT взято математическое ожидание квадрата разности прогнозов без учёта ОВ и с учётом ОВ, т. е. в общем виде:
M = С (у - (0,<КО))2 -ft(y) ■ dy. (9)
С учётом рекомендаций [4] решение (9) относительно оценок в = (в1,в2,.,вК) в модуле выполнено как результат решения системы
К 2-it-l m
Z(Z Z■№+1 " d"} ■fk(t) ■fi(t)+Z ^ (t)
i=i ter u=i t=i
■vm^i = 2-it-l m
=Z Zq" ■ №+1 " d"} ■ №+1+d"} ■fk(t)+Z ft
ter u=i t=i
■ <pfc(t),Vfc = 1,...Д.
Решение общей задачи трёхвариантного прогнозирования предусматривает предварительное исследование исходной статистической информации, в частности (см. рисунок): анализ на пропуски (оператор 1), анализ на интервенции (оператор 5), анализ на стационарность (оператор 13).
Анализ на пропуски и заполнение пропусков выполняется с использованием двух частных алгоритмов: на основе интерполяции и на основе ближней экстраполяции [7].
Анализ на интервенции выполняется с целью исключения грубых погрешностей (выбросов) с использованием частных алгоритмов: на основе статистики Диксона, на основе r-статистики, на основе модифицированной r-статистики [2, 4, 6]. Работа частных алгоритмов построена на определении и сравнении рас-
чётного и табулированного значений соответствующей статистики. Алгоритмы инвариантны как для минимальных, так и для максимальных значений выборки. Отнесение текущего значения процесса в категорию «интервенции» осуществляется лишь в случае, когда не менее двух частных алгоритмов свидетельствуют об этом.
Анализ на стационарность выполняется с целью своевременного выявления значимых изменений в
процессе с использованием частных алгоритмов: на основе критерия серий; на основе модифицированного критерия серий; на основе критерия восходящих и нисходящих серий; на основе рангового критерия Кендала; на основе критерия Аббе [2, 4, 6]. Вывод о наличии (отсутствии) стационарности в процессе принимается, если об этом свидетельствуют не менее чем три частных алгоритма.
Библиографический список
1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976. 755 с.
2. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: учебник для студентов экономических специальностей вузов. М.: ЮНИТИ, 1998. 1022 с.
3. Головченко В.Б. Комбинирование моделей неопределенности. Новосибирск: Наука, 2002. 122 с.
4. Математическое, алгоритмическое и программное обеспечение управления эксплуатационной надежностью объектов авиационной техники на уровне эксплуатирующих орга-
низаций: отчёт о НИР (заключительный). Шифр "Надежда". Иркутск: Изд-во ИВВАИИ, 2006. 182 с.
5. Орлов А.И. Эконометрика. М.: Экзамен, 2002. 576 с.
6. Трухаев В.П. Принятие решений в условиях неопределенности. М.: Наука, 1981. 168 с.
7. Чокой В.З., Величко И.И. Алгоритмы доопределения числовых данных // Проблемы повышения боевой готовности, боевого применения, технической эксплуатации и обеспечения безопасности полетов летательных аппаратов: материалы XIV всерос. науч.-техн. конф. Иркутск: Изд-во ИВВАИУ(ВИ), 2005. Ч. 1. С. 52-56.
УДК 656.13
ОБЩИЙ АЛГОРИТМ РАБОТЫ ЧЕТЫРЕХШАГОВОЙ ТРАНСПОРТНОЙ МОДЕЛИ
М.Р. Якимов1
Пермский государственный технический университет, 614600, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29.
Приведена структурная схема и подробно описан механизм работы прогнозной транспортной модели города, которая позволяет прогнозировать основные параметры функционирования транспортной системы города: интенсивность, скорость транспортных и пассажирских потоков. Подробно рассматриваются каждый из этапов создания и работы модели. Ил. 6. Библиогр. 4 назв.
Ключевые слова: город; транспорт; модель; дорожное движение.
GENERAL ALGORITHM OF FOUR-STEP TRANSPORT MODEL OPERATION M.R. Yakimov
Perm State Technical University, 29, Komsomolsky Av., Perm, 614600.
The article presents a block diagram and describes in detail the operational mechanism of a forecasting transport model of the city, which allows to predict the basic parameters of the operation of the city transport system: intensity, speed of traffic and passenger flows. The author provides a detailed consideration of the each stage of model creation and operation.
6 figures. 4 sources.
Key words: city; transport; model; traffic.
Из всего разнообразия типов транспортных моделей, обзор которых изложен в [1, 2] подробнее остановимся на моделях, используемых в транспортном планировании городов. В отличие от задач организации дорожного движения, где находят широкое применение имитационные модели движения транспорта, в транспортном планировании используются прогнозные модели, оперирующие макроскопическими параметрами, описывающими транспортный поток, такими как скорость и интенсивность транспортного потока,
интенсивность пассажиропотоков. Основой моделирования городских транспортных систем обычно является задача реализации пассажирских транспортных корреспонденций, доля которых в общем объеме транспортного движения крупного города составляет 85-95% [3].
Транспортная модель представляет собой реализованный в программном продукте комплекс, состоящий из информационных и расчетных блоков. Информационные блоки составляют единую базу данных,
1Якимов Михаил Ростиславович, кандидат технических наук, доцент, тел.: (342) 2770222, (342) 2123927, e-mail: [email protected] Yakimov Michael, Candidate of technical sciences, Associate Professor, tel.: (342) 2770222, (342) 2123927, e-mail: [email protected]
