CC BY
43
УДК 528.14
В.Е. Мизин
СГГА, Новосибирск
ДОПУСТИМЫЕ ЗНАЧЕНИЯ РАЗНОСТЕЙ ПОВТОРНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ КООРДИНАТ ПОЛИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО ХОДА
Предложены формулы и программа вычисления в системе Mathcad средних квадратических и предельных ошибок разностей координат полигонометрического хода.
V.Ye. Mizin
Siberian State Academy of Geodesy (SSGA)
10 Plakhotnogo Ul, Novosibirsk, 630108, Russian Federation
ALLOWED DIFFERENCES VALUES OF THE TRAVERSE REPEATED COORDINATES SETTINGS
The formulas and the calculation program (in Mathcad system) for the average squared and limiting errors of traverse coordinates differences are offered.
Полигонометрические ходы являются удобным способом создания геодезического обоснования для целей мониторинга линейного объекта. Значение средней квадратической ошибки положения точки хода зависит от точности измерений углов и сторон. При повторных наблюдениях той же точности изменение положения пунктов полигонометрического хода, может быть установлено по допускам для разностей координат.
Оценим точность координат, вычисленных по измеренным значениям углов и сторон хода (рис. 1).
Выразим средние квадратические ошибки координат точек хода по формуле средней квадратической ошибки функции независимых результатов измерений Р=Р(хІ5 х2,хп):
3
5
Рис. 1. Полигонометрический ход
Координаты пунктов полигонометрического хода являются функциями независимо измеренных углов и сторон этого хода. Координаты второго пункта вычисляются по формулам:
х2 = xi + Axj =щ +Sj cosa¡ = x¡ +S¡ cos(aH +P¡ -180°), y 2 =yi + Ayi =yi +Sj sina¡ =yi +S¡ sin(aH +P¡ -180°).
Возьмем частные производные от заданных функций по результатам измерений.
:2
8S
= cosa¡,
Гдх2Л
1
0
8S
api
'0
^smoq,
1 /
^2
SPl
= -S¡ sin a| =-Ayi, = cosoq = Ax¡.
Координаты третьего пункта:
хЗ=х2+Ах2=х2+$2С08а2=х2+$2С08(ан+Р1+Р2 “180° -2).
Уз =у2+Ду2=у2+Б28та2 =у2+828т(ан + р! +р2-180° • 2). Частные производные:
as
2)
дУЗ KdS 2J
:cosa2,
sma2,
Эуз_
api
= -S2 sina2 =-Ду2,
ар2
S2 cosa2 = Дх2.
ГдУз Л
эр2
= -S2 sina2 =-Ду2
:S2 cosa2 =Дх2.
Координаты последнего пункта:
xn+i=xn+Axn = xn+sn соБСан+р^рг+.-.+рп-^О0 -n),
Уп+l =Уп + АУп = Уп +Sn sin(aH + р! +р2 +... + рп -180° • п). Частные производные равны:
^п±1Л v 5Sn ,
^n±l'
v 5Sn ,
= cosa
^п+1Л
П;
= sma
П;
эр
ЗУп+1
n
\
3Pn
= —Sn sin an =-Дуп ,
= Sn cosan = Дхп,
В общем случае
xí_i_1=xí+Axí= Xi+S¿ cos(aH+Pi+P2+...+Pi-180° - i),
Уi+i =У1 + АУi = Уп +si sin(ctH +Pi +P2 +...+Pi -180° • i). Частные производные:
(2)
(3)
^dxi+iN
= 1,
Li+1
asj
:cosoq.
api
:-S¿ sinoq =-Ay¡, (4)
0
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
^дУі+1Л
5уі
= 1,
/дУі+іЛ
asj
= sma
а(3і
= Sj cosoq = Axj,
(5)
(і= 1,2, ..., n).
Для т§. =m§ и nip =ц=т
т{хм } = т{ум} =
9 9 9 (АУ )2
т{х^ + (cosat) •ms+i-----------—
Р
т
т{Уі}2 + (sinat)2-m2s+i ■^—^—■т2
P
(6)
(7)
- Средние квадратические ошибки координат точек хода. Разности повторных определений координат
d(
(х).
= Xi-Xj и d[y)=yi-yi.
~\ -"1 Л1
Средние квадратические ошибки разностей при равной точности определения аргументов т{х^}=m{x-}, т{у^}=m{y•} равны:
m{d[x)} = m{xi}V2; m{dl^}=m(yi)V2 . (8)
- Предельные ошибки разностей при отсутствии систематических влияний на результаты измерений можно определить по формуле
^пред — t‘md- (9)
Предполагая нормальный закон распределения результатов измерений, можно принять t = 3 с вероятностью Ф(1:) = 0,997.
Предлагаем расчет в системе Mathcad допустимых значений разностей координат для точек полигонометрического хода, представленного на рис. 1.
п := 4 i := 0..(п — 1) ms := 1 m := 3 р:= 206265 pl:=p2
Аг := А-
f100! Ґ30000^
102 40000
A := S :=
83 26000
1 78 J [26000J
180
тхі+1 :=
(мх.)2 + (cos(v4r.))2 - ms2 +т2 - (і +1)
(St - sin(Аг^У Pi
тУш ■
с
mx =
(ту{)2 + (sin(Аг{))2 •ms2 + m2 -(z + 1)
(5,- - cos(Агг )У pi
0 ' "0
0.463 0.988
0.952 my = 1.401
1.159 1.718
1.391, v1.984
mdx := mx • V2 mdy := my •
0
0
0
=
ґ0 ' 0.655 1.346 1.639 1.967
З • тсіх =
^0 '
1.966 4.038 4.917 5.9
тсіу =
^0 ' 1.397 1.981 2.43 2.805
З • тсіу =
^0 ' 4.191 5.942 7.291 8.416
Максимально допустимые разности координат ёх5 = 5,90 см, ёу5 = 8,42 см.
© В.Е. Мизин, 2011
