Допусковое множество решений как проекция выпуклого многогранного множества Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 12, № 6, 2007

ДОПУСКОВОЕ МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙ

КАК ПРОЕКЦИЯ ВЫПУКЛОГО МНОГОГРАННОГО МНОЖЕСТВА*

И. А. ШАРАЯ

Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск, Россия

e-mail: [email protected] http://www.nsc.ru/interval/sharaya

The representation of B. Kelling for the tolerable solution set of an interval linear system is improved. It is shown that one can use the improved representation to find vertices of the tolerable solution set.

Введение

Будем использовать обозначения, рекомендованные в [1].

Предметом обсуждения станет допусковое множество решений интервальной линейной системы уравнений. Напомним определение этого множества.

Определение. Для интервальной системы линейных алгебраических уравнений

Ax = b,

(1)

где А Е Жтхга— интервальная матрица размера т х и, Ь Е Жт — интервальный вектор длины т, х Е Кга — вещественный вектор длины и, допусковым множеством решений называется множество Е^оЬ которое задается одной из следующих эквивалентных формул:

-tol := i x

-tol

(VA e A) (3 b e b) (Ax = 6)},

tol := x

(VA e A) (Ax e b) , jx (A e A) ^ (Ax e b) J, Ax с b

(2)

(3)

(4)

(5)

Из определения допускового множества решений не ясно, как находить это множество. Для нахождения и исследования 54о[ обычно ищут другие формы представления этого множества. Одному из таких представлений посвящена данная работа.

* Публикуется при финансовой поддержке Президентской программы "Ведущие научные школы РФ" (грант № НШ-9886.2006.9).

( Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2007.

1. Представления И. Рона и Б. Келлинг

В настоящее время известно несколько представлений допускового множества решений, благодаря которым можно решать различные задачи, связанные с этим множеством. В их числе два представления Иржи Рона [2]:

-Чо!

X

|Ах — Ь| < Ь — А|х|

^о! — < х

(х — х' — X') & и представление Биргит Келлинг [3]

(Зу е жп)(<

Ах' — Ах'' < Ь,

Ах' + Ах'' < —Ь,

> 0

(6)

(7)

■Чо!

х

х

(Зу е Еп)

(

\

|Ах — Ь| < Ь — Ау, |х| < у

Ах — Ь < Ь — Ау, \ —Ах + Ь < Ь — Ау, х < у,

—х < у

(8)

(9)

Ш1П а;

а€Лу-

шах а;

а€Лi,-

Поясним обозначения, использованные в формулах (6)-(9):

А е Мтхга — нижняя грань интервальной матрицы Л, т. е. (А) у

А е Мтхга — верхняя грань интервальной матрицы Л, т. е. (А) у А е Мтхга — середина интервальной матрицы Л, т. е. А — (А + А)/2; А4 е Мтхга — радиус интервальной матрицы Л, т. е. А4 — (А — А)/2.

Аналогичные обозначения — Ь, Ь, Ь, Ь — использованы для интервального вектора Ь. Операция взятия модуля вектора понимается покомпонентно, например, |х|у — |ху|.

С геометрической точки зрения представления (7) и (9) очень близки: оба они описывают допусковое множество решений как образ выпуклого многогранного множества, задаваемого системой из 2(т + п) неравенств в пространстве М2га, при линейном отображении в пространство В представлении (7) это линейное отображение имеет вид х — х' — х'', а в представлении (9) линейное отображение представляет собой просто ортогональную проекцию на пространство значений переменной х.

Из сходства геометрии представлений (7) и (9) вытекают сходство методов исследования по этим представлениям и приложимость их к одинаковым задачам. Оба представления можно использовать для покоординатного оценивания допускового множества решений и для получения внешней интервальной оценки этого множества методами линейного программирования.

Мы предлагаем модифицировать представление (8)-(9), предложенное Б. Келлинг. Модифицированное представление по сравнению с исходным дает выгоду при наличии в интервальной матрице Л вырожденных столбцов.

Кроме того, мы покажем, что исходное и модифицированное представления можно использовать для нахождения вершин допускового множества решений.

2. Модификация представления Б. Келлинг

Теорема. Для А е Жтхга, Ь е Жт, х е Ега и ~4о1 из (2)-(5)

-^о1 Л х

(Зу е К"0({1'4х | у— А:'у') (10)

где I — упорядоченное по возрастанию множество номеров невырожденных столбцов матрицы А, т. е. I = | (Зг)(А^ > 0)}; М1 1 1 — пространство, размерность которого равна числу элементов множества I; А:/ — подматрица матрицы А, в которую последовательно включены столбцы с номерами из множества I; х/ — подвектор вектора х, составленный последовательно из компонент с номерами из множества I.

Доказательство. Сначала заметим, что матрица А:/ получается из матрицы А удалением нулевых столбцов, и потому

А|х| = А:/ |х/1. (11)

Это свойство позволяет получить представление (10) как очевидное следствие из (8). Но в целом такой вывод нелогичен: сначала обосновывается более сложное и менее полезное представление (8), а потом оно упрощается до (10). Поэтому проведем доказательство теоремы на основании представления (6), слегка подправив доказательство из [3].

Покажем, что формулы (6) и (10) эквивалентны.

1. Пусть для х е М выполнено неравенство |Ах — Ь| < Ь — А|х|. В силу (11) для х выполнено неравенство

|Ах — Ь| < Ь — А:/|х/1.

Взяв у := |х/1, видим, что пара (х,у) удовлетворяет системе неравенств из (10).

2. Обратно, пусть для пары (х,у) выполнена система неравенств из (10). Поскольку матрица А:/ неотрицательна и |х/1 < у, замена у на |х/1 в первом из неравенств только усилит его и даст

|Ах — Ь| < Ь — А:/|х/1.

Воспользовавшись равенством (11), получим

|Ах — Ь| < Ь — А|х|. □

Теорема доказана. Теперь сравним представления (10) и (8). Для удобства обсуждения введем обозначения

(х,у) е М"+|1||{ |Ах "Ь| < у— А:/\= (12)

Ах — Ь < Ь — А:/у,

с + Ь < Ь -

х/ < у,

—х/ < у

(х,у) е Ега+|11 I —Ах +Ь < Ь — А:/у, У (13)

х/ < у,

-2 • —

(x,y) e R

2n

|Ax - b| < b - Ay,

|x|

< y

(14)

(x,y) e R

2n

< b - Ay,

< b - Ay,

< y,

< y

(15)

В новых обозначениях представление (8) означает, что допусковое множество решений 24о! является ортогональной проекцией множества 52 на пространство значений переменной х:

х

-tol

(x,y) e S2}•

Аналогично, формула (10) означает, что допусковое множество решений Е^ы представляет собой проекцию множества

tol

x

(x,y) e

(16)

Отсюда легко получить следующее утверждение.

Утверждение 1. Множества 51; е2 и являются выпуклыми многогранными.

Доказательство. Из (13) и (15) видно, что множества Е 1 и Е 2 описываются системами нестрогих линейных неравенств. Такие множества называются выпуклыми многогранными по определению. Множество 54о! является выпуклым многогранным как проекция выпуклого многогранного множества 51 (или 52). □

Утверждение 1 отражает сходство представлений (8) и (10), а в чем же их различие?

Первое различие, которое сразу бросается в глаза, в том, что при наличии в матрице Л вырожденных столбцов множество Е1 лежит в пространстве меньшей размерности (так как п + |11 < 2п) и описывается меньшим числом неравенств, чем множество 52 (2(т + |11) < 2(т + п)). То есть при переходе от 52 к 51 размерность переменных уменьшается на п — |11, а число неравенств, описывающих множество, уменьшается на 2(п — |11).

Но есть и другие различия. Перечислим их в виде утверждений 2 и 3, которые справедливы для множества Е1, но не верны для множества Е2.

Утверждение 2. Множество 51 ограничено по переменной у.

Доказательство. Рассмотрим множество 51 в виде (12).

Из неравенства |х/1 < у следует, что при всех х компоненты вектора у неотрицательны. Значит, множество 51 ограничено по у снизу.

Из неравенства |Ах — Ь| < Ь — А:/у следует, что при всех х имеет место неравенство

A:/y < b.

(17)

Матрица радиусов А:/ всегда неотрицательна. По выбору множества I она имеет в каждом столбце положительный элемент. Вектор у, как мы уже заметили, тоже неотрицателен. Поэтому из (17) следует, что ни одна компонента вектора у не может расти неограниченно:

(Vj e {1, • • • , |11}) yj < min (bj/Ajj') , где Aj — j-й столбец матрицы A:/.

i,Aij' >0

1

Значит, множество Si ограничено по y сверху. □

Для сравнения приведем аналогичное утверждение для множества S2.

Утверждение 2'. Множество S2 ограничено по переменной y тогда и только тогда, когда верно хоть одно из высказываний:

1) S2 пустое множество;

2) матрица A не имеет вырожденных столбцов.

Доказательство. Пустое множество ограничено по определению. Поэтому нам надо доказать только, что для непустого множества S2 ограниченность по y эквивалентна отсутствию в матрице A вырожденных столбцов.

Утверждение о том, что отсутствие в матрице A вырожденных столбцов влечет ограниченность множества S2 по переменной y, доказывается так же, как утверждение 2.

Остается показать, что из ограниченности непустого множества S2 по переменной y следует отсутствие в матрице A вырожденных столбцов. Обозначим через (X, y) какую-нибудь точку множества S2. По определению (14) все точки (X,y), для которых

г Ay < b - |ax - b|, I y > |x1,

лежат в множестве S2. При Aj = 0 этой системе удовлетворяют точки с y^ = y^, k G I \ {j}, у которых компонента yj может быть сколь угодно велика. Но множество S2 ограничено по y, значит, нулевых столбцов в матрице A быть не может. Отсутствие нулевых столбцов в матрице радиусов означает, что сама интервальная матрица A не имеет вырожденных столбцов. □

Из утверждения 2 вытекает следующая связь между множествами Stoi и S1.

Утверждение 3. Множества Stoi и S1 либо оба ограничены, либо оба неограниче-

ны.

Доказательство. По (16) множество Stoi является ортогональной проекцией множества S1 на пространство значений переменной x параллельно пространству значений переменной y. Поэтому из ограниченности множества S1 сразу вытекает ограниченность множества Stoi. И обратно, если множество Stoi ограничено, то, в силу утверждения 2, множество S1 тоже ограничено. □

А теперь вернемся к сходствам множеств S1 и S2 и докажем утверждения 4 и 5, общие для этих множеств.

Утверждение 4. Всякая вершина множества Stoi является ортогональной проекцией на пространство значений неизвестного x некоторой вершины множества S1 (множества S2), т. е.

(VX G vert Stoi)(3y G R|I|^(X,y) G vert S^,

(VX G vertStoi)(3y G Rn)((X,y) G verts2).

Доказательство. Сначала докажем утверждение 4 для множества S1.

Пусть X G vert Stoi. Пересечем выпуклое многогранное множество S1 аффинным подпространством, проходящим через точку (X, 0) и параллельным пространству значений переменной y. Получим выпуклое многогранное множество

S3 := { (X, y) G Rn+|I||(X,y) G Si }.

По (16) множество является проекцией множества 51 параллельно пространству значений переменной у, а точка х по выбору лежит в множестве 5^, значит, 53 непусто.

Из утверждения 2 следует, что множество 53 ограничено.

Итак, 53 является непустым ограниченным выпуклым многогранным множеством. Значит, у него есть хоть одна вершина:

(Зу е К1) ((х, у) е уеЛ-з).

Покажем, что (х, у/) — также вершина множества 51. Для этого предположим противное: З(х1,у1), (х2,у2) е 51 такие, что (х1 ,у1) = (х2,у2) и

(х, у) = 2 [(х1 ,у1) + (х2,у2)]. (18)

Возможны два случая.

I. х1 = х2. По (11) точки х1,х2 е 5^. Из (18) х = ^(х1 + х2). Значит, х е УеЛЕ^. Это противоречит выбору точки х.

II. х1 = х2. Тогда х = х1 = х2 и обе точки (х,у1), (х, у2) лежат в 53. Они различны и

в силу (18) (х,у) = ^ [(х, у1) + (х,у2)]. Значит, (х,у) не является вершиной множества

53, что противоречит выбору точки (х,у).

Для множества 51 утверждение 4 доказано.

Для множества Е2 доказательство отличается лишь обоснованием возможности выбора вершины (х,у) из выпуклого многогранного множества

5з := {(х, у) е К2п | (х, у) е 52}.

Чтобы обосновать наличие вершин у множества 53, обратим внимание на то, что оно является подмножеством множества |(х,у) е К2п | |х| < у}, которое представляет собой сдвиг заостренного конуса (0, К+) на вектор (х, |х|). Отсюда следует, что множество 53 не содержит прямых. А всякое непустое выпуклое многогранное множество, не содержащее прямых, имеет хоть одну вершину. □

Утверждение 4 можно использовать для поиска множества, содержащего все вершины 5^. Для этого надо найти все вершины множества 51 (множества 52) и взять их х-е координаты. Поскольку множества 51 и 52 описываются системами линейных неравенств, их вершины можно искать методами выпуклого анализа. Методы эти трудоемки, но, во-первых, для нас сейчас важна сама возможность отыскания вершин допускового множества решений 5^, а во-вторых, для решения этой задачи быстрых методов не существует в принципе. Для ускорения поиска вершин множества 51 (множества е2) можно использовать особенности системы неравенств, как показано в примере из раздела 4.

Кроме того, из утверждения 4 и из того, что допусковое множество решений является ортогональной проекцией множества 51 (множества 52), вытекает, что:

— отыскав одну из вершин множества 51 (множества 52) и взяв ее х-ю координату, мы получим точку из множества

— отыскав несколько вершин множества 51 (множества 52) и взяв выпуклую оболочку их х-х координат, мы получим внутреннюю оценку множества выпуклым многогранником;

— если известно, что допусковое множество решений ограничено, то его можно искать как выпуклую оболочку множества X-х координат вершин множества S1 (множества S2).

Последнее из этих трех следствий сформулируем более точно и докажем подробно в виде утверждения 5.

Утверждение 5. Ограниченное допусковое множество решений является выпуклой оболочкой множества проекций вершин множества S1 (множества S2) на пространство значений переменной X, т. е.

Stoi = conv{ x | (x, y) G vert S1 }, (19)

Stoi = conv{ x | (x, y) G vert S2 }. (20)

Доказательство проведем для множества Si . Для множества S2 оно аналогично.

По утверждению 1 допусковое множество решений Stoi является выпуклым многогранным. По условию оно ограничено, значит является выпуклым многогранником и представимо как выпуклая оболочка своих вершин:

Stoi = conv{ x | x G vert Stoi }•

По утверждению 4, каждая вершина множества Stoi является проекцией некоторой вершины множества S1. По (16), все остальные вершины множества S1 проецируются в множество Stoi. Значит,

Stoi = conv{ x | (x, y) G vert S1 }. □

Утверждение 5, основанное на представлениях (8) и (10), позволяет находить допус-ковое множество решений, когда заранее известно, что это множество ограничено. А можно ли с помощью утверждения 5 искать допусковое множество решений, если мы не знаем, ограничено это множество или нет?

Можно. Для этого надо воспользоваться тем фактом, что Stoi разложимо в сумму линейного подпространства с выпуклым многогранником [4]. При этом линейное подпространство можно найти из системы уравнений

( XI = 0, \ A:PXp = 0,

где P - набор индексов вырожденных столбцов матрицы A, т.е. P = {1,... ,n} \ I. А выпуклый многогранник, как показано в [5], может быть описан в виде ограниченного допускового множества решений, значит, его можно найти с помощью утверждения 5.

3. Пример

Приведем числовой пример для иллюстрации основных теоретических положений этой работы.

Рассмотрим допусковое множество решений для интервальной линейной системы уравнений (1) с интервальной матрицей А = (1 [—1, 3]) € К1х2 и интервальным вектором Ь = [-2, 2] € К1, заданное в виде (5):

Первый столбец матрицы А вырожден, но отличен от нуля, поэтому матрица А не имеет линейно зависимых вырожденных столбцов. В [4] доказано, что допусковое множество решений для таких матриц ограничено. По утверждению 5, множество е^ы в этом случае можно найти по формулам (19) (или (20)).

В нашем числовом примере

А

А

(1 1), (0 2) ,

0,

2,

Ь = -2, Ь = 2.

Описание множества £2 в матричном виде в общем случае выглядит так:

х) е к2п ,У

где Е — единичная матрица размерности п. А в нашем примере

( А А\ / ь\

-А А < -Ь

Е -Е 0

- Е -Е 0

( хД

Х2

У1

У2

е к4

/ 1 1 0 2 2

1 -1 0 2 (жЛ 2

1 0 -1 0 Ж2 < 0

0 1 0 -1 У1 0

1 0 -1 0 У2 0

V 0 -1 0 -1 0

(21)

Множество £1 в общем случае имеет матричное описание

е

кга+|/|

( А:р А:1 А^

А:р -А:1 А:1

0 Е1 —Е1

К 0 —Е1 -Е1У

'Хр

XI | < У

( ь\

-Ь

0 0

(22)

где Е1 — единичная матрица, размер которой равен числу элементов множества I, т. е. числу невырожденных столбцов матрицы А.

В нашем примере Р = {1}, I = {2}, А:Р = 1, А:1 = 1, А:1 = 2,

е к3

112 -1 -1 2 0 1 -1 \ 0 -1 -1/

Ж1

Ж2 | < У

2 2

0 0

(23)

Описание (23) множества £1 проще, чем описание (21) множества £2: из (21) удалена переменная У1 , а также соответствующий ей третий столбец матрицы и две строки неравенств, в которых была задействована эта переменная.

Обозначим через С матрицу, а через й — правую часть матричного неравенства из (22):

С

( А:Р ^4:1 ЛЛ ( Ъ\

А:р -А:1 А,1 , й := -Ь

0 Е1 —Е1 0

К 0 —Е1 -Е1У 0

2

2

1

1

В нашем примере

С

112 2

-1 -1 2 , й = 2

0 1 -1 0

0 -1 -1 0

Из выпуклого анализа известно, что точка является вершиной множества

1

С(Х ] < й У

тогда и только тогда, когда она описывается системой

С'

й',

(24)

С'' ( ) < й''

где С' — невырожденная квадратная подматрица матрицы С размерности п + |11; й' —

Х " ' ' ' та часть системы С ( | < й,

\У

соответствующий подвектор вектора й; С'' ( ) < й''

которая не перешла в равенство С

х

й'.

Взяв объединение решений всех систем вида (24), получим множество всех вершин 51.

х

Как решать системы вида (24)? Уравнение С'

й' всегда имеет единственное

решение. Для решения системы (24) надо найти это единственное решение уравнения С' Iх) = й' и проверить, удовлетворяет ли оно неравенству С'' ^^ < й''.

В рассматриваемом нами числовом примере имеется всего четыре системы, которые могут задавать вершины 51:

1) ( 1 1 2\ -1 -1 2 0 1 -1

V 0 -1 -V

3)

= 2 2) 11 2 / \ 2

= 2 -1 -1 2 х1 = 2

= 0 01 -1 < 0

< 0 ^ 0 -1 -1 У 0

11 2 / \ 2

-1 -1 2 х1 < 2

01 -1 1- = 0

\ 0 -1 -1 У 0

4) 1 -1 -0

0-

2 2 -1 -1

<2 2

0 0

Их можно решить вручную. Для облегчения решения заметим, что

и

1 1 2 -1 -1 2

0 1 -1 0 -1 -1

1 1 0 002

010 001

х1 = -х2,

У = 1

х2 = 0,

У = 0.

(25)

У

У

В общем случае для упрощения решения можно использовать аналогичные свойства:

А АЛ {х\ ( ьЛ /А 0 \ /х\ (Ь

и

-Ai: A.

il

-bi

0 A.

iI

4i

A i:X — bi, Aii y = bi

0 Ei: -E^ 0 -Ei: -Ei:

XP

Xi" y

0 Ei: 0 0 0 Ei:

'XP'

XI y

(xi )i = 0, yi = 0.

Возвращаясь к числовому примеру и опираясь на свойства (25) и (26), можем переписать четыре рассматриваемые системы в виде

1)

Xi = -x2,

y =1,

x2 = У,

x2 < y;

и указать их решения:

2) f Xi = -X2, 3) f Xi = 2, 4) Г Xi < 2,

y =1, X2 < y, x2 = -y;

-Xi < 2, X2 = 0,

y = 0;

-xi = 2, X2 = 0, y=0

1) /-1N

2)

1

3) 20

4) -2 0 0

Мы нашли все вершины множества 51. Отбросив у каждой вершины у-ю координату, получим множество, в котором лежат все вершины Е^:

vert

-toi Ç

-1 1

1 -1

-2 0

Уже отмечалось, что в нашем примере Е^ ограничено и потому может быть найдено

как

toi

conv

-1 1

1 -1

-2 0

В силу утверждения 3, множество Е1 тоже ограничено и потому является выпуклой оболочкой своих вершин. Теперь можно показать множества Е4о1 и Е1 графически (рис. 1). Чтобы избежать наложений, мы изобразили каждое множество в отдельной системе координат. А чтобы показать Е4о[ как ортогональную проекцию множества Е1 на пространство значений переменной х, мы сдвинули эти системы координат относительно друг друга только по переменной У.

Заметим, что в рассмотренном нами числовом примере каждая вершина выпуклого многогранника Е1 проецируется в отдельную вершину выпуклого многогранника Е4о[. В общем случае это не так: с одной стороны, несколько вершин множества Е1 может проецироваться в одну вершину множества Е^, а с другой стороны, проекции некоторых вершин множества Е1 могут не являться вершинами множества Е^. Проиллюстрируем эти ситуации на основе уже рассмотренного нами числового примера, дополнив его ограничениями по переменной х. На рис. 2 изображены множества Е1 и Е4о[ при

[-1, зГ

1-2, 2Г [0, 2] [0, 2]

Рис. 1. Ограниченное допусковое множество решений Н4о1 является проекцией выпуклого многогранника Е1

Рис. 2. Две вершины (0,0,0) и (0,0,1) множества Е1 проецируются в одну вершину (0,0) множества Е4о1

Рис. 3. Вершины ( —1, 0, 0) и (0, 0, 0) множества 2 проецируются в точки ( —1, 0) и (0, 0), которые не являются вершинами множества

Две вершины (0, 0, 0) и (0,0,1) множества 51 проецируются в одну вершину (0, 0) множества Е^01- На рис. 3 изображены множества и при

1 [-1, 3]\ , _ /[-2, 2]

1 1 у' и-1,0]

Вершины (—1, 0,0) и (0, 0, 0) множества проецируются в точки (—1, 0) и (0,0), которые не являются вершинами множества 5^.

Заключение

В данной работе улучшено представление Б. Келлинг для допускового множества решений. По сравнению с исходным модифицированное представление дает выгоду при наличии в матрице А вырожденных столбцов.

Новое представление можно применять при решении следующих задач, связанных с множеством 5^:

1) покоординатное оценивание;

2) внешнее интервальное оценивание;

3) поиск точки из множества;

4) внутреннее оценивание выпуклым многогранником;

5) точное вычисление всего множества.

В задачах 1 и 2 новое представление сравнимо с представлением И. Рона (7) и дает выгоду при наличии в матрице А вырожденных столбцов.

Для решения задач 3-5 существуют другие удобные представления. Так, для поиска точки x из множества Stoi хорошо подходит представление С.П. Шарого [6]

min min min{-bj + ax, bi — ax} > 0

i a€vert Ai:

-tol — i x

с правилом поиска

x = arg max min min min{-b, + ax, b, — ax M.

ж€Кп V i aevert /

Для отыскания допускового множества до последнего времени использовалось представление, которое независимо получили Х. Бек [7] и К.-У. Ян [8]:

A'x > 6, __ д/ _ f , при Xj > 0, = J , при Xj > 0,

-tol — S x

ГЛР A'. = <" ^ -, A''. — J ^ I (27)

при Xj < 0, 1 A-j, при Xj < 0 '

Недавно для решения задач 1-5 появилось еще одно представление [4]:

Stoi = |x G Rn | (Vi G {1,...,m})(Va G vert Ai:) (ax G ^)} =

= п п {x g Rn | ax G bi}. (28)

i=1,...,m agvert Ai:

Представление (28) описывает допусковое множество решений интервальной линейной системы (1) как множество решений системы двойных линейных неравенств в пространстве В этой системе не более чем m-2n строк.

Вопрос о том, в какой из задач 1-5 какое представление допускового множества решений наиболее удобно, остается открытым. Ответ на него зависит от особенностей задачи, к которым можно отнести конкретные значения m и n и дополнительные условия на A, b и x. Например, при требовании к неотрицательности вектора неизвестных x наиболее перспективным во всех задачах будет представление Бека—Яна (27). А для числового примера, рассмотренного в данной работе, наиболее удобно представление (28).

На выбор представления при решении задачи влияет также сложность численных методов для расчетов по этому представлению.

Список литературы

[1] Kearfott R.B., Nakao M.T., Neümaier A., Rump S., Shary S., Hentenryck P. Standardized notation in interval analysis // Интервальный анализ: Труды XIII Байкальской международной школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск: ИСЭМ СО РАН. 2005. Т. 4. С. 106-113. (http://www.nsc.ru/interval/INotation.pdf) (http://www.nsc.ru/interval/Conferences/Baikal-2005/IntervalAnalysis.pdf)

(А также http://www.mat.univie.ac.at/~neum/software/int)

[2] Rohn J. Inner solutions oflinear interval systems / / Interval Mathematics, 1985. N.Y.: Springer Verlag, 1986. P. 157-158. (Lecture Notes in Computer Science. Vol. 212.)

[3] Kelling B. Geometrische Untersuchungen zur eingeschränkten Lösungsmenge linearer Intervallgleichungssysteme // ZAMM. 1994. Bd. 74, N 12. S. 625-628.

[4] ШАРАЯ И.А. Строение допустимого множества решений интервальной линейной системы // Вычислительные технологии. 2005. Т. 10, № 5. C. 103-119.

(http://www.nsc.ru/interval/sharaya/Papers/ct05.pdf)

[5] ШАРАЯ И.А. Переход к ограниченному допустимому множеству решений // Всероссийское совещание по интервальному анализу и его приложениям ИНТЕРВАЛ-06, 1-4 июля 2006 года, Петергоф, Россия. СПб.: ВВМ, 2006. C. 135-139.

(http://www.nsc.ru/interval/Conferences/Interval-06/Proceedings.pdf) (http://www.nsc.ru/interval/sharaya/Papers/int06.pdf)

[6] ШАРЫй С.П. Решение интервальной линейной задачи о допусках // Автоматика и телемеханика. 2004. № 10. С. 147-162. (http://www.nsc.ru/interval/shary/Papers/AiT.ps)

[7] Beeck H. Über intervallanalytische Methoden bei linearen Gleichungssystemen mit Intervallkoeffizienten und Zusammenhange mit der Fehleranalysis // Dissertation. TH München, 1972.

[8] Jahn K.U. Eine Theorie der Gleichungssysteme mit Intervallkoeffizienten // ZAMM. 1974. Bd. 54. S. 405-412.

Поступила в редакцию 6 июня 2007 г., в переработанном виде — 28 сентября 2007 г.