CC BY
11
6, Иванченко И. П. Обобщение теоремы Нетер на случай неголономного многообразия // Математика, Механика: еб, науч.тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2004, Вып. 6. С. 59-62.
УДК 512.57
И. В. Глотова, П. А. Терехин
ДОПОЛНЕНИЕ ИЗОМЕТРИИ ДО С*-АЛГЕБРЫ КУНЦА 02 И ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА КРАТНОМАСШТАБНОГО
АНАЛИЗА
Пусть Н - комплексное сепарабельное гильбертово пространство. Унитарный оператор W : Н ^ Н называется двусторонним сдвигом,, если существует вектор е Е Н такой, что система {Wne}nЕZ образует ор-тонормироваппый базис пространстваН. Если еп = Wпе, то Wen = еп+1, п Е Ж.
Алгеброй Купца 03 (см. [1]) называется набор и зометрий Si : Н ^ Н, г = 0,..., ( — 1, для которых выполняются соотношения
s;Sj = 5цI, %,з = о,...— 1, ^SiS; = I, (1)
i=0
где I - тождественный оператор в Н. Соотношения (1) показывают, что изометрии Si имеют попарно ортогональные образы прямая сум-
3,-1
ма которых совпадает с Н: ф ^^^ = Н.
i=0
Далее рассмотрим случай ( = 2, т-е- пару изометрий {S0, S1}, порож-
О2
изометрии ^^ Купца 02, т.е. о нахождении изометрии S1,
для которой Im(S0) 0 Im(S1) = Н. Поскольку этот вопрос связан с построением всплесков на основе КМ А (кратномасштабного анализа), то соотвествуюгцие изометрии удовлетворяют соотношению SiW = W2Si, г = 0,1, где W - оператор двустороннего сдвига. В качестве приложения следующей теоремы можно получить доказательство основной теоремы КМА. Следует отметить, что связь теории всплесков с алгебрами Купца отмечалась в работе [2].
Теорема. Пусть W : Н ^ Н - оператор двустороннего сдвига и изометрия S0 : Н ^ Н удовлетворяет соотношению S0W = WТогда найдется изометрия S1 : Н ^ Н, также удовлетворяющая соотношению S1W = W2S1 и такая, что пара порождает алгебру О2
Доказательство. Разложим вектор 5ов по базису {вп}пЕ^ 5ов = = 72 Е ^пвп. Тогда для любого т Е ^ иметь 5овт =
= 5оЖтв = Ж2т5ов = -72 Е ^пвп+2т. Следствием изометрично-
сти оператора 5о являются равенства Е |^п|2 = 2, Е ^п/гп—2т =
= 0,т = 0. Определим оператор на векторах базиса: 51 вт = = Е (—1)п^1—пвп+2т. Вычислим скалярное произведение
не Z
(51 вт,51 в/) = 2 Е (—1)п(—1)п+2(т ^1-п^1-п-2(т-0 = ¿т/. Это означает,
что оператор 51 допускает продолжение до изометрии пространства И. По определению имеем тв = Ж2т51 в откуда 51Жвт = т+1в = = Ж2(т+1)51в = Ж251Жтв = Ж251вт для всех т Е Поэтому = = Ж251. Теперь проверим ортогональноеть образов 1т (5о) и 1т (51). Для этого найдем (5овт,51в/) = 1 Е (—1)п^п^1—п—2(т—/). В последней
nЕZ
сумме выполним замену индекса N =1 — п — 2(т — /). Получим:
(5овт, 51в/) = — 1 ^ ( —1)Ж^1—N—2(т—= — (^т, 51в/),
N ЕZ
откуда (5овт,51в/) = 0 для всех т,1 Е Ортогональность 1т(5о) и 1т(51) проверена. Осталось доказать, что 1т(5о) 0 1т(51) = И. Предположим, что для вектора х Е И справедливы равенства (ж, 5овт) = 0 и (х, 51вт) = 0 для всех т е Покажем, что х = 0. Пусть х = Е хпвп.
nЕZ
Тогда
2т = 0 У^ х«( —1)П^1—н+2т = 0. (2)
nЕZ nЕZ
Положим = пеZ ^пв2пт^х(£) = ЕпеZ хпв2пгп и заметим, что
2 пЕ^ 'ч«^ ^у) — ¿^пЕ^
2^)в2п2т* = ^ ^п—2тв
nЕZ
— 2Л(* + 1 )в2пг(2т+1)^ = —1)«^1—п+2тв2ПгП'.
nЕZ
Запишем соотношения ортогональности (2) в равносильном виде
/ х(^)^(^)в—2пг2т' ^ = 0, / х(г)й(* + 1 )в—2пг(2т+1)^ ^ = 0. ./о ./о
Сделаем замену т = 2£. Получим:
/2 х( § ж 2 )в—2пгтт ¿т = /1 (х( 2 ж 2) + х( 2 + 2 ж 2 + 2)) в—2птт ¿т = 0 Зо Уо
и аналогично
(х( 2 )М( 2 +1) - х( 2 + 2)М( 2 )) е-пгт е-2пгтт ¿г = о.
Л
Отсюда, учитывая 1-периодичность стоящих под знаком интеграла функций, находим:
Г х(2)М(2) + х(2 +1 )М(2 +1) = о,
\ х(2Ж2 +1) - х(2 +2)М(2) = о
для почти всех т Е (0,1). Как мы сейчас увидим, определитель системы
М( 2) М 2 + 2)
д =
2) V 2 1 2-
М( 2 + 2) -М 2)
= -(|Л( § )|2 + |М 2 +1 )|2) = -1
отличен от нуля. Следовательно, система имеет только тривиальное решение х(2) = х(2 + 2) = 0 поэтому х(£) = 0 для почти всех £ Е (0,1), так что х = 0. Осталось убедиться в справедливости равенства |М(2)|2 + |М(2 + 2)|2 = 1 Для почти всех £ Е (0,1). Действительно, имеем:
1
|М(2)|2 + |М(2 +1 )|2 = ^ Е Е(1 + (-1)П1 (-1)П2)М»1 е2^1--^2.
пхЕЖ П2 ЕЖ
Полагая П1 - п2 = 2т и п = П1, получаем:
|М(2)|2 + |М(2 + 1 )|2 = 2 Е ^ Е Мп^п-2т = 1.
тЕЖ пЕЖ
Теорема доказана.
Пусть теперь {V} }}Еж ^ ортогональный КМ А в пространстве Ь2(К) и ^ - масштабирующая функция (см. [3]). В качестве гильбертова пространства Н возьмем Оператор Ж/(х) = /(х - 1) задает двусторонний сдвиг в пространстве поскольку Жп^(х) = ^(х - п), п Е Ж - ортонормированный базис пространства Изометрический в пространстве ^оператор 50/(х) = ^ / (|) удовлетворяет соотношению 50 Ж = Ж250. По доказанной теореме существует оператор 51, действующий в пространстве для которого пара {50,51} порождает алгебру Купца. Поскольку 1т (50) = У-1? то 1т (51) = V 0 Положим = Тогда {Ж2п^0}пЕЖ ~ ортонормированный базис в V 0 Так как оператор 50, рассмотренный та всем про странстве Ь2(К) обратим, то равенством = 50^ корректно определена функция ^ Е V!, удовлетворяющая уравнению X) = X} (- 1)п^ 1-п^(х -п). Таким образом,
пЕЖ
1
всплеск (x) = 2j/2^(2jx — k), j,k G Z, ассоциированный с масштабирующей функцией может быть построен при помощи оператора Si, дополнительного к оператору So в соответствии с теоремой.
Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ для молодых российских ученых (проект Ms МД-1354-2013.1) и гранта РФФИ (проект № 13-01-00102).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Cuntz J. Simple C*-algebras generated by isometries // Commun, math. Phys. 1977. Vol. 57. P. 173-185.
2. Bratteli 0., Jorgensen P. Isometries, shifts, Cuntz algebras and multiresolution wavelet analysis of scale N // Integr, equ, oper, theory. 1997. Vol. 28. P. 382-443,
3. Новиков И. Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А., Теория всплесков, М,: Физ-матлит, 2005,
УДК 517.51
Е. В. Гудошникова
ПРИБЛИЖЕНИЕ КЛАССОМ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
В работах [1] и [2] рассматривалась последовательность операторов:
k
Ln(f;x) —
1
g(z(x))n
£ f
k=0
k
n
ak,
z (x) ^(z (x))
где Ж ) - аналитические в круге |г| < а, принимающие положительные значения на [0; а], такие, что на [0; а] ж^'(ж) < ^(х) и числа
ao,n — g(0)n и ak,n —
1 d
k-i
k! dzk
1
g(z)n ^(z)
k — 1, oo
z=0
неотрицательны, a z(x) - функция, обратная к функции
z^(z) g/(z)
x(z) —
z) - /(z) g(z) '
Частными случаями операторов Ln являются многие хорошо известные операторы, например, операторы Caca - Миракьяна, Баскакова, Ка-талана. Кроме того, несложно указать пары функций д и ф с требуемыми свойствами и получить новые последовательности операторов.
