CC BY
58
д
X [~1,- - (~1 + Лх1)] х
[~н -(т ~1 +Л х1)]2 [~2- (т г, +Лх2)]2 [~5 i -(т ~5 +Лх5)]2
2стХ
х е
д
д (Л х,) 7=1
X [~21 - (~2 +Лх2 )] х
хе
*21 1шг^™2< 2стХ
л51
2ст-
д
д ( Л х 5) 7=1
X [~51 - (~5 +Лх5)] х
хе
2ст~
2стХ
2ст~
= 0
[~Н -(т~1 +Лх1)]2 [~21 -(т~2 +Лх2)]2 [~51 -(т~5 +Лх5)]2
2ст-
= 0
[~н - ( т +А^1 )]2 [~2- ( т ~ +Лх2)]2 [~5- ( т ~5 +Лх5)]2
= 0
Исследование технологических процессов, задачи
автоматизированного управления технологическими процессами в сложных системах транспорта газа, задачи прогноза аварийных ситуаций, прогнозирование протекания процессов и многие другие задачи представляют большой научный интерес для ученых и практический интерес для работников газотранспортной отрасли.
Применение метода оптимума номинала позволяет определять оптимальные значения управления при нечетком задании контролируемых параметров. Эффективность предложенного метода обеспечивается использованием эвристического подхода, основанного на теории нечетких множеств и нечеткой логике.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Финаев В.И. Блошенко В.В. «Нечеткие параметры в методе оптимума номинала» //Материалы III всероссийской научной конференции «Информационные технологии, системный анализ и управление». -Таганрог. 2005.
2. Горелова В.Г. Метод оптимума номинала и его применение. - М.: Энергия,1970.
В.И. Финаев, Н.А. Евтушенко
ДОЛГОСРОЧНОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ С ПРИМЕНЕНИЕМ
НЕЧЕТКИХ ИНТЕРВАЛОВ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ПРЕДПРИЯТИЙ
В данной работе использована простая агрегированная математическая модель, в которой фигурируют лишь основные показатели развития экономики: национальный доход, суммарные основные фонды, общее количество занятых в производстве. В качестве элементарной производственной единицы берется экономика страны в целом. В качестве отрасли применения данной модели берется энергетика. Таким образом, описываются экономические параметры для энергетических предприятий.
Выделяют 5 блоков долгосрочного прогноза:
•блок производственной деятельности;
•блок научно-технического прогресса;
•блок ресурсов;
•блок демографии;
•блок социально-экономических механизмов.
Часто для долгосрочных моделей используют укрупненные схемы построения модели. Например, односекторная модель. В ней продукция экономики считается однородной, т.е. состоящей из одного продукта (энергетика). Под однородным продуктом подразумевают национальный доход, т.е. чистый (вновь созданный) материальный общественный продукт. Национальный доход - это совокупность материальных ценностей, произведенных в стране за 1 год, за вычетом всех материальных затрат. По материально-вещественному содержанию национальный доход - часть материального (валового) продукта, которая пошла на потребление и накопление.
Введем в типовую односекторную модель элементы нечетких моделей принятия решений. Теория нечетких множеств и основанная на ней логика позволяют описывать неточные категории, представления и знания, оперировать ими и делать соответствующие заключения и выводы. Такие возможности позволяют формировать модели различных объектов, процессов и явлений на качественном, понятийном уровне, позволяя интеллектуально управлять сложными объектами.
Появление нечетких множеств основано на принципе несовместимости, утверждающем, что сложность системы и точность, с которой ее можно проанализировать традиционными методами, находятся в состоянии взаимного противоречия.
Действительно, для сложных объектов, особенно в области экономики и управления, трудно сформировать единый критерий в связи с огромным числом параметров и переменных и зачастую даже противоречащих друг другу требований. Управляя сложными объектами, приходится формализировать неопределенности, источники которых имеют различную природу (погрешности вычислений и измерений). Другая причина употребления нечетких множеств и основанной на них логики связана с априорной неполной информацией рабочей обстановки, непредсказуемостью ее изменений, случайностью внешних возмущающих воздействий и нечеткостью формулируемых целей.
Нечетким множеством С из X (где Х - множество произвольной природы) называется совокупность упорядоченных пар вида <^С(х) > /х, где xеX, ЦС(х) е [0,1] для всех x. Функция Цс(х) называется функцией принадлежности и может рассматриваться как знание степени принадлежности элемента x е С .
Нечеткой переменной называется тройка <а,Х,Са >. Здесь а -наименование нечеткой переменной; Х - область ее определения; Са= {<ц,а(х)/х >} - нечеткое множество на Х, описывающее ограничения на возможные значения нечеткой переменной а.
Если обозначить У{ - национальный доход в году ^
- чистые капиталовложения (средства на расширение
производства) в году £, где под капиталовложениями понимаются средства, направленные на увеличение оборотных фондов (запасов) и основных фондов производства;
С{ - потребление в году ^ где под потреблением подразумевается
все непроизводственное потребление как отдельных лиц, так и государства. Если считать внешнюю торговлю сбалансированной (ввоз равен вывозу), можно записать уравнение вида
~ + С = ~. (1)
В данной модели пренебрегаются капиталовложения в оборотные фонды, предполагая, что капиталовложения приводят к росту основных
фондов, величину которых в году t обозначим К. Таким образом,
взаимодействие основных производственных фондов можно описать соотношением
~+1 = К + ~ . (2)
Национальный доход создается в процессе производства. В простом случае модели его можно описать как функцию количества основных
фондов и числа трудящихся, занятых в производстве в году £ (обозначим
~):
~ = ¥(К~г) . (3)
Динамика Ц обычно описывается таким образом:
~ = £0еП.
Предполагается, что число трудящихся составляет постоянную долю в населении страны, которое растет с темпом п.
Механизм распределения дохода между потреблением и накоплением (капиталовложениями) удобно определить через норму накопления :
~ = ~1/^; ~ ; (5)
С, = (1 - 7,)Г,. (6)
где 0 < ~ > 1.
Если заданы начальный момент, количество трудящихся и количество основных фондов с определенным параметром п, то получается прогнозная модель, с одной «свободной переменной» - норма накопления ~. Данная модель представляет собой многошаговый вариант односекторной модели экономики.
7 = г(к,,ц,о, 7;=, с = (1 - 7,)7, (7)
К1+1 = +7,1, = 10еп‘ (К0 - задано). (8)
Если считать, что все переменные меняются не от года к году, а непрерывно, то модель записывают в дифференциальной форме. Отсюда
К(;) = I (;), (9)
и модель принимает вид
7 (;) = ¥(К(;), 1(;),;), 7 (;) = (;), С(;) = (1 -1(;))~(;;,
К(;) = 7 (;) , Ь(;) = 10еп;, К(0) = К0 (К0 - задано). (10)
Ресурсы К и С могут принимать только неотрицательные значения:
К = {ц(х)/ х > 0}, 1 = {ц(х)/ х > 0} .
Для производственных функций вводят предположения.
При отсутствии хотя бы одного производственного ресурса
производство невозможно:
¥(0,1) = 0 , ¥(К,0) = 0 . (11)
Рост используемого количества основных фондов и рост числа трудящихся приводят к росту национального дохода, т.е. в случае дифференцируемых производственных функций:
д¥(К,1) > 0 д¥(К,7) > 0 дК , д1
при К = {ц(х)/ х > 0}, 1 = {ц(х)/ х > 0} . (12)
В условиях чисто экстенсивного роста производства (т.е.
расширяющегося только вширь, без технического прогресса) увеличение затрат лишь одного производственного ресурса приводит к снижению эффективности его использования, т.е.
д 2¥ Л д2¥ Л
^7 < 0, < 0 . (13)
дК 2 д12
При изменении масштабов производства, т.е. при пропорциональном росте количества используемых ресурсов производства, национальный доход растет пропорционально росту ресурсов:
¥(Ж, Л~) = А¥(К, 1) при Л>0, (14)
Предположения (11) - (14) являются основными предположениями о свойствах производственных функций. Отсюда вводят некоторые понятия
о производственной функции. Функция двух переменных обладает тем свойством, что одно и то же количество национального дохода может быть произведено при различных сочетаниях ресурсов производства К и С.
Наиболее распространенные производственные функции
Производственная функция Кобба - Дугласа - наиболее широко используемый вид производственных функций для описания производства в масштабах страны. Основан на степенных производственных функциях для произвольного числа ресурсов, имеющих вид
У _ У х а1 х ап
1 1^1 ...Хп .
Для односекторной модели с двумя ресурсами и нечеткостью модели уравнение принимает вид
7 = У^/У1/, где ~ = (ц(х)/х > 0}, К = (и(х)/х > 0},
К0 10
10 = {ц(х)/ х > 0}, а, в - положительные числа, находимые при помощи анализа статистической информации.
Если К= Ко, С=Ьо, У= Уо, то функция удовлетворяет
соотношениям (11 )-(14) при 0<а<1 и 0<в<1. Причем для выполнения
соотношения (14) , чтобы национальный доход рос пропорционально росту использования ресурсов, нужно выполнить следующее условие:
а+в=1. (15)
С учетом (15) функция Кобба - Дугласа принимает вид
7 = 70,(-КГ(-Ц)1-‘ ; (16)
К0 10
Функция Кобба - Дугласа У=Уо описывается уравнением
Ус Л 1
К = К0(К(^)а-1)а
У1
00
ИшК(Ь) = 0, ЦтК(Ь) = +го , т.е. имеют асимптотами оси
1 —1 ——0 координат.
Предельная норма замещения для функции Кобба-Дугласа является линейной функцией фондовооруженности К/С и при пропорциональном росте факторов производства не изменяется:
~ д¥/дЬ (1 -а) К
у=---------7 -------------К . (17)
д¥ / дК а 1
Фондовооруженность как функция предельной нормы равна
К а 7
к = ------г . (18)
1 1 - а
Тогда эластичность подсчитывается следующим образом:
8= 7~ ё(К/Ь)(19)
(К/Ь) с1у (К/Ь) 1 -а
Подставив (18), получаем СТ=1, т.е. ядро нечеткого множества. Подсчитаем коэффициенты эластичности выпуска:
KSY =------~ K ~------Y0(L)1-аа(К)а-1 K-
Y dK y у K а, L 1-а 0 Lo Kn Kn
¥0(^)а(^У K0 L0
EL = Y€ =----------Y L Y-------Y0(K)a(1 -a)(Y)-a1 = 1 -а.
L Y dY Y K \a(L_ )1-а 0 K0 Y0 Yo
Y°{ Y ) ( L )
K0 L0
Таким образом, коэффициенты эластичности выпуска по ресурсам производства постоянны и равны показателям степеней при величинах
ресурсов. Экономический смысл показателей степеней функции
Кобба-Дугласа в том, что они являются отношениями предельных эффективностей использования соответствующих ресурсов к средним эффективностям.
Для производственной функции Кобба - Дугласа зависимость удельного выпуска от фондовооруженности:
f(Y) = F(k,1) = ~0(Kк-)а(1)'-а = Y'o(K-)a •
K0 L0 k0
Y K0 Y Y0
где k0 =L- • Уо =L- .
L0 L0
Недостатки:
Стремление к координатным осям функции Кобба-Дугласа означает, что любое количество продуктов может быть произведено при малых значениях одного из ресурсов, был бы в достаточной степени другой (т.е. нехватка основных фондов может быть скомпенсирована достаточным количеством рабочих), что не соответствует действительности.
Другой недостаток - равенство единице эластичности замещения ресурсов (0=1), ее можно считать постоянной, но равной единице нет.
В связи с этим возник вопрос о возможности построения функции с постоянной положительной эластичностью замещения G. В 60-х годах ХХ века была введена функция CES (функция с постоянной эластичностью замещения- function with constant elasticity substitution):
Y = Yjrt-^r + (1 -а)фг ] ■"p, (20)
K0 L0
где Y0 = {n(x)f x > 0}, K0 = {n(x)f x > 0},
L0 = {fi(x) / x > 0} -положительные постоянные, 0 <а< 1, 1 < p < +^ . Функцию (20) можно представить в виде
(~)-р - а(КУР + (1 -а)(ЬГР .
у к Т
10 Л0 ^0
Предельная норма замещения у:
? д? / дЬ 1 — а , Ко > о/ к ,1+0
У -----У--У =-----------(^±)-Р(~/+Р . (21)
дУ/ дК а Ь0 Ь
Предельная норма замещения является функцией фондовооруженности К/С, где фондовооруженность связана с у соотношением
К - [ —0^(К^)РГ]Ш'Р . (22)
Ь 1 — а Ьо
Эластичность замещения:
8 - У О(К/Ь) = У [ а (Ко \р 11/(1+р) 1 у1/(1+р)—1 =
~ (К/Ь) О? ~ (К/Ь) 1 — а Ь0 1+р ~
— [ а (К0 )р 11/(1+р) 1______1 у1/(1+р)
1—а Ь0 1+р(К/Ь)
Так как К/С и у связаны (22), то
~1
8-8---------- , (23)
1 + р
следовательно, функция действительно имеет постоянную эластичность замещения.
При построении считается, что для производства некоторого национального дохода 7с лучше брать такие основные фонды Кс и
рабочую силу Ьс, чтобы выполнялись равенства К с / К0 - 7с/70 и
Ьс /Ь0 - 7с /70. Тогда ни один из ресурсов в избытке не будет.
Оценивая эти виды функций для долгосрочного прогнозирования, необходимо ограничить их область применения.
1. Кусочно-линейная производственная функция применяется лишь тогда, когда один из ресурсов производства резко дефицитен, а второй избыточен. Функции, родственные данной, чаще используются для планирования благодаря тому, что содержат в себе понятие постоянные пропорции, дающее возможность ввести в модель понятие технологии. Широко распространены в балансовых моделях планирования.
2. Степенные функции (включая Кобба - Дугласа) используются чаще, так как параметры степенных производственных функций оценить легче и работать со степенными функциями проще. Недостаток - возможность замены одного ресурса другим, зачастую не существенен, так как исследуются ресурсы, близкие к использующимся в производстве в данный момент. Поэтому неправдоподобность степенных функций в области малых количеств ресурсов не так важна.
В работе рассматривались производственные функции для применения в долгосрочном прогнозировании с использованием элемента нечеткости. Так как именно в этом случае степенные функции имеют иногда преимущества. В случае же решения задач планирования значительное превосходство получают производственные функции, родственные функциям с постоянными пропорциями, так как они содержат в себе понятия пропорции между ресурсами. Именно возможность оценки пропорций позволяет вводить в эти функции понятие технологии (способа производства).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Берштейн Л.С., Боженюк А.В. Нечеткие модели принятия решений: дедукция, индукция, аналогия. -Таганрог:Изд-во ТРТУ,2001.
2. Математические модели в экономике: учеб. Пособие для студ. Вузов / Ю.П. Иванилов, А.В. Лотов; Под ред. Н.Н. Моисеева.- М.: Наука, 1979.- 304 с.
А.Ю. Молчанов
ПРИМЕНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ МОДЕЛЕЙ В ЗАДАЧАХ АВТОМАТИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ОБЪЕКТОВ ЭНЕРГЕТИКИ
При управлении объектами тепловой энергетики (котлоагрегатом, энергоблоком тепловой электростанции и т. п.) возникают задачи повышения экономичности использования энергоресурсов, связанные с выбором оптимальных режимов функционирования. При этом работа энергетического объекта в оптимальном режиме дает значительный экономический и экологический эффект.
Оптимизационные задачи возникают при выборе эффективного режима работы энергоблока тепловой электростанции на частичных нагрузках, при работе котлоагрегатов на различных видах топлива, при регулировании экономичности процесса сгорания топлива, управлении водно-химическим режимом энергоблока и т.д. [1].
Для решения задач оптимизации могут быть использованы системы автоматической оптимизации (САО), которые в процессе функционирования находят и поддерживают оптимальные параметры функционирования энергетического объекта (ОУ), не требуя участия оператора в процессе управления. [2]
Существующие решения в области автоматической оптимизации инерционных процессов имеют ряд существенных недостатков, не позволяющих широко использовать САО в задачах энергетики. Это, в основном, малое быстродействие и низкая помехоустойчивость, причем требования устойчивости и быстродействия САО являются противоречивыми.
С другой стороны, при управлении энергетическими объектами широко используются режимные оптимальные карты, в которых фиксируются близкие к оптимальным значения управляющих воздействий для различных режимов функционирования. При построении и последующей корректировке режимных карт проводятся эксперименты на объекте, которые нарушают режим нормального функционирования.
