Долгосрочная эмпирическая макромодель мировой динамики Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 51-77, 330.4

I

ДОЛГОСРОЧНАЯ ЭМПИРИЧЕСКАЯ МАКРОМОДЕЛЬ МИРОВОЙ ДИНАМИКИ

С.А. Махов*

Аннотация. В работе обсуждаются методические основы и проблемы моделирования мировой динамики. Излагаются подходы к построению новой имитационной модели глобального развития и первичные результаты моделирования. В основу построения модели положен эмпирический подход, основанный на анализе статистики основных социально-экономических показателей. На основании этого анализа выделены основные переменные. Для этих переменных составлены динамические уравнения (в непрерывно-дифференциальной форме). Связи между переменными подбирались, исходя из динамики соответствующих показателей в прошлом и на основании экспертных оценок, при этом использовались эконо-метрические методы, основанные на регрессионном анализе. Были проведены расчеты по полученной системе динамических уравнений, результаты представлены в виде пучка траекторий для тех показателей, которые непосредственно наблюдаемы и по которым имеется статистика. Таким образом, имеется возможность оценить разброс траекторий и понять прогнозные возможности представленной модели.

Ключевые слова: мировая динамика, макроэкономика, регрессионный анализ, дифференциальные уравнения.

THE LONG-TERM EMPIRICAL MACRO MODEL OF WORLD DYNAMICS

S.A. Makhov

Abstract. The work discusses the methodological basis and problems of modeling of world dynamics. Outlines approaches to the construction of a new simulation model of global development and the results of the simulation. The basis of the model building is laid empirical approach which based on the statistical analysis of the main socio-economic indicators. On the basis of this analysis identified the main variables. Dynamic equations (in continuous differential form) were written for these variables. Dependencies between variables were selected based on the dynamics of indicators in the past and on the basis of expert assessments, while econometric techniques were used, based on regression analysis. Calculations have been performed for the resulting dynamic equations system, the results are presented in the form of a trajectories beam for those indicators that are directly observable, and for which statistics are available. Thus, it is possible to assess the scatter of the trajectories and understand the predictive capability of this model.

Keywords: world dynamics, macroeconomics, regression analysis, differential equations.

Научная специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы!, комплексы программ

1. ПОДХОД К МОДЕЛИРОВАНИЮ

Первые имитационные модели мировой динамики были созданы в начале 70-х гг. XX в. Дж. Форресте-ром [1] и Д. Медоузом [2]. Фактически 1970—1972 гг. могут считаться началом «глобального моделирования» — нового направления математического моделирования в задачах, связанных с анализом и прогнозом поведения мировой системы.

В моделях Дж. Форрестера и Д. Медоуза анализировались в самом общем виде последствия современных тенденций роста численности населения и производства в условиях ограниченности ресурсов и растущего загрязнения. Результаты моделирования продемонстрировали нестабильность глобальной системы и возможность глубокого кризиса в первой половине XXI в. Тем самым модели показали важность проблемы физиче-

© Махов С.А., 2013

* МАХОВ СЕРГЕЙ АНАТОЛЬЕВИЧ,

кандидат физико-математических наук, младший научный сотрудник отдела 3 Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН Контакты: Миусская площадь, д. 4, Москва А-47, Россия, 125047 E-mail: s_makhov@mail.ru

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

ских пределов развития мира, прежде всего истощения ресурсов.

Обращение к моделям Дж. Форрестера и Д. Медо-уза не случайно, несмотря на звучавшую в свое время критику этих моделей как неточных и несостоятельных. Хотя прошло уже почти 40 лет, общие тенденции мирового развития за эти годы изменились не слишком сильно [3]; пока что развитие происходит согласно сценарию указанных моделей. Также не утратила своей

Рис. 1. Численность населения мира в 1970—2007 гг. Источник: [8]

Рис. 2. Валовой мировой продукт за 1970—2007 гг. Источник: [8]

Рис. 3. ВМП на душу населения за 1970—2007 гг. Источник: [8]

ценности методика моделирования на основе системной динамики.

Острота кризиса, развернувшегося в 2009 г., заставляет пристальнее взглянуть на протекающие общемировые процессы, чтобы понять, насколько локален по времени текущий кризис, и не является ли он предвестником более масштабных потрясений в будущем. Поэтому долгосрочный прогноз глобального развития, по меньшей мере, до 2030—2050 гг., весьма актуален, что показывают современные исследования [4].

Особенно важен такой прогноз для России, живущей в условиях зависимости от мировой конъюнктуры, но все еще сохраняющей некоторые возможности влияния на мировую экономику. Это позволило бы очертить рамки возможного и невозможного, чтобы выстраивать стратегию собственного развития.

Из этих соображений вытекает необходимость создания новой глобальной модели, по возможности, столь же простой как модель Дж. Форрестера. Такая модель должна отражать тенденции основных мировых процессов и должна быть основана на новых статистических данных.

На рисунках 1—3 представлены основные характеристики мировой динамики: численность населения, валовой мировой продукт (ВМП) и валовой мировой продукт на душу населения на протяжении последних 40 лет.

Как видно из графиков, все три величины растут со временем: численность населения более гладко и монотонно, ВМП и душевой ВМП с колебаниями. В целом это означает, что и мировая демография, и мировая экономика имеют вполне определенные тренды, и моделирование этих трендов имеет смысл.

В нашей модели в качестве основных переменных используются численность населения N запасы энергоресурсов R, стоимость основного капитала К, уровень технологий Т и уровень образования Е. В отличие от моделей Дж. Форрестера и Д. Медоуза не выделяются загрязнения и фонды в сельском хозяйстве, зато присутствуют технологии и образование.

Технологии—важнейший фактор глобального развития, поэтому его необходимо учитывать. Образование, как фактор социально-экономического развития, по всей видимости, будет играть одну из ключевых ролей в будущем, следовательно, его учет также представляется необходимым.

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Принято допущение, что на современном уровне развития технологий производство продовольствия определяется преимущественно энергоресурсами и капиталом, поэтому сельское хозяйство не является самостоятельным фактором и отдельно не рассматривается.

Аналогично загрязнения могут рассматриваться как фактор, снижающий общую эффективность использования территории и ресурсов (в том и числе потому, что на преодоление такого снижения требуются затраты капитала и энергии). В связи с этим ресурсосбережение, восстановление ресурсов, а также очистка загрязнений могут рассматриваться как единый процесс.

Для каждой из перечисленных пяти переменных составляются динамические уравнения. Связи между переменными подбираются на основе статистических данных и экспертных оценок. Таким образом, используются эко-нометрические методы, основанные на регрессионном анализе. Рассмотрим более подробно, как это происходит в каждом секторе.

2. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СЕКТОРОВ МОДЕЛИ

Сектор демографии. В основу демографического сектора положено уравнение квазилогистического характера для численности населения:

(1)

где М— уровень жизни (конечное потребление на душу населения), Сп, Мшах — параметры, являющиеся константами в течение всего рассматриваемого промежутка времени. Иными словами, данное уравнение отслеживает ресурсное ограничение по душевому конечному потреблению.

На рис. 4 представлена динамика конечного потребления и валового накопления (генерации фондов) в долях от валового мирового продукта, также показана их сумма. Видно, что на протяжении последних 40 лет сами доли менялись слабо, при этом долевая сумма практически равна единице, незначительно от нее отклоняясь. Это дает возможность записать следующее:

Рис. 4. Доли конечного потребления и валового накопления (фондообразования) от ВМП, и их сумма. Источник: [8]

С= gcY, 1= gkY,

gc +gk = 1.

(2)

(3)

(4)

доля ВМП, направляемая в накопление основного капитала, gc = 0.768 + 0.008, gk = 0.231 ± 0.008 (здесь в качестве оценок долей взяты средние значения, в качестве величины разброса — стандартные ошибки соответствующих временных рядов, представленных на рис. 4). Соотношение (2) показывает, что материальный уровень жизни М прямо пропорционален ВМП Y, поскольку по определению:

(5)

Чтобы определить параметры Сп, Мшах была построена зависимость темпа прироста численности на-

1 с1Ы

селенги

N Л

от душевого конечного потребления

М. На основании данной линейной регрессии получаем: Сп = 0.034 ± 0.002 (1/год), Мшах = 5900 ± 300 (долл. 1990 г.).

Сектор ресурсов. Под ресурсами понимаются нево-зобновляемые топливно-энергетические ресурсы (ТЭР). Обозначим буквой R величину разведанных запасов ТЭР (доказанных и пригодных к добыче). Мы исходим из предположения, что описать движение физических потоков в целом, т.е. добычу и потребление основных энергоресурсов, возможно без прогноза цен на ресурсы, как показано в [5].

Исходя из сказанного, будем иметь в виду следующее уравнение:

-= + Я,,

Л

(6)

Здесь Y— валовой мировой продукт, С — конечное потребление, I— валовое накопление, gc — доля ВМП, направляемая на конечное потребление, gk —

где RD — добыча, Rp — пополнение запасов, разведка. Чтобы уточнить эти величины, рассмотрим динамику запасов отдельных видов энергоресурсов — нефти и газа.

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

На рис. 5 показана динамика совместных запасов нефти и газа, приведенных к тоннам нефтяного эквивалента (тнэ). Как видно, запасы со временем растут практически линейно. Косвенно это указывает на отсутствие ярко выраженного тренда для изменения запасов (т.е. производной) и также разведки ресурсов.

Это дает основания считать разведку энергоресурсов примерно постоянной во времени: Rp = 10.842 ± ± 0.914 (млрд тнэ/год) или Rp = 433.68 ± 36.56 (квадриллионов британских тепловых единиц [1 тнэ = 40 млн бте = 42 ГДж]) для нефти и газа суммарно.

Рассмотрим добычу энергоресурсов, иначе производство первичных источников энергии. Основную долю, от 85 до 92%, в производстве энергии составляют топливные энергоресурсы: уголь, нефть, газ. Это дает основания считать, что проведенное выше исследование запасов именно данных ресурсов было оправдано.

Будем предполагать, что добыча энергоресурсов связана с экономическими показателями, точнее с ВМП:

Рис. 5. Динамика совместных запасов нефти и газа за 1980—2007 гг. в тоннах нефтяного эквивалента. Источник: [11]

Рис. 6. Энергоемкость ВМП за 1970—2005 гг. (тыс. бте / долл. 1990 г.). Источник: [8; 10]

Рис. 7. Потребление основного капитала в зависимости от суммарных валовых накоплений в капитал (интеграл валового накопления) за 1970—2006 гг. Источник: [8; 9]

RD= ккУ,

(7)

где кк — коэффициент энергоемкости ВМП, т.е. как раз отношение использованной (или произведенной, что почти одно и то же) энергии к ВМП.

На рис. 6 показана зависимость этого показателя от времени, при этом видно, что в течение 35 лет, с 1970 по 2005 гг. энергоемкость падала практически по линейному закону. Конечно, невозможно быть уверенным в том, что данный закон останется в силе и в ближайшие 30—40 лет. Однако можно дать оценку изменения данной величины, если допустить, что снижаться быстрее, чем указанный линейный тренд она не будет.

Исходя из всего сказанного, получаем:

кк = к - к( - 0

(8)

кв = 18.779 ± 0.091 (кбте/долл.) или 0.4648 ± 0.0022 (тнэ/долл.), к = 0.1612 ± 0.0045 (кбте/(долл.тод)) или 0.0040 ± 0.0001 (тнэ/(долл.тод)), to = 1970.

Коэффициент энергоемкости кя используется в модели в качестве управляющего параметра: задавая его как функцию времени, можно получить определенный сценарий динамики ресурсного сектора мировой системы.

Сектор капитала. Уравнение для основного капитала предполагается вполне обычным в рамках макроэкономической теории [6]:

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ I 37

У = Т&Ы1*.

Здесь Т— уровень технологий. Иными словами, ВМП задается функцией Кобба-Дугласа при техническом прогрессе, нейтральном по Хиксу [6]. Уравнение (10) является, таким образом, определением для уровня технологий Т, к тому же, зависящим от параметра а, следовательно, параметр а не может быть получен на основании регрессии У = = f(T, К, Ы), а должен быть задан из теоретических соображений. В макроэкономической теории часто предполагается, что параметры а и gк равны между собой, что выражает собой так называемое «золотое правило» накопления. Это условие показывает, что имеет место стационарный экономический рост с наибольшим темпом, т.е. мировая экономическая система развивается оптимальным способом [6].

где I— валовое накопление, ^ — коэффициент выбытия основных фондов. Как уже выяснено выше, I = gkУ, оценим коэффициент

По статистическим данным была построе-на зависимость выбытия фондов (или иначе потребления основных фондов) и К от накопленного чистого валового накопления на промежутке 1970— 2006 гг., т.е. разницы между капиталом К() и начальным значением К(1970) = К0 (рис. 7). Выяснилось, что зависимость можно считать практически линейной с небольшими колебаниями. На основании регрессии получено: ^ = = 0.041 ± 0.001 (1/год), К0 = 30.0 ± 0.6 (трлн долл. 1990 г.). Т.е. среднее время выбытия основных фондов в среднем по миру составляет примерно 24.3 ± 0.3 лет.

Сектор технологий. Технологии — величина, недостаточно хорошо измеримая. По своему смыслу технологии — это все, что повышает эффективность использования имеющихся ресурсов. В приложении к экономике важны технологии, увеличивающие производство и приносящие прибыль. Иными словами, те технологии, которые повышают производительность труда и качество используемого капитала при создании нового продукта. Чтобы учесть это, напишем уравнение, связывающее ВМП, капитал, численность населения и технологии, т.е. некий аналога производственной функции. Будем использовать следующий вид:

Исходя из выше изложенного, примем, что параметр а = 0.23 ± 0.04, т.е. меняется в диапазоне от 0.19 до 0.27. Временная динамика уровня технологий в этом случае показана на рис. 8. Отметим, что в работах [4; 7] принято а = 0.33.

Рис. (долл.

8. Уровень технологий по миру в целом за 1970—2006 гг. 1990 г.). В уравнении (10) принято а = 0.23. Источник: [8; 9]

(10)

Рис. 9. Средневзвешенная по миру ожидаемая продолжительность времени обучения за 1970—2006 гг., построенная с интерполяцией. В качестве весов взяты доли стран в мировой численности населения. Источник: [12; 8]

Рис. 10. Средневзвешенная ожидаемая продолжительность времени обучения в зависимости от общемировых расходов на образование (трлн долл. 1990). Источник: [12; 8; 9]

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Как видно, уровень технологий растет скорее ли- Сектор образования. В качестве характерной ве-нейно по времени, чем экспоненциально. Само урав- личины была выбрана ожидаемая продолжительность нение для технологий будет написано в следующем времени обучения Е, выражаемая в годах. Таким обра-секторе, поскольку предполагается его связь с обра- зом, считается, что чем дольше человек учится, тем выше зованием. уровень его образования.

Рассматривалось средневзвешенное значение ожидаемого времени обучения, которое лучше подходит в качестве характеристики мира в целом (рис. 9). За вес была принята численность населения страны в долевом выражении к общемировой численности населения, т.е. в некотором смысле, вес показывает вероятность для взятого наугад человека оказаться жителем данной страны и, соответственно, иметь уровень образования, средний по этой стране.

Статистические данные указывают на линейный по времени рост ожидаемой продолжительности обучения. Напишем динамическое уравнение для уровня технологий, исходя из гипотетической связи между технологиями и образованием. Предполагается, что рост продолжительности обучения приводит к повышению уровня образования, оно, в свою очередь, приводит к росту качества рабочей силы, что косвенно влияет на развитие технологий. Т.е. технологии развиваются благодаря обучению.

Таким образом, можно считать, что уровень технологий Г линейно зависит от средневзвешенной ожидаемой продолжительности обучения Е с некоторыми колебаниями, которые вызваны, судя по всему, запаздыванием. Следовательно, можно написать уравнение с з апаздыв анием:

Рис. 11. Численность населения в 1970—2050 гг. Разброс в 2050 г. составляет от 7,6 до 10,6 млрд человек

Рис. 12. ВМП в 1970—2050 гг.. Разброс в 2050 г. составляет от 63 до 86 трлн долл.

~~~ = МР + дЕ-Т).

СП

(11)

Рис. 13. Конечное потребление на душу населения. Как видно, расчетные линии дают заниженное значение по сравнению с известными данными. Относительный разброс в 2050 г. меньше, чем у ВМП

Где X — коэффициент устаревания технологий, обратный характерному времени запаздывания, которое полагается 10 ± 5 лет, X = = 0.20 ± 0.10, р = 62.3 ± 15.2, q = 41.35 ± 2.06.

Далее, предположим, что продолжительность обучения связана с расходами на образование. На рис. 10 изображена зависимость средневзвешенной продолжительности обучения от расходов на образование в целом по миру. Как видно, эта зависимость носит достаточно монотонный характер и может быть приближена подходящей гладкой кривой: линейная, степенная, логарифмическая.

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Выбрана степенная функция, так как в сравнении с линейной и логарифмической функциями в этом случае выше коэффициент детерминации Я2 и эта функция лучше подходит по смыслу.

с!Е

3. Валовой мировой продукт к 2050 г. вырастет примерно вдвое в сравнении с 2008 г.

4. Уровень жизни к 2050 г. вырастет примерно на 50—75% по сравнению с 2010 г.

(11

= у(се{ЕеУ)"-Е).

(12)

Здесь v — коэффициент, обратный характерному времени запаздывания, gE — доля ВМП, идущая в образование, Се, d — коэффициенты; v = 0.2 ± 0.1, gE = 0.045 ± 0.01, Се = = 10.0 ± 0.1, (1 = 0.394 ± 0.015.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Для приведенной выше системы дифференциальных уравнений (1), (6), (9), (11), (12) были проведены расчеты при различных значениях параметров и начальных данных. Технически дифференциальные уравнения решались методом Эйлера с шагом в один год, т.е., по сути, заменялись разностными аналогами. Это оправдано, так как модель довольно грубая, а точность данных также невысока. Расчет велся с 1970 по 2050 гг.

На рис. 11—18 представлены результаты расчетов для тех переменных, которые непосредственно наблюдаемы и по которым имеется статистика. При этом квадратиками обозначены исторические данные, сплошными линиями — расчетные траектории при разных параметрах. Основная цель данных рисунков: показать разброс траекторий для каждого показателя.

Проведенные расчеты показывают удовлетворительное соответствие между моделью и статистическими данными, известными из прошлого. Для того чтобы оценить точность прогноза, следует провести полное параметрическое исследование модели и определить разброс по траекториям основных динамических переменных.

Кратко изложим получившиеся результаты.

1. Энергоемкость валового мирового продукта согласно сложившимся тенденциям к 2050 г. снизится примерно в два раза в сравнении с 2010 г.

2. Численность населения к 2050 г. будет находиться в пределах от 7,5 до 10,6 млрд человек (достигнет величины). В ряде рассчитанных сценариев численность населения перестает расти уже в 2040 г. и начинает убывать.

Рис. 14. Уровень технологий. Расчетные траектории дают заниженное значение по сравнению с историческими данными. Разброс значений в 2050 г. относительно невелик

Рис. 15. Ожидаемая продолжительность обучения. Расчетные значения несколько завышены по отношению к реальным данным. Разброс в 2050 г. от 16 до 17,7 лет.

Рис. 16. Энергоемкость валового мирового продукта. Для одной траектории (обозначена пунктиром) принято допущение о стабилизации энергоемкости на уровне 10, начиная с 2025 г., для остальных траекторий энергоемкость убывает линейно со временем

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Рис. 17. Производство энергии (добыча ресурсов). Расчетные линии несколько завышены по отношению к данным. Общий характер линий (возрастание, потом убывание) вызван предположением относительно поведения энергоемкости: считается, что она убывает

по линейному закону (9). Для одной расчетной траектории (она обозначена пунктирной линией на графике) это не выполнено: предположено, что энергоемкость с 2025 г. не меняется и производство энергии стало быстро расти

Рис. 18. Характерное время исчерпания энергоресурсов — отношение запасов к добыче. Картина получилась обратной той, что представлена на рис. 17

5. Ожидаемая продолжительность обучения достигнет к 2050 г. примерно 17 лет, что практически соответствует максимально возможному на сегодняшний день значению 18 лет, исходя из принятой в ЮНЕСКО многоступенчатой структуры образования [12].

Литература

1. Форрестер Дж. Мировая динамика. М., 1978.

2. Медоуз Д.Х., Медоуз Д.Л., Рандерс Й., Беренс Ш. Пределы роста. М., 1992.

3. Медоуз Д.Х., Медоуз Д.Л., Рандерс Й. Пределы роста. 30 лет спустя М., 2007.

4. Hawksworth J. The World in 2050: How big will the major emerging economies get and how can the OECD compete? // Pri-cewatershouseCoopers LLP, March 2006.

5. Орлов Ю.Н. Некоторые аспекты прогнозирования мировых энергетических рынков // Проблемы математической истории: историческая реконструкция, прогнозирование, методология / Отв. ред. Г.Г. Малинец-кий, А.В. Коротаев. М., 2009.

6. Столерю Л. Равновесие и экономический рост (принципы макроэкономического анализа). М., 1974.

7. Махов С.А. Долгосрочные тенденции и прогнозы с позиций новой модели мировой динамики // Прогноз и моделирование кризисов и мировой динамики. М., 2010.

8. URL://http://www.unstats.un.org/unsd/-snaama/dnlList.asp

9. URL://http://www.worldbank.org

10. URL://http ://www.eia.gov/countries/

11. URL://http://www.bp.com/sectionge-nericartide800.do?categoryId=9037130&con-tentId=7068669

12. URL://http ://www. stats.uis .unesco .org/-unesco/ReportFolders/ReportFolders.aspx