CC BY
36Ю. H. Кондратьев, В. M. Костюкевич. Доказательство теоремы о среднем значении
47
Доказательство теоремы о среднем значении с использованием пакета MathCAD
Ю. Н. Кондратьев В. М. Костюкевич Петрозаводский государственный университет
АННОТАЦИЯ
Развитие средств вычислительной техники и программного обеспечения предъявляет высокие требования к современному выпускнику вуза в области решения любых инженерных задач эффективными методами, реализуемыми в пакетах прикладных программ. В качестве примера в статье приводится доказательство теоремы Коши с использованием пакета прикладных программ для инженерных расчетов MathCAD.
Ключевые слова, теорема Коши, MathCAD, решающие блоки.
SUMMARY
The article is devoted to application modern software for computer engineering MathCAD for proving of Koshi theorem.
Keywords: Koshi theorem, MathCAD, solving blocks. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Известно, что обобщенная теорема о среднем значении (Коши) [1, с. 334] имеет следующую формулировку:
производные f it) и Ç (f) двух функций fit) и (pit), дифференцируемых в замкнутом промежутке (а, Ь), не обращаются одновременно в нуль нигде внутри этого промежутка.
Пусть при этом одна из функций fit) ■ (pif) имеет неравные значения на концах интервала [например, (pia) Ф (р{Ь) ]. Тогда приращения / (b) - f ici) и (pif>) - (pia) данных функций относятся как их производные в некоторой точке t = Т , лежащие внутри промежутка (а, Ь), т.е.:
f(b)-f(a) _ fit)
Ф) - <Р(&) 9 О)
(1)
Авторы - доценты кафедры технологии металлов и ремонта
© Кондратьев Ю. Н., Костюкевич В. М., 2005
РЕШЕНИЕ
Возьмем пример из литературных источников[1, с. 335]. Рассмотрим функции f(t) = t3 и (pit) = t2 в промежутке от 0 до 2. На конце t = 0 производные f if) =3t2 и (р if) =2t обращаются в нуль, но внутри промежутка обе отличаются от нуля. При этом каждая из функций fit), (pif) имеет неравные значения на концах t = 0 и t = 2. Условия теоремы Коши выполнены. Значит отношение
f(b)-f(a) _ /(2)-/(0)__23_o
<р(Ъ)-ф) <p{2)-<p(Q) 2
должно равняться отношению
fit) = З/2 = 3 <p'(t) 21 2
в некоторой точке \ = ^, лежащей между а = 0 и Ь = 2.
3
Действительно. \ равнение —I = 2 имеет корень I-
1
— , лежащий внутри промежчтка (0.. 3
Рассмотрим решение вышеприведенного примера [!] на компьютере в системе МаЛСАО с использованием решающих блоков [2].
Зададим границы интервала
п1 - 0.00! - значение левой границы интерва-
п1 = 2- значение правой границы интервала. \ - переменная;
х:™ п1,0.2..п2 - ранжированная переменная с шагом 0.2;
Л (х) := х3 - первая функция:
£2(х) := х" - вторая функция;
plix)
d
/1(х) - первая произвол-
dix)
ная первой функции;
plix) :=-/2(х) - первая производ-
d(x)
ная второй функции.
Построим графики функций и их производных (см. рис. 1):
48
Труды лесоинженерного факультета ПетрГУ
р2(х) ОД
Рис. 1. Графики функций первой и второй производной
Зададим пошаговые значения функций и их производных:
Запишем ключевое слово решающего блока: Given.
Запишем условие (1):
fl(n2) - fl(nl) _ pl{x)
/2(nl)-/2(nl) р2(х)
Найдем значение переменной х: Find(x) = 1.333 4
Или 1.333 ра[1].
3
что соответствует решению приме-
X fl(x) pl(x) £2(х) р2(х)
0.001 ю-9 3*10"® Ю-6 2*10-зо.
0.2 0.008 0.12 ' 0.04 0.4
0.399 0.064 0,478 : 0.159 0.798
0.598 0.214 1.073 0.358 1.196
0.797 0.506 1.906 0.635 1.594
0.996 0.988 2.976 0.992 1.992
1.195 1.706 4.284 1.428 2.39
1.394 2.709 5.83 1.943 2.788
1.593 4.042 7.613 2.538 3.186
1.792 5.755 9.634 3.211 3.584
1.991 7.892 11.892 3.964 3.982
выводы
Как видно из приведенного выше доказательства теоремы о среднем значении (Коши), в пакете прикладных программ MathCAD для инженерных расчетов благодаря простоте и удобству все более широкое применение находят численные методы расчета, реализованные в программном обеспечении.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Выгодский JI. В. Справочник по высшей математике/Л. В. Выгодский. М.: Наука, 1977. 871 с.
2. Аладьев В. 3. Вычислительные задачи на персональном компьютере. (MathCAD) / В. 3. Аладьев. Киев, 1991. 245 с.
Определим значение переменной х, которая удовлетворяет условию (1) с использованием решающих блоков [2].
