Доказательный вычислительный эксперимент в исследовании одной непрерывно-дискретной модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана РФФИ (проект № 13-01-00952-а) и Госзадани-ем Минобрнауки 1.3445.2011

Tsykina S. V. ON REALIZATIONS OF PARA-HERMITIAN SPACES WITH A PSEUDO-ORTHOGONAL GROUP OF TRANSLATIONS

We study some realizations of para-Hermitian symmetric spaces G/H for that the group G is a pseudo-orthogonal group SO0(p,q)

Keywords: Lie groups and Lie algebras; pseudo-orthogonal groups; symplectic spaces; para-Hermitian symmetric spaces.

УДК 517.929, 330.4

ДОКАЗАТЕЛЬНЫЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ В

ИССЛЕДОВАНИИ ОДНОЙ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ

© А.Л. Чадов

Ключевые слова: непрерывно-дискретные модели; гибридные модели; доказательный вычислительный эксперимент; задачи управления.

Рассматривается непрерывно-дискретная система функционально-дифференциальных уравнений. Отличительной особенностью системы является наличие фазовых компонент как с непрерывным, так и с дискретным временем и постоянного запаздывания.

Для рассматриваемой модели ставится задача управления в классе дискретных управлений с последействием и формулируются условия ее разрешимости в форме, допускающей проведение доказательного вычислительного эксперимента. Обсуждаются детали компьютерной реализации алгоритмов.

Непрерывно-дискретная модель, рассматриваемая в работе, является конкретной реализацией т. н. абстрактного функционально-дифференциального уравнения [1, 2]. Конкретный пример такой модели, возникающей в задачах экономической динамики, рассматривается в [3]. Отличительной особенностью системы является наличие фазовых компонент как с непрерывным, так и с дискретным временем [4, 5].

Зафиксируем множество 1 = {¿о, tl,..., ¿^+\}, 0 = ¿о <tl < ... <Ь^ < = Т и рас-

смотрим непрерывно-дискретную систему с дискретным управлением [6, 7]

f t

x(t) — f K(t, s) x(s) ds = Aox(0) + ATx(t — т)+ ^ Fj(t)y(tj) + f (t), t € [0, T],

°. . j:tj <t (1)

y(ti) — — Bijy(tj) = È Hijv(tj)+ g(ti), i = 1 2^.., Ц + 1;

j=o j=1

с заданными начальным состоянием:

х(0) = хо, у(0) = уо, (2)

и предысторией: х(£) = ф(£), £ € [—т, 0) . Здесь — (п х и) -матрицы, элементы которых суть суммируемые функции; Ао , Ат , В^ и Н^ — постоянные (п х п) , (п х п) , (V х V) и (V х т) матрицы соответственно, Н^+\^ =0 = 1,..., ц + 1. Элементы к^ (¿, в) ядра

2735

К(Ь,в) измеримы на множестве {(Ь,в): 0 ^ в ^ Ь ^ Т} и таковы, что на этом множестве \кіі (Ь, в) | ^ к(Ь), г,] = 1,...,п , где функция к суммируема на [0, Т] .Функция f : [0, Т ] — — Кп — суммируема на [0, Т] , д :.] — Яи — заданная функция.

Обозначим V = соі(у(Ь1), ■ ■ ■, у(Ь^)) и сформулируем задачу управления как задачу приведения системы (1) в заданное конечное состояние

х(Т) = Хт, у(Т) = ут. (3)

Под управлением, решающим задачу (1) — (3) , будем понимать такой вектор )о , при котором система (1) имеет решение (х,у), х Є АСп[0, Т ] , у = со1(у(Ьо), ■ ■ ■ ,у(Ь+)) , обращающее ее уравнения в равенства и удовлетворяющее условиям (2) — (3) . Здесь АСп[0, Т] — пространство абсолютно непрерывных функций х : [0, Т] — Кп .

Пусть Сі (■, ■) и X(■) — матрица Коши [8] и фундаментальная матрица линейного оператора

І

(С1х)(Ь) = Х(Ь) — J К(Ь, в) Х(в) йв — Атх(Ь — т)Х[т,т](Ь) о

соответственно; С2(■, ■) и У(■) —матрица Коши [9] и фундаментальная матрица линейного оператора

і-1 (£2у)(к) = у(Ьі) — ^ ВИу(ьз)■ з=о

Определим матрицы ^1 и равенствами

Т 3 к

^ Сі(Т,в) Е «Ес*и~к)Ц Нкіу(іг) йв,

гТ 3

_ 3 (

^0 <в к=1 1=1

М+1 3

W2V = ЕС2(^ + 1,І )Е Нзк у(Ьк). 3=1 к=1

Введем обозначения

С1 (Т, в) (f (в) + ф(в — т)х[о,т](в)) йв, + I оо

f2(T) = X(Т)хо + [Т С1(Т, в) ^(в) + ф(в — т)х[о, Т](в)) йв, + ІТ С1(Т, в) ^ С2(], к)д(ік) йв, Л) Л к=1

М+1

ЫТ) = у(Т)уо + ^с2(ц + 1,3)д(і3).

3=1

и сформулируем теорему о разрешимости задачи управления (1) — (3) .

Теорема Задача управления (1) — (3) разрешима тогда и только тогда, когда система линейных алгебраических уравнений

( ™1 ) V = ( хт — f2(T) ) (4)

\ Ы'2) У \ ут — ЫТ)) ()

разрешима относительно вектора V . Каждое решение Уо системы (4) порождает управление, решающее эту задачу.

Обсуждаются детали проведения доказательного вычислительного эксперимента (см. [1], гл. VI) для исследования разрешимости поставленной задачи и, в случае ее разрешимости,

2736

построения управления и соответствующей траектории с использованием программного пакета Maple.

ЛИТЕРАТУРА

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функциональнодифференциальных уравнений. М.: Ин-т компьютерных исследований, 2002. 384 с.

2. Azbelev N.V., Maksimov V.P., Rakhmatullina L.F. Introduction to the theory of functional differential equations: Methods and applications. New York: Hindawi Publishing Corporation, 2007. 314 p.

3. Максимов В.П., Чадов А.Л. Дискретное управление функционально-дифференциальной непрерывнодискретной системой // Вестник Пермского университета. Экономика. 2013. № 1. С. 6-11.

4. Agranovich G.A. Observability criteria of linear discrete-continuous system // Functional Differential Equations. 2009. V. 16. №. 1. P.35-51.

5. Chadov A.L., Maksimov V.P. Linear boundary value problems and control problems for a class of functional differential equations with continuous and discrete times // Functional Differential Equations. 2012. V. 19. №

1-2. P. 49-62.

6. Максимов В.П., Чадов А.Л. Гибридные модели в задачах экономической динамики // Вестник Пермского университета. Экономика. 2011. № 2. С. 13-23.

7. Максимов В.П., Чадов А.Л. Об одном классе управлений для функционально-дифференциальной непрерывно-дискретной системы // Известия высших учебных заведений. Математика. 2012. № 9. С. 72-76.

8. Максимов В.П. О формуле Коши для функционально-дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. 1977. Т.13, №4. С. 601-606.

9. Андрианов Д.Л. Краевые задачи и задачи управления для линейных разностных систем с последействием // Известия высших учебных заведений. Математика. 1993. № 5. С. 3-16.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 10-01-96054) и компании «Прогноз».

Chadov A.L.RELIABLE COMPUTING EXPERIMENT FOR A CONTINUOUS-DISCRETE MODEL

A continuous-discrete system of functional-differential equations is considered. The main feature of the system under consideration is the presence of both continuous time and discrete time in the state variables and constant delay. The problem of control in the case of only discrete control with aftereffect is formulated. Necessary and sufficient conditions for the solvability of this problem are obtained in the form oriented to reliable computing experiment. Some details of computer implementation of the proposed approach are discussed.

Key words: discrete-continuous systems; hybrid systems; control problems; reliable computing experiment.

УДК 517.957, 517.988, 517.977.56

О ЛОКАЛЬНЫХ ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ ВЫПУКЛОСТИ ТРУБОК ДОСТИЖИМОСТИ

© А.В. Чернов

Ключевые слова: трубка достижимости; локальные условия выпуклости; функционально-операторное уравнение; нелинейные распределенные системы.

Для нелинейного функционально-операторного уравнения, являющегося формой описания широкого класса управляемых начально-краевых задач, введено понятие трубки достижимости, аналогичное соответствующему понятию из теории управления сосредоточенными системами. Сформулированы локальные условия, обеспечивающие выпуклость трубки достижимости изучаемого уравнения.

2737