Добротность прямоугольного резонатора с переменным числом диэлектрических неоднородностей Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

6. Атабеков Г. И. Основы теории цепей. - М.: Энергия, 1969. - 424 с.

7. Влах И., Сингхал К. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем. - М.: Радио и связь, 1988. - 560 с.

8. Чуа Л. О., Лин Пен-Мин. Машинный анализ электронных схем. - М.: Энергия, 1980. - 640 с.

9. Алексеев О. В., Головков А. А., Пивоваров И. Ю., Чав-ка Г. Г. Автоматизация проектирования радиоэлектронных средств. - М.: Высш. шк., 2000. - 480 с.

10. Геворкян Г. X., Семенов В. Н. Электротехнические расчеты на языке Бейсик. - М.: Энергоатомиздат, 1989. -184 с.

Надшшла 09.01.2008

Ha nidcmaei meopi'i направлених граф1в розглянуто математичт мoделi стрип-детектора для euMipK/вання мiжcmpunoвuх onopie на постшному cmpумi. Наведено приклади розрахунку cумicнuх лтшних piвнянь для елек-тричних лaнцюгiв, як вuкopucmoвуюmьcя для вuмipювaн-ня мiжcmpunoвuх onopiв.

On the basis of graph theory mathematical models of strip detector for measurements of interstrip resistor were submitted. The examples of linear equation calculations for interstrip resistor meas urements were reduced.

УДК 621.372.81

С. С. Самойлик, В. П. Бондарев

ДОБРОТНОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНОГО РЕЗОНАТОРА С ПЕРЕМЕННЫМ ЧИСЛОМ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ

Pacчеm napaмеmpoв npямоугольного резонатора co cлoжнoй формой дuэлекmpuчеcкoгo затлнения pешaеmcя методом интегральных уравнений мaкpocкonuчеcкoй электродинамики. Проведенный чжленный анализ изволил вычжлить дoбpomнocmu npямoугoльнoгo резонатора, для различных Hm0n титв колебаний в зaвucuмocmu от napa-метров cлoжнoгo дuэлекmpuчеcкoгo зanoлненuя.

ВВЕДЕНИЕ

Неотъемлемым элементом почти любой СВЧ экспериментальной установки является резонатор. Именно прогресс в их совершенствовании часто приводил к достижению качественно новых результатов. Так, появление мазеров было бы невозможно без применения высокодобротных СВЧ резонаторов. Высокодобротные резонаторы активно используются для сужения и стабилизации линии генерации, в качестве фильтров и дискриминаторов, в прецизионных физических экспериментах.

Потери электромагнитной энергии в резонаторе складываются из потерь в среде, заполняющей резонатор, и потерь в металлической оболочке резонатора. Кроме того, часть энергии из резонатора передается через элементы связи в устройства, связанные с резонатором.

Общие потери энергии в резонаторе:

W = W + W + Wv-

п мет д I

W

(1)

где Шмет - энергия потерь за период колебания в оболочке резонатора; Шд - энергия потерь в среде, запол-

© Самойлик С. С., Бондарев В. П., 2008

няющей резонатор; - энергия, отдаваемая резонатором во внешние устройства; Шизл - энергия, теряемая на излучение.

Энергию потерь можно выразить как произведение мощности потерь, под которой подразумевается суммарная мощность потерь в металле, диэлектрике, а также мощность, отдаваемую резонатором во внешние устройства, и энергию, теряемую на излучение, на время, т. е. период колебания, соответствующий резонансу. Период колебаний связан с частотой колебаний /р обратным соотношением, в силу чего - Шп = Рп2//р. При этом:

Q = 2f

р р

(2)

п1

где Ш - энергия, запасенная в колебательной системе.

С учетом (1) и (2), полную добротность (нагруженную) Q можно рассматривать как суперпозицию «частичных» добротностей:

1

1

1

1

1

Q QMeT Qд Qi Q

(3)

рад

где Qm

W

= 2п/р —--добротность, обусловленная поймет

терями в стенках резонатора; Qд = 2п/рШ - добротность, обусловленная диэлектрическим заполнением

резонатора; ^^ = 2п/р — - внешняя добротность;

0р.ЛД = 2 п(р р— - радиационная добротность.

ризл

Строгий расчет величины каждого из видов потерь в объемном резонаторе встречает большие трудности, ибо, как правило, не удается найти решение трехмерного векторного волнового уравнения, если не пренебречь потерями в оболочке, в диэлектрическом заполнении, через элементы связи и т. д. Поэтому при анализе резонаторов обычно исходят из предположения, что небольшие общие потери, которые имеют место в резонаторе, не сказываются существенно на структуре полей в нем, т. е. предполагают, что в первом приближении структура поля в резонаторе с потерями и без них одинакова. В указанном приближении энергия, запасенная в резонаторе с малыми потерями и без потерь, практически одинакова. При этом потери в металле, среде, на излучение и потери, вызываемые передачей части энергии через элементы связи, можно рассчитывать независимо друг от друга.

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ

В представленной статье расчет добротности прямоугольного резонатора со сложным диэлектрическим заполнением внутри закрытого резонатора проводится методом интегральных уравнений макроскопической электродинамики [1, 2]. Этот метод позволяет учитывать как комплексные параметры диэлектрического заполнения, так и его геометрическую форму.

В качестве математической модели выбран резонатор, содержащий диэлектрические пластины в форме параллелепипедов, с заданными комплексными диэлектрическими проницаемостями (рис. 1).

Электромагнитное поле в резонаторе удовлетворяет интегральным уравнениям для каждой из неоднород-ностей и может быть записано в следующем виде [1]:

- для первой диэлектрической неоднородности:

Е '(т, Ь) = Ео( г, Ь) - е^-^ Г йЬ Г О (г, Ь, т' , Ь'):

х [е1 - е]- Е т', Ь)йт' -

д2 Ь

- е0!0 —2ГйЬ' Г О(т, Ь, т', Ь') х

дЬ 0 У2

"X2) »

х [е2(Ь') - е]- Е (т', Ь')йт',

,2 Ь

для второй диэлектрической неоднородности:

(4)

2)

2Ь

Е

(т, Ь) = Ео(т, Ь) - е0!0ГйЬ' | О(т, Ь, т', Ь')

дЬ 0 У1

х [е1 - е]- Е (т', Ь ')йт' -

д2 Ь

- е0!0 —2-ГйЬ' Г О(т, Ь, т ', Ь ') х

дЬ 0 У2

->(2) >

х [е2(Ь') - е]- Е (т', Ь')йт',

(5)

-» х > >

где Е0(т, Ь) - начальное поле в резонаторе, О(т, Ь, т', Ь') -скалярная функция Грина прямоугольного резонатора; е - диэлектрическая проницаемость свободного пространства; е1, е2 - диэлектрические проницаемости не-однородностей; е0, _ электрическая и магнитная постоянные.

Решение системы интегральных уравнений для напряженности электрического поля будем искать в виде собственных функций прямоугольной области:

E(r, t) = у Ea¡ e(t) • sin(^x) • sin(^z) - (6)

а, в = 1

где a, l - размеры прямоугольного резонатора, а, в = = 1, 2, 3...

Для рассматриваемой структуры функция Грина, в общем случае тензорная, имеет только диагональные элементы, которые должны удовлетворять граничным условиям на стенках резонатора, накладываемым на соответствующую компоненту поля. Поэтому функцию

Грина G(r, t, r', t') с условием ортогональности и нормировки в области можно представить в виде:

4

-"-х

• a • i • е0ц.0 •фтп(X z)^фтп(x' , z'), (7)

G(r, t, r', t') =

.

m, n = 1

Л

T8!

(t - f)

2 РАСЧЕТ ДОБРОТНОСТИ ЗАКРЫТОГО РЕЗОНАТОРА СО СЛОЖНЫМ ЗАПОЛНЕНИЕМ

Предположим, что связь резонатора с внешними устройствами полностью отсутствует, то есть = 0, QE = <ю, и собственная добротность резонатора, как следует из (3), зависит от Qмет, Qд, Qрад. В закрытых резонаторах радиационные потери отсутствуют, поэтому собственная (ненагруженная) добротность будет определяться выражением:

_1_ = 1 + 1

Q0 = Омет Од

(9)

Полная энергия, запасенная резонатором, определяется выражением [4]:

abL

W = уJ(H) dV = Í2Щ(|Hx\¿ + \Hz\¿)dxdydz. (10)

000

Для колебаний Ит0„ составляющие магнитного поля Нх и Нг, с учетом (6), примут вид:

^тк\ 2 , (ппА 2

^—J + J - резонансная частота,

Фтп - собственные функции области 0 < х < а, 0 < г < Ь.

Подстановка такого представления поля (6) и функции Грина (7) для рассматриваемой структуры в (4), (5) приводит к системам алгебраических уравнений. Первая система является однородной. Вторая система является неоднородной и позволяет определить абсолютные значения амплитуд колебаний, возбуждаемых в резонаторе при заданном -^(г ¿).

Рассмотрим однородную систему уравнений [3]:

• 1 dEy 1 » рп

Hx = —^г2 = — У т* гюи ¿-i 1

гюц. 3z

х Eapsin (—x) • cos (1

ар = 1

z),

• 1 dE 1 » ап Hz = -—= У —

гюи dx ¡«и ¿j a

ар = 1

x Eaрcos(аХ.) •sinl 1 z

(11)

(12)

Тогда для энергии Ш, запасенной прямоугольным резонатором, из (11) получим:

У

q = 1

(S1 - S ) « 2 .(1) + s I „(+1),

в 2-2 pq pq) q mr - cop

У

q=1

+ | (82-80 « r A(2)) jj( + 2)

+1 в 2 ~2ApqIUq

«r - «p ;

(в1 - 8 ) « 2 1)I f(+1) +

в 2 ~ 2Apq I Uq

= 0;

(в2 - 8 ) « r

8 2 m - со

p

A(2) + я I U(+2) 2 pq pq) q

= 0,

(8)

где р = 1, 2, 3...

Решая задачу на собственные значения, определяем спектр и соответствующие отношения амплитуд возбуждаемых колебаний [3].

W=

1 alb "

2 8 У

u0«p ар=1

аП 2 + ÍM) 2| E2

a)

Кр. (13)

Потери, вносимые диэлектрическим заполнением, можно представить в виде суммы

Рд = Рд1 + ^ (14)

где Рд1 - мощность потерь в первой диэлектрической пластине, Рд2 - мощность потерь во второй диэлектрической пластине.

Соответственно добротность, обусловленная диэлектрическим заполнением, может быть представлена в виде:

= + .1.

Qд = Qдl Qд2.

V

тп

X

+

Мощность потерь в диэлектрике определяется выражением [4]:

юр с |-»|2 , Ш = 1Ее"е0 Г \е\ йУ,

У1

(16)

где е" - мнимая часть диэлектрической проницаемости, Юр - резонансная частота.

Мощности потерь в Ы-й неоднородности, с учетом (6) и (16), будет определяться выражениями:

Р

= 2е" Г Е\ йУ = 2юеЫ III |Еу|2йхйуйг =

кЫ Ы™

йЫ

кЫ ыЫ

1 Юеы Ш

кЫ0 ¡ы

кЫ 0

. (ап ) . (р п

X Еарз1п(а^1- |-^г

ар = 1

йхйуйг. (17)

После преобразований и операций интегрирования получим окончательные выражения для определения мощности потерь в каждой из диэлектрических неод-нородностей:

Р

ад ад

дЫ ' 2ЮеЫе0 X X ЕарЕтп-та- ^Пр', (18)

а, р = 1 т, п = 1

где - номер неоднородности,

( .

г(Ы) = _£.

та 2 п

(т-а^к^)) 81п (1т±а)п кЫ)

2 )

(т - а) (т + а)

(т - а)

(т + а)

Т(Ы) = Тп р 2п

(йп ((^¡(А^)^ 81п ((п+р/

(Ы)

(П - Р)

(п + Р)

8щ8щ((п+Шп/'

№

(п - Р) (п + Р)

при т = а и п = р получим:

т = 1 (4Ы> - к!1» -т (- (т 4Ы>) + ^ (т к<ы)

= 1 (/2Ы > - ¡1Ы > - - (^ ¡2Ы >) + з-п (^ Чы ы

Тогда добротность, обусловленную диэлектрическим заполнением резонатора, можно вычислить из соотношения:

1 а1Ь

О

„ X

р ар = 1

ап)2 + (р-,).. е

!0юр 8 х (( а ) ' ( / ) Гар

д

ЬЮе"е ^ ^ Е Е т-(Ы) Т(Ы) 2ЮеЫь0 X X ЕарЕтп-та 'Тпр

а, р = 1 т, п = 1

(19)

Мощность потерь, обусловленная конечной проводимостью стенок резонатора, определяется выражением [4]:

2

Рм = 2- ^ Г Н 2й8

ь ь

1 И'Н2 = 0йхйу + НУ = 0йхйг + НX = 0йуйг Ь (20)

После подстановки (11), (12) в выражение (20) и интегрирования по поверхности стенок резонатора получим:

У

2

+

Рм = 2 К5

аЬ

(юМ а = 1

р-п Е

2

X X ч

"ар

(в = 1

(ю!)22 а^" 1(( а У

1_а! ад ((ал)2 + ГЁ-п)2|Е2

Ь1

ав 2

(Ю!0) р = 1

2

X X

(а = 1

а Еар

(21)

где К5 = ^/0^0^стм - поверхностное сопротивление металла на резонансной частоте.

Добротность, обусловленная потерями в металлических стенках резонатора, определяется выражением:

Ом =

Ю! 8 X ( ( а )

0 ар = 1 (

1 а/Ь ад ((ап)2 + (Рп)2]е2

ар

(22)

2 ^

аЬ

(Ю!0) а = 1

X X

Р п,

) 2

ар

(р = 1

(Ю!0)

1_а/ V1 ( (ап)2

2 2 X (( а )

ар = 1

Рп)2^2 д.

ар 2

(Ю!0) р = 1

) 2

X X

(а = 1

а Еар

ад

6x10

3 6x10

1.2x10

И Од

Омет 0

/ ......./.

/

0.05

0.15

О 25

0.3

0 35 0 4 4

Рисунок 2 - Зависимость добротности от величины перемещения неоднородностей вдоль широкой стенки резонатора

Рисунок 3 - Зависимость добротности от диэлектрической проницаемости пластин для первого типа волн

2.5x10

2x10

1.5x10

1x10

Зд

3

С! мет

-------

10 ?

Рисунок 4 - Зависимость добротности от диэлектрической проницаемости пластин для второго типа волн

3 ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Так как размеры диэлектрических пластин сравнимы с размерами резонатора и резонансной длиной волны, то решение интегрального уравнения проводилось численно. Порядок алгебраических систем зависит от количества учитываемых собственных функций. При решении задачи количество собственных функций могло варьироваться в зависимости от параметров диэлектриков и их геометрических размеров.

Проведенный численный анализ позволил определить добротности для Ит0п типов колебаний в зависимости от расположения диэлектрических пластин в резонаторе и их диэлектрической проницаемости.

На рис. 2 показана зависимость добротности от местоположения пластин. При этом обе пластины с идентичными параметрами (в = 4, tg5 = 5 • 10 4) и толщиной 0, 1 • а, симметрично перемещались вдоль широкой стенки волновода из крайнего положения возле стенок, к центру резонатора, при этом диэлектрические пластины занимали 0,8 длины резонатора, геометрические размеры которого 23 х 10 х 25 мм.

Добротность, обусловленная диэлектрическими не-однородностями у стенок резонатора, принимает наибольшее значение и резко убывает при перемещении пластин к центру резонатора, где напряженность Н101 типа колебаний максимальна и, следовательно, максимальны диэлектрические потери. Таким же образом ведет себя и общая добротность. Добротность, обусловленная потерями в стенках резонатора (Ом), убывает на отрезке 0...0,1 после чего начинает возрастать т. к. диэлектрическая неоднородность оттягивает на себя поле от стенок резонатора и, соответственно, приводит к возрастанию добротности.

На рис. 3, 4 показаны зависимости добротностей от диэлектрической проницаемости пластин, при этом местоположение пластин было зафиксировано на расстоянии 0, 1 • а от боковых стенок резонатора и 0, 1 • Ь от продольных. Тангенсы угла диэлектрических потерь

пластин выбраны равными tg5 = 5 • 10 4. На рис. 3 представлены результаты расчетов добротности для первого типа колебаний, на рис. 2 - для второго типа колебаний. Закон изменения добротностей имеет одинаковый вид, но значения отличаются по величине (для первого типа колебаний добротности выше).

ВЫВОДЫ

Приведенный метод интегральных уравнений позволяет вычислять добротности различных Нт0п типов колебаний для произвольного числа диэлектрических не-однородностей в зависимости от их местоположения в резонаторе, диэлектрической проницаемости, геомет-

Г. М. Шило, Д. А. Коваленко, М. П. Гапоненко: ПРИЗНАЧЕННЯ НОРМАЛЬНИХ ДОПУСК1В МЕТОДОМ В1ДОБРАЖЕНЬ

рической формы, а также размеров самого прямоугольного резонатора.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Хижняк Н. А. Инжинерные уравнения макроскапичес-кой электродинамики. - К.: Наукова думка, 1986. -279 с.

2. Бухаров С. В. Расчет параметров частично заполненного резонатора при измерении диэлектрической проницаемости // Радиоэлектроника. - 2007. - № 6. -С.77-80 (Изв. вузов).

3. Samoylyk S. S., Bondaryev V. P. Complex frequencies of the rectangular resonator with the arbitrary number of the dielectric heterogeneities // 6th International Conference on Antenna Theory and Techniques. Conference Proceedings. - Sevastopol, 2007. - Pp. 1252-2054.

4. Капилевич Б. Ю., Требехин Е. Р. Волноводно-диэлект-рические фильтрующие структуры: Справочник. - М.: Радио и связь, 1990. - 272 с.

Надшшла 25.02.2008 Шсля доробки 21.03.2008

Розрахунок параметр1в прямокутного резонатора 3i складною формою дiелектрuчного заповнення вирШуетъся методом ттегралъних рiвнянъ макроскотчноЧ електроди-намти. Проведений чиселъний аналiз дозволив обчислити добротностi прямокутного резонатора для рiзних Hm0n титв коливанъ залежно вiд параметрiв складного дiелек-тричного заповнення.

The calculation of a rectangular resonator with а complex dielectric loading is solved by the method of integral equations of microscopic electrodynamics. The carried out numerical analysis enabled to calculate Q-qualities of the rectangular resonator, for various Hm0„ types of fluctuations depending on parameters of complex dielectric filling.

УДК 621.396.6.004: 004.942

Г. М. Шило, Д. А. Коваленко, М. П. Гапоненко

ПРИЗНАЧЕННЯ НОРМАЛЬНИХ Д0ПУСК1В МЕТОДОМ

В1Д0БРАЖЕНЬ

Розглядаються особливост1 формування допускових областей при нормальному закон розпод1лу параметр1в та дИ зовтштх чиннитв. Розроблено алгоритм при-значення номтальних допуств з урахуванням змт пара-метр1в елемент1в при зовтштх впливах. Проведен об-числення допуств на параметри елемент1в смугового ф1льтру.

ВСТУП

Задача призначення допусков на параметри еле-менив пов'язана з забезпеченням точности 1 стабильности при виробництв1 та експлуатацп апаратури. В1д-хилення параметров складаються з виробничих в1дхи-лень, спричинених недосконал1стю технолог1чних про-цес1в 1 неоднор1дшстю матер1ал1в, та в1дхилень, що викликаш старшням матер1ал1в та впливом зовшшшх чинник1в в процесс експлуатацп [1].

Розробка методов обчислення в1дхилень параметров проводилась переважно без урахування дп зовшшшх вплив1в. Використовувались геометричш методи, в яких форма допускових областей визначалась законами роз-под1лу параметров елемент1в, а розм1ри областей об-числювались за координатами точок дотику цих областей до меж области працездатност1 [2-4]. Розроблено методи призначення штервальних допусков, в яких закон розпод1лу параметров задаеться на штервал1, 1 допусков з нормальним законом розпод1лу параметров.

© Шило Г. М., Коваленко Д. А., Гапоненко М. П., 2008

Врахування зовшшшх вплив1в проводилось для л1н1йних або 1нтервальних моделей вих1дних функц1й [1, 5]. Одночасна д1я к1лькох зовшшшх вплив1в на елементи електронних апарат1в не враховувалась. Зо-крема, не вибиралися найб1льш несприятлив1 сполу-чення зовшшшх чинник1в.

Метою роботи е розробка методу призначення нор-мальних допусков з урахуванням дп зовн1шн1х впли-в1в. Для досягнення поставлено! задача необх1дно:

- розглянути особливост1 формування допускових областей при нормальному закон1 розпод1лу парамет-р1в та дп зовшшшх чинник1в;

- розробити метод утворення 1нтервальних моделей зовшшшх вплив1в при найб1льш несприятливому спо-лученш зовшшшх факторов;

- розробити алгоритм призначення нормальних до-пуск1в при заданих експлуатац1йних обмеженнях об-ласт1 працездатност1 та визначених коефщ1ентах зовшшшх вплив1в.

1 ОСОБЛИВОСТ1 ФОРМУВАННЯ

ДОПУСКОВИХ ОБЛАСТЕЙ ПРИ ЗОВНИШН1Х ВПЛИВАХ

При нормальному закон1 розпод1лу параметр1в до-пускова область приймае вигляд елшсо!ду [3]. Вплив