До виведення рівняння руху частинки пилу у фільтрувальному циклоні Текст научной статьи по специальности «Математика»

Розшл V

ШФОРМАЦШШ

ТЕХНОЛОГИ ГАЛУЗ1

УДК 674:621.928.93 Проф. €.М. Лютий, д-р техн. наук;

доц. Л. О. Тисовський, канд. фЬ.-мат. наук - УкрДЛТУ; доц. О. С. Кондур1, канд. мат. наук; А.В. Ляшеник2

ДО ВИВЕДЕННЯ Р1ВНЯННЯ РУХУ ЧАСТИНКИ ПИЛУ У Ф1ЛЬТРУВАЛЬНОМУ ЦИКЛОН1

Описано диференщальне р1вняння руху частинки пилу у фшьтрувальному цик-лонi. Теоретично описано вплив napaMeTpiB циклона на його ефектившсть. Одержано теоpетичнi траекторп руху частинки у фшьтрувальному циклош.

Ye.M. Liutyj, L.O. Tysovski - USUFWT; O.S. Kondur - State University of Prykarpattia; A.V. Liashenyk - Polytechnic College of Kolomyja

To the problem of equation of particle movement in filter cyclone

This article describes the differential equation of movement of a particle in a filter cyclone.

Вже багато роюв на шдприемствах деpевообpобноi галуз1 циклони ви-користовуються для очищения асшрацшного повпря.

Поряд з вщомими [1] перевагами таких пpистpоiв, основними ix недо-лжами е високий г1дравл1чний отр i низька ефектившсть уловлення др1бних фракцш пилу. При цьому основними негативними факторами вважаються ра-д1альний стж i турбулентшсть потоку повпря в циклош, причинами виник-нення яких е значний перепад статичного тиску у пеpеpiзi сепаратора (~500Па) i нестабшьност потоку повiтpя, якi виникають у приповерхневому шарь Покращити характеристики циклошв можна вiдсмоктуючи приповер-хневий шар. У деревообробнш пpомисловостi циклони традицшно встанов-люються на нагнiтальнiй вгтщ вентилятора, тому вiдсмоктування приповер-хневого шару легко оргашзувати на практищ замiною зовнiшньоi меташчно1" стiнки на фшьтрувальну. Це дозволить зменшити товщину приповерхневого шару, що у свою чергу вплине на турбулентшсть потоку i pозподiл статичного тиску. Якщо врахувати, що pадiальний стж зароджуеться поблизу зов-нiшньоi стшки циклона i за рахунок приеднаних мас вторинних потоюв на-

1 Прикарпатський державний ушверситет, м. 1вано-Франк1вськ

2 Коломийський полгтехшчний коледж

ростае до значних швидкостеи на меж1 спрямованого вверх потоку, то за ра-хунок невеликих об'ем1в витоку очищеного пов1тря в атмосферу через фшь-трувальну стшку вдаеться нейтрал1зувати негативну дш рад1ального стоку. З ще! точки зору щкавими для дослщження е фшьтрувальш циклони [2-4].

Важливими е теоретичш дослщження процесу очистки пилопов1тря-но! сум1ш1 у сепараторах р1зномаштних конструкцш 1 обгрунтування шлях1в покращення характеристик юнуючих пристро!в.

У цш робот зроблена спроба теоретично описати рух частинки пилу у фшьтрувальному циклош.

Рух частинки пилу у фшьтрувальному циклош можна описати, вихо-дячи з таких м1ркувань.

Частинка пилу в циклош здшснюе складний рух. При цьому рух частинки разом 1з середовищем 1з швидюстю Ж е переносним, а рух вщносно середовища 1з швидюстю Ус (тобто 1з швидюстю сепараци) е вщносним. Таким чином, абсолютну швидюсть частинки пилу можна подати у вигляд1:

7 = Ж + Ус. (1)

Середня швидюсть повггряного потоку Ж, як правило вважаеться вь домою, тобто задача опису руху частинки пилу в циклош зводиться до визна-чення вщносно! швидкост руху Ус.

Вщомо [6], що диференщальне р1вняння руху частинки пилу у криво-лшшному потощ мае такий вигляд

ШУ 17 Р (2)

— = ~-ус + - ■ (2)

ш 0 т

Тут 0 -величина, яка мае розм1ршсть часу \ називаеться часом релакса-ци частинки.

т Ш2 0 =-=-Р,

ЗпцШ 18ц

де: т - маса частинки; л - динам1чна в'язюсть пов1тря; Ш - д1аметр частинки пилу; р - густина матер1алу частинки.

Р - аеродинам1чна сила, яка виникае у фшьтрувальному циклош внаслщок виникнення потоку фшьтраци. Можна показати, що для частинки пилу, положення яко! характеризуеться рад1ус-вектором Я

7 ЗпШцО г

Р =-11— г,

Я

де: г - орт вектора Я; О - стш на одинищ висоти потоку фшьтраци, тобто

о=,

2пН

де: , = О в1дношення ^ост, пов1Тря Оф, що ы^ить в ахмосферу через фшьтрувальну стшку до загально! продуктивност циклона О; Н - висота цилшдрично! (фшьтрувально!) частини циклона.

Якщо врахувати тепер, що переносний рух частинки пилу е оберталь-ним, то зпдно з теоремою Кореолюа про абсолютне прискорення точки при складному рус р1вняння (2) можна представити таким чином:

—c + ЙХ (их R) + (— X R) + 2 ( их Vc) = — Vc + — dt dt 0 m

(3)

де и - миттева кутова швидюсть частинки пилу, яка зб^аеться i3 кутовою швидкiстю обертання повггряного потоку навколо oci циклона.

Встановимо фiзичний змiст кожного i3 члешв лiвоl частини рiвняння (3).

П й dVc . (

Перший член —- е вщносним прискоренням частинки пилу (приско-dt

ренням сепарацшного руху) i може дорiвнювати нулю тiльки при Vc = const, що, як правило, неможливо [6].

Сума и х (и х R) + (-^ х R) е переносним прискоренням частинки пи-

dt

лу, причому, перший доданок характеризуе радiальну (вщцентрову) складо-ву, а другий - трансверсальну (поперечну) складову, яка завжди зб^аеться i3 напрямком W.

Останнiй доданок в лiвiй частинi рiвняння (3) характеризуе прискорення Кореолюа, яке спрямоване на периферiю потоку.

Напрямки вказаних прискорень показаш на рис.1.

- х

Рис. 1. Схема прискорень частинки пилу у криволШйному потощ

Спроектуемо р1вняння (2) на ос декартово! системи координат х, у. При цьому припустимо, що рух потоку повггря здшснюеться по концентрич-них колах { частинки повггря не обертаються, тобто розподш швидкостей визначаеться "законом площ".

ЖЯ = к = соп,

L I 2 2"

де: k = ——, R = -\J x + y ; L - об'емний вихiд потоку повiтря, що мае се-

lnR2

R

редню швидкiсть W у каналi, утвореному двома концентричними цилшдрич-ними поверхнями Í3 радiусом R1, R2 (R2>Ri).

У результатi, пiсля перетворень, Í3 рiвняння (3) можна отримати систему двох диференщальних рiвнянь другого порядку:

d x l dx a1 y - a2 x .

—T +---+ ^-2" = 0

dt¿ 0 dt x1 + y (4)

d2 y +1 _ dy - aix - a2 y = Q' dt2 0 dt x2 + y2

де a1 i a2 - постшт, що характеризують фiзико-механiчнi властивост час-

тинки пилу i вщповщно дорiвнюють:

k 3nd^G 1

ai = —; a2 =-= — G.

1 0 2 m 0

Отримана система диференцiальних рiвнянь е нелшшною, розв'язати И в елементарних функщях не вдаеться, а тому для знаходження розв'язку до-цшьно застосувати числовi методи.

Однак анашз рiвнянь (4) дозволяе зробити ряд певних висновюв. Перейдемо вiд декартових координат х, у до полярних R, ф, тобто тд-ставимо x = R • cos(ф); y = R • sin(ф).

Знайшовши значення першо! i друго! похщно! вiд координат х, у по часу домножимо перше рiвняння на cos (ф), а друге на sin (ф). Пiсля додаван-ня рiвнянь отримаемо

d 2 R

;--R

dt2

Домноживши цi ж рiвняння вiдповiдно на - sin (ф) i cos (ф) та знову додавши !х отримаемо

2 2

R2 ^ + 2RdR • ^ + • a1 = 0. (6)

dt2 dt dt 0 dt

Якщо ввести тепер нову змшну z = R2 —, то рiвняння (6) можна пред-

dt

ставити у виглядi лшшного диференцiального рiвняння першого порядку:

dz z

--+ — = ai,

dt 0 1

загальний розв'язок якого мае вигляд:

z = R2 ^ = Coe_0 + a10 = k + Coe~0 . dt

- R

v dt y

1 dR a2

= o. (5)

0 dt R

Якщо тепер врахувати, що тангенцiальна складова швидкост руху

V Rd* частинки V* = R—, то отримаемо:

dt

t

V = k + C0e~0 * R

невщому константу штегрування Co визначимо i3 початкових умов: при

t = 0; R = Ro, V* = Wo. Тода Co = WoRo - k i

R -t

V* = W + (Wo R - W)e 0 . (7)

R

1з формули (7) видно, що iз зростанням часу тангенщальна складова швидкiсть частинки прямуе до тангенщально! складово!' швидкост руху по-вiтря, досягаючи li тим швидше, чим дрiбнiшим е пил. Частина траектори частинки пилу, в межах яко!' exp(-t/0) ютотно вiдрiзняеться вiд нуля, е дшян-кою нестацiонарного руху, тобто початковою дiлянкою. Довжина цiеi дшян-ки залежить вiд розмiрiв частинок пилу.

1з врахуванням (7) рiвняння (5) набирае вигляду:

t

d2R +1 _ dR [k + (WoRo + k)e~0]2 _a.L = o (g)

dt2 в dt R3 R ' ( )

Якщо розглядати сепарацiю частинок пилу за межами початково!' дь лянки руху у криволшшному потоцi, то в цьому випадку exp(-t/0)^o i рiв-няння руху набирае вигляду:

d 2R 1 dR A л

—г +-----= o, (9)

dt2 в dt R w

де A = V* + a2 е деякою постiйною величиною (iз врахуванням того факту, що

рашше було показано, що при рус частинки у фшьтрувальному циклонi

V* = const [3].

Рiвняння (g) описуе рух частинки пилу у криволшшному потощ на по-чатковiй дiлянцi руху (дшянщ нестацiонарного руху), а рiвняння (9) - за межами початково!' дiлянки.

Рiвняння (9) за сво'м виглядом збiгаеться з вщомим рiвнянням сепара-ци частинок в циклонах з металiчними стiнками. Вщмшносп проявляються тiльки у величинi коефщента, який сто'ть в чисельнику останнього члена рiвняння (9).

Для того, щоб розв'язок диференцiального рiвняння (9) був единим повинш задовольнятися двi початковi умови

dR

t = o R = Ro, — = Vr = Vo. (Ю)

Рiвняння (9) е нелiнiйним диференцiальним рiвнянням другого порядку, розв'язок якого отримати у замкнутiй формi не можливо. А тому для

розв'язування задачi Кошi (9)-(10) доцiльно застосувати числовi методи. Найпоширенiшими числовими методами розв'язування задачi Кошi для нель ншних диференцiальних рiвнянь другого порядку е методи Рунге-Кутта. При цьому найчастiше застосовують метод Рунге-Кутта четвертого порядку, суть якого полягае в наступному.

Уп+1 = Уп + hAn ,

УП+1 = An + \(k2 + k3 + k4) ,n = 1,2,...,N, 6

дв An = УП+ 1(k1 + k 2 + k3), 6

ki = h/(xn,yn,yП) , k 2 = h/(xn + h, Уп + -2 У n + ■hki' yn +

k3 = h/ (*n + h, Уп + ~У п + 7ki, УП +

2 2o 2

h

k 4 = h/(^n + К Уп + Wn + 2 k3' У П + k 3),

Xn = Xo + nh, Уп = У(Xn), УП = У'(Хп), h - крок розбиття .

Для розв'язування рiвняння (6) використовували математичний пакет MathCAD 6.0.

Розглядався рух частинок деревного пилу з такими характеристиками:

• густина матер1алу частники 700 кг/м3;

• коефщент в'язкост пов1тря при температур! tn=20 °С (j = 1,85);

• продуктивтсть 0=0,5 м /сек. Характеристики циклона:

• висота цил1ндрично1 частини Н=0,6 м;

• д1аметр циклона D=400 мм;

• д1аметр вихлопно! труби d=200 мм;

• частка продуктивное! ф1льтраци q=0,1.

Розв'язок рiвняння (9) може бути представлений у виглядi графжоза-лежно радiуса орбiти частинки пилу (вщстат вiд центра мас частинки до ос циклона) i сепарацшно! швидкостi вiд часу перебування частинки в циклош

(рис. 2, 3).

3i збшьшенням дiаметра частинки час, за який вона досягне зовтшньо! станки, зменшуеться. Практично частинки пилу, розмiром 20 мкм i бiльшi до-сягають стiнки вже в межах початково! дiлянки руху. Частинки пилу, дiаметр яких близький до 4 мкм за час перебування в циклош вловлет не будуть.

Враховуючи, що Vp = , можна записати dp = Rdt, i за допомогою

формул Ньютона-Котесса визначити координати R i ф частинки пилу у по-лярнiй системi координат. Пiсля обробки одержаних результата отримуемо траектори руху частинок у фшьтрувальному циклонi.

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 ^ с 0,18 0,2

6:----4 .......5 -----10 -20 -----50 мкм

Рис. 2. Графк залежностiрад1уса орбти частинки пилу вiд часу перебування

частинки пилу в циклон

0 0,02 0,04 0,06 0,08 с 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2

6: -4 -5 ----10 .....20 ---50 мкм

Рис. 3. Графш залежностi сепарацшног швидкостi частинки пилу вiд часу и перебування в циклош

Цм&лон без о}шхуш>'№ж ратал.што стоку

Циклон | врахуеанкяж радитшого стоку

Фт&жр&ючий циклен

Рис. 4. Траектори руху частинок в циклонах

Траектори руху частинок пилу в циклош являють собою сшрал^ якi асимптотично наближаються до радiуса зовнiшньоï стiнки циклона.

У фшьтрувальному циклонi частинки пилу досягають зовнiшньоï стш-ки швидше, нiж в традицiйних циклонах. На рис. 4 представлено траектори руху частинок у фшьтрувальному циклош i в традицшному циклош з враху-ванням радiального стоку i без.

У проведеному аналiзi не враховувалось явище пружного вiдскоку частинки вщ стiнок циклона i вплив турбулентност потоку. Вплив першого фактора пом'якшуеться швидким затуханням сепарацiйноï швидкостi частинки, ^м того, у фшьтрувальному циклош зовшшня стiнка виконана з ткани-ни, що унеможливлюе явище пружного вщскоку. Вплив турбулентних пуль-сацiй значно знижуе ефективнiсть традицшних циклонiв. Вiдповiдно до [7] частинки пилу, розмiр яких близький до 10 мкм, рухаються у радiальному напрямi iз радiальними швидкостями, як становлять не бiльше одного вщ-сотка вiд осьовоï швидкостi. Коли вторинш потоки повiтря будуть перетжати в напрямi осi циклона, i ïx частка буде близькою до одного вiдсотка, то сепа-рацшний рух дрiбниx частинок пилу вже буде порушеним. Крiм того, на час-тинку пилу в турбулентному потощ дiють турбулентнi пульсацiï i виxровi потоки, якi знову ж таки знижують ефективнiсть циклона. За наявност вщсмок-тування (у випадку фшьтрувального циклона) критичне число Рейнольдса практично у 100 разiв перевищуе критичне число Рейнольдса без вщсмокту-вання [5], що збшьшуе ймовiрнiсть вловлення частинки пилу в циклош. Тому, можна зробити висновок про доцшьшсть застосування зовнiшньоï фшь-трувальноï стiнки в циклош. Описаш вище теоретичнi результати шдтвер-дженi практичним дослiдженням ефективностi фшьтруючих циклонiв.

Л1тература

1. Александров А.Н., Козориз Г.Ф. Пневмотранспорт и пылеулавливающие сооружения деревообрабатывающих предприятий: Справочник/ Под. ред. А.Н. Александрова. - М.: Лесн. пром-сть, 1988. - 270 с.

2. Ляшеник А.В. "Високоефективна пов1троочисна установка з фшьтрувальними циклонами". "Свгг мебл1в i деревини" 2/99 - С. 28-29.

3. До розподшу тангенщально'1 складово'1 швидкосп потоку в циклош ЦН-15 i фшьтруючому циклош Лютий G.M., Нахаев П.П., Ляшеник А.В.// Науковий вюник. Зб. Наук-техн.пр. - Льв1в: УкрДЛТУ. - 2001, вип.11.4. - С. 190-195.

4. Ефектившсть застосування циклошв 1з фшьтруючими зовшшшми стшками. Лютий G.M., Нахаев П.П., Ляшеник А.В.// Науковий вюник. Зб. Наук-техн.пр. - Льв1в: УкрДЛТУ. - 2001, вип.12.2. - С. 121-125.

5. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. Издательство иностранной литературы, Москва, 1956. - 537 с.

6. Пирумов А.И. Обеспыливание воздуха, 2-е изд. перераб. и доп., М: Стройиздат, 1981. - 296 с.

7. P.A. Mackrodt. Stability of Hagen-Poiseuille Flow with Superimposed Rigid Rotation, J. Fluid Mech., vol. 73, pP. 153-164, 1976.