ДО ПИТАННЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ, ЩО МІСТЯТЬ ЦІЛУ ТА ДРОБОВУ ЧАСТИНИ ЧИСЛА, ГРАФІЧНИМ СПОСОБОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Scientific journal ISSN 2413-158X (online)

PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION ISSN 2413 1571 (Print)

Has been issued since 2013.

Науковий журнал

Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА

Видаеться з 2013.

http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/

Од'!нцова О.О. До питання розв'язування р'!внянь, що мстять цлу та дробову частини числа, графчним способом. Ф'зико-математична осв'та. 2020. Випуск 4(26). С. 93-99.

Odintsova O. On the question of graphically solving the equations containing interger and fractional parts of the number. Physical and Mathematical Education. 2020. Issue 4(26). Р. 93-99.

DOI 10.31110/2413-1571-2020-026-4-016 УДК 37.091.398, 372.851.2

О.О. Одшцова

Сумський державний педагогiчний ушверситет iMeHi А.С. Макаренка, Укра'та

oincube@yahoo.com ORCID: 0000-0002-9948-3801

ДО ПИТАННЯ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ Р1ВНЯНЬ, ЩО М1СТЯТЬ Ц1ЛУ ТА ДРОБОВУ ЧАСТИНИ ЧИСЛА, ГРАФ1ЧНИМ СПОСОБОМ

АНОТАЦЯ

Розглянуто особливост/' застосування графiчного методу до розв'язування рiвнянь з цлою та дробовою частинами числа, що дозволяе полiпшити розумння графiчного матер'шлу взагалi, розумння взаемозв'язшв рiзних роздiлiв математики та пдготуватися до математичних змагань.

Формулювання проблеми. Графiчному способу розв'язування рiвнянь та ¡х систем у шкльному кура математики придляеться мало уваги, навiть при вивченн на поглибленому рiвнi. Бльшсть вчителiв оминають цей спосб розв'язувань навiть при робот! iз сильними учнями та з матер'шлом, де застосування графiчного способу е природн'т. Такими е, наприклад, рiвняння, що мстять цлу та дробову частини числа, якi постйно пропонуються на математичних змаганнях рiзних рiвнiв. Труднощi, що виникають при застосувант графiчного способу до розв'язування рiвнянь з цлою та дробовою частинами числа, викликан специфiкою зазначених числових функ^й та пов'язаного з ними математичного апарату з одного боку, а з ншого - невм'нням учнв/ студентв графiчно iнтерпретувати суто алгебрамний матер'шл i робити зворотний перех'д.

Матер ¡али / методи. Загально алгебрамн'1 методи з використанням основних фактiв теорП чисел, теорП елементарних та спе^альних функ^й, анал'з навчально-методично!' i математично!' лiтератури щодо розв'язування графiчним способом рiвнянь, як мстять цлу та дробову частини числа, анал'з та узагальнення власного педагог'чного досв'ду та педагог'чного досв'ду пров'дних вчителiв та науковцв.

Результати. Розкрито особливост! застування графiчного методу до розв'язування рiвнянь з цлою та дробовою частинами, що базуеться на 4 класичних алгоритмах побудови графiкiв функ^й у = /([.х]), у = [/(.х)], у = /({.х}), у = {/(.х)}. Пропонуеться застосовувати цей метод у дещо розширеному вигляд'! з метою знаходження точних розв'язшв з урахуванням умов вих'дного або перетвореного р'вняння.

Материал, розглянутий у статтi, е частиною курсу «Ол'ттадна математика», що читаеться студентам-магстрантам спец'юльност'! 014 Середня освта (Математика), а також пропонуеться учням при тдготовц'! до ол'ттад з математики.

Висновки. Графiчний спосб розв'язування рiвнянь та ¡х систем сл'д застосовувати не тiльки до запропонованих у статт'! рiвнянь або, тих, що розв'язуються цим способом у регулярному курс'! шюльно! математики. Це дозволить не тiльки покращити графiчну культуру учнв, розвинути вмiння застосовувати графiчний матер'шл в суто алгебра!чних питаннях: в'д оцнки шлькост': коренв рвняння до його повного розв'язання, поглиблюючи та систематизуючи отриман знання, розвиваючи лог'чне та алгоритм 'чне мислення, але й демонструвати взаемозв'язки рiзних роздiлiв математики та ¡х взаемопроникнення.

КЛЮЧОВ1 СЛОВА: графiчний спосб, р'вняння з цлою,дробовою частинами числа,алгоритми побудови графiкiв функ^й, що мстять цлу, дробову частину числа, графiчна iнтерпретацiя.

ВСТУП

Формулювання проблеми. Графiчному способу розв'язування рiвнянь та '¡х систем у шктьному кура математики придтяеться мало уваги, навпъ при вивченн на поглибленому рiвнi. Аналопчна ситуация склалася i з позакласними заняттями з математики. БтьшМсть вчт^в оминають цей споаб розв'язувань навпъ при робот iз сильними учнями та з матерiалом, де застосування графiчного способу е природым. На нашу думку, нехтування навчальним потенциалом графiчного способу розв'язування рiвнянь та '¡х систем невиправданий в сучасних умовах, коли завдання графiчного змкту е широко представленими в обов'язковому ЗНО з математики.

Прикладом рiвнянь, де природним чином можна використовувати графiчний cnoci6 розв'язування, е рiвняння, що мГстять цiлу та дробову частини числа. ТруднощГ, що виникають при застосуванш графiчного способу до розв'язування рiвнянь, що мiстять цiлу, дробову частину числа, викликанi специфiкою зазначених числових функцГй та пов'язаного з ними математичного апарату з одного боку, а з шшого - невмшням учыв/студен^в графiчно iнтерпретувати суто алгебра'чний матерiал i робити зворотний перехд

Метою цiеí статтi е розкриття особливостей розв'язування графiчним способом рiвнянь, що мiстять цiлу та дробову частини числа, та деяких методичних аспектГв застосування розглядуваного матерiалу в позакласый роботi, особливо при тдготовц учнiв до математичних змагань рiзних рiвнiв, оскiльки рiвняння, що мГстять цiлу та дробову частини числа, традицмно пропонуються на таких змаганнях.

ТЕОРЕТИЧН1 ОСНОВИ ДОСЛ1ДЖЕНЬ

Питаннями, пов'язаними iз розв'язуванням рiвнянь, що мГстять цiлу та дробову частини числа, графiчним способом займалися науковцi, в коло Ытереав яких входить застосування методiв вищо' математики до розв'язування завдань елементарно''' математики пiдвишеного рiвня складносп. Серед таких науковцiв можна вщзначити Апостолову Г.В., Вороного О.М., Лейфуру В.М., Шунду Н.М., Ясшського В.А.

МЕТОДИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ

Загально алгебра'чы методи з використанням основних фактГв теорГ'' чисел, теорГ'' елементарних та спецГальних функцiй, аналiз навчально-методично''' i математично'' лiтератури щодо розв'язування графГчним способом рГвнянь, що мГстять цту та дробову частини числа, аналГз та узагальнення власного педагогiчного досвщу та педагогiчного досвГду провГдних вчителГв та науковцiв.

РЕЗУЛЬТАТИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ

Як вщомо, графiчний спосГ6 розв'язування рГвнянь та 'х систем доволГ часто е складно виконуваним через проблеми побудов та неточысть отримуваних розв'язкГв. Виключенням з цього ряду е рГвняння, що мГстять цГлу, дробову частини числа, якГ на вщмЫу вГд бГльшостГ алгебра'чних рГвнянь, можна розв'язувати декГлькома способами: з використанням означень вщповщних частин числа, за допомогою мшано''' системи, способом локалГзацГ'' та графГчно. Причому всГ вище зазначенГ способи е рГвновитратними.

Цлою частиною дшсного числа а називають найбГльше цГле число, яке не перевищуе даного числа а (БородЦ

1970).

ЦГла частина числа а позначаеться [о] (ант'еeid а). З означення цГло''' частини випливае, що [о] < о, причому рГвысть [а] = о досягаеться лише тодГ, коли число а - цте.

Приклад 1. [0] = 0; [17] = 17; [11,38] = 11;

1

_ 5_

ГрафГк функцГ'' y = [х] подано на рис.1. Для цГе'' функцГ'' D(y) = R, E(y) = {k, keZ}.

■■ 0; [-2,1] = -3; [-100] = -100; [ л/2 ] = 1.

-2 0 r 2 4

X

Рис. 1. Графш функцм у = [х].

Дробовою частиною дiйсного числа а називають рiзницю мiж числом а i його цiлою частиною [о] (БородЫ 1970). Дробову частину числа а позначають символом {о}, тобто {о} = а - [о]. Осктьки завжди а - [о] > 0, то {о} > 0 для будь-якого дшсного числа о.

Дробова частина числа може набувати ттьки невщ'емних значень, менших за одиницю:

[о] < о < [о] + 1, 0 < о- [а] < 1 та 0 < { о} < 1. ^м того, для довтьного дмсного числа а: а = [о] + {о}.

Приклад 2. {11} = 0; {45,52} = 0,52; {19 }= {3 4 } = 4 ; {-75} = 0; {- 4,32} = - 4,32 - [-4,32]= -4,32 - (-5) = 0,68;

5 5 5

{_46 } = _ 46 - [ _46 ] = _4_2 - (-5) = 9; {е} = е - [е] = е - 2; {- п} = -п - [-п] = -п - (-4) = 4 - п. 11 11 11 11 11

Графт функц^Т у = {х} подано на рис.2. Для ще!' функц^Т 0(у] = К, Е(у) = [0, 1), ^м того функция у = {х} е перiодичною з перюдом Т = к, де ке1.

Рис. 2. Графш функцм у = {х}.

Перед застосуванням графiчного способу розв'язування рiвнянь, що мктять цiлу, дробову частини числа, слщ розглянути побудови графМв функцiй з цiлою та дробовою частинами. Традицiйно Тх подiляють на 4 типи: у = /([х]) (цта частина - аргумент зовншньо! функцГ''), у = [/(х)] (цта частина - зовнiшня функцiя), у = /({х}) (дробова частина- аргумент зовншньо! функцГ''), у = {/(х)} (дробова частина - зовнiшня функщя). Вiдповiдно кожна з цих функцш мае власний алгоритм побудови ^рченко, 1996, С. 320-328), (Вороний, 2006, С.87-88), (Одiнцова, 2019, С. 23-28].

Щоб розв'язати графiчно рiвняння з цтою, дробовою частинами числа, як i будь-яке iнше рiвняння, потрiбно перетворити так, щоб зручно було будувати графти право''/х) та лiвоТ д(х) частин. Розв'язками рiвняння будуть абсциси стльних точок графiкiв функцiй /(х) i д(х). Детально алгоритм розв'язування такий: спочатку визначають ординати Ь, стльних точок Р(а, Ь) графiкiв право''/(х) та лiвоТ д(х) частин, а це найчаспше можна зробити точно, бо вони можуть бути цтими з умови. Потiм з рiвняння Ь=/(а) cлiд знайти и абсцису а. Точнiсть розв'яз^в рiвнянь з цiлою частиною, ям дiстаемо графiчним способом, визначаеться точыстю розв'язкiв рiвнянь/(х] = к, де ке7.

Приклад 3. Розв'язати графiчним способом рiвняння х2 - 7[х] + 10 = 0.

Перетворимо рiвняння наступним чином

х2 +10

[х]

7

та знайдемо ординати к стльних точок графЫв функцш у = [х] i у ■

хг +10 7

(рис. 3): к =2, 3, 4, 5.

Рис. 3. Графши функцш у = [х] i у =

х2 +10 7 .

Розв'язуючи рiвняння

х2 +10 7

: к та враховуючи, що к <х< к+ 1, знаходимо розв'язки вихiдного рiвняння:

1] к = 2, 2 < х < 3,

2] к = 3, 3 < х <4,

3] к = 4, 4 < х <5,

4] к = 5, 5 < х <6,

х2 +10

7

х2 +10

7

х2 +10

7

х2 +10

7

: 2, х2 = 4, х = ± 2, вщповщно, х1 = 2; = 3, х2 = 11, х = ± л/П i х2 = л/11 ; = 4, х2 = 18, х = ± 3 л/2 i х3 = 3 л/2 ; = 5, х2 = 25, х = ± 5 та х4 = 5.

Отже, розв'язками рiвняння е 2, -Л1, 3>/2 , 5. Приклад 4. Розв'язати графiчним способом рiвняння

1-3х

х2 - 2х.

Будуемо графт функцш y =

1—3x

використовуючи алгоритм побудови графiка функцiT у = [Дх)]: спочатку будуемо

1-3x 1-3x графiк функцií y=- та прямi y = k, де k е Z, далi - частини графша функцií y=-, що мктяться в смузi k < y < k + 1,

2 2

1—3x

проектуемо на нижню межу у = k, виключаючи проекцп точок, що е точками перетину графша функцií y=- та прямоТ

1—3x

2

. На рис. 4 подано графти функцп y =

1—3x

y = k + 1. Сукупнiсть вiдрiзкiв - «проекцш» i е графтом функцiT y =

y = х2 - 2х в однм системi координат.

Знаходимо ординати k спiльних точок графiкiв функцiй правоТ та лiвоT частин: k = -1, 0, 1. Розв'язуемо рiвняння х2 - 2х = k для знайдених значень k, враховуючи, що останне рiвняння буде мати 2 кореш, один з яких стороннм. Осктьки

лiва i права частини рiвняння повиннi дорiвнювати тому ж конкретному k, то дае умову вщбору корешв

1 + 2к 1—2k --< х <--

1-3x

= k. Перетворення останньоТ рiвностi

3

3

1 11

Отже, маемо: 1) якщо k = -1, -< x < 1, то х2 - 2х = -1 i х1 = 1; 2) якщо k = 0,--< x < -, то х2 - 2х = 0 i х2 = 0; 3) якщо

3 3 3

k = 1, -1< x < —1, то х2 - 2х = 1 i хз = 1-V2 . 3

Отже, розв'язки рiвняння: 1, 0 та 1- V2 .

Рис. 4. Граф1ки функцш y =

Приклад 5. Розв'язати графiчним способом рiвняння [3x- x2] = [x2 + —

та y = х2 - 2х. 1

Аналогiчно до попереднього прикладу, будуемо графти функцм y = [3x- x2] та y= [x2 + — ]. Графти цих функцiй зображено

2

1

на фон вихiдних функцiй y = 3x- x2 та y = x2 + — вщповщно на рис. 5 та рис. 6.

Рис. 5. Графой функцш y = 3х- х2 та y = [3х- х2]

2

2

У

0 4 Д'

1

1.

Рис. 6. Графши функцiй у= х2 + — та у = [х2 + — ] .

2

2'

1

Накладаючи графти функцiй у = [Эх- х2] та у = [х2 + — ], знаходимо ординати к сптьних точок: к = 0, 1, 2.

Подальше розв'язування зводиться до знаходження розв'яз^в системи

к < 3х - х2 < к+1, 1

[3х - х2 = к,

Гх2 +1" _ 2_ або ■ = к,

к < х2 +-< к+1, 2

(1)

для кожного знайденого цтого значення к (0, 1, 2).

Так, для к=0 система (1) матиме вигляд

0 < 3х - х2 < 1, 1

0 < х2 +1 <1, 2

3х - х2 > 0, х2 - 3х +1 > 0,

х2 < 1, 2

х е [0,3]

х е —^—) и(^—,+<ю)

, 42 л/2, х е(-—,—). 2 2

i в результатi х е [0,

3-л/5,

2

Розв'язуючи аналогiчно систему (1) для к= 1, 2, отримаемо вiдповiдно х е [ ^^; 1) та х е [ ; ). А розв'язок усього

2 2 2

. г„ 3 -л/5. г 42 ,, гл/б л/10. р|вняння х е [0;-—) и[ —; 1) и[ —; --).

2 2 2 2

Приклад 6. Розв'язати графiчним способом рiвняння {х}2 + 2{х} = Эх2.

Будуемо графiки лiвоí та право! частин рiвняння у = {х}2 + 2{х} та у = Эх2 в однш системi координат (рис. 7). Щоб побудувати графiк функцп у = {х}2 + 2{х} використовуемо алгоритм побудови графта функцп у = /({х}): спочатку будуемо графiк функцп у =х2 + 2х на промiжку [0; 1), оскiльки на цьому промiжку {х} = х, а по™ побудовану частину повторюемо з перюдом Т= к, к

Рис. 7. Графши функцiй у = {х}2 + 2{х} та у = 3х2.

1з рис. 7 видно, що графiки лiвоí та право! частин рiвняння мають 2 сптьы точки, одна з яких е початком координат

0 (х1= 0), а абсциса шшо'( належить промiжку (-1; 0). Для даного промiжку

{х} = х - [х] = х + 1,

1 вщповщно вихiдне рiвняння запишеться у виглядi

(x+ 1)2 +2(x + 1) = 3x2, 2x2 - 4x - 3 = 0,

2 —Л0 , . 2 +V10

х2 = --— e(-1; 0), а х3 =--— ( (-1; 0).

22

. . . . 2—V10

I загальна в1дпов1дь: 0, --— .

2

Приклад 7. Розв'язати граф1чним способом р1вняння Vi+8{х} = — H+3 .

[x] 2

Для побудови графта y = Vi+8{x} застосовуемо алгоритм побудови графта функци у = /({х}) (див. приклад 5), а [x]

для побудови графта y = —— + 3 - алгоритм побудови графта функци у = /([х]), розбиваючи область визначення функци

2

на пром1жки одинично!' довжини, де цта частина числа [x] приймае одне й те саме значення:

х G [0;1), [x] = 0, у = — - + 3 = 3; х G [1; 2), [x] = 1, у = — 1 + 3 = 21 ; х е [2; 3), [x] =2, у = — - + 3 = 2; ... , 2 2 2 2

Будуемо графти л1во'| та право!' частин р1вняння y = -J 1+8{x} та y = — —+3 (рис. 8).

1 1 х G [-1; 0), [x] = -1, у = 3- ; х G [-2; -1), [x] = -2, у = 4; х G [-3; -2), [x] = -3, у = 4i, ....

2 2 Розв'язки р1вняння знаходимо ¡з наступно'1' системи р1внянь:

f[x] = k, Гk < x < k + 1,

Ь1+8{x} =— k+3 аб0 |V 1 + 8(x—k) =— k + 3,

де k- це значення цтих частин абсцис сптьних точок графив право!' та л1во'| частин р1вняння. 1з рис. 8 видно, що k = 1, 2, 3, 4.

Г1 <x <2, Г1 < x <2, 21 Î2 < x <3, Г2 <x <3, 3

1) Для k = 1: - 5 | 53 i x1 = 1— , 2) для k = 2 : I - j 19 i x2 = 2-,

р 1 + 8(x—1) = 5, jx=53, 32 У1+8(x — 2) = 2, |x = 19, 8

Г3 <x <4, Г3 <x <4, 5 j4 <x < 5, Г4 <x <5,

3) Для k = 3 : j -- 3 I 101 i x3 = 3— , 4) для k = 4 : j -- I i х4 = 4.

jV 1 + 8(x—3) = 3, I x=—, 32 у 1+8(x—4) = 1, |x = 4,

Рис. 8. Графши функцiй y = J 1+8{x} та y= — — + 3.

2

Слщ зазначити, що граф1чний метод розв'язування р1внянь, розглянутий у прикладах 3 - 7, застосовано не в «чистому» вигляд1, а в розширеному, осктьки вщбуваеться знаходження точних розв'яз^в з урахуванням умов вихщного або перетвореного р1вняння. Кр1м того, вс запропонован р1вняння можна розв'язувати i суто алгебра'|'чними методами: р1вняння з приклад1в 3, 4, 5 - за допомогою мшано!' системи, способом локал1зацп; з приклад1в 6, 7 - способом локал1зацп та за допомогою означення дробово!' частини числа. На нашу думку, при розв'язуванн цих р1внянь р1зними способами варто навмисно не акцентувати увагу на доцшьносп використання того або ¡ншого способу, даючи змогу учнев1 / студенту самоспйно обрати прийнятний для себе споаб.

ОБГОВОРЕННЯ

Шд час читання курсу «Ол1мтадна математика» (спец1альнкть 014 Середня осв1та (Математика), р1вень осв1ти -другий (мапстерський)), програмою якого передбачено вивчення застосування граф1чного способу до розв'язування

рiвнянь з цiлою та дробовою частинами, а також при тдготовц y4HiB до математичних олiмпiад з'ясовано, що найскладншими моментами графiчного способу розв'язування рiвнянь з цiлою, дробовою частинами числа е побудова графМв функцiй та алгебра'чна iнтерпретацiя отриманих графiчних даних.

ВИСНОВКИ ТА ПЕРСПЕКТИВИ ПОДАЛЬШИХ ДОСЛ1ДЖЕНЬ

Графiчний спосiб розв'язування рiвнянь та 'х систем слщ застосовувати не тiльки до запропонованих рiвнянь або, тих, що розв'язуються цим способом в регулярному кура шктьно''' математики. Це дозволить не ттьки покращити графiчну культуру учыв, розвинути вмiння застосовувати графiчний матерiал в суто алгебра'чних питаннях: вщ оцiнки кiлькостi коренiв рiвняння до його повного розв'язання, поглиблюючи та систематизуючи отриманi знання, розвиваючи лопчне та алгоритмiчне мислення, але й демонструвати взаемозв'язки рiзних роздiлiв математики та 'х взаемопроникнення.

Список використаних джерел

1. Бородш О.1.Теор1я чисел. Ки'в: Вища школа, 1970. 275 с.

2. Вiрченко Н.О., Ляшко 1.1. Граф1ки елементарних та спец1альних функц1й: довщник. Ки'в: Наукова думка,1996. 584 с.

3. Вороний О.М.Готуемось до ол/'мп/'ад з математики.Харюв: Видав. група «Основа», 2008. 225 с.

4. Одшцова О.О. Цла та дробова частини числа в завданнях елементарно)математики: навчальний поабник. Суми: ФОП Цьома С.П., 2019. 138 с.

References

1. Borodin O.I. (1970) Teoria chysel [The numbers ' theory]. Kyiv: Vyshcha shkola. [in Ukrainian].

2. Virchenko N.O., Lyasko I.I. (1996) Grafiky elementarnych ta spetsialnych funktsiy [The graphs of elementary and special functions]. Kyiv: Naukova dumka. [in Ukrainian].

3. Voronyi O.V. (2008) Gotuiemos' do olimpiad z matemamtyky [We are preparing for mathematics competitions]. Kharkiv: Publusher group "Osnova". [in Ukrainian]

4. Odintsova O.O. (2019) Tsila ta drobova chastyny chysla vzavdannyach elementarnoyi matematyky [The integer and fractional parts of numbers in elementary mathematics problems]. Sumy.[in Ukrainian].

ON THE QUESTION OF GRAPHICALLY SOLVING THE EQUATIONS CONTAINING INTERGER AND FRACTIONAL PARTS OF THE NUMBER Oksana Odintsova

Makarenko Sumy State Pedagogical University, Ukraine

Abstract. There are considered the peculiarities of applying the graphical method to solving equations containing integer and fractional part of a number in this article. This applying allows to improve the understanding of graphic material in general, the understanding the relationships of different part of mathematics and the preparing for mathematical competitions. Formulation of the problem. Little attention is paid to the graphical way of solving equations and their systems in the school mathematics course, even when studied at an advanced level.Most teachers avoid this way of solving, even when working with strong students and with material where the use of the graphic method is natural.Such are, for example, equations containing integer and fractional parts of numbers, which are constantly offered in mathematical competitions of different levels. Difficulties which are arising in the application of the graphical method to solve equations containing integer, fractional part of the number caused by the specifics of these numerical functions and the associated mathematical apparatus on the one hand, and on the other - the inability of students to graphically interpret purely algebraic material and do the reverse transition. Materials and methods. The general algebraic methods with using the basic facts of number theory, theory of elementary and special functions, the analysis of educational, methodical and mathematical literature on solving graphically equations that contain integers and fractions of the number, the analysis and generalization of own pedagogical experience and pedagogical experience of leading teachers and scientists.

Results. The peculiarities of the graphical method of solving the equations with integer and fractional parts are revealed. They are based on 4 classical algorithms for plotting the functions y=f ([x]), y = [f (x)], y = f ({x}), y = {f (x)}.It is proposed to apply this method in a slightly extended form in order to find exact solutions taking into account the conditions of the original or transformed equation. The material which are considered in the article is a part of the course "Olympic Mathematics", which is read to undergraduate students majoring in 014 Secondary Education (Mathematics), and is also offered to students in preparation for Olympiads in mathematics.

Conclusions. The graphical method of solving equations and their systems should be applied not only to the equations proposed in the article or to those solved in this way in the regular curricula of school mathematics.This will not only improve the graphic culture of students, develop the ability to apply graphic material in purely algebraic issues: from estimating the number of the equation's roots to its complete solution, deeper and systemize knowledge, develop logical and algorithmic thinking, but also to demonstrate the relationships of different parts of mathematics and their interpenetration. Keywords: graphically method, equations with integer and fractional parts of the number, algorithms for plotting the functions which are containing integer and fractional parts of the number, graphically interpretation.