CC BY
41
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н .И. Лобачевского, 2014, № 1 (1), с. 262-267
УДК 519.6
ДЛИНА ОБУЧЕНИЯ ПОРОГОВОЙ ФУНКЦИИ МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ
© 2014 г. Н.Ю. Золотых
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
zolotykh@vmk.unn.ru
Поступила в редакцию 06.11.2013
Предлагается обзор результатов о строении и мощностных свойствах минимального разрешающего множества пороговой функции ¿-значной логики.
Ключевые слова: пороговая функция, разрешающее множество, длина обучения.
1. Определения и предварительные сведения
Пороговой функцией ¿-значной логики п переменных называется такое отображение f k-
ичного п-мерного гиперкуба ЕП ={0,1,...,k- 1}п в множество {°,1} , для которого найдутся вещественные числа а°, ах,..., ап, такие, что
м ° (./)=1х=(х15 х2... хп Ь щ: ¿ах ^ а° I
j=i
где
Mv(/)={xЕEl: f(x) = v} (v = 0,1), при этом неравенство
п
S ajxj < a0
(1)
j=1
называется пороговым. Легко видеть, что коэффициенты (веса) порогового неравенства функции f можно сделать целыми. Множество всех
пороговых функций, заданных на ЕП, обозначим Т(п, k), п > 1, k > 2.
Вопросы, возникающие в ходе исследований пороговых функций, как правило, оказываются весьма сложными. Например, до сих пор не известна асимптотика величины |Т(п, k) (п ^ да).
Из результатов Л. Шлефли [1] о числе открытых областей, получаемых при разбиении п-мерного пространства т = 2п гиперплоскостями, легко получить верхнюю оценку:
Л
< 2п
п (9п— 1
|Т(п,2)<2]Г(2;1
j=0 V J
С. Яджима и Т. Ибараки [2] получили первую нетривиальную нижнюю оценку:
|Т (п,2)|> 2п2/2.
Ю.А. Зуев [3, 4] доказал, что
|Т(п,2) > 2п2(1-10/lnп>, (2)
тем самым установив асимптотику логарифма числа булевых пороговых функций:
log|Т(п,2)| ~ п2 (п — да) (3)
(log здесь и далее означает логарифм по основанию 2 ). При этом использовался следующий комбинаторно-вероятностный результат о (± 1) -матрицах, полученный А.М. Одлыжко [5]. Обозначим P(m, п) вероятность того, что в линейной оболочке строк случайной матрицы A Е {- мГ содержится хотя бы один вектор, отличный от строк матрицы A и им противоположных. Одлыжко [5] доказал, что существует такая положительная последовательность а(п)< 10/ln п, что
Р(п(1 - а(п)), п) —— 0 (п — да). (4)
Дж. Кан, Я. Комлош и Е. Семереди [6] усилили этот результат, доказав асимптотику (4) для а(п)< с / п, где с - некоторая положительная константа, т.е.
Р(п - с, п) — 0 (п — да). (5)
Отсюда следует усиление неравенства (2):
Т(п 2) > 2п-пlog п-о(п)
Более того, в [6] выдвинута гипотеза, что (5) имеет место уже при с = 1. Как показано в [6, 7], в случае справедливости этой гипотезы конструкция Зуева для получения нижней оценки
величины \Т (п,2)| приводит к асимптотическому равенству
2п2
|Т(п,2)| ~ 2 —j- (п — да).
Другой подход к получению асимптотики логарифма (3), также использующий лемму Од-лыжко [5], предложил А.А. Ирматов [8].
Обстоятельный обзор результатов по пороговым булевым функциям и пороговым представлениям булевых функций содержится в [9].
Для числа пороговых функций k-значной логики А.А. Ирматов и Ж.Д. Ковиянич [10] получили нижнюю оценку
Л V
V
2n
log kn + 4
k
' kn
n - 4 - 2n /log k n j
справедливую для достаточно больших n. Отсюда и из оценки Шлефли получается асимптотика логарифма числа таких функций:
log|Т(n, k| ~ n1 log k (n ^ да).
Для пороговых функций k-значной логики двух переменных в [11] получена оценка:
6k 4
Т(2, k) = —г + O(k3 log k) (k ^ да)
%
Множество T с El называется разрешающим для функции f е Т(n, k), если для любой другой функции g е Т (n, k) найдется x е T, такой, что f (x)^ g (x). Разрешающее множество T функции f называется тупиковым или неприводимым, если никакое собственное подмножество множества T не является разрешающим для функции f. Разрешающее множество функции f минимальной мощности называется ее наименьшим разрешающим множеством. Точка x е E1 называется существенной для функции f е Т(n, k), если найдется функция g е Т (n, k), отличная от f только в точке x. Очевидно, что любая существенная точка принадлежит всякому разрешающему множеству заданной пороговой функции.
Мощность минимального разрешающего множества пороговой функции f обозначим
ст(f). Длиной обучения называется величина
CT('nk )=ж)f)'
Средней мощностью минимального разрешающего множества называется
(n, k )<
1
CTl n
I—1—¥ У |ст'
|V(n, k) f £(n,k)
(f ).
Conv X - выпуклая оболочка множества X, а Cone X - коническая оболочка этого множества (множество всех неотрицательных линейных комбинаций).
2. Длина обучения и строение минимального разрешающего множества
Следующее построение хорошо известно в пороговой логике (см., например, [4, 12]). С каждой функцией f е Т(n, k) в пространстве весов a0,aj,...,anсвяжем так называемый конус C(f) разделяющих функционалов, заданный как множество решений следующей системы:
У ajxj < a0 для всех (x1, x2,... ,xn )e M0 (f )
У ajxj < a0
j=1
n
У ajxj > a
„ j=1
(6)
У ajxj > a0 для всех (x1,x2,...,xn)e M1 (f ) j=i
Пусть T œ Mv (f ) ( v = 0,1). Рассмотрим
подсистему системы (6):
Уajxj <a0 для всех (x1,x2,...,xn)eT0;
j=1
ajxj > a0 для всех ^x1,x2,...,xn)e
(xl,
n )e T,.
(7)
j=1
Утверждение. Для того чтобы множество Т = т° , Ту с му (/) (у = 0,1), было разре-
шающим для / е Т(п, k), необходимо и достаточно, чтобы система неравенств (6) была эквивалентна системе неравенств (7).
Можно доказать, что в системе (7) найдется минимальная подсистема, эквивалентная всей системе:
У ajxj < a0 для всех (x1,x2,...,xn)e T0(f ),
j=1
У ajXj > a0 для всех (x1, x2,., xn ) e T1 (f )
j=1
(8)
В работе приводится обзор основных результатов о строении разрешающего множества и об оценках длины обучения пороговых функций. В разделе 2 рассматриваются пороговые функции, зависящие от n переменных. В разделе 3 исследуется специальный случай n = 2.
Если P - полиэдр (выпуклое многогранное множество) в Rn, то будем обозначать через Vert P множество его вершин. Если X œ Rn, то
Следствие 1. Для любой / е Т(п, k) множество Т = Т° ^ Т1, где Ту с Му(п, к) (у = 0,1), является тупиковым разрешающим тогда и только тогда, когда Ту =Ту(/) (у = 0,1).
Следствие 2. Для любой / е Т(п, к) существует единственное тупиковое разрешающее множество Т (/ ) = Т (/ )и Т (/). Оно совпадает с множеством всех существенных точек функции /.
Таким образом, ст(п, к) можно интерпретировать как максимальное число соседних пороговых функций, а ст(п, к) - их среднее число.
Теорема 1 [12]. Для любой функции
/ є Т(п, k)
Tv(/ )ç Vert M v(f ) (v = 0,1).
Оценивая |Vert ConvMv(f ) сверху, В.Н. Шевченко [12] доказал, что
ст(п, к )< 2n logn (к +1).
Более точную (при фиксированном п ) оценку получил T. Hegedüs [13] на основе результатов [14] о числе вершин в неявно заданных целочисленных полиэдрах:
а(п, к) = o(logп-1к) (к ^ да). (9)
Полиэдр называется целочисленным, если все его вершины целые. Рассмотрим полиэдр P = {х є Жп : Ax < b}, где A є Z"xn, b є Zm, и «неявно заданный» целочисленный полиэдр Pz = Conv (p ^ Zп ). Проблемой получения оценок величины | Vert Pz | занимались В.Н. Шевченко, С.И. Веселов, А.Ю. Чирков, A.S. Hayes,
D.C. Larman, I. Bârâny, R. Howe, L. Lovâsz, W. Cook, M. Hartmann, R. Kannan, C. McDiarmid и др., см. обзор работ в [15].
Полностью структуру T(/) описывают теоремы 2 и 4 ниже.
Теорема 2 [16, 17]. Для любой функции / є Т(п, к)
то(/ )=т (g)=Vert Conv іx є ei : ÿ
a, ac\
а-х-=а01,
где g = 1 - / и объединение берется по всем а = (а1, а2,..., ап), а0, таким, что неравенство (1) является пороговым для функции /.
На основе теоремы 2 в [16, 17] получена первая нетривиальная оценка для ст(п, к) снизу.
Теорема 3 [16, 17]. При любом фиксированном п > 2
о(п, к) = п(^п-2 к) (к ^ да). (10)
Прогресс на пути построения более точных верхних и нижних оценок для ст(п, к) долгое время происходил за счет использования новых результатов о числе вершин в неявно заданных целочисленных полиэдрах. Все полученные на этом пути оценки, тем не менее, имели при фиксированном п тот же вид, что и (9), (11) -уточнялась лишь мультипликативная константа. В частности, в [18] получена двусторонняя оценка:
log к - п - 3 - (п - 1)^(п - 2)
Долгое время недоказанной оставалась гипотеза ст n k ) = 0(l°gn~2 k ) (пр и любом фиксированном n > 2 ). На пути к ее доказательству в [19] предложена новая характеризация T(f ). Обозначим K (f )= Cone (Mj( f ) - M0( f )) F (f) = = ConvMо (f ) - K (f ), F (f ) = ConvM! (f ) + K (f ).
Теорема 4 [19]. Для любой функции
f G T (n, k )
Tv(f ) = Vert Fv(f ) (v = 0,1). Следствие. Пусть f G T (n, k ) , ^ y G Tv(f) (v = 0,1), x ^ y. Тогда
2x - y Й Fo (f)u F (f). (11)
К сожалению, удобного описания F0 (f )u u F (f ) не известно. Рассмотрим, однако, множество T' (n, k) таких пороговых функций из T (n, k), для каждой из которых найдется пороговое неравенство (1) с целыми коэффициентами, такими, что 0 < a0 < aj (k -1) (j = 1,2, — , n). Для
любой f G T' (n, k) имеем (F>( f ) F,( f )) n n Zn = Z+, где Z+ - множество неотрицательных целых чисел. Тогда условие (11) превращается в свойство разделенности, введенное В.Н. Шевченко в [20] в связи с исследованием задачи о числе вершин неявно заданных целочисленных полиэдров. Говорят, что множество G с Z+ обладает свойством разделенности, если из условий x, y g G , x Ф y следует 2x - y g Z + .
Теорема 5 [20]. Пусть множество N с Z” обладает свойством разделенности и для каждого х = (х1, х2,..., хп) е N выполнено а < х- < Р-
(- = 1,2,.,п -1), где а1,а2,...,ап-1, Р1, Р2,.,Рп-1 - неотрицательные числа, тогда
, ii Р+ 2 Щ <^1 + log J
,=1
а +1
4(п -1)3п-1 (п - 2)п-2 ((п - 2)!)2
< ст(п, к) < 2п log(2n)(l + log^ + 1))п-1.
Теорема 5 позволяет доказать следующий результат о мощности T (f), если f е Т' (n, k) Теорема 6 [19]. Для любой f е Т'(n,k) при
и > 2
T (f) < n(1 + log n)(1 + log(k + 1))n-2 (v = 0,1).
Для уточнения верхней оценки |T(f) в общем случае полезным оказалось понятие неприводимой точки. Пусть P - полиэдр в Жn. Точка x е P n Zn называется неприводимой в P (а точнее: в Pn Zn), если x нельзя представить в
п-2
Рис. 1. Разбиение первой четверти плоскости весов а1,а2 прямыми а1х1 + а2 х2 =1 , где (х1, х2 )е
е{1,2,.,4}2
виде x = (y + z )/ 2 ни для каких двух различных y и z из P n Zn. Легко видеть, что любая вершина в Conv (p n Zn ) является неприводимой в P. Обратное в общем случае неверно. Тем не менее, эти понятия близки, как показывают оценки числа вершин и числа неприводимых точек.
Теорема 7 [21]. Пусть P = {x g Жп :Ax< b],
где A G ZmXK, b G Zm и P n Zn ç El. Если N -множество неприводимых точек в P , тогда при любом фиксированном n
N = 0(mn/2 logn-1 k) (k ^ да).
В [21] эта теорема используется для получения лучшей верхней оценки для ст(п, k ).
Теорема 8 [21]. При любом фиксированном
n>2
ст(п, k) = o(logn-2 k) (k ^ да).
Из теорем 3, 8 получаем, что для любого фиксированного n > 2
ст(п,k) = ©(logn-2 k) (k ^ да).
M. Antony, G. Brightwell, D. Cohen, J. Shawe-Taylor [22] получили верхнюю оценку средней мощности минимального разрешающего множества булевых пороговых функций:
ст(п,2)< n2.
Этот результат можно обобщить (см. [23]) на случай пороговых функций k-значной логики:
ст(п, k)< n2 log k.
3. Длина обучения пороговой функции двух переменных
Известно, что возможные значения мощности наименьшего разрешающего множества пороговой функции, зависящей от двух переменных, суть 3 и 4 . Таким образом, справедлива
Теорема 9 [16, 24]. Для любого к > 2 ст(2, к )= 4.
Более того, среднее значение мощности наименьшего разрешающего множества пороговой функции двух переменных асимптотически равно 7/2.
Теорема 10 [25].
Пересекая конусы разделяющих функционалов для всех пороговых функций из Т(2, k) в
пространстве весов a0,a1, a2 с плоскостью a0 = 1, получаем интересное геометрическое следствие.
Теорема 11. Среди ограниченных областей, получаемых при разбиении плоскости весов a1, a2 всеми прямыми alxl + a2 x2 =1, где
(xj, x2 )е{0,1,..., k -1}2, встречаются только треугольники и четырехугольники, причем их количества асимптотически равны.
Аналогичный результат получается, если разбивать плоскость весов a1, a2 прямыми
a1x1 + a2 x2 =1, где (x1, x2 )е{1,2,., k}2 и т.п. В частности, на рис. 1 представлено разбиение указанными прямыми первой четверти плоскости.
Список литературы
1. Schlafli L. Gesammelte mathematisce Abhanglugen. Band 1. Basel: Verlag Birkhauzer, 1950.
2. Yajima S., Ibaraki T. A lower bound of the number of threshold functions // IEEE Trans. on Electronic Comput. 1965. V. 14. № 6. P. 926-929.
3. Зуев Ю.А. Асимптотика логарифма числа пороговых функций алгебры логики // Доклады АН СССР. 1989. Т. 306. № 3. С. 528-530.
4. Зуев Ю.А. Комбинаторно-вероятностные и геометрические методы в пороговой логике // Дискретная математика. 1991. Т. 3. № 2. С. 47-57.
5. Odlyzko A.M. On subspaces spanned by random selection of +1 vectors // J. Combin. Theory, A. 1988. V. 47. № 1. С. 124-133.
6. Kahn J., Komlos J., Szemeredi E. On the probability that a random +1 -matrix is singular // J. American Math. Society. 1995. V. 8. № 1. P. 223-240.
7. Зуев Ю.А. По океану дискретной математики: От перечислительной комбинаторики до современной криптографии. В 2 тт. М.: Либрокомб, 2012.
8. Ирматов А.А. О числе пороговых функций // Дискретная математика. 1993. Т. 5. № 3. С. 40-43.
9. Зуев Ю.А. Пороговые функции и пороговые представления булевых функций // Матем. вопросы кибернетики. Вып. 5. М.: Физматлит, 1994. С. 5-61.
10. Ирматов А.А., Ковиянич Ж.Д. Об асимптотике логарифма числа пороговых функций А>значной логики // Дискретная математика. 1998. Т. 10. № 3. С. 35-56.
11. Koplowitz J., Lindenbaum M., Bruckstein A.M. The number of digital straight lines on an N x N grid // IEEE Trans. Inform. Theory. 1990. V. 36. P. 192-197.
12. Шевченко В.Н. О некоторых функциях многозначной логики, связанных с целочисленным программированием // Методы дискретного анализа в теории графов и схем. Вып. 42. Новосибирск: Ин-т матем. СО АН СССР, 1985. С. 99-108.
13. Hegedus T. Geometrical concept learning and convex polytopes // Proc. 7th Ann. ACM Conf. on Computational Learning Theory. New York: ACM Press, 1994. P. 228-236.
14. Cook W., Hartmann M., Kannan R., McDiarmid C. On integer points in polyhedra // Combinatorica. 1992. V. 12. № 1. P. 27-37.
15. Веселов С.И., Чирков А.Ю. Оценки числа вершин целых полиэдров // Дискретный анализ и исследование операций. Серия 2. 2007. Т. 14. № 2. C. 14-31.
16. Шевченко В.Н., Золотых Н.Ю. О сложности расшифровки пороговых функций А>значной логики // Доклады Академии наук. 1998. Т. 362. № 5. C. 606608.
17. Золотых Н.Ю., Шевченко В.Н. О нижней оценке сложности расшифровки пороговых функций k-значной логики // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1999. Т. 39. № 2. С. 346-352.
18. Золотых Н.Ю. Оценки мощности минимального разрешающего множества пороговой функции многозначной логики // Матем. вопросы кибернетики. Вып. 17. М.: Физматлит, 2008. С. 159-168.
19. Золотых Н.Ю., Чирков А.Ю. О верхней оценке мощности минимального разрешающего множества пороговой функции // Дискретный анализ и исследование операций. 2012. Т. 19. № 5. С. 35-46.
20. Шевченко В.Н. О числе крайних точек в целочисленном программировании // Кибернетика. 1981. № 2. С. 133-134.
21. Chirkov A.Yu., Zolotykh N.Yu. On the number of irreducible points in polyhedral // arXiv:1306.4289. 2013.
22. Antony M., Brightwell G., Shawe-Taylor J. On exact specification by labelled examples // Discrete Applied Mathematics. 1995. V. 61. № 1. С. 1-25.
23. Вировлянская М.А., Золотых Н.Ю. Верхняя оценка средней мощности минимального разрешающего множества пороговой функции многозначной логики // Вестник Нижегород. ун-та им. Н.И. Лобачевского. Матем. моделирование и оптимальное управление. 2003. № 1. С. 238-246.
24. Золотых Н.Ю. О сложности расшифровки пороговых функций, зависящих от двух переменных // Материалы XI Межгосударственной школы-семинара «Синтез и сложность управляющих систем». Часть I. М.: Изд-во Центра прикладных исследований при механико-матем. ф-те МГУ, 2001. С. 74-79.
25. Alekseyev M.A., Basova M.G., Zolotykh N.Yu. The average cardinality of the minimal teaching set of a threshold function on a two-dimensional rectangular grid // arXiv:1307.1058. 2013.
TEACHING DIMENSION OF THRESHOLD FUNCTION OF MANY-VALUED LOGIC
N. Yu. Zolotykh
An overview of the results on structural and cardinality properties of a minimal teaching set of a threshold function of ¿-valued logic is presented.
Keywords: threshold function, teaching set, teaching dimension.
References
1. Schläfli L. Gesammelte mathematisce Abhanglugen. Band 1. Basel: Verlag Birktauzer, 1950.
2. Yajima S., Ibaraki T. A lower bound of the number of threshold functions // IEEE Trans. on Electronic Comput. 1965. V. 14. № 6. P. 926-929.
3. Zuev Ju.A. Asimptotika logarifma chisla poro-govyh funkcij algebry logiki // Doklady AN SSSR. 1989. T. 306. № 3. S. 528-530.
4. Zuev Ju.A. Kombinatorno-verojatnostnye i geo-metricheskie metody v porogovoj logike // Dis-kretnaja matematika. 1991. T. 3. № 2. S. 47-57.
5. Odlyzko A.M. On subspaces spanned by random selection of +1 vectors // J. Combin. Theory, A. 1988. V. 47. № 1. C. 124-133.
6. Kahn J., Komlös J., Szemeredi E. On the probability that a random +1 -matrix is singular // J. American Math. Society. 1995. V. 8. № 1. P. 223-240.
7. Zuev Ju.A. Po okeanu diskretnoj matematiki: Ot perechislitel'noj kombinatoriki do sovremennoj kripto-grafii. V 2 tt. M.: Librokomb, 2012.
8. Irmatov A.A. O chisle porogovyh funkcij // Diskretnaja matematika. 1993. T. 5. № 3. S. 40-43.
9. Zuev Ju.A. Porogovye funkcii i porogovye preds-tavlenija bulevyh funkcij // Matem. voprosy kibernetiki. Vyp. 5. M.: Fizmatlit, 1994. S. 5-61.
10. Irmatov A.A., Kovijanich Zh.D. Ob asimptotike logarifma chisla porogovyh funkcij k-znachnoj logiki // Diskretnaja mate-matika. 1998. T. 10. № 3. S. 35-56.
11. Koplowitz J., Lindenbaum M., Bruckstein A.M. The number of digital straight lines on an N x N grid // IEEE Trans. Inform. Theory. Ш0. V. З6. P. Ш-Ш.
12. Shevchenko V.N. O nekotoryh funkcijah mno-goznachnoj logiki, svjazannyh s celochislennym pro-grammirovaniem // Metody diskretnogo analiza v teorii grafov i shem. Vyp. 42. No-vosibirsk: In-t matem. SO AN SSSR, ^83. S. 99-108.
13. Hegedüs T. Geometrical concept learning and convex polytopes // Proc. 7th Ann. ACM Conf. on Computational Learning Theory. New York: ACM Press, Ш4. P. 228-2З6.
14. Cook W., Hartmann M., Kannan R., McDiarmid C. On integer points in polyhedra // Combinatorica. Ш2. V. і2. № і. P. 27-З7.
іЗ. Veselov S.I., Chirkov A.Ju. Ocenki chisla vershin celyh polijedrov // Diskretnyj analiz i issledovanie ope-racij. Serija 2. 2007. T. і4. № 2. C. і4-Зі.
16. Shevchenko V.N., Zolotyh N.Ju. O slozhnosti ras-shifrovki porogovyh funkcij k-znachnoj logiki // Doklady Akademii nauk. 1998. T. З62. № 3. C. 606-608.
17. Zolotyh N.Ju., Shevchenko V.N. O nizhnej ocenke slozhnosti rasshifrovki porogovyh funkcij k-znachnoj logiki // Zhurn. vychisl. matem. i matem. fiziki. ^Q. T. 39. № 2. S. З46-ЗЗ2.
18. Zolotyh N.Ju. Ocenki moshhnosti minimal'-nogo razreshajushhego mnozhestva porogovoj funkcii mno-goznachnoj logiki // Matem. voprosy kibernetiki. Vyp. і7. M.: Fizmatlit, 2008. S. 139-168.
19. Zolotyh N.Ju., Chirkov A.Ju. O verhnej ocenke moshhnosti minimal'nogo razreshajushhego mnozhestva porogovoj funkcii // Diskretnyj analiz i issledovanie ope-racij. 20і2. T. W. № 3. S. ЗЗ-46.
20. Shevchenko V.N. O chisle krajnih tochek v ce-lochislennom programmirovanii // Kibernetika. 1981. № 2. S. іЗЗ-іЗ4.
21. Chirkov A.Yu., Zolotykh N.Yu. On the number of irreducible points in polyhedral // arXiv:1306.4289. 20іЗ.
22. Antony M., Brightwell G., Shawe-Taylor J. On exact specification by labelled examples // Discrete Applied Mathematics. ШЗ. V. 6і. № і. С. і-23.
23. Virovljanskaja M.A., Zolotyh N.Ju. Verhnjaja ocenka srednej moshhnosti minimal'nogo razreshajush-hego mnozhestva porogovoj funkcii mnogoznachnoj logiki // Vestnik Nizhegorod. un-ta im. N.I. Lobachevskogo. Matem. modelirovanie i optimal'noe upravlenie. 200З. № і. S. 2З8-246.
24. Zolotyh N.Ju. O slozhnosti rasshifrovki porogovyh funkcij, zavisjashhih ot dvuh peremennyh // Materialy XI Mezhgosudarstvennoj shkoly-seminara «Sintez i slozhnost' upravljajushhih sistem». Chast' I. M.: Izd-vo Centra prikladnyh issledovanij pri mehaniko-matem. f-te MGU, 200і. S. 74-7Q.
23. Alekseyev M.A., Basova M.G., Zolotykh N.Yu. The average cardinality of the minimal teaching set of a threshold function on a two-dimensional rectangular grid // arXiv:1307.1058. 20іЗ.
