CC BY-NC
13
DOI: 10.24937/2542-2324-2021-4-398-24-34 УДК 532.582.2:678.067+620.168.3
Б.А. Ярцев1 , B.M. Рябов2, Л.В. Паршина1
1 ФГУП «Крыловский государственный научный центр», Санкт-Петербург, Россия
2 Санкт-Петербургский государственный университет, Россия
ДИССИПАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ТРЕХСЛОЙНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СТРУКТУР. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Объект и цель научной работы. Объектом исследования является трехслойная пластина, образованная двумя «жесткими» анизотропными слоями и «мягким» средним изотропным слоем из вязкоупругого полимера. Каждый жесткий слой представляет собой анизотропную структуру, формируемую конечным числом произвольно ориентированных ортотропных вязкоупругих слоев композитов. Цель работы - построение математической модели трехслойной пластины.
Материалы и методы. Математическая модель затухающих колебаний трехслойной пластины строится на основе использования вариационного принципа Гамильтона, теории многослойных конструкций Болотина, уточненной теории пластин первого порядка (теории Рейсснера - Миндлина), модели комплексных модулей и принципа упруго-вязкоупругого соответствия в линейной теории вязкоупругости. При описании физических соотношений материалов жестких слоев влияние частоты колебаний и температуры окружающей среды считается пренебрежимо малым, в то время как для мягкого слоя вязкоупругого полимера учет температурно-частотной зависимости упруго-диссипативных характеристик выполняется на основе экспериментально определенных обобщенных кривых.
Основные результаты. Минимизация функционала Гамильтона позволила свести задачу о затухающих колебаниях анизотропной трехслойной пластины к алгебраической проблеме комплексных собственных значений. В качестве частного случая общей задачи путем пренебрежения деформированием срединных поверхностей жестких слоев в одном из направлений осей жестких слоев трехслойной пластины получены уравнения продольных и поперечных затухающих колебаний глобально ортотропного трехслойного стержня.
Заключение. В продолжении статьи будет описан метод численного решения задачи о затухающих колебаниях анизотропной трехслойной пластины, приведены оценки его сходимости и достоверности, а также обсуждены результаты численных экспериментов.
Ключевые слова: пластина, композит, анизотропия, вязкоупругий полимер, температурно-частотная зависимость, связанные колебания, собственная частота, коэффициент механических потерь. Авторы заявляют об отсутствии возможных конфликтов интересов.
DOI: 10.24937/2542-2324-2021-4-398-24-34 UDC 532.582.2:678.067+620.168.3
В. Yartsev1 , V. Ryabov2, L. Parshina1
1 Krylov State Research Centre, St. Petersburg, Russia
2 St. Petersburg State University, Russia
DISSIPATIVE PROPERTIES OF COMPOSITE STRUCTURES. 1. STATEMENT OF PROBLEM
Object and purpose of research. The object under study is a sandwich plate with two rigid anisotropic layers and a filler of soft isotropic viscoelastic polymer. Each rigid layer is an anisotropic structure formed by a finite number
Для цитирования: Ярцев Б.А., Рябов В.М., Паршина Л.В. Диссипативные свойства трехслойных композитных структур.
1. Постановка задачи. Труды Крыловского государственного научного центра. 2021; 4(398): 24-34. For citations: Yartsev B., Ryabov V., Parshina L. Dissipative properties of composite structures. 1. Statement of problem.
Transactions of the Krylov State Research Centre. 2021; 4(398): 24-34 (in Russian).
of orthotopic viscoelastic composite plies of arbitrary orientation. The purpose is to develop a mathematical model of sandwich plate.
Materials and methods. The mathematical model of sandwich plate decaying oscillations is based on Hamilton variational principle, Bolotin's theory of multilayer structures, improved theory of the first order plates (Reissner-Mindlin theory), complex modulus model and principle of elastic-viscoelastic correspondence in the linear theory of viscoelasticity. In description of physical relations for rigid layers the effects of oscillation frequencies and ambient temperature are considered as negligible, while for the soft viscoelastic polymer layer the temperature-frequency relation of elastic-dissipative characteristics are taken into account based on experimentally obtained generalized curves.
Main results. Minimization of the Hamilton functional makes it possible to reduce the problem of decaying oscillations of anisotropic sandwich plate to the algebraic problem of complex eigenvalues. As a specific case of the general problem, the equations of decaying longitudinal and transversal oscillations are obtained for the globally orthotropic sandwich rod by neglecting deformations of middle surfaces of rigid layers in one of the sandwich plate rigid layer axes directions.
Conclusions. The paper will be followed by description of a numerical method used to solve the problem of decaying oscillations of anisotropic sandwich plate, estimations of its convergence and reliability are given, as well as the results of numerical experiments are presented.
Key words: plate, composite, anisotropy, viscoelastic polymer, temperature-frequency relation, coupled oscillations, natural
frequency, mechanical loss factor.
The authors declare no conflicts of interest.
Введение
Introduction
Одним из преимуществ композитных конструкций являются высокие демпфирующие свойства. Поскольку характерные для конструкционных композитов уровни диссипации энергии превосходят аналогичные показатели для металлов и сплавов на 1-2 десятичных порядка, то, в отличие от конструкций из традиционных материалов, демпфирование в композитных конструкциях рассматривается не как полезный вторичный эффект, а как один из основных параметров проектирования [1-3]. Этим и объясняется устойчивый интерес к проблеме рассеяния энергии при колебаниях слоистых композитных конструкций, подтверждаемый рядом обзоров, содержащих анализ работ на данную тему [1-7]. Отметим, что основная масса статей посвящена созданию математических моделей, а также расчетному и экспериментальному исследованию влияния составов и структур армирования композита, граничных условий и температурных режимов эксплуатации на демпфирующую способность композитов.
Выполненные исследования позволили установить диапазоны изменения диссипативных характеристик конструкционных композитов в зависимости от перечисленных факторов и показать недостаточность реализуемых уровней рассеяния энергии для снижения амплитуд резонансных колебаний некоторых композитных конструкций до требуемых величин. Поэтому появились предложе-
ния по способам существенного повышения диссипации энергии за счет введения в состав слоистой структуры вязкоупругих материалов (VDM -viscoelastic damping material) [8].
Известны два основных способа введения в состав слоистой структуры вязкоупругих материалов. Первый состоит в нанесении на одну из наружных поверхностей слоистой структуры слоя «жесткого» изотропного вязкоупругого полимера (extensional damping, free layer damping) [9-11]. Второй способ предполагает создание композитных структур, внутри которых размещены слои «мягких» вязкоупругих полимеров (CLD -constrained layer damping) [12-18]. Используемое здесь деление полимеров на жесткие и мягкие условно и определяется отношением температуры эксплуатации (температуры окружающей среды) TC к температуре стеклования полимера Tg. При TC /Tg < 1 полимер считается жестким, а при TC /Tg ~ 1 - мягким.
Очевидно, что бесконечное многообразие возможных вариантов составов неоднородных по толщине структур, в которые включены слои мягких вязкоупругих полимеров, порождает необходимость прогнозирования их демпфирующей способности на основе использования методов математического моделирования, позволяющих учитывать как особенности распределения вязкоупругого материала по объему конструкции, так и температурно-частотный режим ее эксплуатации. Последнее обстоятельство и послужило причиной написания данной работы.
Модель затухающих колебаний трехслойной анизотропной пластины
Model of decaying oscillations of anisotropic sandwich plate
Рассматривается безопорная прямоугольная пластина, образованная двумя жесткими анизотропными слоями и мягким средним изотропным слоем из вязкоупругого полимера (рис. 1). Каждый жесткий слой представляет собой анизотропную структуру, формируемую конечным числом произвольно ориентированных ортотропных вязкоупругих слоев композитов. Проскальзывание между слоями отсутствует.
Математическая модель затухающих колебаний трехслойной пластины строится на основе теории слоистых регулярных структур, предложенной в [19]. В соответствии с этой теорией жесткие слои воспринимают основные усилия в плоскости армирования, а мягкий средний слой отвечает за поперечный сдвиг. Деформация слоистой конструкции полностью определяется перемещениями жестких слоев, для каждого из которых учитывается влияние поперечного сдвига в соответствии с уточненной теорией пластин первого порядка (теорией Рейсснера - Миндлина).
На поверхностях контакта жестких и мягкого слоев выполняются условия непрерывности перемещений, в то время как поля деформаций могут иметь разрывы. В частности, на границе жесткого и мягкого слоев претерпевают разрыв деформации егг, £хг и еуг. Срединные плоскости жестких слоев совмещаются с глобальными системами координат X(r)y(r) z(r) (рис. 1). Здесь и в дальнейшем
Рис. 1. Трехслойная пластина Fig. 1. Sandwich plate
индексы г = 1, 3, заключенные в круглые скобки, соответствуют жестким слоям, а маркируемый квадратными скобками индекс г = 2 соответствует мягкому слою.
В соответствии с уточненной теорией пластин первого порядка элементы вектора перемещений г-го жесткого слоя описываются соотношениями:
U(r) (x, y, z, t) = u(r) (x, y, t) + z(r) a(r) (x, y, t), V(r) (x, y, z, t) = v(r) (x, y, t) + Z(r) P(r) (x, y, t),
(1)
W(r)(x, y, z, t) = w(r)(x, y, t)
(r )(
(г) (г) (г)
где и , V , ^ ' - линейные перемещения срединной поверхности в направлениях осей Х(г), у (г), х г)', а(г), р(г) - углы поворота относительно осей у(г) и Х(г).
Элементы вектора перемещений мягкого слоя выражаются через элементы векторов перемещений жестких слоев (г = 1, 3) при = И^) /2 и г(3) = = -И(з) /2, где И(1) и И(3) - толщины жестких слоев:
и[2](х, у, г, г) = м[2](х,у, г) + г[2] а[2] (х,у, г), V[2] (Х, у, х, г) = у[2] (Х, у, г) + Х[2] р[2] (Х, у, г),
W[2](Х,у, X, г) = ^[2](Х, у, г) + Х[2] у[2] (Х,у, г).
Здесь
u[2] =-
j2]
v[2] =-
У( 1) р^ = —
/?[2]
u(1) + u(3) +1 (^a(1) - h(3)a(3) ) u(3) - u(1) -1 (h(3)а(3) + h(1)a(1) )
v(1) + v(3) + i(h0)P(1) - h(3)P(3) ) v(3) - v(1) - i (h(3)P(3) + h(Dp(1) )
i (w
w[2] = - w(3) + w(1)
)• y[2]= ¿ (
w(3) - w(1)
[2]
),
где h[2] - толщина мягкого слоя.
Элементы вектора деформаций связаны с элементами вектора перемещений г-го жесткого слоя (1) соотношениями
ie(r У °xx fe(r xx fk (r ) kxx
e(r ) e(r ) k (r ) kyy
&(Г ) • = ■ e(r ) V ■ + Z(r )' k (r ) Kyz
e(r ) xz k (r ) xz
e(r ) ХУ e(r ) xy k (r ) "xy
aix)
vy) PS?
p(r )+W;) Z(r )' 0
a(r ) + w(; ) 0
u(;) + Vx \ ay+p? ,
(2)
где (...),х, (...), у - символы частных производных по пространственным переменным х, у.
Поскольку для мягкого слоя учитываются только деформации обжатия и поперечного сд то вектор деформаций записывается в виде
is[2]" zz W2] czz 0
s ra ■ = ■ vz2]+ry2] e[2] yz ■ + z[2]' kУ?
s[2] xz ^[z] + ^x2] e[2] xz .42],
где
Л2]
— (w(3) - w(1)) h[2]
h[7]
"[2]
'- 2 (h(3)P(3)+h(i)P(i) )]+2 №+w, > - 2 (h(3)а(3) + h(i)а(1) )]+ 1 (w® + w
0 0
kУ2] kx2], 1 h[2] (3) w , y (3) w , x - w(1) . y - w(1) , x
При произвольной ориентации ортотропного слоя композита относительно связанной с направлениями осей г-го жесткого слоя глобальной системы координат х(г)у(г) 2{г) происходит изменение класса его упругой симметрии - ортотропный материал трансформируется в моноклинный. Тогда,
учитывая, что в двумерной теории пластин пренебрегают трансверсальными нормальными напряжениями (с = 0), физические соотношения для компонуемого в состав г-го жесткого слоя к-го моноклинного слоя композита записываются в виде [20-21]
(3)
Здесь
йы = йы (I, Тс) = Яе й1т (I, Тс) +1 • 1т йы (/, Тс) = = Яе (1, Тс)[1 +' • Пы(1, Тс)] - элементы комплексной матрицы жесткости моноклинного слоя композита в связанной с направлениями осей г-го жесткого слоя глобальной системе координат
х(г) у(г) 2(г).
0 xx Qii Q12 0 0 Qi6 sxx
0 yy Q12 Q22 0 0 Q26 syy
0 yz = 0 0 Q44 Q45 0 ■ Syz
0 xz 0 0 Q45 Q55 0 sxz
0 xy. ( k ) _Qi6 Q26 0 0 Q66. (k ) sxy.
Qii
Qi2
Q22
Q66
• Qi6
Q26
Q44
Q45
Q55. (k )
■ 4 m 2m7 n7 n4 4m7 n7 0 0
m7 2 n 4 4 m + n 7 7 m n -4m7 n7 0 0
4 2m2 n2 4 m 4m7 n7 0 0
m7 n7 -2m2 n2 7 7 m n (m7 - n7)7 0 0
= m 3n - mn(m2 - n7) - mn3 -2mn(m7 - n7 ) 0 0
тП mn(m2 - n7 ) -m3n 2mn(m7 - n7 ) 0 0
0 0 0 0 m7 n7
0 0 0 0 -mn mn
0 0 0 0 n 7 m7
(k )
Qii
Q12 Q22
Qee Q44
Q55
(4)
(к )
X
где /- частота колебаний; Тс - температура окружающей среды; т = cos0; п = sin0, 0к(г) - угол ориентации локальной системы координат 123 к-го орто-тропного слоя композита относительно глобальной системы координат г-го жесткого слоя Х(г) у(г) 2(гу
В общем случае ()т = Тс), между тем известно, что при Тс < Тш (Тш - температура стеклования) температурно-частотная зависимость упруго-диссипативных характеристик конструкционных полимерно-композитных материалов пренебрежимо мала [1-7, 22]. Поэтому далее при определении вещественных и мнимых частей элементов комплексной матрицы жесткости слоев композита учитывается лишь влияние их ориентации относительно глобальной системы координат в соответствии с соотношениями (4). Входящие в (4) элементы вектора жесткостей ортотропного слоя композита Qlm в локальной системе координат 123 вычисляются по формулам
Qii
Qi
En
1 " v12 v21
; Q12 =-
v21e11 1 - v12 v21
v12 e22 1 - v12v21
1 - v12 v21
q44 = g23; q55 = g13; q66 = g1
температуры окружающей среды TC = const описывается полиномами вида
N М
lgRe E(f) = X Pm (lg ff'm, lg n(f) = S % (lg f)M ,
получаемыми в результате аппроксимации экспериментальных данных.
Интегрируя элементы вектора напряжений (3) по высоте каждого слоя с учетом соотношений (2) и суммируя результаты по количеству слоев, определим мембранные усилия, изгибающие моменты и сдвиговые усилия, возникающие в г-м жестком слое трехслойной пластины независимо от толщин
и ориентации слоев [20, 21]:
)
уу
)
ху
м(г)
1У± хх
м(г)
уу
мху Qr
Q(xГ)
где Ец = Яе Е„ + Нш Еп = Яе Еп (1 + /'•"%); От = Яе От + Нш От = Яе От (1 + г'Лт);
= Яе \т - комплексные модули упругости (1 = 1, 2), комплексные модули сдвига (1, т = 1, 2, 3) и коэффициенты Пуассона (1, т = 1, 2) орто-тропного слоя композита в локальной системе координат 123.
Физические соотношения для мягкого слоя изотропного вязкоупругого полимера, демонстрирующего существенную температурно-частотную зависимость упруго-диссипативных характеристик в рассматриваемом диапазоне изменения температуры окружающей среды [9-12, 20], таковы:
Q Q Е (/, Тс). vE (/, Тс).
1 - V2
Q44 = Q55 = Q66 = G( f, Tc ):
1 - V2
E ( f, Tc ) 2(1 + V) ;
где Е/ Тс) = Яе Е/ Тс) + МшЕ/ Тс) = = Яе Е(/, Тс)[1 + щ(/, Тс)]. Частотная зависимость вещественной части комплексного модуля упругости и коэффициента механических потерь вязко-упругого полимера при фиксированных значениях
A) A(r ) A(r ) B^) B( r ) 12 B(r ) 16 0 0
A(r ) A(r ) a22 A(r ) a26 B1(2r) B( r ) B22 B(r ) B26 0 0
A(r ) A(r ) A26 A66 B® B( r ) 26 B(r ) 66 0 0
B(r ) B11 B(r ) B12 B(r ) B16 d11 ) d12 D(r ) 0 0
B(r ) B12 B(r ) B22 B(r ) B26 D? d22 D(r ) d26 0 0
B(r) B16 B(r ) B26 B(r ) B66 D( r ) d26 D66 0 0
0 0 0 0 0 0 A r ) A r )
0 0 0 0 0 0 A r ) a45 4?
£) Jr )
u(y) + v(;) а(Х)
P.?
«У + P(X )
P(r) + w(;) (r )
a(r ) + w
(5)
X
Элементы матриц мембранных АЫ, смешанных Бы(г) и изгибных Ат(г) жесткостей г-го жесткого слоя вычисляются по формулам:
h(r)/2
j
- hr)/2
5 hr)/2 г 7
Aim=5 J 1 -(2wh(r))
4 - h>)/2
Qmdz, (l, m = 4,5).
При определении поперечных усилий йхг(г) и буг(г), несмотря на разрывы в свойствах материала на поверхностях отдельных слоев, вводится непрерывная весовая функция их распределения к?) = 1,25(1 - 4:?1к2) [23, 24]. Независимая аппроксимация касательных напряжений вносит лишь формальное противоречие в уточненную теорию пластин первого порядка, т.к. соотношения упругости для них выполняются интегрально по толщине пакета [24].
Потенциальная энергия деформации П(г) и кинетическая энергия Т(г) г-го жесткого слоя трехслойной пластины определяются соотношениями
=1 ! b Г^)+<у;)+(uy)+у« )-
2 0 0
+Mxx)a(x) + M^y + M%) (a« + P(xr) ) +
+ Qïz) (p(r) + w,(yr) ) + Q? (a(r) + w« )] dxdy;
T(r) = 7!b) [(u(r))7 + (V(r))7 + (w(r))7] +
2 0 0
+2/1(r ) \ù (r ) a(r ) + v(r )p(r ) ]+
■ (a(r ) )7 + (P(r ) )7 ]}dxdy,
(6)
+i.
(7)
где (... ) - символ частной производной по времени. В равенстве (7) введены следующие обозначения:
(10r ), Ii(r ), 17r )) = î j P k) (1, z(r ), z(7r ) ) dz, k=1
где рк(г) - плотность материала к-го слоя композита, входящего в состав г-го жесткого слоя трехслойной пластины.
Потенциальная энергия деформации U[2] мягкого слоя
u[7] = 1îîh[7] \e(ezz])7 + g
2 0 0 i
(am),b(m>,^ = j qm)(i, zw, z^dz, & m=(, ^ 6x
(ey7])7 + h^)7
+ G
(exz])7 + h^(42])7
■ dxdy,
(8)
где Е, О - комплексный модуль упругости и комплексный модуль сдвига вязкоупругого полимера.
Кинетическая энергия Т[2] мягкого слоя определяется соотношением
Т[2] = 1 ) | {/02] ^(«[2])2 + (¿2])2 + (^[2])2 ] +
2 о о
[(а[2] )2 + (в[2] )2 + (у[2] )2 (9)
+1
[7] |
В равенстве (9) введены следующие обозначения:
h[2]/2
(I07], Ii[7], 127]) = J P[7] (1, z[7], z2] ) dz = -h[7]/7
p[7]h[7] ,°,p[7] ^
где Р[2] - плотность вязкоупругого полимера.
Для записи уравнений затухающих колебаний трехслойной пластины используется вариационный принцип Гамильтона
t7 t7
5 j L dt = 5j(T - U ) dt = 0,
(10)
где Ь = Т- и - функция Лагранжа; Т = Т^) + + Т[2] + Т(3); и = и0) + и[2] + и(з).
Подставляя (6)-(9) в (10) и производя преобразования, включающие интегрирование по частям, получим условия стационарности функционала Гамильтона, которыми служат дифференциальные уравнения движения
х + <)у + о42] - /01) и(1) - а(1) -
p[7]h[7]
- ^ а[7]
N3)x + ^ - - /03)u(3) - /i3)a(3) -
p[2]h[2]
¿•[2] a[2]
Gh
+ M%y - Qyz + ^f- ¿-2 - /1(3)v(3) -123)p(3) +
h(3) p[2]h[2]
(
h
v[2] + P[2] 6
- 0
x + + ag -101)v(1) - i«p(1) -
(
p[2]h[2]
h
v[2] p[2] v 6
= 0,
N® + Nyy) y - Gey? - ffv(3) - /1(3)P(3) p[2]h[2
v[2] + p 6
Q® y+QXZ) x+m2] +
Gh
[2]
(e[2] - k[2] xz, x ^ xz, x
v 6 У v
( h
[2] - k[2]
'yz, y
Уz, y
- IX'W
p[2]h[2]
( „и - ^ уИ
v 6 У
Q^Z)y + Q& - EeZ21
(11)
Gh
[2]
(e[2] + ïm. k[2]
л ( ,[2] + k[2] л
-103) w(3)
P[2]h[2]
w [2]+ ^ ym
= 0,
M£)x + M%y - Qxz + h(1) p[2]h[2] (
Gh
(ц¿4 - i(1)•(1) - i2a)a(1).
¿•[2] -^a a[2]
= 0,
и естественные граничные условия:
при xе [0, a], y = 0, b
N(1) = N(1) = M(1) = M(1)
xy yy xy yy
Gh (
+
z V
yz 6 yz
N(3) = N(3) = M(3) = M(3) = xy yy xy yy
Gh ( h
¿[2] + ^ k [2]
yz 6 yz
V
= 0,
при y е [0, b], x = 0, a
N(1) = N(1) = M(1) = M(1)
xx xy xx xy
:Q=+
Gh,
[2]
(
V
e[2] - ^rn k[2]
, ^xz 6
N(3 = N3 = M® = M(3 =
Q ) +
Gh
[2]
(
V
¿2 + ^ kx2 ] 6
0.
(12)
(13)
Предполагая, что движение трехслойной пластины происходит по квазигармоническому закону
{м(г) (х, у, t), v(г) (х, у, t), м>(г) (х, у, t), а(г) (х, у, t), в(г) (х, у, t)} = = {й(г)(х,у), V(г)(х,у), м>(г)(х,у), а(г)(х,у), в(г)(х,у)}еш,
Gh
m%x + m® -q® + ¿2 -ifu(3) -i23)a(3) ■
h(3) p[2]h[2]
+ ^ a[2]
v 6 У
= 0,
M(1) + M(1) - Q
xy, x yy, y yz
(1)
Gh
« -1(1) v(1) -1 «p(1) -
yz 1
h(1) p[2]h[2]
v-[2] -Mp
= 0,
приходим к комплексной задаче на собственные значения
(C - œ2 M ) X = 0.
(14)
Здесь ю - собственная круговая частота колебаний.
Система дифференциальных уравнений (11) и естественные граничные условия (12), (13) с учетом квазигармонического закона движения описывают связанные затухающие колебания трехслойной безопорной прямоугольной пластины, образованной двумя жесткими анизотропными слоями и мягким средним изотропным слоем вязкоупруго-
+
го полимера. Связанность колебаний, порождаемая как неоднородностью по толщине структуры, так и произвольностью ориентации слоев ортотроп-ных вязкоупругих конструкционных полимерно-композитных материалов относительно глобальных систем координат X(r)y(r) Z(r) конструкции, сопровождается множеством взаимных трансформаций собственных форм [11].
Модель затухающих колебаний трехслойного ортотропного стержня
Model of decaying oscillations of orthotropic sandwich rod
Из (11) легко получить уравнения движения глобально ортотропного трехслойного безопорного стержня, образованного двумя жесткими ортотроп ными слоями (A16
(r) _ A (r) _ A (r) _ B (r) _ B (r) _ - A26 _ A45 _ B16 _ B26 _
= 016(г) = -026(г) = 0) и мягким слоем изотропного вязкоупругого полимера. Для этого пренебрегаем деформированием срединных поверхностей жестких слоев (г = 1, 3) в направлениях осей у^) и у(3)
при Ь ^ й(1), к(3)
(r)
(r) ф °, a(r) ф 0,
(r) (r) (r)
= Vr)
хх(г) ф 0, а(г) + йх{г) ф 0, ^г) = р(г) = у/г) = (Г) = р,у(г) = а/+Рх(г) = Р(г)+^ ,у(г) = 0. В этом случае Ыуу{г) = Ы;су(г) = Муу{г) = ИхУ(г) = ду2(г) = 0, и размерность системы линейных алгебраических уравнений (5) понижается:
ÎN(r ^ 1 v xx
M'xx) =
B
в
■(r )
D
■(r ) '11
(r )
0
0
A(r ) a55
£ )
.(r )
a(r ) + w(; )
С учетом зависимостей (15) и квазигармонического характера колебаний условиями стационарности функционала (10) являются система дифференциальных уравнений движения глобально орто-тропного трехслойного стержня
^хх)х + Оех2] - /01}и(1) - а(1) -
Р[2]А[2]
U[7]
h A
ara
= °,
q(1) + Ee[7] + ^fe[7] - hS2Lk[7]
iixz,x T "z^ ~ cxz,x , xz,x 2 6
p[7]h[7]
V
V] - ^ уИ
V 6 У
(1) (1)
-Iu w1
(16)
es?x - Eez7] +
Gh
[7]
V
e[2l + 1Жk[7l 6
-i03)w(3) -
p[2]h[2]
V 6
= 0,
mxx)X - Qî? +
h(1) p[7]h[7]
Gh,
® e[x? -1®и(1) -171)a(1) ■
V] - ^ a[7]
= °,
Gh
M^x -Qxz} + -Ii(3)U(3) -123)a(3)-
h(3) p[7]h[7]
и« + a™
и естественные граничные условия при x _ 0, l
Gh f h A
N(1) = M(1) = Q(1) + Gh[2] e[7] - Mk[7]
xx xx iixz T -, exz , "-xz
6
(15) N® = M® = exz3) +
Gh
[7]
(17)
V
e[2] + ^ kx7 ] 6
= 0.
Система дифференциальных уравнений (16) и естественные граничные условия (17) описывают продольные и поперечные колебания глобально ортотропного трехслойного безопорного стержня. С учетом квазигармонического характера колебаний эти уравнения сводятся к виду (14) и используются далее при обосновании достоверности разработанной математической модели путем сравнения расчетных и экспериментальных значений собственных частот и коэффициентов механических потерь низших тонов колебаний.
N(3) - Ge[7]
xx, x ^^xz p[7]h[7] f
-I (3)u(3)-
I1(3)a(3) -
u[7] ^ a[7]
= °,
Заключение
Conclusion
В работе предложена математическая модель затухающих колебаний трехслойных пластин, образо-
ванных двумя жесткими анизотропными слоями и мягким средним изотропным слоем из вязко-упругого полимера. Каждый жесткий слой представляет собой анизотропную структуру, формируемую конечным числом произвольно ориентированных ортотропных вязкоупругих слоев композитов. Модель строится на основе использования вариационного принципа Гамильтона, теории многослойных конструкций Болотина, уточненной теории пластин первого порядка (теории Рейсснера -Миндлина), модели комплексных модулей и принципа упруго-вязкоупругого соответствия в линейной теории вязкоупругости.
При описании физических соотношений материалов жестких слоев влияние частоты колебаний и температуры окружающей среды считается пренебрежимо малым, в то время как для мягкого слоя вязкоупругого полимера учет температурно-частотной зависимости упруго-диссипативных характеристик выполняется на основе экспериментально определенных обобщенных кривых. В качестве частного случая общей задачи посредством пренебрежения деформированием срединных поверхностей жестких слоев в одном из направлений осей жестких слоев трехслойной пластины получены уравнения продольных и поперечных затухающих колебаний глобально ортотропного трехслойного стержня. Минимизация функционала Гамильтона позволяет свести задачу о затухающих колебаниях анизотропных конструкций к алгебраической проблеме комплексных собственных значений.
В продолжении статьи будет описан метод численного решения задачи о затухающих колебаниях анизотропной трехслойной пластины, приведены оценки его сходимости и достоверности, а также обсуждены результаты численных экспериментов.
Список использованной литературы
1. Bert g. W. Composite Materials: a Survey of Damping Capacity of Fiber Reinforced Composites // Damping Applications for Vibration Control: [papers, presented at the Winter Annual Meeting of the American Society of Mechanical Engineers]. New York: ASME, 1980. P. 53-63 (Applied mechanics symposia series; AMD-38).
2. Gibson R.F. Dynamic Mechanical Properties of Advanced Composite Materials and Structures: A Review // Shock and Vibration Digest. 1987. Vol. 19, № 7. P. 13-22.
3. Зиновьев П.А., Ермаков Ю.Н. Характеристики рассеяния энергии при колебаниях в элементах конструкций из волокнистых композитов (обзор). Москва: ЦНИИ научно-техн. информации, 1989. 7б с.
4. Some aspects of vibration damping improvement in composite materials / B. Benchekchou, M. Coni, H.V.C. Howarth, R.G. White // Composites. Part B: Engineering. 1998. Vol. 29, № 6. P. 809-817. DOI: 10.1016/S1359-8368(98)00024-9.
5. Chandra R., Singh S.P., Gupta K. Damping studies in fiber-reinforced composites - a review // Composite Structures. 1999. Vol. 46, № 1. P. 41-51. DOI: 10.1016/S0263-8223(99)00041-0.
6. Finegan I.C., Gibson R.F. Recent research on enhancement of damping in polymer composites // Composite Structures. 1999. Vol. 44, № 2-3. P. 89-98. DOI: 10.1016/S0263-8223(98)00073-7.
7. Damping in composite materials: Properties and models / Treviso A, Van Genechten B., Mundo D., Tournour M. // Composites: Part B. 2015. Vol. 78. P. 144-152. DOI: 10.1016/j.compositesb.2015.03.081.
8. Research and applications of viscoelastic vibration damping materials: A review / Zhou X.Q., Yu D.Y., ShaoX.Y., Zhang S.Q., Wang S. // Composite Structures. 2016. Vol. 136. P. 460-480. DOI: 10.1016/j.compstruct.2015.10.014.
9. Паршина Л.В., Рябов ВМ., Ярцев Б.А. Рассеяние энергии при колебаниях неоднородных композитных структур. 1. Постановка задачи // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5(63), вып. 2. С. 300-309. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2018.210.
10. Паршина Л.В., Рябов ВМ., Ярцев Б А. Рассеяние энергии при колебаниях неоднородных композитных структур. 2. Метод решения // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5(63), вып. 4. С. 678-688. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2018.414.
11. Паршина Л.В., Рябов ВМ., Ярцев Б А. Рассеяние энергии при колебаниях неоднородных композитных структур. 3. Численный эксперимент // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2019. Т. 6(64), вып. 1. С. 144-156. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2019.111.
12. Berthelot J.-M. Damping analysis of orthotropic composites with interleaved viscoelastic layers: modeling // Journal of Composite Materials. 2006. Vol. 40, № 21. P. 1889-1909. DOI: 10.1177/0021998306061302.
13. Berthelot J.-M., Sefrani Y. Damping analysis of unidirectional glass fiber composites with interleaved viscoelastic layers: experimental investigation and discussion // Journal of Composite Materials. 2006. Vol. 40, № 21. P. 1911-1932. DOI: 10.1177/0021998306061303.
14. Hao M., RaoM.D. Vibration and Damping Analysis of a sandwich beam containing a viscoelastic constraining
layer // Journal of Composite Materials. 2005. Vol. 39, № 18. P. 1621-1643. DOI: 10.1177/0021998305051124.
15. RaoM, EchempatiR., Nadella S. Dynamic analysis and damping of composite structures embedded with viscoe-lastic layers // Composites. Part B: Engineering. 1997. Vol. 28, № 5-6. P. 547-554. DOI: 10.1016/S1359-8368(96)00073-X.
16. Lightweight damping of composite sandwich beams: experimental analysis / Fotsing E., Sola M, Ross A, Ruiz E. // Journal of Composite Materials. 2012. Vol. 47, № 12. P. 1501-1511. DOI: 10.1177/0021998312449027.
17. Li J., Narita Y. Analysis and optimal design for the damping property of laminated viscoelastic plates under general edge conditions // Composites. Part B: Engineering. 2013. Vol. 45, № 1. P 972-980. DOI: 10.1016/j.compositesb.2012.09.014.
18. Nonlinear damping and forced vibration analysis of laminated composite beams / Youzera H., Meftah S., Challamel N., TounsiA. // Composites. Part B: Engineering. 2012. Vol. 43, № 3. P. 1147-1154. DOI: 10.1016/j.compositesb.2012.01.008.
19. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. Москва: Машиностроение, 1980. 375 с.
20. Gibson R.F. Principles of Composite Material Mechanics. 3rd ed. Boca Raton: Taylor & Francis, 2012. XXIX, 653 p.
21. Reddy J.N. Mechanics of laminated composite plates and shells: Theory and analysis. 2nd ed. Boca Raton: CRC Press, 2004. XXIII, 831 p.
22. Berthelot J.-M. Dynamics of composite materials and structures / Institute of Advanced Materials and Mechanics. Vallouise, 2010. 334 p.
23. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates // Journal of Applied Mechanics. 1945. Vol. 12, № 2. P. A69-A77 (9 p.). DOI: 10.1115/1.4009435.
24. Григолюк Э.И., Куликов ГМ. Вариант нелинейной теории упругих многослойных пологих оболочек // Механика композитных материалов. 1985. № 5. С. 853-860.
References
1. Bert C. W. Composite Materials: a Survey of Damping Capacity of Fiber Reinforced Composites // Damping Applications for Vibration Control: [papers, presented at the Winter Annual Meeting of the American Society of Mechanical Engineers]. New York: ASME, 1980. P. 5363 (Applied mechanics symposia series; AMD-38).
2. R. Gibson. Dynamic Mechanical Properties of Advanced Composite Materials and Structures: A Review // Shock and Vibration Digest, 1987. Vol. 19, № 7. P. 13-22.
3. P. Zinovyev, Yu. Yermakov. Energy dissipation parameters for structural vibrations of fibrous composites. Review. Moscow, Central Research Institute of Scientific & Technical Information, 1989. 76 p. (in Russian).
4. Some aspects of vibration damping improvement in composite materials / B. Benchekchou, M. Coni, H.V.C. Howarth, R.G. White // Composites. Part B: Engineering, 1998. Vol. 29, № 6. P. 809-817. DOI: 10.1016/S1359-8368(98)00024-9.
5. Chandra R., Singh S.P., Gupta K. Damping studies in fiber-reinforced composites - a review // Composite Structures, 1999. Vol. 46, № 1. P. 41-51. DOI: 10.1016/S0263-8223(99)00041-0.
6. Finegan I.C., Gibson R.F. Recent research on enhancement of damping in polymer composites // Composite Structures, 1999. Vol. 44, № 2-3. P. 89-98. DOI: 10.1016/S0263-8223(98)00073-7.
7. Damping in composite materials: Properties and models / Treviso A, Van Genechten B., Mundo D., Tournour M. // Composites: Part B, 2015. Vol. 78. P. 144-152. DOI: 10.1016/j.compositesb.2015.03.081.
8. Research and applications of viscoelastic vibration damping materials: A review / Zhou X.Q., Yu D.Y., ShaoX.Y, Zhang S.Q., Wang S. // Composite Structures, 2016. Vol. 136. P. 460-480. DOI: 10.1016/j.compstruct.2015.10.014.
9. ParshinaL.V., Ryabov V.M., YartsevB.A. Energy Dissipation during Vibrations of Nonuniform Composite Structures: 1. Formulation of the Problem. // Pleiades Publishing, Ltd. Vestnik St. Petersburg University. Mathematics. 2018. Vol. 51. No. 2. P. 175-181. (DOI: 10.3103/S1063454118020073).
10. Parshina L.V., Ryabov V.M., Yartsev B.A. Energy Dissipation during Vibrations of Heterogeneous Composite Structures: 2. Method of Solution. // Pleiades Publishing, Ltd. Vestnik St. Petersburg University. Mathematics. 2018. Vol. 51. No. 4. P. 413-420. (DOI: 10.3103/S106345411804012X).
11. Parshina L.V., Ryabov V.M., Yartsev B.A. Energy Dissipation during Vibrations of Heterogeneous Composite Structures: 3. Numerical Experiments. // Pleiades Publishing, Ltd. Vestnik St. Petersburg University. Mathematics. 2019. Vol. 52. No. 1. P. 102-111. (DOI: 10.3103/S1063454119010114).
12. Berthelot J.-M. Damping analysis of orthotopic composites with interleaved viscoelastic layers: modeling // Journal of Composite Materials, 2006. Vol. 40, № 21. P. 1889-1909. DOI: 10.1177/0021998306061302.
13. Berthelot J.-M., Sefrani Y. Damping analysis of unidirectional glass fiber composites with interleaved viscoelastic layers: experimental investigation and discussion // Journal of Composite Materials,
2006. Vol. 40, № 21. P. 1911-1932. DOI: 10.1177/ 0021998306061303.
14. Hao M., Rao M.D. Vibration and Damping Analysis of a sandwich beam containing a viscoelastic constraining layer // Journal of Composite Materials, 2005. Vol. 39, № 18. P. 1621-1643. DOI: 10.1177/0021998305051124.
15. RaoM, EchempatiR., Nadella S. Dynamic analysis and damping of composite structures embedded with viscoe-lastic layers // Composites. Part B: Engineering, 1997. Vol. 28, № 5-6. P. 547-554. DOI: 10.1016/S1359-8368(96)00073-X.
16. Lightweight damping of composite sandwich beams: experimental analysis / Fotsing E., Sola M, Ross A, RuizE. // Journal of Composite Materials, 2012. Vol. 47, № 12. P. 1501-1511. DOI: 10.1177/0021998312449027.
17. Li J., Narita Y. Analysis and optimal design for the damping property of laminated viscoelastic plates under general edge conditions // Composites. Part B: Engineering, 2013. Vol. 45, № 1. P 972-980. DOI: 10.1016/j.compositesb.2012.09.014.
18. Nonlinear damping and forced vibration analysis of laminated composite beams / Youzera H., Meftah S., ChallamelN., TounsiA. // Composites. Part B: Engineering, 2012. Vol. 43, № 3. P. 1147-1154. DOI: 10.1016/j.compositesb.2012.01.008.
19. V. Bolotin, Yu. Novichkov. Mechanics of multi-layered structures. Moscow: Mashinostroeniye, 1980, 375 p. (in Russian).
20. Gibson R.F. Principles of Composite Material Mechanics. 3rd ed. Boca Raton: Taylor & Francis, 2012. XXIX. 653 p.
21. Reddy J.N. Mechanics of laminated composite plates and shells: Theory and analysis. 2nd ed. Boca Raton: CRC Press, 2004. XXIII. 831 p.
22. Berthelot J.-M. Dynamics of composite materials and structures / Institute of Advanced Materials and Mechanics. Vallouise, 2010. 334 p.
23. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates // Journal of Applied
Mechanics, 1945. Vol. 12, № 2. P. A69-A77 (9 p.). DOI: 10.1115/1.4009435. 24. E. Grigolyuk, G. Kulikov. A variant of non-linear theory for elastic layered sloping shells // Mechanics of Composite Materials, 1987, No. 2. P. 281-285 (in Russian).
Сведения об авторах
Ярцев Борис Александрович, д.т.н., начальник сектора ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, д. 44. Тел.: +7 (812) 415-47-06. E-mail: krylov@krylov.spb.ru. https://oicid.org/0000-0001-7443-1039. Рябов Виктор Михайлович, д.т.н., заведующий кафедрой «Вычислительная математика» Санкт-Петербургского государственного университета. Адрес: 199034, Россия, Санкт-Петербург, Университетская набережная, д. 7-9. Тел.: +7 (812) 543-83-37. E-mail: v.ryabov@spbu.ru. Паршина Людмила Валентиновна, к.т.н., старший научный сотрудник ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, д. 44. Тел.: +7 (812) 415-47-06. E-mail: krylov@ksrc.ru. https://orcid.org/0000-0002-8424-0903.
About the authors
Boris A. Yartsev, Dr. Sci. (Eng.), Head of Sector, Krylov State Research Centre. Address: 44, Moskovskoye sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: +7 (812) 415-47-06. E-mail: krylov@krylov.spb.ru. https://orcid.org/0000-0001-7443-1039.
Viktor M. Ryabov, Dr. Sci. (Eng.), Head of Calculational Mathematics Department, St. Petersburg State University. Address: 7-9, Universitetskaya Embankment, St. Petersburg, Russia, post code 199034. Tel.: +7 (812) 543-83-37. E-mail: v.ryabov@spbu.ru.
Lyudmila V. Parshina, Cand. Sci. (Eng.), Senior Researcher, Krylov State Research Centre. Address: 44, Moskovskoye sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: +7 (812) 415-47-06. E-mail: krylov@ksrc.ru. https://orcid.org/0000-0002-8424-0903.
Поступила / Received: 08.09.21 Принята в печать / Accepted: 22.10.21 © Коллектив авторов, 2021
