CC BY
89
Механика
Вестник Нижегородского универ>ситета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 6 (1), с. 158-162
УДК 539.3
ДИСПЕРСИЯ ВОЛН В РАЗРЕЗНЫХ СТЕРЖНЯХ ГОПКИНСОНА ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЯХ ХРУПКИХ МАТЕРИАЛОВ
© 2011 г. А.М. Брагов, А.Ю. Константинов, М.В. Медведкина
НИИ механики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского
konstantinov_al@mail. т
Паступили чредикцию 22.06.2011
Представлены результаты численного моделирования динамических испытаний на растяжение для хрупких материалов. Расчеты выполнены в программном комплексе LS-DYNA с помощью методики Кольского. Предложены алгоритм и численный метод восстановления истинных силовых и временных характеристик процесса разрушения образца из хрупкого материала. Проведено сравнение импульса, рассчитанного с учетом дисперсионной поправки, и полученного при численном моделировании в LS-DYNA.
Ключечые слачи: дисперсия волн, численное моделирование, метод Кольского, хрупкие материалы.
Среди известных к настоящему времени методов динамических испытаний наибольшее распространение получил метод Кольского с использованием разрезного стержня Гопкинсо-на (РСГ) [1] ввиду своей хорошей теоретической обоснованности и простоты реализации. Эта методика позволяет проводить испытания широкого круга материалов в диапазоне скоростей деформации 102^104 с-1 [2-7].
К настоящему времени кроме основной схемы на сжатие образца разработаны другие варианты РСГ (растягивающий, крутильный, двухосный и т.д.) [8, 9].
Важным предположением методики является допущение о том, что упругие волны распространяются по мерным стержням без искажения. Это позволяет использовать результаты тензометрической регистрации, проведенной на некотором удалении от образца, для определения смещения торцов образца и действующих на него сил. На самом деле мерные стержни обладают конечным радиусом, и поэтому в ряде случаев использование одномерной теории распространения упругих волн может привести к
существенным ошибкам при трактовке экспериментальной информации. Так, при испытании хрупких материалов на растяжение в опорном мерном стержне могут возникнуть импульсы очень малой длительности. Как показано в ряде работ [10, 11], форма таких импульсов сильно изменяется при их движении по стержню.
В предлагаемом сообщении проводится анализ экспериментальной схемы для определения предела прочности при растяжении хрупких материалов и предлагается метод для уточнения определяемой в этой схеме характеристики. Проведено численное моделирование экспериментальной методики определения предела прочности хрупких материалов при растяжении.
Схема эксперимента показана на рис. 1. В таблице 1 приводятся размеры мерных стержней, ударника и образца. Скорость ударника 8 м/с.
Моделирование проводилось в программном комплексе LS-DYNA в осесимметричной постановке. Между всеми частями расчетной схемы заданы контакты (CONTACT2D_AUTOMA-Т1С_ SINGLE_SURFACE). Границы схемы свободны.
Ударник Мерный стержень Тензодатчик
Образец
к ь? -г к— -г . ь2
Г *
Рис. 1. Схема эксперимента
Размеры
Таблица 1
Ударник Стержень 1 Стержень 2 Образец
Длина, м 0.2 2 1 0.02
Диаметр, м 0.02 0.02 0.02 0.02
Тиблици 2
Характеристики дюралюминия
р, кг/м3 Е, Н/м2 v
2600 0.7x10й 0.3
Тиблици 3
Характеристики бетона
р, кг/м3 Е, Н/м2 v аь Н/м2
1500 0.2x10й 0.33 1 x 107
Тиблици 4
Результаты расчетов
а 1, Н/м2
Решение на границе образца и мерного стержня 10x 106
Решение на расстоянии L= 0.5 м от образца 5.397 x106
LS-DYNA user input
-
- /
- /
- /
- У /
; Г~\ У
0.88 0.89 0.9 0.91 0.92 0.93
Time (Е-03) sec
Рис. 2. Решение на границе образца и мерного стержня
Тіте(Е-ОЗ) sec
Рис. 3. Решение на расстоянии L=0.5м от образца
Материал ударника и мерных стержней -дюралюминий. При расчете использована модель упругого материала (постоянные модели приведены в таблице 2). В таблице 2 р - плотность, Е - модуль Юнга, V - коэффициент Пуассона.
Материал образца - бетон - моделировался линейным упругим материалом с разрушением при достижении главными растягивающими напряжениями некоторого порогового значения 01, где а! - прочность материала на растяжение.
В процессе счета регистрировалось напряжение в двух точках мерного стержня: на границе образца и мерного стержня и на расстоя-
нии 0.5 м от образца. Максимальные значения полученных сигналов представлены в таблице
4, сами импульсы показаны на рис. 2 и 3.
Результаты расчета представлены на рис. 2, 3.
Как видно из рис. 2, 3, амплитуда импульса, используемого для определения действующей на образец силы, значительно меняется при движении его по мерному стержню. Так, уже на расстоянии 0.5 м максимальное значение импульса уменьшается примерно в 2 раза. Затухание импульса обусловлено двумя причинами: наличием вязкости, заложенной в численном алгоритме LS-DYNA, и эффектом физической дисперсии волн. На примере моделирования
Time (Е-03) sec
Рис. 4. Длинный импульс T,=40*10-6с: А - импульс, возбуждаемый на торце стержня; В - импульс, зарегистрированный через /=0.5 м
Time (Е-03) sec
Рис. 5. Короткий импульс Г,=1Вх10-6с: А - импульс, возбуждаемый на торце стержня; В - импульс, зарегистрированный через 1=0.5 м
задачи распространения импульса в одномерной постановке было показано, что физический фактор оказывает намного большее влияние на уменьшение амплитуды импульса, чем численная вязкость.
Для оценки влияния длительности импульса, движущегося по стержню конечного радиуса, на величину такого затухания было проведено численное моделирование этого процесса. Рассмотрим движение импульсов длительностью 40 мкс и 18 мкс по дюралюминиевому стержню диаметром 20 мм. На рис. 4, 5 показаны результаты вычислительного эксперимента. Видно, что для длинного импульса изменение его формы незначительно, в то время как амплитуда короткого импульса сильно меняется по мере его движения по стержню.
Затухание коротких волн, движущихся по стержню-волноводу, вызвано эффектами дисперсии. Суть этого явления заключается в том, что гармоники разной частоты, составляющие импульс, имеют разную скорость движения в направлении оси стержня. В результате этого происходит сдвиг по времени этих гармоник и меняется форма результирующего импульса.
Уравнение, связывающее скорость распространения волны с ее частотой для бесконечно-
го цилиндрического упругого бруса, было получено Похгаммером [12] и Кри [13], впоследствии подтверждено экспериментальными данными. В работе Дэвиса [1] отмечается, что для волноводов конечной длины данное уравнение также дает достаточно точный результат. Частотное уравнение Похгаммера-Кри (Pochham-шег-СЬгее), которое определяет соотношение между волновым числом Е и частотой га, имеет вид:
f (Е) = (2а / Г0 )(Р2 + Е2У, (аг0) J1 (Рг) --(Р2 -Е2)Л(аг0ЩРг0)- (1)
- 4Е 1а^1(аг0)J 0(р Г0 ) = °
2 2 2 Р® е 2 о 2 Р® е 2 т т
где а = -——-Е , Р =--Е , Jo, J\ -
Л + 2ц ц
функции Бесселя, X и ц - коэффициенты упругости, г0 - радиус бруска.
Это решение для распространения продольной волны было обобщено на случай цилиндрических стержней, сделанных из любого линейного вязкоупругого материала [12]. Такие материалы часто используются для изготовления мерных стержней, когда требуется определить характеристики материалов с низким импедансом, таких, как пенополистирол и т.д.
Рис. 6. Сравнение полученных результатов
В работе [12] рекомендуется получать дисперсионное соотношение Е(ю) в явной форме из уравнения (1) исходя из конкретных механических характеристик стержня-волновода.
После этого точный сдвиг импульса с учетом эффектов дисперсии может быть вычислен с использованием аппарата преобразования Фурье:
ы‘2 ^) = FFT-1 [[eл(a'>AzFFTum ^)]], (2)
т ^ _ I /,\
где иг - зарегистрированный импульс, иг ^) -вычисляемый импульс, А - расстояние от точки, в которой производилось измерение, до той точки, в которой необходимо рассчитать новый импульс.
Была создана программа, позволяющая путем численного решения уравнения (1) определять дисперсионное соотношение Е(®) для заданных характеристик стержня (механические свойства, радиус) и моделировать точный сдвиг импульса в пространстве. На рис. 6 показано сравнение импульса, определенного при численном моделировании в LS-DYNA, с полученным при использовании описанной выше процедуры.
Из рисунка видно, что результаты расчетов с дисперсионной поправкой и результаты численного моделирования хорошо совпадают. Так, разница в точке максимума составляет около 10%, что является достаточно хорошим результатом.
использовать одномерную теорию распространения упругих волн в мерных стержнях конечного радиуса. Отмечается, что при движении коротких импульсов по тонким стержням существенны дисперсионные эффекты, которые необходимо учитывать при обработке экспериментальной информации.
2. Предложен алгоритм и численная методика восстановления истинных силовых и временных характеристик процесса разрушения образца из хрупкого материала по показаниям тензодатчиков, расположенных на значительном расстоянии от него.
3. В традиционном методе Кольского для построения диаграммы деформирования используют падающий, прошедший и отраженный импульсы. С помощью предложенной в работе методики можно восстановить указанные импульсы на границе мерного стержня и образца, зарегистрированные в мерных стержнях на удалении от образца.
4. Создана программа, позволяющая определять дисперсионное соотношение для заданных характеристик стержня, путем численного решения частотного уравнения.
5. Проведено сравнение импульса, рассчитанного с учетом дисперсионной поправки, и полученного при численном моделировании в LS-DYNA, которое показало, что полученные результаты близки по своим значениям.
Выводы
1. В работе на примере численного моделирования экспериментальной схемы (модификация метода Кольского), используемой для определения предела прочности хрупких материалов на разрыв, показано, что в ряде случаев нельзя
Выражаем благодарность за помощь в проведении расчетов А.В. Абрамову из ООО «Стрела» г. Снежинск.
Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты РФФИ № 11-08-00545; 10-01-00585).
Список литературы
1. Davies R.M. A critical study of Hopkinson pressure bar // Phil. Trans. Roy. Soc. 1948. A240. P. 375-457.
2. Брагов А.М., Крамарев Л.Н., Ломунов А.К., Минеев В.Н., Акопов Ф.А., Чернышов Г.П., Власов А.С., Лукин С.С. Высокоскоростное деформирование и разрушение диоксидциркониевой керамики // Проблемы прочности и пластичности. Вып.62: Межвуз. сб. Нижегор. ун-т. 2000. С. 144-158.
3. Bragov A.M., Demenko P.V., Lomunov A.K., Sergeichev I.V., Kruszka L. Investigation of behaviour of materials of different physical nature using the Kolsky method and its modifications // In: «New Experimental Methods in Material Dynamics and Impact», Trends in Mechanics of Materials, eds. W.K. Nowacki, J.R. Kle-paczko, Warsaw, 2001. P. 337-348.
4. Брагов А.М., Большаков А.П., Гердюков Н.Н., Ломунов А.К., Новиков С.А., Сергеичев И.В. Исследование динамических свойств некоторых горных пород (Research of dynamic properties of some rocks) // «Вещества, материалы и конструкции при интенсивных динамических воздействиях». Международная конференция «V Харитоновские тематические научные чтения». Сб. тезисов докл. Саров, ВНИИЭФ, 1721 марта 2003. С. 43-44.
5. Брагов А.М., Ломунов А.К., Сергеичев И.В. Механические свойства некоторых горных пород при высоких скоростях деформации // Тезисы Международной конференции «VII Забабахинские научные чтения». Снежинск, РФЯЦ-ВНИИТФ, 8-12 сентября 2003. С. 198-199.
6. Брагов А.М., Ломунов А.К. Методы динамических испытаний материалов различной физической
природы // Международный семинар «Фундаментальные свойства плутония». Тезисы доклада. Саров, РФЯЦ-ВНИИЭФ, 30 августа-3 сентября 2004. С. 208209.
7. Брагов А.М., Ломунов А.К., Сергеичев И.В. Механические свойства некоторых горных пород при высокоскоростном деформировании // Всероссийская научно-техническая конференция «Фундаментальные проблемы машиноведения: Новые технологии и материалы», посвященная 20-летию Нижегородского филиала Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, Н.Новгород, 28-30 ноября 2006 г. С. 21.
8. Harding J., Wood E.O., Campbell J.D. Tensile testing of materials in impact rates of strain // J. Mech. Eng. Sci. 1960. Vol. 2. P. 88-96.
9. Staab G.H., Gilat A. A direct-tension split-Hopkinson bar for high strain-rate testing // Exp. Mech. 1999. Vol. 31. P. 232-235.
10. Gary G., Klepaczko J.R., Zhao H. Correction de dispersion pour l'analyse des petites deformations aux barre de Hopkinson // Journal de Physique III. 1991. V. 1. P. 3-403.
11. Lifshitz J.M., Leber H. Data processing in the split Hopkinson pressure bar tests // Int. J. Impact Engng. 1994. V. 15. P. 723-733.
12. Pochhammer L. Uber die fortpflanzungsgesch-windigkeiten kleiner schwingungen in einem unber-grenzten isotropen kreiszylinder // J. fur die Reine und Angewandte Mathematik. 1876. V. 81. P. 324-336.
13. Chree C. The equations of an isotropic elastic solid in polar and cylindrical coordinates, their solutions and applications // Cambridge Phil. Soc. Trans. 1889. V. 14. P. 250-369.
WAVE DISPERSION IN SPLIT HOPKINSON PRESSURE BARS IN DYNAMIC TESTING OF BRITTLE MATERIALS
A.M. Bragov, A. Yu. Konstantinov, M. V. Medvedkina
Numerical simulation results are given of dynamic tensile testing of brittle materials using the Kolsky method and the software package LS-DYNA. An algorithm and a numerical technique to restore true power and temporal characteristics of the fracture process of a brittle material sample are proposed. A comparison is made of the pulse calculated with the account of the dispersion correction and the pulse obtained by LS-DYNA numerical simulation.
Keywords: wave dispersion, numerical simulation, Kolsky method, brittle materials.
