CC BY
46
УДК 621.372.8, 535.3, 535.93
ДИСПЕРСИЯ ОПТИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДНЫХ МОД ТОНКИХ ЛЕВО-ОРИЕНТИРОВАННЫХ ПЛЕНОК
© 2015 Д.А. Конкин, А.А. Шибельгут, Р.В. Литвинов
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники
Поступила в редакцию 05.02.2015
Рассмотрены асимметричные планарные волноводы с пленкой из лево-ориентированного материала. Анализ зависимостей эффективных показателей преломления волноводных мод от длины световой волны выполнен в оптическом диапазоне для пленок различной толщины, расположенных на подложках с отличающимися диэлектрическими проницаемостями.
Ключевые слова: планарный волновод, лево-ориентированный материал, волноводные моды, дисперсия.
1. ВВЕДЕНИЕ
Возможность использования лево-ориентированных материалов (left-handed materials, LHM) с одновременно отрицательными значениями диэлектрической и магнитной проницаемостей в планарных оптических волноводах разнообразила их пространственные структуры. Существует несколько возможных вариантов таких структур: пленка из LHM - покровная среда и подложка на основе обычных право-ориентированных материалов (right-handed materials, RHM); пленка и подложка из LHM - покровная среда из RHM; все слои из LHM. С точки зрения структур, которые уже созданы и исследуются экспериментально, наибольшее значение имеют пленки из LHM с прилегающими слоями из RHM [1, 2]. Ниже будет рассмотрена частотная дисперсия волноводных мод таких структур.
2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Рассмотрим распространение монохроматического светового поля в пленочном оптическом волноводе, типичная структура которого представлена в работах [3, 4]. Будем считать, что в отличие от хорошо изученных планарных структур на основе RHM c положительными значениями диэлектрической и магнитной проницаемостей [3, 4], центральная пленка в рассматриваемой структуре выполнена на основе LHM с отрицательными значениями проницаемостей [5, 6].
Конкин Дмитрий Анатольевич, старший преподаватель кафедры радиоэлектроники и защиты информации. E-mail: [email protected]
Шибельгут Александр Андреевич, младший научный сотрудник кафедры телекоммуникаций и основ радиотехники. E-mail: [email protected] Литвинов Рудольф Викторович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры телекоммуникаций и основ радиотехники.
Полагая, что векторы электрической и магнитной напряженностей светового поля удовлетворяют уравнениям Максвелла и, используя граничные условия, можно получить дисперсионное уравнение относительно постоянных распространения в волноводных мод ТЕ-типа в виде [2]:
tanh х fh = -
х, ц f х-V-1
х c ц f х-V-1
1 + Xs Xc Ц/х-V-W
(1)
где , цу и ц^ - относительные магнитные проницаемости покровной среды, пленки и подложки, соответственно;
X, =Vß2-£*Ц„(ю/ий)2 ,
(2)
коэффициенты, зависящие от величины постоянных в (в нижнем индексе вместо букв «с, [ или 5» используется знак «*» для сокращения записей), определяют характер пространственного распределения светового поля в покровной среде «с», подложке «5» и пленке «/»; е.- относительная диэлектрическая проницаемость материалов слоев волновода. Если в формуле (1) выполнить замену
« ^ 8„ », то получившееся новое соотношение будет дисперсионным для мод ГМ-типа.
Пространственная неограниченность покровной среды и подложки в направлении перпендикулярном пленке, в которой должно быть локализовано поле моды волновода, приводит к требованию вещественности коэффициентов хс и х5. Центральная пленка является ограниченной в поперечном направлении и, поэтому в общем случае, коэффициент %г может принимать как мнимые, так и вещественные значения [2, 7].
Величина вещественных постоянных распространения в планарных волноводов, изготовленных из обычных ЯИМ с одновременно положительными
значениями проницаемостей (8 с ж > 0 и > и),
ограничена условием тах [пс; пв ] ю/с < в < Пу ю/с,
где Пс8 = ^вСяМсГю¡с - показатель преломления
материалов слоев волновода [3, 4, 7]. В этом случае, коэффициент х принимает мнимые значения. Фазовая скорость волноводных мод такого волновода (быстрых мод) больше фазовой скорости плоских электромагнитных волн в объемных средах из материалов покровной среды и подложки.
Если центральная пленка волновода выполнена из ЬИМ, то коэффициент х может принимать и вещественные значения. В этом случае, в волноводе могут распространяться не только быстрые, но и медленные моды, фазовая скорость которых меньше фазовой скорости плоских электромагнитных волн в объемных средах с материальными параметрами, соответствующими параметрам слоев волновода.
Следуя работам [5, 6], будем считать, что
зависимость диэлектрической 8у и магнитной
цУ проницаемости объемной среды из ЬИМ от частоты ю электромагнитного поля описывается соотношениями
8у = 1 -ю^/ю2 , Цу = 1 -Fю2 (ю2 -ю2) , (3)
где ю - плазменная частота, ю0 - частота магнитного резонанса, Р - фактор заполнения
метаматериала (0 < Г < 1).
Из анализа соотношений (3) следует, что в случае выполнения условия ю0 <ю <ю0/л/Т—Г интервал частот ю, в котором диэлектрическая и магнитная проницаемости таких сред являются одновременно отрицательными, лежит в пределах ю0 <ю <ю . В случае юр > ю0/>Л - Г , этот
интервал имеет пределы от ю0 до ю0/-\/1 - Г и определяется только областью отрицательных значений магнитной проницаемости. Дисперсия материальных параметров обычного право-ориентированного материала в указанных интервалах длин волн в оптическом диапазоне пренебрежимо мала в сравнении с дисперсией лево-ориентированного и ниже не учитывается.
3. ДИСПЕРСИОННЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ЭФФЕКТИВНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
Выполним анализ зависимостей эффективных показателей преломления пеус = ви /ю от
длины световой волны X оптических мод тонкой пленки из ЬИМ с воздушной покровной средой
(8 с = 1 и ц с = 1) для трех случаев немагнитных
подложек (р s = 1) с различными величинами
диэлектрической проницаемости ss, равными 1; 1,5; и 2. Будем считать, что дисперсионные зависимости материала тонкой пленки определяются параметрами юp = 3,46 -1015 рад/с,
ю0 = 1 ,63 • 1015 рад/с и F=0,5, согласующимися с данными работы [8]. В этом случае, диапазон X, в котором одновременно выполняются условия
sf < 0 и р^ < 0 , лежит в пределах от 0,816 мкм до 1,155 мкм.
Результаты численных расчетов зависимостей nef (X) для ТЕ-мод представлены на рис. 1а и 1б сплошными кривыми для случаев толщины пленки 100 нм и 330 нм, соответственно. Здесь же представлены дисперсионные зависимости показателя преломления объемного лево-ориентированного материала nf = ^sf рf (штрихованные кривые) и уровни (пунктирные) показателей
преломления подложки ns = -Jssрs .
Общей особенностью полученных дисперсионных зависимостей для ТЕ-мод является то, что они лежат не только в области быстрых мод
(ns < nef < nf ), что характерно для обычных пленок из RHM, но и в области медленных мод
(neff > max (nf,ns)), которая у RHM-пленок отсутствует [3, 4]. Независимо от толщины LHM-пленки ее дисперсионные зависимости обладают двумя сингулярными точками. Причиной появления первой из них является резонанс магнитной
проницаемости рf (ю) объемного материала
при частоте ю0 (см. (3)). Вторая сингулярность
находится в точке X = 1 мкм, где магнитная
проницаемость принимает значение р f = -1. В окрестности этой точки дисперсионные кривые медленных мод волновода асимптотически приближаются к дисперсионным кривым поверхностных электромагнитных волн s-типа [9, 10], фазовые скорости которых обращаются в ноль
2 2 2 1 при равенстве рs = рf = рс = 1, выполняющегося для принятых условий как раз при длине волны 1 мкм.
Дисперсионные зависимости мод TE00 LHM-пленки толщиной h=100 нм лежат в медленной области и обладают точкой с нулевой групповой скоростью ug = d©/dp = 0 , в которой
dneff /dX = да (см. рис. 1а). Эта точка делит дисперсионную кривую на две ветви. Нижняя ветвь соответствует положительной групповой
скорости (> 0, фазовая и групповая скорости
Рис. 1. Зависимости пд ТЕ-мод пленки толщиной 100 нм (а) и 330 нм (б).
имеют одинаковое направление), а верхняя -
отрицательной (и^ < 0 ,фазовая и групповая скорости имеют противоположные направления). Дисперсионные зависимости ТЕ01 моды лежат как в области медленных, так и в области быстрых мод, им соответствует положительная
величина > 0. Дисперсионные зависимости остальных мод лежат в быстрой области. Однако в отличие от обычных пленочных волноводов из ЯИМ, дисперсионные зависимости мод которых являются монотонными, дисперсионные зависимости быстрых мод волноводов с ЬИМ-пленкой делятся на две ветви точкой, соответствующей
случаю и^ = 0 (аналогично зависимостям ТЕ00). При этом с ростом номера моды ЬИМ-пленки ее дисперсионные зависимости, приближаясь
к области сингулярности проницаемости цд , практически сливаются.
Дисперсионные зависимости пд для ТЕ-
мод, соответствующие более толстой ЬИМ-пленке с Н=330 нм (см. рис. 16), также лежат в области медленных и быстрых мод. Однако в этом случае, в отличие от случая Н=100 нм, дисперсионные зависимости для ТЕ01 моды являются немонотонными, делятся точкой с = 0 на верхнюю и нижнюю ветви, отвечающие различным направлениям групповой скорости. Таким образом, увеличение толщины пленки может изменить направление групповой скорости ТЕ-моды с совпадающего с направлением фазовой скорости на противоположное ей.
Характерно, что изменение показателя преломления подложки (асимметрия пленочного
Рис. 2. Зависимости пед ТМ-мод пленки толщиной 330 нм
волновода) заметно сказывается на дисперсионных зависимостях только в области отсечки
ТЕ-мод (п^д- « ). При этом в ЬИМ-волноводе
с Н=100 нм (см. рис. 1а) это изменение не приводит к качественному изменению характера дисперсионных зависимостей пед практически влияя только на условия отсечки. В более толстом волноводе с Н=330 нм (см. рис. 16) увеличение показателя преломления подложки может привести к отсечке ветви дисперсионной кривой, лежащей ниже точки с нулевой групповой скоростью. Поэтому в более толстом ассиметричном {п=2) пленочном волноводе дисперсионная зависимость
n
eff
(X) моды TE00 является монотонной, соответствует одинаковым направлениям фазовой и групповой скорости.
Результаты численных расчетов зависимостей пеу (X) для ТM-мод пленки толщиной 330 нм представлены на рисунке 2. Качественный характер зависимостей, лежащих полностью в области быстрых мод (моды ТМ02, ТМ03 и т.д.) такой же, как и у аналогичных зависимостей ТЕ-мод. Однако характер дисперсионных зависимостей мод ТМ00 и ТМ01, лежащих в областях быстрых и медленных мод, сильно отличается от зависимостей мод ТE00 и ТE01. Положение сингулярности на
зависимости пеу (X) ТМ01, расположенной в области медленных мод, зависит от величины диэлектрической проницаемости подложки 8 ^. В этой области дисперсионные зависимости этой моды асимптотически приближаются к дисперсионным кривым поверхностных электромагнитных волн р-типа [9, 10] на границе пленка-подложка, фазовые скорости которых обращаются в ноль
2 2
при выполнении равенства 8^ =8у. В рассматриваемом случае, это условие выполняется для
двух значений 8 ^ = 1 и 2. Отметим, что условие
2 2 2
8^ =8 у = 8с = 1 выполняется за пределами рассматриваемого диапазона длин волн, поэтому сингулярность, на отвечающей этому случаю кривых Пу (X) для мод ТМ00 и ТМ01, отсутствует.
Еще одним качественным отличием направляемых свойств ЬИМ-пленки от аналогичных свойств ЯИМ-пленки является существование трех диапазонов длин волн, в которых существует только одна из мод типа ТЕ (ТЕ00,01,02) или одна из мод типа ТМ (ТМ00,01,02). В то время как для обычных пленочных волноводов из ЯИМ одномодовый режим реализуется только для фундаментальной моды (ТЕ00 или ТМ00) [3, 4, 7].
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, дисперсионные свойства оптических мод планарного волновода с пленкой на основе LHM качественно отличаются от дисперсионных свойств обычных волноводов на основе RHM. Моды двух первых порядков, в зависимости от длины волны, могут быть как быстрыми, так и медленными. В общем случае, групповая скорость моды может совпадать с фазовой, быть противоположной ей или обращаться в ноль. Одномодо-вый режим может быть реализован для трех мод низшего порядка.
Работа выполнена по заданию Минобрнауки РФ (проект № 2406). Шибельгут А.А. поддержан стипендией Президента РФ (проект СП-4673.2013.5).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Guided modes in negative-refractive-index waveguides / I.V. Shadrivov, A.A. Sukhorukov, Yu.S. Kivshar // Phys. Rev. E. 2003. Vol. 67. P. 057602.
2. Guided optical modes in asymmetric left-handed waveguides / YmgHe, Zhuangqi Cao, Qishun Shen // Optics Communications. 2005. Vol. 245. P. 125-135.
3. Тамир Т. Интегральная оптика. М.: Мир, 1978. 340 с.
4. Маркузе Д. Оптические волноводы. М.: Мир, 1974.289с.
5. Веселаго В.Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями е и ц // Успехи физических наук. 1967. Т. 92, № 3. С. 517-526.
6. Composite medium with simultaneously negative permeability and permittivity / D. R. Smith, W. J. Padilla, D. C. Vier, S. C. Nemat-Nasser, S. Schultz // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 84. P. 4184-4187.
7. Теория волн / М.Б. Виноградова, О.В. Руденко, А.П. Сухоруков. М.: Наука, 1979. 384 с.
8. MgB2 -based negative refraction index metamaterial at visible frequencies: Theoretical analysis / A.-G. Kussow, A. Akyurtlu, A. Semichaevsky, N. Amgkawisittpam // Phys. Rev. B. 2007. Vol. 76, P. 195123.
9. Surface plasmon polaritons at interfaces associated with artificial composite materials / H.-F. Zhang, Q. Wang, N.-H. Shen, R. Li, J. Chen, J. Ding, H.-T. Wang // J. Opt. Soc. Am. B. 2005. Vol. 22. P. 2686-2696.
10. Ruppin R. Surface polaritons of a left-handed medium // Phys. Lett. A. 2000. Vol. 277. P. 61-64.
OPTICAL WAVEGUIDE MODE DISPERSION OF THIN LEFT-HANDED FILMS
© 2015 D.A. Konkin, A.A. Shibelgut, R.V. Litvinov
Tomsk State University of Control Systems and Radioelectronics
Asymmetrical planar waveguides with film of left-handed material are considered. Analysis of dependences of effective refractive indexes ofwaveguide modes on a length of the light wave in the optical range for films with different thicknesses has been performed. The films are on substrates with different permittivities. Key words: planar waveguide, left-handed material, waveguide modes, dispersion.
Dmitry Konkin, Senior Lecturer at the Radioelectronics and Information Protection Department. E-mail: [email protected].
Alexander Shibelgut, Associate Research Fellow of Telecommunication andRadio-EngineeringBasics Department. E-mail: [email protected].
Rudol'f Litvinov, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor at the Telecommunication and RadioEngineeringBasics Department. E-mail: [email protected].
