Дисперсия изгибной и крутильной волн в балках цилиндрической формы Текст научной статьи по специальности «Физика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 262-263

УДК 539.3

ДИСПЕРСИЯ ИЗГИБНОЙ И КРУТИЛЬНОЙ ВОЛН В БАЛКАХ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

© 2011 г. О.И. Орехова

Нижегородский филиал Института машиноведения им. А. А. Благонравова РАН

snussmurr@rambler.ru

Поступила в редакцию 16.05.2011

Предложена математическая модель, описывающая распространение изгибных и крутильных волн в балке кругового или кольцевого сечения. Проанализированы частотные зависимости фазовых и групповых скоростей волн.

Ключевые слова: изгибная волна, крутильная волна, фазовая скорость, групповая скорость, частота волны, амплитуда волны.

Система уравнений, описывающих распространение изгибных и крутильных волн в балке цилиндрического сечения (депланация отсутствует), имеет вид:

( \

~, „ =

0,в -

3,

ех з + (Х + ц)( Jр + ^)0

- -2(А, + ц)(03 + 030),

w,« +е02^ш -гХ,xXtt — 2

(1)

, хх.

Р

где Х(х, ґ) — поперечные смещения частиц в плоскости хоі; 0 = 0О +0(х, ґ) — угол поворота сечения складывается из постоянной составляющей 0О и переменной 0( х, ґ), зависящей от ко -ординаты и времени; 3с — полярный момент инерции; 3, — момент инерции при кручении; 3 — осевой момент инерции; F — площадь поперечного сечения балки; сТ — скорость сдвига, р — плотность материала, X, ц — константы Ламе, Гу, Гр — осевой и полярный радиусы инерции соответственно.

Решая систему уравнений (1), находим дисперсионные уравнения для волн:

— крутильной

Так как нет депланации, изгибные и крутильные волны развязаны. Крутильная волна описывается уравнением Клейна — Гордона, имеется зона непропускания, тем больше, чем больше 0О; а из-гибная волна аналогична волне при колебаниях балки с предварительным натягом, натяг пропорционален 0О.

Крутильная волна

Зависимость частоты волны (ю) от волнового числа (к) при различных значениях начального угла поворота (00) представлена на рис. 1, где кривая 1 соответствует значению 0О = 0, кривые 2, 3 — значениям 0О > 0.

Рис. 1

ю — ±

(

о\ 3 + (Х + ц)( 3р + )00

Л

к2 + 6(Х + ц )F02 + 2(Х + ц ^0

(2)

— и изгибной

ю — ±к

^ + ц 0о

і+г2ук2

(3)

Начальное значение частоты крутильной волны (ю0) зависит от значения 0О согласно уравнению:

ю,

— ±0^^^Л/2(^+ц)^(зТёОУ.

При возрастании волнового числа (к ^

зависимость в уравнении (2) стремится к линейной, а дисперсионные кривые — к прямым.

Дисперсия крутильной волны нормальная, если начальный угол поворота отличен от нуля (0О > 0), при любых значениях к. При отсутствии начального угла поворота (0О = 0) значения фазовой и групповой скоростей совпадают (Уф = Угр = ±сх^7^пр), то есть дисперсия отсутствует.

При больших значениях волнового числа (к ^ ), значение фазовой и групповой скоро-

стей стремится к некоторой постоянной, зависимой от 0о . На рис. 2 представлены зависимости фазовых (Уф) и групповых (Угр) скоростей от волнового числа при одном значении угла поворота (0О > 0).

Рис. 2 Изгибная волна

Начальное значение частоты волны Ю0 не зависит от угла поворота 0о и при любых значениях Юо = 0 (рис. 3). При больших значениях волнового числа (к ^ <») дисперсионные кривые стремятся в одну и не зависят от начального угла поворота. На рис. 3 показана дисперсионная зависимость частоты волны Ю от волнового числа к при различных значениях начального угла поворота 0о: 1 — зависимость при 0о = = 0; 2, 3 — при значениях 0о > 0.

Рис. 3

Зависимости фазовых (Уф) и групповых (Угр) скоростей от волнового числа при одинаковых значениях начального угла поворота 00 представлены на рис. 4, где кривые 1 соответствуют 0о = 0, кривые 2 — значениям 0о > 0.

Рис. 4

При больших значениях волнового числа кривые фазовой скорости стремятся к «Со», вне зависимости от угла поворота, а кривые групповой скорости при значении начального угла поворота, отличного от нуля, стремятся к одной кривой, которая не совпадает с кривой групповой скорости при 00 = 0.

При к = к' дисперсия волны отсутствует, а фазовая и групповая скорости равны; при к < < к' дисперсия волны нормальная (Уф > Угр); при при к > к' дисперсия аномальная (Уф < Угр).

DISPERSION OF A FLEXURAL AND TORSION WAVES IN CYLINDRICAL BEAMS

O.I. Orekhova

A mathematical model is presented, that describes the distribution of flexural and torsion waves in a beam of a circular or ring section. Frequency dependences of phase and group wave velocities are analyzed.

Keywords: flexural wave, torsion wave, phase speed, group speed, frequency of a wave, amplitude of a wave.