CC BY
16
Доклады БГУИР
2008 № 4 (34)
УДК 621.371:550.837.6
ДИСПЕРСИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОВЕРХНОСТНОЙ ВОЛНЫ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ С АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДОЙ
Д.В. ГОЛОЛОБОВ
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П.Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь
Поступила в редакцию 29 августа 2008
Проведен анализ дисперсионного уравнения поверхностной волны в анизотропной среде с нормальным относительно границы раздела сред подмагничиванием. Результаты свидетельствуют о существовании волны в виде суперпозиции четырех мод. При учете угла наклона поля подмагничивания число мод увеличивается.
Ключевые слова: углеводородная залежь, анизотропия, дисперсионная характеристика, поверхностная электромагнитная волна, подмагничивание.
Введение
Интерес рассматриваемой задачи связан с проблемой поиска и выделения границ углеводородных залежей (УВЗ), проявляющих, согласно [1], анизотропные свойства среды над залежью, присущие плазмоподобным образованиям. Моделированию плазменных и плазмопо-добных образований уделено достаточное внимание в научно-технической литературе [2]. Особенностью разработанной модели среды над УВЗ является наличие магнитодиэлектрического наполнителя и учет столкновительных процессов разноименных частиц в слабом геомагнитном поле. Специфический характер образования и возникновения данных неоднородностей представляет научный интерес с точки зрения их обнаружения и мониторинга. Связано это с решением ряда прикладных задач, основными из которых являются мониторинг искусственно создаваемых залежей углеводородов — хранилищ газа и нефти, а также исследованиями поверхностей космических планет на присутствие в их недрах углеводородных образований.
Рассматриваемый в статье вопрос находит свое начало в работах автора, которые связаны лишь со случаем нормального подмагничивания среды.
Постановка задачи
Оценка отражательных свойств подстилающей поверхности при известных электродинамических параметрах среды и угле падения волны осуществляется по коэффициентам Френеля. Однако при больших углах падения электромагнитной волны (ЭМВ) в структуре поля преобладает поверхностная компонента, отражательная трактовка распространения радиоволн (РРВ) теряет физический смысл. В этом случае процесс РРВ более качественно описывается режимом взаимодействия поверхностной ЭМВ (ПЭВ) с подстилающей средой. Когда среда обладает анизотропными параметрами, задача оценки отражательных свойств поверхности сводится к анализу тензора поверхностного импеданса второго ранга [3]. Компоненты тензора оказываются зависимыми от дисперсионных характеристик ПЭВ. Задача исследования дисперсионного уравнения сводится к численному тестированию и отбору его корней, соответствующих отдельным модам в среде.
Пусть граница раздела сред совпадает с плоскостью ХОУ, а ось 02 направлена внутрь второй среды, обладающей анизотропными свойствами. В выбранной системе координат поле подмагничивания Н0, в общем случае ориентировано произвольно относительно границы раздела двух сред. Свойства анизотропной среды описываются тензором диэлектрической проницаемости, содержащим все девять компонентов. Плоская ЭМВ с вертикальной поляризацией распространяется вдоль оси ОХ с обобщенной амплитудой Ат (Е или Н) и функцией распространения £ (х, г, 1):
5=ддх,м. (1)
Функция распространения характеризует ослабление ЭМВ в средах и ее пространственно-временные координаты
(2)
Е!2(х, 2,1) = с " V"" ;л|.
где сс0 — коэффициент ослабления в воздухе; о.\ — поперечные волновые числа в подстилающей среде; к = 2п/Х — постоянная распространения; со = 2л/ — круговая частота.
Дисперсионное уравнение ПЭВ при нормальном подмагничивании
Уравнение для поперечного волнового числа запишем первое и второе уравнения Максвелла с учетом выбранной системы координат:
а Ну = 7'со е0 (8 гЕх +е2Еу+ гъЕг),
уШг - аНх = уюс0(г4Ех +£5Еу+г6Е2), (3)
у = &1Ех+ 88 ЕУ + е9Ег), а Еу = -/соц_//л.
¡кЕ: - аЕх =- /ощ:Нх. (4)
где е0 — диэлектрическая проницаемость воздуха; ^ ...е9 — компоненты тензора диэлектрической проницаемости; ^ — магнитная проницаемость нижнего полупространства.
Рассмотрим случай когда вторая среда обладает гиротропными свойствами т.е. 83 = 86 = в7 = в8 = 0, а подмагничивание является нормальным к границе раздела сред. Исключая из (3) компоненты Нх, Ну, Нг и Ег и используя (4), получим
а282
,2 Л Ех - }ЧЕу = 0 > (5)
О
2 2 2 2 К чЕх ~ Лк ~ К - а )Еу = 0 > (6)
здесь к0 — постоянная распространения в воздухе.
Представляя (5) и (6) в виде произведения матриц
-К, К,
К Е =
КАЛ
[Ех Еу] = О (7)
и приравнивая детерминант матрицы коэффициентов к нулю с1е1 К = 0, получим уравнение для поперечного числа вида
ос4 + ос2(к2 81 + £з - 2г1) + -——(к% + г22-г2) = 0. (8)
Из (8) следует, что для его решения, требуется исследование дисперсионного уравнения к (ю) для нижнего полупространства. При этом условием существования ПЭВ будет:
Ыеа>0, 1та>0, Ые£> 0, 1т к <0, (9)
Уравнение для продольного волнового числа
Обратимся к уравнениям (5) и (6). Тривиальное решение (5) обеспечивается при условии, когда электрические компоненты поля определяются выражениями
Л „2
Ц -а\
/г = __в
к0
Еп=(Ю)
к• а г\ к а-
е4=—1-в,- 1
II к I 1,2
к3 к0
а для (6) соответственно
Ехг = -1е2В, '
2 — Ь2
Еп= к2 ВГ (И)
к3
СХг\ £ л ^'
/Г - 1 I тз к3
где кх = к
■£9; Д — вспомогательный коэффициент для 7-й волны.
Для тангенциальных и нормальных составляющих электромагнитного поля волны в диэлектрике (е0, о0) и ЭВМ, удовлетворяющих условиям существования ПЭВ в анизотропной среде (9), выполняются граничные условия:
Е(п = ЪЕп '
нт=гнн, а2)
Ет = гъХЕ1п' Яо п=Хнш>
где подстрочные буквы п и т соответствуют нормальным и тангенциальным компонентам электромагнитного поля.
Выделим два поперечных волновых числа аг и а2, удовлетворяющих условию существования ЭВМ (9) в исследуемой среде [4]. Тогда из условия непрерывности тангенциальных составляющих электрического поля (12) на границе раздела двух сред и уравнений (10) следует
= + Е0¥=]г2(В1+В2). (13)
к0 к0
Аналогично из условия непрерывности касательных составляющих магнитного поля получим:
Еох = ^^-(а1В1(к2-а2) + а2В2(к2-а22)), (14)
83
Е0Г=] — (а1В1+а2В2). а0
Приравнивая правые части уравнений (13) и (14), для электрических компонентов поля по X и Y получим систему уравнений вида
^(ао +а1) + 52(а0 +а2) = 0,
вЫ(1 + Ж) + гМ(1 + Ж) = о. (15)
к2 к2 к2 к2
л, 0 л3 л0 л3
Записав систему уравнений (15) в матричной форме ВД [K]=0 и приравнивая детерминант матрицы [Щ к нулю, получим дисперсионное уравнение ПЭВ вида
(16)
к2 [А;2 + а0(а1 + а2) + а^] + а083(а^ + оцо^ + а2) + + а^а^а^ (а1 + а2) - а^ в3 к2 = 0.
или с учетом нормировки: у = к/>/Ф^оМ^ и (3 = а/-у/со280|.д,о ,
у4(1 + 83) + у2 С +Д1 + 83)-83(1 + 83)-281 + 83 С (В -1) - 2В + 28! =0, (17)
где В = (3^2 и С = (Ь+Му/у^ .
Совместное решение уравнений (8) и (17) позволяет провести анализ амплитудного распределения поля волны в исследуемой среде, выделить частотные отрезки оптимального (в смысле обнаружения и выделения) взаимодействия ПЭВ со средой, провести оценку влияния электродинамических параметров анизотропной среды на характер РРВ.
Анализ корней дисперсионного уравнения
Расчет уравнений (8)—(17) относительно приведенной постоянной распространения с помощью стандартных программ ЭВМ требует больших затрат машинного времени, а поиск отдельных корней уравнения затруднен ввиду сложных преобразований функций с комплексными переменными. Указанные трудности заставляют использовать приближенные подходы в решении поставленной задачи. Одним из таких решений является аналитическое преобразование системы линейных уравнений с учетом допущений, сделанных при анализе уравнения для поперечного волнового числа [5]. Процедура расчета корней при этом сводится к совместному решению уравнений восьмой степени для реальной и мнимой составляющих приведенной постоянной распространения ЭМВ. Численное исследование системы уравнений с помощью стандартной подпрограммы CPOLR по модифицированному методу Ньютона показало, что программа обладает высокой погрешностью счета, не обнаруживает всех корней исследуемых уравнений. С целью повышения точности расчета и снижения времени использования ЭВМ в
работе применена оптимизация задачи методом Нельдора-Мида [6], основанная на выборе регулярного симплекса в двумерном пространстве (операции отражения, растяжения и сжатия симплекса ограничены стандартными коэффициентами — 1,0; 2,0; 0,5). Численное исследование проводилось в два этапа: определялись области существующих корней на дискретной частоте, после чего рассчитывались зависимости у = ф (/) и Р = ф (/).
Совместное решение уравнений (8) и (17) на ЭВМ по методу Нельдона-Мида для параметров анизотропной среды: ег=10, ог=0,001 См/м, К=1016 м-3, ие=10б с-1, ии=109 с-1 свидетельствует о существовании ПЭВ в виде суперпозиции четырех волн. На рис. 1, 2 представлены частотные зависимости нормированных постоянных распространения для данных типов волн (реальной и мнимой составляющим корней соответствует штриховая и сплошная линии). Проведем анализ данных зависимостей с учетом условий существования ПЭВ (9).
Рис. 1. Частотная зависимость у! (а) и у2 (б)
Волны с комплексными продольными волновыми числами у] и у2 (рис. 1) имеют относительно равномерные коэффициенты фазы Яс у! и Яс '■¡-1 в частотном интервале 0,1 МГц-2,0 ГГц и нулевые значения за пределами этой полосы частот. Анализ приведенных коэффициентов затухания 1т и 1т у2 необходимо проводить дифференцированно по поддиапазонам частот, характеризующим распространение волн над средой. Для частотной зависимости 1ту=ф(/) (рис. 1 ,а) можно выделить пять частотных отрезков: 1 — полоса частот 0,10,9 МГц — характеризуется низким значением 1т ^, где среда поддерживает существование волны; 2 — узкий интервал частот 0,9-0,95 МГц, где 1т ^ резко возрастает до значения 0,1, поэтому следует ожидать частичного поглощения волны на данных частотах; 3 — поддиапазон частот 1,0-150 МГц характеризуется низкими 1т ^ и среда поддерживает волну; 4 — в интервале частот 400-500 МГц происходит смена режима распространения волны, так как 1т ^ >0 и волна будет поглощаться средой; 5 — частотам свыше 500 МГц соответствует равномерное распределение коэффициента затухания и характер распространения не будет отличаться от лучевого. В общем волна уг является быстрой электромагнитной, поскольку | уг |<1. Вторая волна (рис. 1, б) является медленной, так как модуль постоянной распространения лежит в пределах 1,2 < | у21 < 3,5. Для мнимой составляющей у2 также необходимо разбить исследуемый частотный диапазон на три: 1 — полоса частот 0,1-18 МГц, где 1т у2 принимает положительные значения, что соответствует поглощению волны средой; 2 — на частотах 18-200 МГц анизотропная среда поддерживает существование волны; 3 — область частот 400-500 МГц, где 1т у2 >0 волна не будет распространяться вдоль поверхности.
Суперпозиция описанных волн с ^ и у2 в окрестности частот 0,9 МГц и 450 МГц будет способствовать преобразованию ПЭВ в объемную за счет поглощения средой. Физически
такое аномальное поведение ПЭВ связано с электронным циклотронным и электронным плазменным резонансами взаимодействия ЭВМ и анизотропной среды.
18 Лег,
т
Гз
-2
-4
а Не
/3
0,1 1,0 ' 1о 100 £ МГц
/ /
\ \ I
1 и
18
■
■
^ . _ _ 0,1
1,0 10 100 Т, МП А
Рис. 2. Частотная зависимость у3 (а) и у4 (б)
Рассмотрим волны, дисперсионные зависимости для которых представлены кривыми на рис. 2. Поскольку модули этих волн | у31>>1 и | у4 |>>1, то они представляют собой электростатические (электрокинетические) волны, характер которых обусловлен динамическими процессами в анизотропной среде. Данный тип волн, как видно из графиков, может поддерживаться средой в диапазоне частот 0,1-60 МГц и вносит коррективы в поле ПЭВ на этом частотном интервале.
Дисперсионное уравнение с учетом наклона магнитного поля
При произвольном наклоне поля подмагничивания относительно границы раздела сред (за исключением нормального и продольного) тензор диэлектрической проницаемости имеет девять компонентов. Используя уравнения (1) и (2), можно получить коэффициенты матрицы:
= А'20)2|аг808189 - А'3Ю8081 + £а(у'С08087 + 89 + 83 ) + + юц283(1-а89 + ую80е7)/(уА"[юц283 - к~\,
К2 =со80(А;[а88 -соцг8289 - А;82] + со|аг8388)/(А;[со|лг83 -к\,
Къ = 7'со80[А:2ю2цг86(8081 + 2юцг83а/) + Аг'<х'соцг86 +
3 3
+ ка{ог'\\22гв +в4 -ю|1г8386) + со84]/(А;а + о:)|дг83), К4 - [к{юа2 + аю28085 - у'А;ю4|.1г8о828б +кщуггъ +
(18)
-к2а)-ю(.1а83 -ю3цг808385]/(уюцг)(А;а + юцг83).
Определяя детерминант матрицы ёй К = 0, получим уравнение для поперечного
волнового числа
п
(19)
и дисперсионное уравнение вида
1уУ£7_у=0,у=0...7.
(20)
б
а
В уравнениях (19), (20) коэффициенты Fn и Gv являются функциями частоты, комплексных компонентов тензора, величины и углов наклона магнитного поля, магнитной проницаемости среды.
Как видно, в отличие от (8), уравнение (19) дополняется приведенными поперечными составляющими с нечетными степенями. Высшая степень приведенного продольного числа в (20) увеличивается до шестой и также содержит члены с нечетными степенями. Определяется это тем, что наличие угла наклона поля подмагничивания приводит к необходимости учета всех компонентов тензора диэлектрической проницаемости. Количество корней дисперсионного уравнения (20) существенно увеличивается, а значит, увеличивается число мод, поддерживающих существования ЭМВ в среде.
Заключение
Приведенный анализ корней дисперсионного уравнения позволяет выделить несколько частотных областей, где за счет суперпозиции существующих волн возможны нелинейные преобразования ПЭВ над гиротропной средой.
Вариация электродинамических параметров анизотропной среды и угла наклона поля подмагничивания существенно изменяют дисперсионные свойства ПЭВ. При этом она представляется суперпозицией большего (в сравнении с нормальным или продольным подмагничи-ванием) числа волн.
DISPERSION CHARACTERISTICS OF SURFACE WAVE PROPAGATING IN ANISOTROPIC MEDIUM
D.V. GOLOLOBOV
Abstract
The analysis of the dispersive equation of a surface wave in the anisotropic medium with normal magnetic biasing against the interface is carried out. The results testify that the resulting wave is the superposition of four modes. The number of modes increases if a magnetic biasing field angle is concerned in calculations.
Литература
1. Гололобов Д.В., Малевич И.Ю. // Докл. БГУИР. 2005. № 1. С. 22-27.
2. Альтшулер ЕЮ, Кац Л.И., Попов В.В. // Обзор. Сер. 1. 1983. Вып. 7 (940).
3. Кравченко В.Ф. Электродинамика сверхпроводящих структур. Теория, алгоритмы и методы вычислений. М., 2006.
4. Wallis R.F., Brion J.J., Burstein E., Hartstein A. // Physical Rev. 1974. Vol. 9, N 8. P. 3424-3437.
5. Гололобов Д.В., Москвичев В.Н. // Радиотехника и электроника. 1990. Вып. 19. С.191-195.
6. Банди Б. Методы оптимизации. М., 1988.
