Дискретный подход к описанию дальних корреляций множественности и в модели слияния струн Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.125.17

В. В. Вечернин, Р. С. Колеватов

Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2004, вып. 4

дискретный подход к описанию дальних корреляций множественности и р4 в модели слияния струн*)

1. Введение. Для описания мягкой составляющей адронных и ядерных взаимодействий при высоких энергиях часто используется модель цветных струн [1-4]. В рамках этого подхода в работах [5, 6] была предложена модель слияния струн. В дальнейшем [7-10] она была приложена к описанию дальних корреляций множественности и Pí в релятивистских ядерных столкновениях [11-14].

В работе [15] был сформулирован некий простой аналог модели слияния струн, позволяющий провести явные аналитические вычисления корреляционных функций в некоторых асимптотических случаях и способный упростить вычисления в случае реальных ядерных столкновений. Там же были проверены предположения дискретного подхода и достоверность гауссова приближения для простейшего (без слияния) случая, когда может быть найдено явное решение в модели.

В настоящей статье в рамках предложенного дискретного подхода были вычислены корреляционные функции и коэффициенты корреляции рг-п и п-п в двух случаях: локального и глобального слияния струн.

Проделаны как численные расчеты, так и, в некоторых асимптотических случаях, аналитические вычисления с использованием гауссова приближения. Полученные результаты хорошо согласуются друг с другом, что доказывает обоснованность гауссова приближения.

При большой плотности струн 77 1 связь между коэффициентами корреляции обнаруживается в обоих случаях: как с локальным, так и с глобальным слиянием струн, причем для коэффициента корреляции имеет место скейлинг. Он зависит только от единственной комбинации ¡¿о/т/ц переменных г) и ^ (/¿о ~ среднее число частиц, испускаемых единичной струной).

В п. 2 будет воспроизведена формулировка дискретного подхода в случае локального слияния струн; в п. 3 развивается подход с использованием гауссова приближения для случая локального слияния; в п. 4 коэффициенты корреляции рг~п и п-п вычислены для больших г] в случае локального слияния струн и найдена связь между ними; в п. 5 рассчитаны корреляционные функции рг-п и п-п при больших г] для «однородного» случая (постоянная средняя плотность струн) в случае локального их слияния. Показано, что при этом коэффициенты корреляции р^пи п-п становятся равными, и имеет место скейлинг по цо/у/г}. Полученные результаты сравниваются с данными численных расчетов по формулам п. 2; в п. б воспроизводится формулировка дискретного подхода в случае глобального слияния струн, получены точные замкнутые формулы для корреляционных функций Рг~п и п-п; в п. 7 развито гауссово приближение для случая глобального слияния при больших плотностях ц. Вычисленные для этого случая корреляционные функции и коэффициенты корреляции и п-п сравниваются с результатами численных расчетов на основе формул п. б. Поведение корреляционных функций при малых плотностях струн изучается в приложениях.

Работа рыполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант Л> 01-02-17137-а). © В. В. Вечернин, Р. С. Колеватов, 2004

2. Дискретный подход в модели локального слияния. Воспроизведем формулы, полученные для данного подхода в [15]. Столкновение ядер рассматривается на основе двухэтапного сценария: на первом этапе формируются цветные струны, а на втором эти струны или те, что образовались в результате слияния первичных струн (с большим цветным зарядом), распадаются с испусканием наблюдаемых частиц.

Принципиально можно рассмотреть два типа слияния. В модели с локальным слиянием цветные поля суммируются локально, в модели глобального слияния - по всей площади кластера, формируя единое среднее цветное поле. Последний случай соответствует суммированию цветных зарядов источников. (В п. 5 [15] описанные модели соответствуют приведенным там случаям А) и Б) соответственно.)

В поперечной плоскости в зависимости от прицельного параметра Ь имеем некоторую область взаимодействия £(Ь). Разобьем ее на ячейки размером порядка размера струны. Таким образом, получим М = 5(6)/сг0 ячеек, где <т0 = ятд - площадь поперечного сечения струны, иг0й 0,2 &п - радиус струны.

По предположению модели локального слияния струн, в случае, если в г-ю ячейку попадают щ струн, они образуют струну с большим цветом, которая излучает в среднем Цъ^/щ частиц, при этом их средний поперечный импульс р"} равен р2у/гЦ, в отличие от Но с (р1) = р2, излучаемых единичной струной.

Обозначим щ и щ соответственно число частиц в событии и среднее число частиц, испускаемых струной повышенного цвета в г-й ячейке в данный интервал быстроты. Тогда

пг = цот/щ. (1)

В различных событиях число струн щ в г-й ячейке будет флуктуировать относительно среднего значения г}^ Ясно, что для реальных ядерных столкновений эти будут различаться для разных ячеек, а именно зависеть от положения (в) ячейки в области взаимодействия (з - двумерный вектор в поперечной плоскости). Чтобы получить физический ответ, необходимо суммировать вклады от.разных ячеек, что соответствует интегрированию по в в поперечной плоскости.

Средняя локальная плотность первичных струн 7){ в точке в поперечной плоскости однозначно определяется распределением ядерной плотности и значением прицельного параметра Ь, которые могут быть вычислены, например, в приближении Глаубера. Это будет сделано в отдельной статье. В данной работе предполагается, что все средние значения уже фиксированы на основе указанных рассмотрений для каждого значения прицельного параметра Ь. .

Введем величины, которые будут играть важную роль в дальнейшем:

м - м

¿=1 1=1 М М

г = ■ ^ у/щ.

г=1 г=1

Очевидно, N есть число струн в данном событии, а N - среднее число струн для данного типа событий при фиксированном прицельном параметре Ь.

Чтоб перейти к дальним корреляциям, необходимо рассматривать два окна по быстроте: Г (переднее) и В (заднее). Каждому событию соответствуют определенные конфигурация струн {щ,..., т]м} и число заряженных частиц, испущенных этими струнами

в переднее окно по быстроте. Таким образом, полное число частиц, излученных в переднее окно по быстроте пр, будет равно

м

пр =

1=1

Вероятность зарегистрировать uf частиц в переднем окне для данной конфигурации {Vi,-,VM} Равна

м

{nj,...,nM} i=l

где рщ (щ) - вероятность того, что струна r)i излучит щ частиц в переднее окно по быстроте. Предполагается, что в (1)

00

щ = n¿P„;(n¿) = ßQ^/rfi-т=о

Обозначим также Wfa, ...,г}м) - вероятность реализации струнной конфигурации {^íi — > Ям} в данном событии, тогда среднее значение некоторой величины О при условии рождения п р частиц в переднем окне будет равно

F>

(О) = _' (о\

, е ......'

{VL-.Vmí

При вычислении М-кратных сумм необходимо исключить один член, где все щ = О, отвечающий отсутствию неупругого взаимодействия между нуклонами сталкивающихся ядер (более подробно см. Приложение А).

Если О - число частиц, рожденных в заднее окно по быстроте в данном событии, пв, тогда для корреляций (пв)Пр необходимо использовать

м

(пв){п1,...,т,м},пг=-1М>'Е>/п=№ ] (3)

Í=1

. если О - средний квадрат поперечного импульса в данном событии для частиц, рожденных в заднее окно по быстроте, р\в, тогда для корреляций {р1в)пР нужно применять

м

М ЛГ дг'

= £ = = Р2 f (4)

е s/m е Vvl

г=1 ¿=1

- В дальнейшем будем считать, что число первичных струн в каждой ячейке гц флуктуирует независимо относительно некоторого среднего значения, однозначно определяемого распределением ядерной плотности и величиной прицельного параметра Ь (см. выше). Тогда

м м

Щт > = П»<*>. ^чМт) = Vi-¿=1 i= 1

Для простоты иногда будем обращаться к «однородному» случаю, когда все (в отличие от тц, которые флуктуируют от события к событию) равны для всей области взаимодействия = т} (постоянная средняя плотность струн). Параметр т] согласуется в этом случае с параметром г), использованным в работах [10, 12, 13], и имеет смысл среднего числа струн, приходящегося на площадь одной струны (т) — (средняя плотность струн) х сто). В общем случае параметры ^ имеют тот же смысл, однако средняя плотность струн зависит от точки з в поперечной области взаимодействия (^ = (средняя плотность струн в точке я) х сг0)-

Как было показано в [15], взяв также пуассонову форму распределения рт (щ) (ра{:г) - пуассоново распределение с х = а):

tlj

получим пуассоново распределение для v

причем (nF){Vi.....Vm} = Но ■s/m = = {nF)r и arF - (nF)r = /i0'"; что ПРИ бОЛЬШИХ

Но Yli V^ переходит в гауссово распределение

>.....= (5)

В п. 6 [15] также было показано, что, взяв биномиальную форму распределения рт(щ), получим биномиальное распределение для /м}(пг)> причем

(nF){Vl,...,VM} = wEiv^ = = (nF)r и = <nF>v(l - A) = Hor( 1 - А), где предел А 0 соответствует распределению Пуассона, а А 1 - случаю, когда каждая цветная струна испускает фиксированнное количество частиц щ = щ — но у/ví в каждом событии.

Более того, основываясь на центральной предельной теореме теории вероятности, можно утверждать, что при больших М будем иметь (5) для любого типа зависимости VVi{ni). " '

3. Гауссово приближение при большой плотности струн для локального слияния. Теперь оценим Пму при условии, что все fji » 1. Предположив это,

можно использовать гауссово приближение для каждой из w(r¡i):

w(r¡i) = —е V27raVi

2*Т

положив <т2. = т)Д1—Ап), где снова Ач О соответствует пуассонову пределу, а 1 -

случаю с фиксированным числом струн N = N — ^^ (см. п. 6 в [15]). Как и в [15], в этом случае имеем

м м

Заметим, что N='%2r)iяr=J2 у/Ш- Здесь

4=1 , ¿=1

В дальнейшем множители перед экспонентой берутся в точке, где <р минимально, после чего оставшиеся интегралы в числителе и знаменателе вычисляются, в результате чего получаем

Мпг = (б)

и

(Р\вК=Р>~■ (7)

Величины И* VI г* - значения N и г в точке {г^, ...,г)*м], где <р{г)1,пр) минимально:

др(гц,пр)

дгц

Это приводит к следующей системе уравнений:

О, (8)

= ' (9) т - \н1г*2 )

Отметим, что г* = у/Щ и к — (1 - Л^)/(1 — Л). Смысл параметра к описан в конце п. 2 и в работе [15], в случае распределений Пуассона к = 1, а в остальных случаях это относительная ширина распределений р{щ) и и](г)г). Как функция пр 77* определено в (9). '

Вводя ¿г = , / = ^ = ^у , йг = , перепишем (9) в виде

= ь (ю)

м м м

где г = £ л/г7~, г* = £ и ДГ* =•• £ -г?^. Формула (10) определяет ^ как функцию

г=1 г=1 г=1

/: 2г = 2г(/). ВпОСЛвДСТВИИ МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ {пв) И {$>\в)п как функции Пр,

используя (6) и (7).

4. Коэффициенты корреляции рг-п и п—тг при большой плотности струн в случае лощльного слияния. Коэффициенты корреляции определяются так же, как и в п. 4 [15]:

, <*<Пв)пс

dnF lnF=<nF>

dnF ,nF=(nF>

или для относительных переменных

Г _ d(nB)nF/{nB) t

dnF/(nF). 4-=<nF>> ^

• ,= <1пг/(пр) • (12)

(Заметим, что такое же определение р^-п коэффициента корреляции /3 использовано в [16] (формула (44)), также см. Приложение Б.)

В кратких обозначениях, используя (6) и (7), получаем

гг_1<1г* . , г /г*)

Мы не можем разрешить уравнения (10) с тем, чтобы найти г^ = ¿¿(/) явно, однако для вычисления коэффициентов корреляции необходимо знать только г\{1) = |у—1 > что может быть найдено в явном виде. При / = 1 уравнение (10) имеет очевидное решение:

/ = 1, ¿« = 1, ■ = г*=?, я* = Ж (13)

Необходимо вычислить только при / = 1. Дифференцируя (10) по / и применяя снова (13), находим

4т

г'Л\) = аг—-—

^ ; 4г + ^окМ

при аг — Следовательно,

= .. (14)

м .,

Используя |/=1 = 2 £ ^(1)^ = ,

имеем

г=1

л ^ = г?2 ль гш

\ИМ ) ц0к + 4¥/М \мм ) К 1

Отсюда видна связь между коэффициентами корреляции рг-п и п-п. Заметим, что в силу очевидного неравенства

м \2 м

\г=1 / ¿=1

г2 < МИ и, следовательно, всегда /3 < Ь.

Ясно, что при равных щ = т) имеем г — Му/ц, N — Мг), г2 = ИМ и /3 = 6 =

Но к

Из (14) следует, что коэффициент корреляции п-п всегда положителен. Может ли коэффициент корреляции р*-п быть отрицательным? Рассмотрим неоднородную ситуацию, когда т^ = г?+ при г = 1..,Мх, т\1 = г}- при г = Мх + 1,...,М, М1 ~ М и

Т)+ » Т). » 1. Тогда г = М1у/щ:+ (М - М^у^Г » Мх^Г, ЛГ = + (М - М^- и МхГ7+ и находим

. от

Видно, что при М\ < М/2 может оказаться /3 < 0.

5. Скейлинг по ¡л0/г)1/2 при большой плотности струн. Рассмотрим для простоты однородный случай, когда все равны друг другу по всей области взаимодействия 1]{ = г] (постоянная средняя плотность струн). В этом случае при большой плотности струн ?7 можно явно вычислить не только коэффициенты корреляции рг~п и п-п, но и соответствующие корреляционные функции для версии с локальным слиянием струн.

В конце п. 4 было показано, что в этом случае коэффициенты п-п и корреляций, определяемые как (11) и (12), взаимосвязаны:

= . <18>

где о = д40«/(4у^).

В рассматриваемом однородном случае = т) также можно вычислить корреляционные функции (р2в}Пр и {пв)Пр при любом Пр. Благодаря симметрии, система уравнений (10) имеет численное решение ^ = г и, таким образом, может быть сведена к единственному уравнению /

72

г = а ^ - 1 , (19)

г

поскольку г = Му/т), г* — гМ^/г) = г2Мг] при

ц0 Му/Ц (пр) Ау/т)

Равенство (19) определяет функции г = Затем, используя (6) и (7), можно вычислить

И*

(пв)п? = = ДОм^(/) = <пв)г(/), {р\в)Пр =р2~= = <Р?в >*(/)•

Таким образом, при любом пр = (пр)/ имеем

£. —

(пВ) <Р?В>

= *(/)• . (21)

Из (18) и (19) видно, что в рассматриваемом однородном случае при большой плотности струн г} имеет место скейлинг. Коэффициенты корреляции и корреляционные функции Рг~п и п-п зависят только от одной комбинации параметров: а = цак/{4у/г]).

Корреляционные функции г.(/)' (21) представлены на рис. 1, а, б, коэффициент корреляции ¡3 = Ъ (18) как функция т] - на рис. 2 (сплошные линии). Также на рис. 2 приведены коэффициенты корреляции рг~п и п-п, полученные прямым вычислением с помощью метода Монте-Карло по формулам (2)-(4). Видйо, что в случае локального слияния при малой плотности струн имеются сильные п~п корреляции (то же и для модели без слияния [15]) и практически отсутствуют корреляции рь~п. (Анализ поведения коэффициентов при малых значениях г) < 1 /М см. в Приложении А.) При

z(f) = (PtB)nr/(PtB) = (Пв)пг/{Пв) 1,5

0,5

0,5

1,5

2 0

0,5

1,5 2

/ = nF/{nF)

Рис. 1. Корреляционные функции pt~n и п-п.

Сплошные линии - гауссово приближение. для локального и глобального слияния при различных значениях скейлинговой переменной допунктирные и точечные - результаты точных вычислений в случае глобального слияния при разных до, V и М. а: 1 - до = 1> V — 1, М = 4, 2- до = 1; V — 1, М = 128, 3 - до = 2, г) = 4, М = 4, ^ - до = 2, = 4, М = 128, 5 - Гаусс, до/у^ = 1; ft i - до = 4, ?7 = 2, М = 4, 2 - до = 4, г) = 2, М = 128, 3 - Гаусс, до/х/*? = 2>83.

большой плотности струн в однородном случае коэффициенты корреляции pt-n и п-п становятся равными и имеет место скейлинг по y/rj. Также видно, что в этом пределе гауссова асимптотика хорошо согласуется с результатами численных расчетов и наблюдается независимость от М.

6. Глобальное слияние при большой плотности струн. Точное решение. В

таком случае на первом этапе также имеются М = 5(6)/<х0 ячеек (как и при локальном слиянии), при этом 7]i, i = 1,..., М, флуктуируют относительно Затем (в отличие от локального слияния) необходимо найти среднее т]с =, jj Yli Vi — $ для данного события и сгенерировать количество частиц, рождающихся из единого кластера со средней множественностью Нсу/Яс = /¿оMy/rfc = ноMy/N/M = HoVMN. Общая формула для такого случая была получена в [15]:

{0)п, =

£ (0W.....

{»Jl.-,t)M>

Е w(vi ,-,vM)p

{vi,-,Vm}

Ь Ei Vi

(nF)

(22)

где Цс = (¿оМ и M — S(b)/aQ. Предположение r\{ » 1 существенно, так как только в этом случае можно говорить о том, что площадь поперечного сечения кластера AS равна всей площади взаимодействия S(b) (b - прицельный параметр).

Величина ~~ выход частиц в заднее окно при конфигурации

{Vh—iVm}' Для корреляций (пв)п необходимо использовать

Ь (п-тг), /3 (р4-п)

0,8

0,6

0,4

0,2

0 0,8

0,6

0,4

ОЛ

0 0,8

0,6

0,4

0,2

фФ

—I-1_I_I_I

0 1 2 3 4 5

V

Рис. 2. Коэффициенты корреляции при цо, равном 1 (а), 2 (б) и 4 (в).

Сплошные линии - гауссово приближение для локального и глобального слияния Ь = ¡5 = /¿о/(мо + 4у/т)У, пунктирные и точечные - результаты прямых вычислений по формулам (25), (26) в случае глобального слияния при М = 4иМ = 128 соответственно (наполовину заполненные квадраты - то же, вычисленное напрямую методом Монте-Карло по формулам (22)-(24)). Светлые и черные квадраты - результаты прямых монте-карловских вычислений в случае локального слияния, основанные на формулах (2)-(4) для рь-п и п-п корреляций соответственно; закрашенные кружкй - коэффициенты корреляции п-п Ь = /¿о/(мо 4-1) в случае без слияния струн [15].

для СPw)nF корреляций

Видно, что отличие от случая локального слияния состоит в замене ^ у/Щ у жЕг^г- Как следствие, вычисления для глобального слияния сильно упрощаются, так как многократную сумму } можно свести к однократной как и в случае без слияния (см. п. 3 в [15]). Таким образом, для глобального слияния могут быть написаны простые формулы

«.л/МЕ^И'(Юр^^п,) = (25)

<ля>"'= vm w1wít' (26)

где W{N) =

В случае глобального слияния (один кластер при больших г^ площади AS, равной всей площади взаимодействия 5(6)) п-п и pt-n корреляции связаны:

/ 2 \ Р2 / \ (Пв)пр (р2в)пр . /0 V

или = (27)

Заметим, что в отличие от случая локального слияния здесь этот результат получается без какого-либо предположения относительно свойств распределений p{nF) и w(r¡i) и для произвольных (в том числе и не равных) т^.

Ясно, что в данном случае результаты могут зависеть только от среднего числа струн N и комбинации цм'-

^ = = У/М. (28)

^ i

Далее вычислим численно корреляционные функции по формулам (25) и (26), однако сначала найдем явные формулы для случая глобального слияния в гауссовом приближении. Покажем, что результаты в самом деле зависят только от одной комбинации параметров (28), а именно от = —^=2===, и имеет место скейлинг, как и в случае локального слияния.

7. Гауссово приближение для глобального слияния при большой плотности струн. Действуя так же, как и в случае без слияния (п. 4 в [15]; также см. п. 3), находим.

{пв)Пр = fiM\/Ñ* = fio^/M^ '

или, учитывая (27),

(пв) п. Пт-. N*

М (р2в)

Здесь N* - значение величины N, при котором функция

2JV(1 - А») 2WN/JV(1-A)

достигает минимума. Обозначим

HM^N пРУ " 4vw_4v/5/m'

f — nF _ nF _ ДМ» _ MoK

J — /= — / \ ) ® —

тогда получаем уравнение

z3 - z = a ['-j- 1 ) , (30)

которое определяет функцию 2 — z(f), а затем, используя (29), вычисляем корреляционные функции

<«в) п^ _ / Tip

("в) (Р?в) "\(nF) и коэффициенты корреляции для случая глобального слияния

g = S = ^ -(32)

Снова видно, что в случае гауссова приближения имеется тот же примечательный скейлинг. Корреляции рг-п и п-п зависят только от одной комбинации параметров: а = —4===. Заметим, что, в отличие от случая локального слияния, получаем тот же

4 у/И/М

результат для произвольных (в том числе и не равных) т\{.

В однородном случае все г}{ = г/, и ,

3 = 5= "оК - а

цок + 4^/77 а + 1

Видно, что .в однородном случае в гауссовом приближении результаты для локального и глобального слияния струн согласованы (как мы и предполагали в п. 5 [15]). Получены такие же уравнения (19) и (30) с теми же значениями параметра о, что в (20) и (33). Отметим, что уравнение для г(}) значительно отличается в случае отсутствия слияния (см. п. 4 [15]). В отличие от случая локального слияния, при глобальном' слиянии струн можно контролировать достоверность гауссова приближения, вычисляя корреляционные функции по точным формулам (25) и (26) при разных значениях параметра М.

Наряду с корреляционными функциями г(/) (21), (31) на рис. 1, а, б и коэффициентами корреляцйи & — Ъ (18),(32) на рис. 2, о-в, рассчитанными на основе скейлинговых формул, которые в гауссовом приближении одинаковы для локального и глобального слияния, на тех же рисунках приведены результаты точных вычислений в случае глобального слияния струн по формулам (25) и (26) при разных значениях М. На рис. 2 также представлены результаты прямых вычислений по методу Монте-Карло

коэффициентов корреляции Pt~~n и п-п при глобальном слиянии струн, основанные на формулах (22)-(24). Видно, что в этом случае гауссово приближение очень хорошо работает, и /хо/ц/*?~скейлинг не является атрибутом единственно этого приближения. Более того, наряду с Ho/y/rj-скейлингом при больших т? также имеем независимость от М для коэффициентов корреляции /? и Ъ (см. рис. 2), начинающуюся очень рано (от М = 4). /

8. Заключение. Сравним результаты настоящей работы и полученные в [15].

В работе [15] получили в случае без слияния струн:

1) для п-п корреляций: Ъ = где а = ¡xqk\

2) для pt-n корреляций: /? = 0.

В настоящей работе в случаях глобального и локального слияния струн для однородного случая (т^ = г)) находим при больших т]:

1) для п-п корреляций: b = где а = = Й)«/(4^);

2) для pt-n корреляций: 0 = b — с тем же а.

Видно, что при слиянии струн п-п корреляции становятся слабее, однако pt~n корреляции приобретают ту же.величину. В этом случае также имеет место Мо /-у^-скейлинг.

Для неоднородной ситуации (разные fjj при локальном слиянии струн находим при больших г}{:

1) для п-п корреляций: b = где а = ¿¿о«/(4г/М);

2) для pt-n корреляций: /3 = {j^jj — l) b и, следовательно, Р <Ъ, где

мм ¿=1 ¿=1

Как было показано выше (см. (15) и (16)), это приводит к /?, меньшему, чем Ь: Р < Ь. Как мы'видели, возможна ситуация (17), при которой 0 < 0.

При малой плотности струн г) 0, как показано в Приложении А, можно анализировать следующие различные предельные случаи при rj —» 0:

1. Удерживая постоянным М = const, имеем N -> 1 (поскольку конфигурации с N = 0 не рассматриваются как события), и корреляции как pt-n, так и п-п исчезают.

2. Удерживая постоянным N = const, имеем Mr) = const и М оо, следовательно, струны будут удалены друг от друга в поперечной плоскости, что приводит к тем же результатам, как и в случае без слияния [15].

Отметим, что результаты, полученные в применяемом нами дискретном подходе, находятся в хорошем согласии с вычисленными в рамках реальной модели слияния струн, включающей оценку детальной геометрической картины пересечения струн (устн. сообщение М. А. Брауна).

ПРИЛОЖЕНИЯ

А. Корреляции при малой плотности струн. Вычислим корреляционные функции и коэффициенты корреляции при малой плотности струн в случае локального их слияния (когда глобальное слияние струн не имеет физического смысла (обсуждение см. п. 5 [15])).

Для простоты рассмотрим «однородный» случай, когда все т}{ равны друг другу для всей области взаимодействия. Тогда в каждой ячейке г (i — 1,..., М) T)i флуктуируют относительного этого среднего значения, согласно распределению Пуассона (ра {х) - распределение Пуассона с х = а):

W. л >

Предположим также пуассонову форму зависимости рщ(щ):

Л.

Tli.

следовательно, имеем распределение Пуассона для

Р{чг,..;ЧМ}(пр) = PßoZiJmM >

причем (nF){4lt„.t4uy = р>о у/тЦ — ßor = (nF)r.^

Таким образом, находим из (2) для п-п корреляций

/ V _ ^<4.....г,м}г(ПМтц))р»0,(М

{гьвУпр. - -тр?—7-тт-—Г— - (34)

и для рг-п корреляций

Напомним, что N = г — у/тц , N - число струн в данном событии. В М-кратных

суммах (34) и (35) необходимо опустить один член, соответствующий обращению в нуль всех т)г = 0, который отвечает отсутствию неупругого взаимодействия между нуклонами сталкивающихся ядер (отметим этот факт £').

Вероятность Р(пцг) зарегистрировать пр- частиц в переднем окне по быстроте, которая входит в знаменатели (34) и (35), равна

<ii....."м>

где, согласно условию нормировки, имеем

1

P(nF) = С Y1 ( П ) Р^тМ , {ч........,л \ i ■ /

С =

1 — wM (0). 1 — е~Мг>

Очевидно, множитель С сокращается в числителе и знаменателе (34) и (35), однако, если вычислим среднее число струн, N, то получим

F = C (u^))n = C (36) {Ч1.....4jvf> ^ 1 ' ini.....vM} V » / \ » J

и для (nF) при малых rj ■< 1 имеем

(nF) = x) ПРРМ = С пар 2 ' ( п vfa) j r = mof 1 ^-MV = ^ofïv ,

поскольку для любого ш > 0 r}iw(Vi) = V + Oijf) при 77 —> 0, так как главный вклад возникает от члена 77» = 1.

Существуют два предела при т? -4 0: M — const и, следовательно, Мт) —> оо и N .—► 1 (см. (36)); N = const и, таким образом, Mi) — const (см. (36)) и M -» 00. Исследуем их.

Первый предел соответствует N — N = 1 (поскольку конфигурации с N = 0 не рассматриваются как события). Ясно, что в этом случае не будет ни pt-n, ни п-п корреляций,.так как не будет флуктуаций числа струн (см. п. 4 в [15]). Детальные вычисления приведем далее.

Во втором пределе при N = const имеем флуктуации числа струн N, однако в пределе 77 —У О М —» со и струны будут сильно разнесены в области взаимодействия, тогда слияние струн не будет играть роли. Таким образом, в этом пределе получим те же результаты, как« при отсутствии слияния струн, рассмотренном в [15]: сильные п-п корреляции, коэффициент корреляции, равный Ь = до/(Мо + 1), и отсутствие pt-n корреляций (см. далее).

Детальные вычисления. Оценим М-кратные суммы в (34) и (35) при т? 0, удерживая члены порядка (Мт])к, (Мт])кт} при произвольных к и опуская члены порядка (Мг))ктf и выше.

Члены порядка (Mrf)k возникают в слагаемых суммы (34) и (35) при t]ix = ... = T]ik =1 и остальных rji = 0; члены порядка (Мг])кт)'- из слагаемых (34) и (35) при тц^ = 2, r]i2 = ... — тjik = 1 и остальных тц — 0. Помня об этом, получаем

P(nF) = C(G0 + 2Gi)

и для п-п корреляций

. , No +

(пвК^Нов^ф^- (37)

Для pt-n корреляций имеем

- Р -Р2 Go ) • (38)

Здесь

м м

Go = Ро =^2C^r,hpMok(nF), No =^2кСмЧкРмкМ, fc=i fc=i м м

Gi = М = + (39)

fe=i fc=i

М к +1

где до = До*- и 7 = v^ - 1.

Заметим, что при М>1и Mr) — const находим

P(n^) = Ge-M"^-(G0 + Je-^i)

и для п-п корреляций

2*

F Go + le-^Gi

Для pt-n корреляций имеем

/ \ ЛГ0 + %e~ti°'1Ni

. (пв)п, .1 • (40)

Здесь

оо ,к оо ,к

С» =Fo = £*"'fr,5v„ =

Ь=1 ' fc=l

= |> + , Nl = J> + ^^ , (42)

°° Ик

Рг^к + ^'Нк + ^фщ,

где d = Мце Для контроля вычислений были также использованы следующие явные формулы при nF = 0,1,2:

Go(Q) = Ро(0) = ed - 1, JVo(O) = Gi(0) = G0(l) = P0(l) = dé, .

iVi(O) = Gi(l) = (d+y/2)ded, Pi(0) = £

k + 1 dk

Fo(l) = Go(2) = Fo(2) = (d+l)ded, TV^l) = GX{2) = (d2 + + 2\/2) + 2)ded,.

Pl{l) = {d + 2)'ded,

N0(2) = (d2 + 3d + l)ded, Fi(2) = (d3 + d23(l + \/2) 4- <f(74- 3y/2) + 2y/2)ded, Pi (2) = (d2 + <¿(3 + л/2) 4- 2\/2)de'i.

Данные расчетов с использованием асимптотических формул (37)-(39) в первом случае (М = const, 77-4-0, Мг\ -4 0 и N —1) показаны на рис. 3, а, б вместе с результатами прямых вычислений методом Монте-Карло по формулам (34) и (35). Как и предполагалось, в таком случае коэффициенты корреляции как п-п, так и pt-n стремятся к нулю, когда N ~ 1, т.е. при т] < 1/М. Вспомним о том, что имела место независимость от М коэффициентов корреляции при больших г). Видно, что в указанном пределе она исчезает при ij < 1/М. Это также является причиной нелинейной зависимости коэффициента корреляции от 77 в данной области (см. рис. 3, а, б для цо = 4).

Используя асимптотические формулы (37)-(39), можно вычислять коэффициент корреляции п-п в несколько большей области малых rj, чем коэффициент корреляции pt-n, поскольку есть вклад порядка (Мт])к и (Мг))кт) для п-п корреляций и только первый нетривиальный вклад порядка (Мт))кц для pt-n корреляций. Отметим очень хорошее согласие между результатами, вычисленными по асимптотическим формулам (37)-(39) и полученными по методу Монте-Карло по формулам (34) и (35) (см. рис. 3, а, б).

h — / (пв)) I

0 — d{npf(nF)) I «F=("F>

0 = 0,06

<*«PiS)«£/{Pifî»

d(nF/(nF)) I

0,04

-1

♦ l

* i

0 ï

0,02

-1

❖ 3 a 4

0,2 0,3

0,4

0

0,5 0

Г)

л Г *

0,1

0,2 0,3

0,4

0,5 V

Рис. 3. Коэффициенты корреляции п-п (а) и pt-n (б) при малых значениях г\ для /ио = 1 (1, 3, 5) и ро = 4 (2, 4, 6) при М = 30.

а: линии - результаты расчетов по асимптотическим формулам (37) и (39) при М = const (N —> 1), точки - данные прямых вычислений методом Монте-Карло с использованием формулы (34), стрелки показывают значение коэффициента корреляции п-п Ь — цо/(ро 4 1) в случае без слияния струн [15], что соответствует пределу N = const оо); б: линии - результаты расчетов по асимптотическим

формулам (38) и (39) при М = const (N 1), точки - результаты прямых вычислений методом Монте-Карло с использованием формулы (35).

Во втором случае, когда при 77 —>• 0 удерживаем N = const и, следовательно, в силу (36) Mri = const, так что М оо. Можно использовать формулы (40)-(42) с d = const, таким образом, в пределе г) —>■ 0 находим для п-п корреляций

(пв)Пр - нов (43)

Здесь числитель и знаменатель домножияи на е Мг> .

Пр.

Вспомнив, что ра{х) .- распределение Пуассона с х = а, видим, что формула (43) согласуется с формулой для п-п корреляций, полученной для случая без слияния струн (см. формулу (15) в [15]). Таким образом, будем иметь тот же результат для коэффициента корреляции п-п b = цо/{Но + 1)» как и в случае без слияния (см. рис. 3, а, б).

Для коэффициента корреляции pt-n в этом пределе находим из (41) и (42) при d = const

(p?B>«F=p2(l + Ofo)),

т.е. корреляции pt-n исчезают, как и в случае без слияния струн [15].

Б. О разнице между (пв) и Возможно вместо (11) и (12) использовать

следующие определения коэффициента корреляции:

4(пв)Пр/{пв){Пр) <*(р?в)л,/(р«в)(пу>

dnF/(np) 1«гв<»,> И Р- dnF/(nF) 1«f=<nf> '

где (пв){п > = (пв)я <п , и (p?b><nf) = <P?b)„f=<nf>- Ясно, что (пв) = '£Р(пР)(пв)Пр ss

nf

{nB)nF={nF}T,p(nF) = (nB)nF=(nF) = (Пв)(пр)- Такой же результат получается для

"f

(PtB)(n > — (Pts)nF=<nF) ~ (Рев)- В применяемом в настоящей работе гауссовом приближении эти два типа величин совпадают.

Авторы благодарят М. А. Брауна и Г. А. Феофилова за многочисленные полезные замечания.

V

Summary

Vechernin V. V., Kolevatov R. S. Cellular approach to long-range pt and multiplicity correlations in the string fusion model.

The long-range pt and multiplicity (n) correlations in high-energy nuclear collisions are studied in the framework of a simple cellular analog of the string fusion model. Two cases with local and global string fusion is considered. The pt~n and n-n correlation functions and correlation coefficients are calculated analytically in some' asymptotic cases using suggested Gauss approximation. It's shown that at large string density the pt~n and n-n correlation coefficients are connected and the scaling takes place. The behavior of the correlations at small string density is also studied. The asymptotic results are compared with results of the numerical calculations in the framework of proposed cellular approach.

Литература

Д. Capella A., Sukhatme U. P., Tan G.-I., Tran Thanh Van J. // Phys. Lett. 1979. Vol. B81. P. 68-74. 2. Capella A., Sukhatme U. P., Tan C.-L, Tran Thanh Van J.'// Phys. Rep. 1994. Vol. 236. P. 225-329. 3. Kaidalov A. B. // Phys. Lett. 1982. Vol. 116B. P. 459-463. 4. Kaidalov А. В., Ter-Martirosyan K. A. // Phys. Lett. 1982. Vol. 117B. P. 247-251. 5. Braun M. A., Pajares C. // Phys. Lett. 1992. Vol. B287. P. 154-158. 6. Braun M. A., Pajares C. II Nucl. Phys. 1993. Vol. B390. P. 542-558. 7. Amelin N. S., Braun M. A., Pajares C. // Phys.

Lett. 1993- Vol. B306. Р. 312-318. 8. Amelin N. S., Braun M. A., Pajares С. // Z. Phys. 1994. Bd C63. S. 507-516. 9. Armesto N., Braun M. A., Ferreiro E. G., Pajares С. // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 77. P. 3736-3738. 10. Braun M. A., Pajares С., Ranft J. // Int. J. Mod. Phys. 1999. Vol. A14. P. 2689-2704; (hep-ph/9707363). 11. Amelin N. S., Armesto N., Braun M. A. et al. // Phys. Rev. Lett. 1994. Vol. 73. P. 2813-2816. 12. Braun M. A., Pajares С. // Eur. Phys. J. 2000. Vol. C16. P. 349-359. 13. Braun M. A., Pajares С. // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 85. P. 4864-4867. 14. Braun M. A., Pajares С., Vechernin V. V. // Phys: Lett. 2000. Vol. B493. P. 54-64. 15. Вечерний В. В., Колеватов Р. С. // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2004. Вып. 2. С. 12-23; (hep-ph/0304295). 16. Heiselberg Н. // nucl-th/0003046, 2001.

Статья поступила в редакцию 26 декабря 2003 г.