Дискретно-интегральный анализ характеристик светофильтров в системах цветного и спектрозонального телевидения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дискретно-интегральный анализ характеристик светофильтров в системах цветного и спектрозонального телевидения

Представлены результаты разработки дискретно-интегрального метода, обеспечивающего выполнение относительного анализа характеристик светофильтров в системах цветного и спектрозонального телевидения. Основой предложенного метода является ступенчатая аппроксимация характеристик светофильтров, получение общих аналитических соотношений для функций ступенчатой аппроксимации, вычисление соответствующих таким функциям спектров. Относительное сравнение полученных характеристик спектров показывает эффективность выделения составляющих сигналов заданного цвета при использовании реализованного светофильтра. Чем в большей степени реализуется приближение вида спектра характеристики светофильтра к АЧХ реального ФНЧ, тем более эффективным является предварительное ограничение спектра исходного воздействия по цветовому направлению перед дискретизацией (формированием сигналов цветовых составляющих). Для увеличения точности анализа спектра характеристик светофильтров ассиметричного вида предложено осуществлять их декомпозицию на составляющие симметричного вида и разностную. Переход к такому варианту анализа существенно снижает погрешности ступенчатой аппроксимации. Подавление их уровня предложено также осуществлять за счёт использования интегрального преобразовании полученной функции ступенчатой аппроксимации. С использование предложенного метода и полученных соотношений проведён анализ спектров реальных характеристик светофильтров, реализовано их относительное сравнение. Полученные результаты свидетельствуют о достаточно высокой точности проведённого анализа и соответственно эффективности разработанного метода.

Безруков В.Н.,

МТУСИ

В системах цветного и спектрозонального телевидения формирование отдельных спектрозональных составляющих сигнала изображения как функций в пространстве аргументов х, у, t обычно осуществляют с локализацией (ограничением)

падающего электромагнитного излучения в пределах определённого /7-го числа фиксированных значений длины волны

(Л = Л = const)- Необходимое ограничение по направлению

О/

О Я каждой из указанных п (l,2,3...i...n) составляющих реализуется с использованием соответствующих светофильтров. При этом операция интегрального текущего усреднения в пределах отдельных характеристик светофильтров является операцией, реализующей ограничение спектра исходного воздействия как функции от аргумента X. Указанное ограничение отражается в частотной области произведением соответствующих спектров функций ограничения и исходного воздействия, а в реальной области сверткой таких функций. Выделение же усредненного (отфильтрованного) отсчета исходной функции реализуется при этом за счет фильтрующего свойства 6-функции. Соответственно, выбор вида функции ограничения С.(Л) должен осуществляться в системах телевидения с

учетом попутно возникающих преобразований спектра функции исходного электромагнитного воздействия, которые в основном и определяют фактический сигнал данного отсчета. Выделение совокупности таких отсчётов эквивалентно дискретизации по направлению О Л [1,3]- Характеристика светофильтра определяет эффективность предварительной низкочастотной фильтрации перед осуществлением последней.

По виду функции ограничения G- (Л) современные системы телевидения можно подразделить на три вида: системы

интегрального, дифференциального и смешанного типов. При этом основное распространение получили в данный момент системы интегрального типа. В таких системах функция ограничения С;( Я) следует выбирать из условий, обеспечивающих совместное увеличение эффективности ограничения в реальной и спектральной области^3^.

Анализ спектра характеристик светофильтра относительно просто может быть осуществлён на основе использования дискретно - ступенчатой аппроксимации с последующим интегральным преобразованием, обеспечивающим снижение уровня относительных ошибок П1. На рисунке 1 а,б графиками 1 представлены характеристики |^2] светофильтров основных цветов К и В.

Целесообразно при этом первоначально осуществить ступенчатую аппроксимацию анализируемой функции ограничения, а затем выбрать функцию или набор функций для реализации интегрального преобразования, обеспечивающего подавление ошибок ступенчатой аппроксимации. Свёртка указанных функций должна давать приближение к аппроксимируемой функции ограничения. Сложность и точность анализа в данном случае существенно зависит от процесса определения необходимой ступенчатой функции. При правильном выборе числа, уровня ступеней аппроксимации и функции (функций) преобразования свертка последней с локальными скачками ступенчатой функции чаще всего обеспечивает в условиях минимизации числа участков достаточную для практики точность аналитической аппроксимации функции ограничения любой формы. Ситуация при этом резко упрощается за счет того, что можно для функции аппроксимации 5 (Я) соответствующей спектральной плотности составлять расчетные выражения пользуясь результатом расчленения функций ограничения на элементарные фрагменты, аналитические описания которых

уже очевидны Г11.

а)

1.0 1, Р"

Г

г-

0.5

Св(А), 5в(А)

3-1-1 ^1-2

-Л

-1-3

-1-4

-1-5

,1-6 (-1-7

ч

■1-8

4Й0 ' 4І0 ' 440 4ё0 ’ 4Й0 ’ 5Й0 5І0

Л (нм)

Рііс. I. Характеристики светофильтров основных цветов Ли В:

а) ірафик 1 - исходная характеристика свегафилыра основного цвет/?;

Я

ірафик 2 — симметричный варианту данной характеристики свето-

фильтра; б) іраі|)ик 1 - исходная о {Л) характеристика светофильтра

основного цвета В; график 2- вариаш ступенчатой (составляющими 1-1,1-2,1-3, 1-4,1-5,1-6, і-:

светофильтра.

1-4,1-5,1-6,1-7,1-8 функции ^(Д))аппроксимации характеристики (7^(Я)

аппроксимирующая ступенчатая функция, то точность аппроксимации может оцениваться степенью приближения площадей, охваченных функцией ограничения и аппроксимирующей ступенчатой функцией.

Введем понятие абсолютной допустимой (в среднем) погрешности использования ступенчатой аппроксимации Лк \

рї =

-00

Сл(Л)с/А

ОО

І С](Л)с/Л Лп Я

функции ограничения в

пределах аА = Л -Л ограниченного участка и относительной

Н 1г

погрешности аппроксимации

%

Ли

І (Я)</Я Лк Я

-Л. $0

Величину относительной погрешности текущего приближения площадей функций 5,-(Л) и С; (Л) будем оценивать выражением следующего вида:

Л Л

I Сл(Л)с/Л- I 5(Л)</Л

Р0(Л)

А.кА^Лп.

Лк

Лк

Л

Г СЛЛ)</Л Лк я

*2Рог

(1)

Развитием оценки с использованием соотношения (5.7)

является дополнительная оценка величины

р(Л)= ІР(Л)сіА’

Следует заметить, что задача синтеза в спектральной области характеристик ограничения заданной аналитическим путем формы отличается значительной технологической сложностью. Чаще всего на пракгике реализуют набор различного вида приближений к заданной характеристике. Выбор из реализованных светофильтров оптимального обуславливает необходимость провести сопоставительный анализ соответствующих выражений спектральной плотности, результатом которого является выявление наилучшего варианта. Чем в большей степени реализуется приближение вида спектра характеристики светофильтра к АЧХ идеального ФНЧ, тем более эффективным является предварительное ограничение спектра исходного воздействия по направлению О Л перед дискретизацией (формированием сигналов цветовых составляющих). В свою очередь сопоставление характеристик по функциям спектральной плотности возможно лишь в условиях обеспечения достаточно высокой точности их анализа При этом важную роль играет вопрос увеличения точности анализа характеристик спектральной плотности при одновременном уменьшении числа независимых, ступенчатого вида, фрагментов, на которые предварительно разделяется анализируемая функция ограничения.

Наименее простой вариант аппроксимации реальных функций ограничения имеет место при использовании в качестве функции преобразования 5-функции. Реальная функция ограничения в таком случае аппроксимируют ступенчатой функцией. Если с, (Я) _ реальная функция ограничения, 5, (Я) -Я Я

которая позволяет выявить накопление погрешности аппроксимации в заданном интервале изменения аргумента к.

В условиях, когда крутизна например, линейно нарастающего фрагмента функции ограничения увеличивается, например, в п раз, то постоянство погрешности аппроксимации

практически не нарушается при увеличении в л/п" раз амплитуды локальных скачков аппроксимирующей функции с одновременным уменьшением в аналогичное число раз периода следования таких скачков. Из последнего следует вывод о том, что минимизация числа скачков аппроксимирующей функции при фиксированной погрешности аппроксимации может быть реализована за счет адаптивных изменений в диапазоне аппроксимации амплитуды и периода следования ступеней аппроксимирующей функции, характер которых определяется параметрами формы соответствующих фрагментов функции ограничения. Чем меньше огаосительная площадь аппроксимируемого участка функции, тем выше должна быть точность её ступенчатого представления.

Расчленение на отдельные ступенчатые фрагменты и аппроксимация функции ограничения в каждом конкретном случае должны выполняться с минимальной погрешностью. Результатом аппроксимации такого типа является представление (замена) анализируемой функции ограничения суммой единичных функций (о( А.)) или функций типа теЛ:

' V л-4

Є * (А)- £ а гес( Л /=1 I

т

X “е1 -=п ь

= £ а£<7{Л — Л;.)'

£=0 ^ £

где а а с - коэффициенты, определяющие амплитуду и полярность составляющих аппроксимирующего ряда.

Существенное влияние на точность такого типа аппроксимации оказывают особенности исходной функции ограничения. Значительно сложнее, в частности, обеспечить постоянство текущей погрешности аппроксимации в случае значитель-

ной асимметрии аппроксимируемой функции ограничения в области положительных и отрицательных значений аргумента Я . Как можно заметить исходные характеристики С^(Л)и

(7 (Я), представленные графиком 1 на рис. 1 аб существенно

отличаются по форме и протяжённости. При этом характеристика с (Я) отличается меньшей протяжённостью

и более симметрична по сравнению с характеристикой с (Я).

Л

Снижение погрешности ступенчатой аппроксимации в данном

(2)

случае даёт представление функции (J (Я) в виде суммы:

R

Сд(А) = Сдр(Л)+

Здесь (7 (А)» согласно рис. 1а симметричная состав-

ляющая характеристики светофильтра имеет эквивалентную форму при отрицательных и положительных значениях аргумента/1 , а д (Я) — разностная, между характеристиками

Срр(Л) и С^(Л)> составляющая. Графиком 1 рис. 2 представлен конкретный вид разностной составляющей д (Я),

графиками 2 и 3 — нормированные функции модулей, отражающих изменения данной составляющей по оси ОЛ В участках положительных и отрицательных значений её уровня. Обозначим функцию, представленную на рис. 2 графиком 2 , как

0SR

<4

, а функцию, представленную графиком 3, как

^05/? (Я)^ ®аРиангы осушеспшения ступенчатой аппроксимации указанных, первой и второй, функций показаны на рис. 2 соответственно совокупностями ступенчатых составляющих

5д1(Я)и5д2(Я)

Д»(Х). |До5яМ|,3Л(М

Л (нм)

Рис. 2. Функции д (Я) разности, между характеристиками С^(Л) и С^р(Л) '■ график 1 - разностная, между характеристиками 6’^ (Я) и С- составляющая; график 2-нормированная

разностная составляющая в участке положительных значений её уровня; график 3 - модуль нормированной разностной составляющей в участке отрицательных значений её уровня.

Вариант ступенчатой аппроксимации 5 (Я) симметричной составляющей С^^(Я) > входящей в соотношение (2) для характеристики С^(А)»показан на рис. 3.

теристики светофильтра С^(Я) и Функция S^p(A) ^ ступенчатой аппроксимации

В общем случае спектр функций, реализующих ступенчатую аппроксимацию, отражается суммой:

2kv , Л. /-J4

р sin—-jlxX-Vi » V)

QAV])= \—e sl Я

Я' Л’ i i 2kv~Л.

___/. /

2

где у — частота по направлению ОЛ, множитель

Я

ехр(-/2жЛ .i/д) определяет относительную фазу (смещение

на величину A = AS ) каждого фрагмента (ступени) аппроксимации, например, по отношению к точке максимума характеристики светофильтра, я. - протяжённость, а- -уровень и полярность отдельной ступени аппроксимации. При этом спектр

Q {у \ аппроксимированной характеристики 6' (Я) в

Ял Я л

соответствии с соотношением (2) отражается спектрами отдельных составляющих:

^(и,) = ^(и/!)+0д5Л(^) = ^/>(^)-О,О4.05д1(^)+О.О8^д2(и/!)-

(4)

Здесь Q (у~ спектр аппроксимации симметричной составляющей, Q щ(у^) ~ спектр участка положительных

значений разностной составляющей и Q (у ) - спектр

SA2 Л

участка отрицательных её значений. Весовые коэффициенты в выражении (4) соответствуют максимальным (положительным и отрицательным значениям) разностной составляющей.

Число и средняя протяжённость ступеней аппроксимации в реальных условиях определяет место локализации спектра функции, отражающей текущую погрешность ступенчатой аппроксимации. Увеличение числа отражается уменьшением средней протяжённости ступеней аппроксимации и смещением спектра функции погрешности аппроксимации в область высоких частот по оси оv • Последнее определяет снижение влияния

я

ошибок аппроксимации на форму анализируемого спектра, составляющие которого локализованы в области низких частот. Простейший вариант интегрального подавления погрешностей ступенчатой аппроксимации может быть, при выполнении анализа, реализован виде однократной свёртки в реальном пространстве полученной функции ступенчатой аппроксимации, например, S (Я) с прямоугольной (rect ) функцией преобразования.