CC BY
40
УДК 519
ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ ПЛАНИРОВАНИЯ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ИПОТЕЧНОГО КРЕДИТА С ПЕРЕМЕННЫМИ ПЛАТЕЖНЫМИ ПОТОКАМИ
© 2005 М. Г. Сорокина
Самарский государственный аэрокосмический университет
Исследуется динамика финансовых потоков при реализации процедуры амортизации ипотечного кредита с убывающими и возрастающими платежами.
В отечественной и зарубежной практике ипотечного кредитования широкое распространение получил стандартный ипотечный кредит, предполагающий такую организацию денежного потока, при которой платежи по кредиту осуществляются в виде периодических, обычно ежемесячных, постоянных выплат. Такой кредит получил название аннуитетного ипотечного кредита.
Положительной характеристикой аннуитетного кредита является возможность равномерно распределить финансовую нагрузку на заемщика по возврату кредита в течение всего кредитного срока, что способствует некоторому смягчению кредитного риска. В то же время аннуитетный кредит с постоянной ставкой процента приемлем только в условиях относительно низкой инфляции и слабо меняющейся стоимости финансовых ресурсов.
В последние годы за рубежом стали применяться новые варианты ссуд под залог, которые предусматривают более сложные условия возвращения кредита, чем стандартный вариант. К ним относятся кредиты, когда периодические платежи изменяются по определенному закону, например по арифметическому, в котором платежи изменяются по линейному закону и представляют собой арифметическую прогрессию, и геометрическому - с показательным законом изменения платежей. В этом случае последовательность платежей представляет собой геометрическую прогрессию. В каждом случае, в зависимости от параметров закона изменения платежей, они могут возрастать со временем (кредиты с нарастающими платежами) или убывать (кредиты с убывающими платежа-
ми). Как правило, кредиты с нарастающими платежами применяются заемщиками, рассчитывающими на увеличение своих доходов в будущем, и, наоборот, заемщики, достигшие определенного положения, используют кредиты с убывающими платежами, но со значительными выплатами в первые два года срока кредита. Обычно такие ипотечные кредиты предусматривают фиксированную ставку процента на весь период кредитования.
Исследуем динамику финансовых потоков, характеризующую состояние кредитного процесса, в котором платежи представляют собой арифметическую прогрессию [1].
Пусть имеется поток платежей
V, V + 0, V + 20, ..., V+ (к- 1) 0, ...,
..., V + ( п- 1) 0,
где 0 - разность прогрессии, т. е. величина, на которую изменяется за каждый период платеж V; к - текущий номер периода; п - срок кредита.
Закон изменения платежей представляет собой арифметическую прогрессию вида
Vk = V + (к - 1) 0, к = 1, 2, ...., п;
Vn = V + (п - 1) 0 > 0. (1)
Здесь выполнение условия Vn > 0 необходимо для того, чтобы не было отрицательных выплат.
В (1), если разность прогрессии 0 положительна, то имеется нарастающий поток платежей, если 0 отрицательна - убывающий, если 0 равна нулю - постоянный.
Диаграмма нарастающих финансовых потоков представлена на рис. 1.
Определим текущую Б стоимость потока платежей (1):
Б = К3 + К32 + ... + ¥^к + ... + V 3” =
12 к п
= V3 + (Г+ 0)2 + ... + (к - 1) 0] 3к +.
...+ [V+ (” - 1) 0] 3”,
(2)
Б = 1 V + ^, а . -
і і і ”; і
Преобразуем (4) к виду: Б = Va . + (а . - п 3п) 0/1.
п; г 4 п; г / ^
(4)
(5)
0 и сумме кредита Б или определения величины прироста 0 при заданной сумме первого платежа и сумме кредита Б [1]. Пусть величина первого платежа V задана и соответствует финансовым возможностям заемщика. Тогда величина прироста из (5) равна
где 3 = 1/ (1 + г) - коэффициент дисконтирования по ставке ..
Умножая (1) на коэффициент роста и = (1 + г), а затем, вычитая из обеих частей выражения соответствующие части равенства (1), получим
гБ^+03+032 +...+03п - ЧУКп - 1)0]3п=
^( 1 - 3п) + 0Е3- п03 + 03. (3)
1
Из (3) находим, что
Б = V( 1 - 3п) / г + (ап. г - п3п ) 0/г .
Учитывая, что ( 1 - 3п) / г = а. . , получим в результате
0 = (Б - V! . ) і / (а . .- п 3 ”).
(6)
Если требуется определить величину первой выплаты, то из (5) находим, что
V = (Б - (а . . - п 3 ”) 0 / 1) / а . . .
(7)
При рассчитанных значениях расходов по кредиту и заданных исходных данных можно составить план-график погашения основного долга в виде таблицы и графика изменения финансовых потоков (рис. 2). Расчет параметров финансовых потоков проводится по следующим рекуррентным соотношениям:
к = 1, ..., п; Б„ = Б.
Бк-1 - Кк,
()
Из (5) следует, что текущая стоимость Б зависит линейно от параметра 0.
При формировании графика погашения задолженности с переменными платежами возникает проблема определения первого платежа V при известной величине прироста
Соотношения (8) позволяют для любого момента к определить состояние ипотечной кредитной сделки, которая характеризуется величиной процента Jk , величиной погашения долга Як и остатком долга Бк.
Приведенная схема погашения является удобной для тех заемщиков, которые испытывают финансовые затруднения в первые годы и рассчитывают увеличить свои доходы в будущем.
V + (п - 1)0
Рис. 1. Диаграмма нарастающих финансовых потоков
Рис. 2. Динамика изменения финансовых потоков в схеме погашения с нарастающими платежами по займу
Рассмотрим схему погашения с убывающими платежами по кредиту.
Примем, что ежегодные расходы на погашение кредита Я являются постоянной величиной, равной
Я = Б / п =сот1.
Чтобы обеспечить погашение кредита, величина убывания платежей должна удов -летворять неравенству
V - (п - 1)0 > Я, (9)
то есть платеж в последний п-й год не должен быть меньше заданной величины расхода на погашение основного долга.
Из (9) следует
0 < (V - Я) (п - 1). (10)
Таким образом, для убывающих платежей по кредиту при постоянной величине ежегодного расхода на погашение долга Я величина прироста не должна превышать значения, равного (V- Я) (п - 1).
При найденном значении убывания расходов по кредиту 0 величина выплат по нему
в каждый период определяется из уравнения (1).
При заданном расходе на погашение Я, равном постоянной величине, и найденных значениях выплат по кредиту в каждом периоде Vk легко найти величину процентов в каждом периоде по уравнению
Л = Vk - Я, к = 1, ..., п.
Найденное значение ежегодного расхода на погашение кредита Я позволяет определить величину оставшегося долга в каждом периоде
Бк = Бк- 1 - ^ к = 1 •••., ^ Б0= Б.
Таким образом, чем интенсивнее снижается платежный поток по кредиту, тем с экономической точки зрения заемщику выгоднее реализовать такую схему. Однако для этого он должен быть платежеспособным, особенно в первые годы действия срока ипотечного кредита.
Если задолженность погашается р раз в году, например ежемесячно (р = 12), и с такой же частотой выплачиваются проценты по
ставке г/р, то число периодов равно пр, а расходы на погашение основного кредита составят
Я = Б / рп.
Заменяя в (1, 5, 6 - 10) к на кр, п на пр, г на г/р, можно получить формулы для формирования процедуры погашения задолженности при возрастающих и убывающих платежных потоках [1].
Так, если V - разовая величина выплаты, 0 - годовой прирост выплат, то последовательные выплаты равны:
V; V + 0/р, V + 20/р, ., V + (рп -1) 0/р.
Для к-го периода расходы на погашение кредита составят
Vk= V +(к - 1) 0/р, к = 1, ....,рп.
Современную стоимость платежных потоков при начислении процентов р раз в году определим из уравнения
рп
б = %№+0■л/р)3я/р.
Л=1
Рассмотренные в работе модели финансовых потоков в решении задач погашения задолженности для различных видов ипотечных кредитов позволяют дать им количественную оценку по критерию суммарных расходов на выплату процентов и обеспечить на этой основе возвратность кредита с учетом платежеспособности заемщика.
Список литературы
1. Четыркин Е. М. Финансовая математика: Учебник/ Е. М. Четыркин. - 4-е изд. -М.: Дело, 2004.
DISCRETE PLANNING MODEL FOR MORTGAGE CREDIT WITH VARIABLE PAYMENT FLOWS
© 2005 M. G. Sorokina
Samara State Aerospace University
The paper analyses the dynamics of financial flows when carrying out the procedure of mortgage credit depreciation with decreasing and increasing flows.
