CC BY
5
ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ ЭВОЛЮЦИИ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА ДРОБНО РАЗМЕРНЫХ МИКРОСИСТЕМ
Изучение процесса изменения информации в микроскопических системах является достаточно сложной и актуальной научной проблемой. Сложность заключается в том, что из-за микроскопичности объектов нельзя использовать известные термодинамические методы, основанные на законах больших чисел. Одним из возможных методов исследования микроскопических систем является использование дискретных марковских моделей с непрерывным временем. Такие модели основаны на принципе неопределенности Гейзенберга достаточно адекватно описывают взаимодействие между макроскопическим наблюдателем и микроскопической системой на квазиклассическом уровне. В то же время использование квазиклассических моделей позволяет избежать сингулярностей, в том числе и неустранимых, возникающих на малых расстояниях и высоких энергиях. В данной работе дискретная математическая модель фазового пространства элементарной частицы будет применяться для исследования микроскопических объектов с размерностью п=1. В результате использования модели получена оригинальная интерпретация кваркового строения адронов. В частности, представлена динамика функционирования кварков в протоне и нейтроне, условия образования Д резонансов (Д°, Д+, Д+, Д++). Также рассмотрена проблема отсутствия свободных кварков (явление конфайнмента). В работе рассматриваются только первое поколение кварков и составленные на их основе адроны. На основе известных опытных данных проведены численные расчеты, показывающие достаточную адекватность модели. Математическая модель дискретного фазового пространства, созданная для изучения эволюции информации в микроскопических системах, применима для решения задач физики элементарных частиц и может в ряде случаев дополнить существующие модели кваркового строения адронов.
DOI: 10.36724/2072-8735-2022-16-4-14-20
Юденков Алексей Витальевич,
ФГБОУ ВО "СГУС", г. Смоленск, Россия, aleks-ydenkov@mail.ru
Manuscript received 28 February 2022; Accepted 06 March 2022
Володченков Александр Михайлович,
Смоленский филиал РЭУ им. Г.В.Плеханова, г.Смоленск, Россия, alexmw20l2@yandex.ru
Римская Лилия Павловна,
Смоленский филиал РЭУ им. Г.В.Плеханова, г.Смоленск, Россия, lilirimska@yandex.ru
Ключевые слова: фазовое пространство, квантовая теория поля, кварки, марковский процесс
Информация об авторах:
Юденков Алексей Витальевич, заведующий кафедрой менеджмента и естественно-научных дисциплин, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВО "СГУС", г. Смоленск, Россия
Володченков Александр Михайлович, заведующий кафедрой естественнонаучных и гуманитарных дисциплин, кандидат физико-математических наук, доцентСмоленский филиал РЭУ им. Г.В.Плеханова, г. Смоленск, Россия
Римская Лилия Павловна, доцент кафедры менеджмента и таможенного дела, кандидат физико-математических наук, доцент, Смоленский филиал РЭУ им. Г.В.Плеханова, г. Смоленск, Россия
Для цитирования:
Юденков А.В., Володченков А.М., Римская Л.П. Дискретная модель эволюции фазового пространства дробно размерных микросистем // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2022. Том 16. №4. С. 14-20.
For citation:
Yudenkov A.V., Volodchenkov A.M., Rimskaya L.P. (2022). Discrete model of the evolution of the phase space of fractionally dimensional microsystems. T-Comm, vol. 16, no.4, pр. 14-20. (in Russian)
T-Comm ^м 16. #4-2022
Введение
Математические модели, в которых используется фазовое пространство с встроенной симплектической структурой, широко и эффективно применяются для решения задач классической физики и квантовой механики. При этом модели могут соответствовать как элементарным микросистемам, так и макросистемам со многими степенями свободы.
В большинстве случаев считается, что фазовое пространство непрерывное и достаточно гладкое. Между тем, в случае микроскопических систем непрерывность фазового пространства может приводить к логическим противоречиям. Поэтому в ряде задач, на наш взгляд, более эффективно использовать дискретную модель фазового пространства ([9], [12]). Такая модель, основанная на принципе неопределённости Гейзенберга, более адекватно и непротиворечиво описывает эволюции системы «частица+поле». Сам процесс эволюции при этом представляет собой хорошо известный в теории случайных функций дискретный марковский процесс с непрерывным временем. По замыслу авторов основное предназначение модели - это работа с гравитационным полем. Известно, что гравитационное взаимодействие в лабораторных условиях слишком мало для экспериментального изучения [8]. В тоже время при малых расстояниях и больших энергиях гравитационная сила «скручивает» пространство-время, скрывая объект исследований от внешнего наблюдателя за горизонтом событий. Модель дискретного фазового пространства в принципе исключает такое понятие, как явление, произошедшее в данном месте и в данное время, что убирает сингулярности возникающие в традиционных квантовых моделях поля. Это дает возможность дать непротиворечивое определение гравитона и предложить один из вариантов его строения.
Однако авторы надеются, что математическая модель дискретного фазового пространства найдет свое применение и в других разделах квантовой физики. Данная работа является с точки зрения логики продолжением статьи [12], в которой дискретная модель применялась для изучения эволюции броуновской частицы в пространстве с размерностью 1 (или с размерностью 2, если пространство фазовое). Результаты работы позволили применить математическую модель дискретного фазового пространства для изучения строения и эволюции нуклонов с учетом их внутреннего строения. Как будет указано далее в обзоре литературы по данной теме, в квантовой теории поля существует несколько, по сути дела, несвязанных между собой моделей, каждая из которых эффективна и адекватна только в решении задач физики элементарных частиц при определенных условиях. Поэтому, на наш взгляд актуально и полезно предложить альтернативную модель кваркового строения адронов, которая за счет изменения масштаба (квазиклассический масштаб) сочетает особенности сразу нескольких известных моделей.
В работе дискретная математическая модель фазового пространства применяет для изучения строения адронов, составленных из кварков первого поколения. Кроме этого в рамках модели рассматривается причина отсутствия в природе свободных кварков. Адекватность модели проверяется расчетами и сравнением результатов с известными экспериментальными данными.
Обзор литературы. Кварковая модель нуклонов, предложенная в работах М. Гленн-Манна и Дж. Цвейга в 1964 году, является на сегодняшней день основной в физике элементарных частиц ([3], [6], [8]). В свою очередь, сама кварковая модель адронов разделяется на три в принципе несвязанных между собой модели ([1], [2], [10], [11]).
1. Нерелятивистская модель составных кварков.
2. Релятивистская модель токовых кварков.
3. Модель цветных кварков, известная как квантовая хромодинамика.
Каждая из этих моделей оказывается эффективной в своей области применения. Основное положение, которое объединяет указанные модели, - это составная природа адронов. Еще раз обратим внимание на то, что между самими моделями нет однозначной взаимосвязи. Например, массы кварков в составной модели и релятивистской модели отличаются в десятки раз.
Перечислим кратко основные факты теории кварков. Существуют пять видов кварков: и, ^ 8, с, 1. Им соответствует пять антикварков: и, й, 5,с, I. Кварки имеют дробный заряд: q(d,s,b)=-1/3, q(u,c,t)=2/3. Кварки являются фермио-нами. Считается, что барионы (нуклоны, гипероны) состоят из трех кварков. Мезоны состоят из пары кварк-антикварк ([6], [8]).
Одной из самых интересных особенностей кварков является то, что они не регистрируются в свободном виде. Это, так называемое явление конфайнмента. Считается, что явление кон-файнмента теоретически недостаточно обосновано [8].
В статье мы предложим отличную от известных модель адрона, используя для её построения понятие дискретного фазового пространства и уравнения Колмогорова. При этом мы ограничимся только первым поколением кварков и состоящими из этих кварков адронами.
Математическая модель. Основные положения математической модели дискретного фазового пространства представлены в работе [9] .
1. Модель дискретного фазового пространства основана на принципе неопределенности Гейзенберга ([4], [5]). Основные соотношения даются формулами (1) и (2):
ДрДх « к, АЕМ » к
(1) (2)
Согласно соотношениям (1) и (2) фазовое пространство элементарной частицы дискретно и состоит из элементарных ячеек —У ( здесь 8 -число степеней свободы частицы).
2. В дискретном фазовом пространстве можно ввести структуру, аналогичную симплектической структуре. В данном случае симплектическая структура будет дискетной. То есть,
к ~ Дю2 = Др1 л +... + Др3 лАд3.
(3)
Из соотношения (3) следует, что минимальное значение псевдовектора сопоставимо с постоянного Планка.
В результате этого каждая элементарная ячейка фазового пространства будет обладать своим собственным моментом импульса —И. Также можно показать, что для ячейки занятой частицей значение псевдовектора будет —И/2.
Т-Сотт Уо!.16. #4-2022
3. Будем считать, что система «частица + фазовое пространство» представляет собой единый объект.
Перечислим основные свойства модели. Которые будут использованы в дальнейшем.
После контакта элементарной частицы и макроскопического наблюдателя система «частица + фазовое пространство» получает неучтённую энергию
ДЕ « к / М.
В результате неопределенности энергии частица совершает броуновское движение по своему фазовому пространству. Схематично эволюция фазового пространства частицы изображена на рисунке 1.
ДЕ
Эо
новения. Другие углы рассеяния были связаны с кулонов-ским взаимодействием частиц.
Из указанных фактов и положений можно в свою очередь предположить, что дробность заряда d кварка связна с тем. что кварк является одномерным объектом.
Результаты. Исходя из сделанных положений, можно сделать вывод, что кварки в нуклоне находятся в состоянии динамического равновесия.
Динамическая модель протона изображена на рисунке 3.
ДЕ
Рис. 1. Эволюция фазового пространства элементарной частицы
Фазовое пространство частицы можно разделить на две части:
1) Безмассовая граница.
2) Внутренняя (массовая часть) фазового пространства.
Неучтённая энергия распределяется между двумя частями фазового пространства поровну.
Используя модель дискретного фазового пространства, можно получить аналог второго начала термодинамики для микросистемы. А именно, показано, что фазовое пространство системы с размерностью п > 2 растёт, что приводит к росту энтропии или информации системы.
Отдельный случай представляет собой микросистема с размерностью п = 1. В этом случае броуновское движение частицы в фазовом пространстве становится возвратным. Фазовое пространство частицы не увеличивается. Постараемся использовать этот достаточно экзотический случай для изучения внутреннего строения адрона.
Сформулируем несколько необходимых положений и опытных данных.
1. Если в результате наблюдения частица увеличила своё фазовое пространство, то будем считать, что она проявила свойства вещества (рис. 2).
Рис. 3. Динамическая кварковая модель протона
Поясним предложенную схему. Пусть Е - неучтенная энергия. Пусть в первоначальный момент времени вся масса-энергия протона сосредоточена в кварке d. В результате броуновского движения протон может перейти с равной вероятностью в состояния и1 и и2 с суммарной интенсивностью Е. Из состояния и1 и и2 протон переходит в состояние d с интенсивностью Е.
В случае стационарного режима уравнения Колмогорова будут иметь вид:
Ра + Ри1 + Ри 2 = 1
РаЕ = Ри1Е + Ри 2 Е:
РаЕ /2 = Ри1Е.
Отсюда Ра = ^ = 2Ри2 =1/2.
Из этого соотношения следует, что в стационарном режиме масса протона без учета массы мезонов и глюонов распределена следующим образом: тл = 2ти.
Рассмотрим теперь взаимодействие кварков d и и (рис. 4).
В/2
Рис. 2. Частица увеличивает свое фазовое пространство
2. Если в результате некоторого процесса фазовое пространство частицы уменьшилось, то будем считать, что в этом процессе частица проявила свойства антивещества. При этом промежуток времени, за который произошел процесс, считается, согласно соотношению (2), отрицательным.
3. Электрон является наименьшей истинно элементарной частицей с зарядом -е. Электрон является трёхмерным объектом.
4. В опытах по рассеянию высоко энергетических элек-
тронов на протонах протоны рассеивались по линии столк-
Рис. 4. Взаимодействие d и и кварков
Согласно предложенной модели. Фазовое пространство системы, изображенной на рисунке 4 распределено следующим образом:
частица + античастиц а = 1 + 2 .
С учетом того, что и кварков два весь фазовый объем протона распределён следующим образом:
частица + античастиц а = 1 + 4 .
T-Comm ^м 16. #4-2022
Отсюда можно получить вывод, что заряд и кварка равен +2/3е. Это вполне согласуется с моделью составных кварков.
Заметим, что динамическая модель протона является минимально возможной схемой без поглощающих состояний. Упрощение системы протона в трехмерном пространстве невозможно.
Стационарный антипротон. По ранее сформулированному положению антивеществом называются частицы, которые в некоторый промежуток времени уменьшают своё фазовое пространство. Можно для получения процесса для античастицы сделать замену времени 1 на -1.
В динамической модели протона поменяем направление потоков. Посмотрим, получится ли при этом устойчивая частица, аналогичная антипротону.
М-
А
ДЕ
Получается, что время жизни антипротона соответствует времени жизни резонанса. Таким образом, антипротон, представленный на рисунке 5, является неустойчивой системой, одним из видов резонансов.
К модели известных резонансов мы вернемся позже.
Нейтрон. Рассмотрим возможную динамическую модель нейтрона. Нейтрон является адроном с нулевым зарядом. Свободный нейтрон является неустойчивой частицей.
Предложим следующую модель, изображенную на рисунке 6.
Рис. 5. Возможная модель антипротона
В случае, изображенном на рисунке 5, стационарные вероятности будут распределены следующим образом
рл =1 рл =1 ри 2 = 1/5. При этом У времени протон будет
находиться в состоянии античастицы и его общий заряд будет -е.
Схема, изображенная на рисунке 5, является исключительно умозрительной по двум основным причинам.
Во-первых, мы рассматриваем математическую модель протона, в которой система отсчета связана с самой частицей. Поэтому одна фазовая ячейка функционирует в циклическом режиме. Следовательно, в рамках одной ячейки увеличение или уменьшение фазового пространства условные понятия.
Во-вторых, по нашему положению неучтенная энергия протона равна ~Е. В то же время для реализации антипротона необходимо, чтобы энергия первого была кварка ~2Е. Такое нарушение возможно только в ограниченный промежуток времени. Постараемся оценить этот промежуток времени. Для этого примем во внимание, что в модели протона (рис. 3) '/2 массы протона находится в состоянии вещества. В модели антипротона (рис. 5) в состоянии вещества находится 1/5 массы протона. То есть, скачок энергии можно оценить, как ~ 0,3 х 939Мэв « 282Мэв. Воспользуемся принципом неопределённости Гейзенберга
Рис. 6. Схема внутреннего строения нейтрона
Схема нейтрона, изображенная на рисунке 6, является полностью симметричной. Это обеспечивает электрическую нейтральность нуклона. В отличие от нерелятивистской модели составных кварков ^и) все кварки нейтрона одинаковые. Предложенная модель нейтрона является неточной. Она не объясняет наличия у нейтрона античастицы и некоторой «слоистости» строения, установленного в экспериментах Р. Хофштадера. Очевидно, что для уточнения модели нейтрона следует нарушить его симметрию.
Модель, представленная на рисунке 7, учитывает несимметричное строение нейтрона.
Отсюда М — 1,4-10
Рис. 7. Несимметричная модель нейтрона
В стационарном режиме распределение вероятностей в системе несимметричного нейтрона будет следующим: Р9\ = Р92 = 2рд3 = 0,4. В данном случае кварки можно интерпретировать так ql,q2=d, qз=u. Заряд нейтрона равен нулю.
Резонансы. К числу адронов относится многочисленный класс короткоживущих частиц - резонансов.
Рассмотрим Д-резонансы, состоящие из кварков первого поколения (и, d).
Д++- резонанс. Состав иии, заряд - +2е, среднее время жизни —5,58• 10~24с, масса ~ 123Мэв.
Согласно приложенной модели все фазовое пространство Д++- резонанса занимает антивещество. Это означает, что под Д++- резонансом следует понимать процесс, при котором вещество покидает фазовую ячейку (см. рис. 8).
23
Рис. 8. Модель Д++- резонанса
Постараемся определить минимальное время жизни Д++-резонанса, исходя из положений модели, и сравним его с известными опытными данными. Для этого воспользуемся принципом неопределенности. Также учтем, что вещество покидает элементарную ячейку в три приема. Сама ячейка по нашему предположению занята частицей - адроном.
Получим,
3к
3к
2ДЕ 2тс
! 5,2-10~24с.
Таким образом, модель дает результат, совпадающий, по крайней мере, по порядку величины с опытными данными.
Модель А"-резонанса. В нашей модели Д"-резонанс считается античастицей относительно Д++- резонанса. Это означает следующее: Д"-резонанс - это процесс, при котором частица (адрон) заполняет одну фазовую ячейку (см. рис. 9).
Рис. 10. Модель Д° резонанса
Симметричность модели говорит о том, что заряд Д резонанса равен нулю. Время жизни такого резонанса совпадает со временем жизни резонанса Д++. В результате своей симметричности Д"+ резонанс сам является своей античастицей.
Рассмотрим А+ - резонанс. Его модель в дискретном фазовом пространстве представлена на рисунке 11. Исходя из модели Д+ - резонанс имеет заряд +е.
Рис. 9. Модель Д"- резонанса
Согласно модели дискретного фазового пространства Д-резонанс имеет заряд -е. Остальные параметры резонансов Д- и Д++ совпадают.
Модель А0 резонанса. Под Д° резонансом будем понимать процесс, при котором складывается циклическая связь ме^ду кварками в адроне в рамках одной фазовой ячейки (см. рис. 10).
Рис. 11. Модель Д+ - резонанса
Таким образом, в рамках модели дискретного фазового пространства дельта резонансы представляет собой процессы заполнения, оставления, образования цикла в одной фазовой ячейке. На основе предложенных дискретных моделей можно проанализировать возможный распад резонансов и сравнить полученные результаты с экспериментальными данными и результатами модели токовых кварков.
Верность наших моделей косвенно подтверждает тот факт, что спин дельта резонансов в основном состоянии составляет 3/2И. Это объясняется тем, что движение кварков в Д-резонансах происходит в одном направлении, поэтому собственный момент импульса кварка не меняется.
Явление конфайнмента. Постараемся теперь объяснить причину отсутствия в природе свободных кварков в рамках модели дискретного фазового пространства.
Пусть в фазовом пространстве протона происходит свободное движение d - кварка. Схема процесса изображена на рисунке 12.
Рис. 12. Эволюция с1 - кварка в фазовом пространстве протона
Сделаем необходимые пояснения. При эволюции кварк будет не только увеличивать свое фазовое пространство, но и заполнять фазовое пространство свободных ячеек 3-х мерного протона. Броуновское движение сделает такое заполнение равномерным.
Если распространяется одиночный свободный кварк, то броуновский процесс сводится к обычному марковскому процессу гибели и размножения. Математическое ожидание размера фазового пространства 8 можно, как Е(8)~4Ю. Расстояние, на которое может сместиться одиночный кварк от своего адрона можно оценить, как
T-Comm ^м 16. #4-2022
к
Дг--« 10~13 m .
3тчс
На таком расстоянии между отдельными кварками в составе протона будут действовать силы кулоновского взаимодействия. При больших расстояниях вероятность обнаружить свободный кварк будет убывать по экспоненте.
Вывод
Дискретная модель фазового пространства элементарных частиц, построенная на основе принципа неопределённости Гейзенберга, является промежуточной между классическими моделями и квантовыми. Такое положение позволяет исследовать микропроцессы, избегая сингулярностей, связанных с такими понятиями, как данная координата в данный момент времени.
В данной работе дискретная модель фазового пространства использовалась для изучения одномерных систем (по сделанному в работе предположению - кварков). В результате были получены достаточно адекватные модели барио-нов, составленных из кварков первого поколения (протон, нейтрон, Д-резонансы).
Получена достаточно простая интерпретация явления конфайнмента, основанная на отсутствие эволюции фазового пространства одномерной системы.
Полученные в работе результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории информации микросистем и физики элементарных частиц.
Литература
1. Водяное Н.Г. Основы струйной теории элементарных частиц. Вестник Чувашского университета. № 2. 2008. С. 24-28.
2. Дремин И.М., Кайдалое А.Б. Квантовая хромодинамика и феноменология сильных взаимодействий // Успехи физических наук. 2006.
3. Ишханов Б.С., Ланской Д.Е. Эволюция представлений о структуре ядра: от жидкой капли к кварк-глюонным взаимодействиям в ядре // Ученые записки физического факультета Московского университета. № 1. 2019. С. 191-205.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая механика. T.3. Квантовая механика. М.: Наука, 1989. 768 с.
5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая механика т.5. Статистическая механика. М.: Наука, 1989. 626 с.
6. НамбуЁ. Кварки. М.: Мир, 1984. 225 с.
7. Окунь Л. Б. Физика элементарных частиц. 2-е изд., пере-раб. и доп. М.: Наука, 1988. 272 с.
8. Юденков А.В., Володченков А.М., Юденкова М.А. Согласованные движения электронов на поверхности графена // Инженерные технологии и системы. Т. 29. № 2. 2019. С. 234-247.
9. Юденков А.В., Володченков А.М., Римская Л.П. Математическое моделирование на основе теории потенциала. Москва. 2020.
10. Yudenkov A.V., Volodchenkov A.M., Rimskaya L.P. Stability of systems of singular integral equations with Cauchy kernel // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт, vol. 14, no.9, 2020, pp. 48-55.
11. BelitskyA.V., Radyushkin A.V. Unraveling hadron structure with generalized parton distributions // Phys. Rept.№ 418. 2005. P. 1-387.
12. Yudenkov A.V., Volodchenkov A.M., Rimskaya L.P. Transition and evolution of information at the microscopic level // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт, vol. 15, no.5, 2021, pp. 62-66.
13. Jean Letessier, Johann Rafelski, T. Ericson, P. Y. Landshoff. Hadrons and Quark-Gluon Plasma. Cambridge University Press, 2002. 415 p.
................4 ^ /...............
/
ASIC АНИК
КАСПИЙСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ
ФОРУМ - 2 О 2 2
DISCRETE MODEL OF THE EVOLUTION OF THE PHASE SPACE OF FRACTIONALLY DIMENSIONAL MICROSYSTEMS
Aleksey V. Yudenkov, FSSFtt Ht SSUS , Smolensk, Russia, aleks-ydenkov@mail.ru Aleksandr M. Volodchenkov, Smolensk Branch of Plekhanov Russian University of Economics, Smolensk, Russia,
alexmw2012@yandex.ru
Liliya P. Rimskaya, Smolensk Branch of Plekhanov Russian University of Economics, Smolensk, Russia, lilirimska@yandex.ru Abstract
The study of the process of changing information in microscopic systems is a rather complex and urgent scientific problem. The difficulty lies in the fact that, due to the microscopic nature of objects, it is impossible to use well-known thermodynamic methods based on the laws of large numbers. One of the possible methods for studying microscopic systems is the use of discrete Markov models with continuous time. Such models are based on the Heisenberg uncertainty principle and adequately describe the interaction between a macroscopic observer and a microscopic system at a quasi-classical level. At the same time, the use of semiclassical models makes it possible to avoid singularities, including those that cannot be eliminated, arising at small distances and high energies. In this paper, a discrete mathematical model of the phase space of an elementary particle will be used to study microscopic objects with a dimension of n=1. As a result of using the model, an original interpretation of the quark structure of hadrons was obtained. In particular, the dynamics of the functioning of quarks in the proton and neutron, the conditions for the formation of A resonances (A0, A+, A+, A++) are presented. The problem of the absence of free quarks (the phenomenon of confinement) is also considered. The paper considers only the first generation of quarks and the hadrons based on them. On the basis of known experimental data, numerical calculations have been carried out, showing sufficient adequacy of the model. The mathematical model of the discrete phase space, created to study the evolution of information in microscopic systems, is applicable to solving problems of elementary particle physics and can, in some cases, supplement the existing models of the quark structure of hadrons.
Keywords: phase space, quantum field theory, quarks, Markov process. References
1. N.G. Vodyanov (2008). Fundamentals of the jet theory of elementary particles. Bulletin of the Chuvash University. No. 2, pp. 24-28.
2. I.M. Dremin, A.B. Kaidalov (2006). Quantum chromodynamics and phenomenology of strong interactions. Advances in Physical Sciences.
3. B.S. Ishkhanov, D.E. Lanskoy (2019). Evolution of ideas about the structure of the nucleus: from a liquid drop to quark-gluon interactions in the nucleus. Scientific notes of the Physics Department of Moscow University. No. 1, pp. 191-205.
4. L.D. Landau, E.M. Lifshits (1989). Theoretical mechanics. Vol.3. Quantum mechanics. Moscow: Nauka, 768 p.
5. L.D. Landau, E.M. Lifshits (1989). Theoretical mechanics. Vol. 5. Statistical mechanics. Moscow: Nauka, 626 p.
6. Y. Nambu (1984). Quarks. Moscow: Mir, 225 p.
7. L.B Okun (1988). Physics of elementary particles. 2nd ed., revised. and additional. Moscow: Nauka, 272 p.
8. A.V. Judenkov, A.M. Volodchenkov, M.A. Judenkova (2019). Cooperative motions of electrons on graphene surface. Engineering technologies and systems. Vol. 29. No. 2, pp. 234-247.
9. A.V. Yudenkov, A.M. Volodchenkov, L.P. Rimskaya (2020). Mathematical modeling within the potential theory. Moscow.
10. A.V. Yudenkov, A.M. Volodchenkov, L.P. Rimskaya (2020). Stability of systems of singular integral equations with Cauchy kernel. T-Comm, vol. 14, no.9, pр. 48-55.
11. A.V. Belitsky, A.V. Radyushkin (2005). Unraveling hadron structure with generalized parton distributions, Phys. Rept. No. 418, pp. 1-387.
12. A.V. Yudenkov, A.M. Volodchenkov, L.P. Rimskaya (2021). Transition and evolution of information at the microscopic level. T-Comm, vol. 15, no.5, pр. 62-66.
13. Jean Letessier, Johann Rafelski, T. Ericson, P. Y. Landshoff. (2002) Hadrons and Quark-Gluon Plasma. Cambridge University Press, 415 p.
T-Comm ^м 16. #4-2022
