CC BY
8
УДК 533.92
ДИНАМИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В РАСЩЕПЛЕННЫХ ТОНКИХ ТОКОВЫХ СЛОЯХ
Д. А. Оводков, В. Ю. Попов, X. В. Малова
(.кафедра математики)
Проведено численное исследование динамики заряженных частиц в сложных плазменных конфигурациях с обращенным магнитным полем. С помощью сечений Пуанкаре показано, что рассеяние частиц на «колоколообразных» и «двугорбых» тонких токовых слоях (TTC) имеет качественные отличия. Так, в случае двугорбых TTC фазовая область стохастических траекторий увеличивается, а количество резонансных ветвей уменьшается.
Введение
Динамика заряженных частиц в «колоколообразных» (или «одногорбых») тонких токовых слоях (с толщиной L порядка ионного ларморовского радиуса) является предметом интенсивного изучения на протяжении нескольких последних десятилетий [1-3]. В последние годы благодаря исследованиям спутников GEOTÂIL и CLUSTER были обнаружены двойные токовые слои, профили плотности тока которых имеют максимумы на краях и минимум в центре [4, 5]. Структура и эволюция TTC не могут быть описаны в рамках МГД-теории, так как гирора-диус ионов, носителей тока, порядка толщины слоя. Более адекватной является кинетическая теория, где детальное описание движения разных групп частиц очень важно для структуры и динамики TTC как целого. Как удалось показать ранее [6], процессы хаотического рассеяния частиц в TTC могут играть ключевую роль как в образовании двойных токовых слоев, так и в их разрушении. Однако этот вопрос пока недостаточно хорошо изучен, и требуется более детальное рассмотрение динамики частиц в двойных токовых слоях. В настоящей работе проводится исследование влияния общей структуры токового слоя (одногорбый или двугорбый профиль плотности тока) на структуру фазового пространства, в котором движутся заряженные частицы. С этой целью исследуется зависимость фазовых областей от величины sjLjи от формы профиля плотности тока, одногорбой или двугорбой, где L — полутолщина области обращения поля, ро максимальный ларморовский радиус. Авторы попытались подойти к обратной задаче, т. е. по структуре фазового пространства сделать предположения о структуре и возможной эволюции TTC.
1. Динамика заряженных частиц в TTC и сечения Пуанкаре
В тонких токовых слоях движение частиц можно разделить на три основных типа: пролетные частицы на разомкнутых (или спейсеровских [7]) орбитах, захваченные частицы на круговых орбитах и ква-зизахваченные частицы на так называемых «огур-
цовых» орбитах [8] (рис. 1). Спейсеровские ионы, замагниченные вне слоя, приходят из бесконечности и уходят на бесконечность. В толще слоя спейсеровские ионы размагничиваются, совершая «меанд-ровое», петляющее движение с пересечением нейтральной плоскости. «Огурцовые» орбиты в центре слоя также совершают меандровое вращение, но вне слоя их орбиты почти замкнуты, и такие частицы многократно возвращаются в слой в процессе крупномасштабного вращения. Они могут захватываться в слой из пролетных орбит или в процессе рассеяния уходить из слоя на бесконечность. «Круговые» орбиты полностью замкнуты, они не выходят из слоя и не пересекают сепаратрису, разделяющую два типа движения — с пересечением токового слоя и без пересечения. Основными носителями тока в TTC являются спейсеровские ионы. Частицы на «огурцовых» орбитах не дают вклада в полный ток, так же как и ионы на круговых траекториях. Однако локальный ток этих частиц ненулевой, он может изменять профиль основной плотности тока так, что в центре слоя появляется локальный минимум, т.е. слой становится расщепленным [6]. Последние спут-
никовые исследования демонстрируют, что такие слои могут играть существенную роль в динамике суббурь [9, 10].
Движение пролетных и квазизахваченных частиц в одногорбых TTC носит квазиадиабатический характер. Это означает, что при пересечении сепаратрисы магнитный момент частицы (или, что практически то же самое, приближенный инвариант движения Iz = j^§vzdz) претерпевает скачок, величина которого много меньше величины самого магнитного момента. В работе [3] динамика частиц была изучена при помощи сечений Пуанкаре [11], которые представляют собой двумерное изображение множества точек пересечения частицами плоскости Z = 0 в фазовых координатах. На рис. 2 показано, что фазовое пространство частиц состоит из трех непересекающихся разных областей: область интегрируемого движения (А, круговые орбиты), динамического хаоса (В, квазизахваченные орбиты) и квазирегулярного движения (С, спейсеровские орбиты). В работе [8] было показано, что квазиадиабатическое приближение выполняется, когда параметр bn\/Ljра, описывающий динамику частиц, много меньше единицы.
Рис. 2. Сечение Пуанкаре для «колоколообразного» профиля плотности тока TTC, zc = 0, а = 1.78, Ъ„ = 0.1. Сечение построено в координатах {<тЬ„х,рх}, причем безразмерная координата аЪ„х и импульс рх таковы, что все точки сечения Пуанкаре отображаются на единичный круг
Существует два основных механизма етохаети-зации движения частиц при рассеянии в сильно искривленных магнитных полях. Первый связан со скачками Iz при пересечении сепаратрисы, второй механизм проявляется при перекрытии нелинейных резонансов (возмущенных инвариантных торов движения) в окрестности регулярного движения [12, 13]), что позволяет объяснить хаотическое движение частиц в отсутствие сепаратрисы, например в трилинейной модели [14]. Рассматриваемая в данной работе модель магнитного поля позволяет с единых позиций подходить к изучению динамики частиц в созданных ранее моделях: трилинейной, клиновид-
ной и гиперболической моделях TTC (они будут рассмотрены ниже), поскольку они являются частными случаями рассматриваемой модели. Полученные результаты могут иметь важное значение для физики магнитосферы, поскольку позволяют оценить относительный вклад разных механизмов в нелинейную эволюцию TTC во время магнитоеферных суббурь.
2. Модель
Рассматривалась принятая в геофизике еолнеч-но-магнитосферная система координат, в которой ось X направлена от Земли к Солнцу, Z — перпендикулярно плоскости эклиптики, а ось Y направлена с утренней на вечернюю сторону Земли. Предполагалось, что магнитное поле имеет две компоненты: Вх = BqF(Z) и Bz = Вп. Исследовались две модели TTC — колоколообразная и двугорбая. Профиль плотности тока «колоколообразного» токового слоя имеет вид
Jy=Ldh^fy (1)
где Jq = ^, L — полутолщина области обращения магнитного поля, Bq — магнитное поле на бесконечности, с — скорость света.
Постоянное электрическое поле, всегда присутствующее в токовом слое магнитосферного хвоста, не принималось во внимание, так как движение частиц рассматривалось в системе координат де Хофф-манна-Теллера.
В настоящей работе модель двойного (или расщепленного) слоя представляет собой суперпозицию двух «одногорбых TTC» (рис. 3). Расстояние между горбами контролируется параметром Zc, а ширина горбов — параметром L:
Можно показать, что при таком задании магнитного поля полный ток в системе будет сохраняться при изменении параметров Zc я L.
Jy/Jf) 0.5
0
Рис. 3. Профиль плотности тока для расщепленного TTC
В предельных случаях при Zc ^ 0 получается гиперболическая модель магнитного поля, при L ^ 0 — трилинейная модель, а при Zc, Ь —> 0 — клиновидная модель магнитного поля, изученные ранее в [8, 14, 15].
3. Анализ движения частиц в TTC
Гамильтониан движения в исследуемом поле ра-
вен
1
PÎ) + *=[P,--Mx,Z)]2. (з)
Поскольку гамильтониан системы не зависит явно от У, то канонический момент импульса Ру является интегралом движения. Это позволяет понизить размерность исследуемой задачи и рассматривать двумерные уравнения движения в переменных X, Z. Гамильтониан движения в безразмерных переменных имеет следующий вид:
1 1 . 2 =
Pz) + 2 Mz)
bnax)z
(4)
где
ay{z) = -
a2 In ch (72 In ch
(z - Zç) a
(z + zc) a
2a2 In ch I ^ I
(5)
и использованы безразмерные переменные px,y,z =
— 1 х,у,
, _ {Y,Z,Zc\
X =
X
bn =
a =
ipo
VpoL
ларморовский радиус).
Ру
Ь„а '
mvo Bn
Во ' " \/ Po
Получая уравнения движения из гамильтониана (4), имеем
Рх = bncr(ay(z) - Ъпох), Pz = -bx(z)cr(ay(z) - bnax), ® = Рх ! Z = Pz,
где
1 /
bx(z) = - ( tanh-
tanh ■
а
а
(6)
(7)
(8)
(9)
Начальные условия выбирались следующим образом: координата го =0 фиксирована, координата х задается в диапазоне — 1 < Ъпахо < 1 с постоянным шагом, аналогично ^1<рха<1, рхо вычисляется из закона сохранения энергии (Рго)2 = 1 - (ЬпСГХо)2 - (рх0)2 .
Для численного интегрирования уравнений движения с заданными начальными координатами и скоростями был использован метод Рунге-Кутта четвертого порядка с переменным шагом.
Траектория частиц отслеживалась таким образом, что при пересечении частицей плоскости г = 0 на множестве рх, Ъпах отмечалась соответствующая точка. Совокупность всех таких точек на множестве рх,Ьпсгх представляет собой сечение Пуанкаре.
4. Результаты численного эксперимента
Для описания динамики частиц в «колоколооб-разных» токовых слоях часто используется пара-
минимальный радиус мак-
метр к = Яс/рь, где Нс кривизны магнитной силовой линии, р1 еимальный ларморовский радиус, в частности для простой параболической модели магнитного поля {Вх = -Вот! Ву = О' В* = Вп}, параметр к = Ьпа [3, 8]. В работе [16] параметр к был обобщен на случай магнитных полей, где полутолщина области обращения Ь меньше, чем гирорадиус вращения ро:
к =
Ъпа, а > 1,
Ъп{ 1 + ст), ег < 1.
В качестве параметра возмущения в случае двугорбой конфигурации слоя мы использовали параметр кек, определяемый как
Keff —
{KCeiï, Oeff > 1,
Ml+Ceff)) °eff < 1,
где параметр aes = \JL+p^c определяет отношение
области обращения поля к гирорадиусу вращения ро в случае двугорбой конфигурации. Здесь приводятся типичные сечения Пуанкаре, отображающие основные свойства рассматриваемых систем. На рис. 2 показано сечение Пуанкаре для колоколообразно-го слоя, которое соответствует значению параметров zc = 0, о = 1.78 или к = 0.178. Аналогичные сечения были построены для расщепленного TTC (рис. 4) с гс = 0.356, о = 1.78, параметр кев = 3.08. Сравнивая рисунки для колоколообразной и двугорбой конфигураций слоя, можно видеть, что общая структура фазовой плоскости остается неизменной, но при увеличении параметра zc (а фиксировано) происходит увеличение стохастической области
0.5
0
-0.5
■и
h „ах
о
0.5
Рис. 4. Сечение Пуанкаре для расщепленного TTC,
0.5
Рх
0
-0.5
О
0.5
Ъпах
1
0.5
О
-0.5
Рх
7.
^ а -
v.-";-:-;;-.-/. J ......•»•-•• - '
' Л - Д. ; i.'-ftiil'^iV-,Г' • '—- - ' -
- w-.'
•N . -,««% -,
\Ч\ '
.'.4 •/< ijj-r.f . -ïv.v.v'i /
' 4.Т'4; -'¿о.?, 'i
' " 'л' . .. "
.' 'Л î V -v
. *Î 5-.'/: ¡V}' " • * ' ' Г
0
0.5
bnax
Pue. 5. Сечения Пуанкаре для «колоколообразного» (а) и расщепленного (б) TTC. Показана лишь часть фазового круга рх2 + (кх)2 ^ 1. Рис. 5, а соответствует значению параметров zc = 0, а = 0.86, рис. б — значению параметров
гс = 1, а = 0.5
на фазовой плоскости, при этом количество вытянутых «пальцеобразных» структур уменьшается. На обоих рисунках четко видны три области фазового пространства, соответствующие трем типам орбит. Пунктирная линия соответствует сепаратрисе, которую пересекают пролетные и квазизахваченные частицы. На рис. 5 изображены сечения Пуанкаре для колоколообразного (а) и двойного (б) слоев при очень малых cres = 0.86. Как видно из рисунка, фазовые области мало отличаются друг от друга, что свидетельствует о слабой зависимости траекторий частиц от структуры токового слоя. Поскольку при малых значениях параметра cres частицы обладают большой энергией и соответственно ларморовским радиусом много больше толщины слоя, то такие частицы не чувствуют тонкой структуры TTC и их рассеяние на двугорбом слое происходит так же, как и на одногорбом слое.
Выводы
Численное исследование динамики заряженных частиц в нераещепленных и расщепленных TTC показало, что при умеренно малых значениях к существуют отличия в объемах фазовых областей квазизахваченной плазмы. Было продемонстрировано, что расщепление слоя вызывает увеличение относительного объема рассеянной плазмы, что может играть критическую роль для эволюции и структуры тонкого токового слоя [6]. Управляющими параметрами, определяющими размеры фазовых областей, могут служить как расстояние между максимумами плотности тока Zc, так и отношение их ширины к ларморовскому радиусу ионов а. Увеличение фазовой области захваченных частиц сопровождается общим увеличением времени жизни популяции плазменных частиц в слое.
Полученные численные результаты подтверждаются последними косвенными экспериментальными наблюдениями расщепленных TTC [9]. Дальнейшее развитие численных и аналитических исследований для расщепленных тонких токовых слоев позволит получать также функции распределения частиц и наблюдать их эволюцию по мере накопления в слое квазизахваченной плазмы. Это может быть полезным для диагностики этапов эволюции TTC и выявления механизмов формирования тонкой структуры тока. Такие результаты могут непосредственно сравниваться со спутниковыми наблюдениями. Данная работа представляет первую ступень в разработке аналитической теории, позволяющей адекватно описывать динамику частиц в двойных тонких токовых слоях.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант 05-02-17003), ГФЕН (04-02-39021), программой научных школ (НШ-1739.2003.2) и JNTAS (03-51-3738).
Литература
1. Sonnerup B.U.O. // J. Geophys. Res. 1971. 76. P. 8211.
2. Harris E.G. 11 Nuovo Chimento. 1962. 23. P. 115.
3. Chen J., Palmadesso P.J. // J. Geophys. Res. 1986. 91.
P. 1499.
4. Hoshino M. Nishida A. Mukai T. et al. // J. Geophys. Res.
1996. 101. P. 24775.
5. Asatio Y.T., Mukai M., Hoshino Y. et al. // J. Geophys. Res.
2003. 108. P. 1019.
6. Zelenyi L.M., Delcourt D.C., Maloisa H.V. et al. // Geophys.
Res. Lett. 2002. 29. P. 49-1.
7. Speiser T. W. 11 J. Geophys. Res. 1965. 70. P. 4219.
8. Büchner J., Zelenyi L.M.// J. Geophys. Res. 1989. 94.
P. 11821.
9. Runois A., Nakamura R., Baumjohann W. et al. // Geophys.
Res. Lett. 2003. 30. P. 8-1.
10. Runov A., Nakamura R., Baumjohann W. et al. // Geophys. Res. Lett. 2003. 30. P. 33-1.
11. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М., 1984.
12. Чириков Б.В. Нелинейный резонанс. Новосибирск, 1977.
13. Заславский Г.М. Стохастическая динамика систем. М., 1984.
14. Chen J, Mitchell H.G, Palmadesso P.J. // J. Geophys. Res. 1990. 95. P. 15141.
15. Alexeev /./., Malova H. V. // Advances in Space Research. 1995. 16. P. 205.
16. Савенков Б.В., Зеленый Л.М., Зогин Д.В. // Физика плазмы. 1997. 23. С. 436.
Поступила в редакцию 21.04.05
