Динамика возмущений начального состояния системы в исследовании критического поведения неупорядоченных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2009. № 4. С. 114-119.

УДК 539

А.Н. Вакилов, Д.В. Талашок, А.О. Рашев

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

ДИНАМИКА ВОЗМУЩЕНИЙ НАЧАЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ В ИССЛЕДОВАНИИ КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СИСТЕМ

Исследуется поведение трехмерной неупорядоченной модели Изинга со спиновой концентрацией р=0,6 и р=0,8 с использованием алгоритма Метрополиса и динамики тепловой бани. Результаты исследований показали, что критическая температура для трехмерной системы, моделируемой с помощью динамики тепловой бани и алгоритма Метрополиса, приближенно равна 2,407 ± 0,005 и 2,408 ± 0,007 соответственно при спиновой концентрации р=0,6, 3,500±0,007 и 3,517±0,025 соответственно при спиновой концентрации р=0,8.

Ключевые слова: неупорядоченные системы, динамика возмущений, фазовые переходы.

Проблема описания фазовых переходов считается одной из наиболее сложных и актуальных задач статистической теории. Наблюдаемые по мере приближения к точке фазового перехода аномально большие и долгоживущие флуктуации некоторых термодинамических переменных характеризуются сильным взаимодействием между собой. Для описания таких систем были разработаны различные методы компьютерного моделирования. Компьютерное моделирование критических явлений дает возможность получения наглядной информации о росте флуктуаций намагниченности, о критическом замедлении процессов релаксации в ферромагнитных системах по мере приближения к температуре фазового перехода, о проявлении аномальных свойств и о поведении теплоемкости и магнитной восприимчивости. Одним из таких методов является метод динамики возмущений начальных состояний системы. В ряде работ с помощью этого метода были получены такие важные характеристики, как критическая температура и критические индексы для однородных моделей [1-3].

Цель данной работы состоит в численном определении критической температуры методом динамики возмущений начального состояния системы для трехмерной неупорядоченной модели Изинга со спиновой концентрацией р=0,60 и р=0,80, с использованием различных динамик эволюции спиновых конфигураций. В качестве модели используется неупорядоченная кубическая решетка с линейным размером Ь. Микроскопический гамильтониан неупорядоченной модели Изинга определяется следующим выражением[4]:

© А.Н. Вакилов, Д.В. Талашок, О.А. Рашев, 2009

где Jij - обменное взаимодействие между закрепленными в узлах решетки спинами Si, принимающими значения ±1. Немагнитные атомы примеси образуют пустые узлы.

Числа заполнения pi при этом принимают значения 0 или 1 и описываются функцией распределения

Р(Р, М1 - РМр, )+ РМ( - Рг ) (2)

с p=(1-c), где с - концентрация атомов примеси. Примесь равномерно распределяется по всей системе, и при моделировании её положение фиксируется для отдельной примесной конфигурации. Для моделирования спиновых конфигураций в системе был применен алгоритм Метро-полиса и динамика тепловой бани.

Для распределения спинов с заданной концентрацией р по узлам решетки используется алгоритм Хаммерсли-Лиса-Александровица [5]. В центре кубической решетки размещается затравочный спин. Шесть соседних узлов образуют «периметр» затравочного спина. Случайным образом выбирается узел из «периметра». Затем с вероятностью P этот узел занимается спином, а его соседи добавляются в «периметр». В противном случае узел остается свободным (примесным). Чтобы узлы решетки оставались свободными с вероятностью 1-P, данный узел больше не проверяется. Если узел уже занят спином, то определяется, нет ли новых непроверенных узлов «периметра». Процедура повторяется до тех пор, пока не будут просмотрены все узлы периметра.

Далее было проведено два независимых исследования с использованием различных динамик эволюции спиновых систем: алгоритм Метрополиса [5] и динамика тепловой бани [1] - с последующим применением метода динамики возмущения начального состояния системы. Метод динамики возмущения начального состояния системы используется для оценки значений критической температуры фазового перехода в трехмерной неупорядоченной модели Изинга. В рамках этого метода на решетке с N узлами рассматривается две конфигурации спинов, для определенности обозначим их А и В. Суть метода состоит в исследовании эволюции этих спиновых конфигураций, которые эволюционируют с одинаковой динамикой и одинаковой последовательностью случайных чисел. Если между

(3)

элементарными ячейками с одинаковыми координатами наблюдается различие, то такое различие называется расстоянием Хемминга (Hamming distance) между спиновыми конфигурациями. Эта величина вычисляется следующим образом:

D(L• T •' )=2? ¿И* ()-SB (T),

2 N i=1

где N = Ld - число спинов находящихся в одной спиновой конфигурации. В общем случае, расстояние между спиновыми конфигурациями зависит от температуры T, времени моделирования t, линейного размера решетки L, граничных условий и начального состояния спиновых

конфигураций Si (о) и Si (°). В вычислении мы используем среднее расстояние для нескольких примесных конфигураций, которое вычисляется так:

1

(о(1,т,>)) = —I о1(ь, т\0, (4)

]=1

где (ь,т, г ) - расстояние для 7-ого неза-

висимого испытания. N5 - число испытаний, а сумма, соответственно, берется по всем испытаниям. В рамках метода динамики возмущения начального состояния системы критическую температуру можно вычислить с помощью характеристического времени Т1 и квадрата

характеристического времени т2, определяемых как [1]:

I Щцт, г)) т(ь,т)= . , (5)

i(L,T ) = -

I(d(L,T,t)) )

t

X t D(L,T, t))

X(d(L,T, t))

(6)

Зависимость этих времен определяется соотношением:

.(L, T)

(7)

R(L, T ) =

-12 (L, T)

Зависимость К(-Ь, Т) от линейного размера решетки пропадает при температуре, равной критической. То есть если построить соответствующее кривые зависимостей я(А т) от температуры, то они

г

пересекутся в одной точке - точке, соответствующей критической температуре. Подобные исследования для однородной модели были проведены в работе [1].

В данной работе в качестве начальных условий был выбран следующий случай:

(0)}=-&В (0)}= 1 (8)

Таким образом, начальные состояния систем представляют собой полностью упорядоченные состояния, соответствующие Т=0 (когда все спины ориентированы в одном направлении), спины одной из подсистем имеют значение 1, а другой -1.

С использованием алгоритма Метро-полиса и динамики тепловой бани было

проведено моделирование для трехмерной неупорядоченной модели Изинга с линейным размером решетки Ь=32 на

¿=500МСБ со спиновыми концентрациями р = 0,8, р = 0,6. Для спиновой концентрации р = 0,6 рассматривался температурный интервал от 2,25 до 2,85 с шагом АТ=0,1, для спиновой концентрации р = 0,8 рассматривался температурный интервал 3,25 до 3,85 с шагом АТ=0,1 соответственно. (р (Ь, г, т )) усреднялось по

1000 спиновым конфигурациям. В итоге проведенных исследований были получены следующие результаты, представленные далее на рис.1 и 2.

------Т=2.25

------Т=2.35

■ - - Т=2.45

------Т=2.55

-■ Т=2.65

......Т=2.75

------Т=2.85

!п(!)

(а)

(б)

Рис. 1. Временные зависимости (р(ь, г,т)) для систем с р=0,6, с использовании алгоритма Метрополиса (а) и динамики тепловой бани (б), при различных температурах

(а)

(б)

Рис. 2. Временные зависимости (р(Ь, ї, Т)) для систем с р=0,8, с использовании алгоритма Метрополиса (а) и динамики тепловой бани (б), при различных температурах

Проведенное моделирование разными и показало существование двух темпера-

динамиками привело к одинаковым итогам турных областей. В первой среднее рас-

стояние не является сильно убывающей величиной и очень быстро приходит к некоторому постоянному значению. Это соответствует случаю, когда Т < 2,35 при спиновой концентрации р = 0,6 и Т < 3,45 при спиновой концентрации р = 0,8. Вторая область характеризуется резким падением {Р(Ь, і,Т)). Это соответствует случаю когда

Т > 2,45 при спиновой концентрации р = 0,6 и Т > 3,55 при спиновой концентрации р = 0,8. Следовательно, можно сказать, что температура перехода лежит внутри температурного отрезка между этими двумя областями. В качестве приблизительной оценки критической температуры берем

ТС = 2,4 ± 0,05 для р=0,6 и ТС = 3,5 ± 0,05

для р=0,8, где погрешность - это половина шага по температуре.

Далее с использованием алгоритма Мет-рополиса и динамики тепловой бани осуществили моделирование трехмерной неупорядоченной модели Изинга с линейным размером решетки ¿=16, 32, 64, с последующим определением величины Я(Ь, т) для различных значений температур. Для каждого линейного размера рассматривался температурный интервал т е [2,1; 2,7] со спиновой концентрацией р = 0,6 и т е [3,2; 3,8] со спиновой концентрацией р = 0,8 с шагом ЛТ=0,05. Для каждого значения температуры усреднение проводилось по 1000 спиновым конфигурациям.

(а) (б)

Рис 3. Зависимость функции ЩЩ) от температуры для алгоритма Метрополиса (а) и динамики

тепловой бани (б) для системы с р=0,6

(а) (б)

Рис 4. Зависимость функции ЩЩ) от температуры для алгоритма Метрополиса (а) и динамики

тепловой бани (б) для системы с р=0,8

т

т

2,8

2,6

1,8

1,6

1,4

1,2

(а)

(б)

Рис 5. Зависимость функции ЩЩ) от температуры для алгоритма Метрополиса (а) и динамики тепловой бани (б) для системы с р=0,6. Область критической температуры

(а) (б)

Рис 6. Зависимость функции ЩЩ) от температуры для алгоритма Метрополиса (а) и динамики тепловой бани (б) для системы с р=0,8. Область критической температуры

На рис. 3 и 4 можно увидеть примерную точку пересечения кривых ЩЬ,Т). На рис. 5 и 6 представлены точки пересечения кривых ЩЬ,Т) в приближенном варианте. Точка пересечения медиан полученных треугольников дает значение критической температуры.

Результаты исследований показали, что для трехмерной системы, моделируемой с помощью алгоритма Метрополиса Тс = 2,408 ± 0,007 при р=0,6, Тс = 3,500 ± ± 0,007 при р=0,8, а для динамики теп-овой бани Тс = 2,407 ± 0,005 при р=0,6

и Тс = 3,517 ± 0,025 при р=0,8.

Погрешность подсчитана с учетом ап-проксимационной составляющей (половина температурного интервала). Как видно, полученные результаты находятся в хорошем соответствии друг с другом. Проведем сопоставление полученных нами значений критической температуры с результатами исследований, проведенных другими учеными. Ниже приведена таблица со значениями критической температуры, определяемой в других работах.

т

Значения критической температуры для трехмерной модели Изинга с концентрацией ___________спинов р=0,6 и р=0,8____________

Tc (p=0,6) Tc (p=0,8)

2,42418(5) 3,499429(4) S. Wiseman, 1998 [6]

2,4220(6) 3,4992(5) H.O. Heuer, 1993 [7]

2,4178 3,4956(6) А.К. Муртазаев, 2004 [8]

- 3,499627465(24) P. Calabrese, 2003 [9]

- 3,499724222(47) H.G. Ballesteros, 1998 [10]

2,408 і 0,007 3,500 і 0,007 Данная работа (алгоритм Метрополиса)

2,407 і 0,005 3,517 і 0,025 Данная работа (тепловая баня)

2,4178 3,49948 В.В. Прудников, 2007 [11]

2,4178 3,4959 J.S. Wang [12]

Так, найденные нами значения критической температуры находятся в достаточно хорошем соответствии с результатами работ по компьютерному моделированию. По результатам проведенных моделирований методом динамики возмущения начального состояния системы трехмерных слабо и сильно неупорядоченных изинговых систем со спиновой концентрацией р=0,8 и р=0,6 можно сделать вывод, что оценки критической температуры (получена при моделировании трехмерной неупорядоченной

модели Изинга с применением алгоритма Метрополиса) и динамики тепловой бани находятся в хорошем соответствии друг с другом и результатами других работ по компьютерному моделированию таких

систем, что позволяет использовать метод динамики возмущения начального состояния системы для оценки критической температуры неупорядоченных систем.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Wang F., Hatono N., Suzuki M. Study on dynami-

cal critical exponents of the Ising model using the damage spreading method // J. Phys. A: Math. Gen. 28 (1995).

[2] Batrouni G.G. and Hansen A. // J.Stat. Phys. A.:

Math. 1992. Gen. 25. L.1059.

[3] Glotzer S.C., Poole P.H., Jan N. // J. Stat. Phys.

1992. 68 895.

[4] Прудников В. В., Вакилов А.Н., Прудников П. В.

Фазовые переходы и методы их компьютерного моделирования: учебное пособие. Омск: Изд-во ОмГУ, 2007.

[5] Гулд Х., Тобочник Я.К. Компьютерное модели-

рование в физике. Наука,1989.

[6] Wiseman S., Domany E. Self-Averaging, Distribu-

tion of Pseudo-Critical Temperatures and Finite Size Scaling in Critical Disordered Systems // Phys. Rev. E. 58. Feb. 9, 1998.

[7] Hans-Otto Heuer Critical crossover phenomena in

disordered Ising systems // J. Phys A: Math. Gen. 26 (1993). L333-L339.

[8] Муртазаев А.К., Камилов И.К., Бабаев А.Б. Кри-

тическое поведение трехмерной модели Изинга с вмороженным беспорядком на кубической решетке // ЖЭТФ. 2004. Т. 126. Вып. (12). С. 1377-1383.

[9] Calabrese P., Martin-Mayor V., Pelissetto A, Vica-

ri E. The three-dimensional randomly dilute Ising model: Monte Carlo results // Phys. Rev. E. 68, 036136 (2003).

[10] Ballesteros H.G., Fernandez L.A., Martin-Mayor V., Munoz A. Sudupe Critical exponents of the three dimensional diluted Ising model // Phys. Rev. B. 58, 2740 (1998).

[11] Прудников В.В., Прудников П.В., Вакилов А.Н., Криницын А.С. // ЖЭТФ. 2007. Т. 132. № 2.

[12] Wang J.S., Chowdhury D. The critical behavior of three-dimentional dilute Ising model: universality and the Harris criterion // J. Phys.(Paris). 1989. V. 50. № 19. Р. 2905-2910.