Динамика твёрдого тела в магнитном подвесе при периодическом возбуждении Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Наука и Образование

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. № 07. С. 1-14.

1Э5М 1994-040В

Б01: 10.7463/0717.0001278

Представлена в редакцию: Исправлена:

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

УДК 531.355; 531.391.5; 537.632/.636

Динамика твёрдого тела в магнитном подвесе при периодическом возбуждении

Гуськов А.М.1'2, Скорюков С.В.1*

06.06.2017 20.06.2017

ьву500:Йуагч1е;ии

:МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия 2ИМАШ им. А.А. Благонравова РАН, лаб. вибромеханики, Москва, Россия

В статье рассматривается динамика ферромагнитного тела в гибридном магнитном подвесе (ГМП) при периодическом возбуждении посредством задания соответствующего закона изменения силы тока в обмотке электромагнита. Предполагается, что тело имеет одну степень свободы, а зависимость магнитной силы от тока и перемещения является нелинейной. Предложен закон изменения силы тока. Уравнение движения приведено к безразмерному виду, выделены соответствующие масштабы подобия. Исследование динамики движения проведено численно.

Ключевые слова: активный магнитный подвес (АМП), гибридный магнитный подвес (ГМП), закон управления, нелинейные колебания под действием электромагнита, периодическое возбуждение

Введение

Использование магнитного подвеса имеет место в различных областях техники, таких как активные магнитные подшипники вращающихся валов, крупные энергетические машины. АМП обеспечивает произвольный закон изменения магнитной силы, ввиду этого сфера его применения потенциально весьма широка [1,2].

К ряду устройств предъявляется требование обеспечить генерацию колебаний: элек-ровибрационные конвейеры, виброгрохоты. Перспективным направлением использования АМП можно считать медицинскую технику. В настоящее время наблюдается существенный прогресс в разработке миниатюрных насосов вспомогательного кровообращения. Основным недостатком существующих моделей является использование пар трения, которые являются потенциальными зонами риска образования тромбов или повреждения клеток крови. Наиболее очевидным решением по устранению пар трения является замена подшипников скольжения на магнитные. Использование АМП позволяет полностью исключить механический износ узлов насоса [3-6]. Также схема с ротором на магнитном подвесе позволяет управлять положением ротора в пространстве [1,2].

Исследования показали [6,7], что отсутствие пульсаций потока крови в среднесрочной перспективе использования насоса вспомогательного кровообращения (НВК) приво-

дит к охрупчиванию сосудов. По гипотезе, выдвигаемой авторами настоящей работы, создание периодического возбуждения рабочего колеса НВК с помощью управления магнитным подвесом может стать решением проблемы. Дальнейшие исследования будут нацелены на её верификацию.

Предметом данного исследования является динамика нелинейной математической модели объекта в ГМП двустороннего действия как отклик на периодическое возмущение. Результаты работы позволяют делать обобщения на более сложные математические модели, описывающие поведение тел в ГМП.

1. Математическая модель

Математическая модель введена на основе схематичного представления объекта (рисунок 1). Подвешенный в ГМП объект управления массой т , [кг], совершает движения в

вязкой среде с коэффициентом затухания Ь , [кг/с], под воздействием магнитных сил ^ и , [Н], генерируемых двумя катушками электромагнита 1 и 2, а также постоянными магнитами. Положение объекта определяется координатой у, отсчитываемой относительно плоскости симметрии катушек 1 и 2. Перемещение тела имеет конструктивное ограничение зазором 80, [ м ].

В гибридном магнитном подвесе для обеспечения статического поджатия объекта используют постоянные магниты. Периодическое возмущение обеспечено активным электромагнитом, что позволяет уменьшить габариты подвеса и исключить расход энергии на создание тока смещения /0 [2,8].

Рисунок 1. К выводу математической модели

Уравнение движения тела:

т V+Ь V =

где Рт - суммарная магнитная сила.

Магнитная сила складывается из статического поджатия Ет , генерируемого постоянным магнитом (пассивная составляющая), и возбуждающего слагаемого Ета (активная составляющая):

^ = ^ + ^ , (2)

т т а т р ~ V/

Магнитная сила активной катушки Ета для дифференциальной схемы подключения с учётом токов смещения (см. рисунок 1) имеет вид [1,2]:

Г Г I 77

Гта = Г\а ^ Г2а = '

г Г /0 + /1Л 2 г . г0 - г 2 Л 2 ^

V 1«0 - У У 150 + У у у

(3)

где к = ц0 п2 А/ 4 - конструктивный параметр, [Гн • м],

= 4л•Ю-7 Гн/м - магнитная постоянная, п - число витков в обмотке, А - площадь полюса, ^м2 J,

г0 - ток смещения, [ А ],

\ и /2 - контролирующие токи, [А].

Периодическому возмущению соответствует сочетание периодических функций изменения управляющих токов ¡г и г2. Для обеспечения режима попеременной совместной тяги активных магнитов периодические функции силы тока разделены по фазе на у (у = л/2) . Периодическое возбуждение определяется частотой ш и амплитудой аг0, где а - коэффициент пропорциональности току смещения:

\ \ = а10 Бт (ш t) Ь2 = а^ Бт (шt + у)

(4)

Достойной альтернативой является режим попеременной раздельной тяги, когда в фиксированный момент времени функционирует только один электромагнит. Закон изменения силы тока с использованием функции Хевисайда представлен в виде:

I \ = аг,

'0 СОБ (шt) к (соб (шt)) /2 = а10 соб (ш t + л) к (соб (ш t + л))

(5)

4

где h (cos (ш t)) - функция Хевисайда.

Ввиду использования постоянных магнитов нет нужды в создании токов смещения. Следовательно, используя (3) и (4):

F = -a2 i2

ma ^ '

sin (ш t)

So - У

V

cos

(ш t)

Y

So + У

V

у

(6)

F u = —a2iI

m ah ^ 0

V ~0 У

В случае с функцией Хевисайда:

(cos (ш/)Y , / , чЧ (cos (ш t + , / , чЧ -i—h (cos (ш t))--i-I h (cos (ш t + я)) (7)

V s0 - y J v ; I S+y J

В работе [8] приведено следующее выражение для вычисления магнитной силы постоянного магнита. Поскольку через постоянный магнит не протекает контролирующий ток, пассивная составляющая магнитной силы:

1 1

F = —Ю

mP 4

(So- y) (Sq + y)

(8)

Запись произведена с учётом того, что постоянные магниты создают отталкивающее усилие. Коэффициент & 0 - конструктивный параметр, зависящий от магнитной проницаемости вакуума, длины магнита, площади зазора постоянного магнита, соотношения площадей постоянного магнита к площади зазора. В процессе конструирования необходимо обеспечить такой & , чтобы статическое поджатие в ГМП было эквивалентно действию тока смещения /0 в АМП. Для описания упругого воздействия активного магнитного подвеса на систему введено понятие отрицательной позиционной жёсткости с [1,2]:

c = —

4—il

S3

(9)

В работах [1,2] отрицательную позиционную жёсткость вводят при линеаризации зависимости магнитной силы. Как и жесткость пружины, работающей на растяжение-сжатие, с измеряется ньютонах на метр, [Н/м].

Поскольку в случае гибридного подвеса статическое поджатие обеспечивается по стоянным магнитом, необходимо ввести позиционную жёсткость постоянного магнита:

1 к

cp = ,3

0

S0 —p

(10)

Жёсткость постоянного магнита с введена в систему так, чтобы выполнялось условие |с| = с^ . Таким образом, безразмерный коэффициент к выражает соотношение эквивалентного статического поджатия и активного регулирования, характеризуемого коэффициентом к . Из рассмотрения (9) и (10) вытекает следующая связь с и с :

kp О = kp 4 Ч ,

(11)

Внешнее возбуждение Fexí предсавлено в виде ступенчатого импульса. Он является периодической функцией с периодом T, задаётся относительной шириной импульса w в долях периода T, амплитудой А Ые (принято = a) и моментами времени подачи

t^ise = T n (n - число периодов), а также фазой относительно возбуждения электромагнитов ф :

Fext = (А pulse ?

Tn, w, ф)

г=2л ш

(12)

С учётом принятых выше условий: (2), (8), (11), (12),- уравнение (1) в развёрнутой форме для случая попеременной совместной тяги (6) имеет вид:

(13)

Аналогично, для случая попеременной раздельной тяги (7) уравнение (1):

(14)

2. Приведение к безразмерному виду

Для приведения уравнений (13), (14) к безразмерному виду необходимо ввести ряд характерных масштабов.

Выражение (10) является основой для следующих масштабов: собственная частота консервативной системы ш0 =^ср1~т , [рад/с], зазор 80, [м]. Безразмерные переменные:

смещение х = у/50, демпфирование ^ = Ь/(2тю0), время т = Iш0, круговая частота возбуждения у = ш/ш0 , сила f = ^(ср50), конструктивный параметр постоянного магнита ^ = ^о/(4Н2), период внешнего возбуждения T = . Выделение безразмерного параметра к - критерия подобия,- позволяет распростанить результаты моделирования на

семество подобных объектов.

Уравнение (13) принимает вид:

х+2И = -

а

16 к„

*ЯП(УТ)У ' СО$(ут)У 1 +-

1-х 1+х 4

у J

1 1

(1-х)2 (1 + х)2

+

Уравнение (14) принимает вид: 1

х+2*х =

а

16 к.

" С05(УТ)Т

1 —;

' со£ ( v i + л) V

1 +:

+-

(1-Х)1 (1+х)'

ф).

+

(16)

3. Численное моделирование

Для моделирования динамики системы применён способ прямого численного интег-рирования1 уравнений (15), (16). Положены следующие начальные условия и набор параметров в отсутствие внешнего возбуждения /^:

х(()) = 0Л5; х(0) = 0: а = 0.3: v = lЛ 1 = 0,05: кр = 1Д

(17)

Набор (17) отвечает малому возбуждению электромагнита.

На рисунке 2 показаны результаты прямого численного моделирования уравннений

(15), (16).

О 15 СЧ

ОЙ и

-О СА ■01

-О

1

||

ШшАМалл«-

1

1

100

хш

А) Б)

Рисунок 2. А) - Динамика системы в случае совместного возмущения (13) Б) - и раздельного возмущения (14)

1 Вычисления проводились в среде MATLAB. Интегрирование проводелось с помощью модуля ode45.

В случае раздельного возмущения Б) удаётся достичь больших амплитуд установившихся колебаний при том же наборе параметров (17). Далее будем рассматривать именно случай Б).

Методом установления определены периодические движения для набора параметров (17) при значениях безразмерной частоты возбуждения V = [0,1 0,5 1,0 1,3]. Фазовые портреты представлены на рисунке 3:

Рисунок 3. Фазовые портреты для малого возбуждения при v = [0,1 0,5 1,0 1,3]

Замкнутость фазовых траекторий говорит о периодичности движений. Наибольшие амплитуды установившихся колебаний соответствуют резонансному режиму, что хорошо видно из АЧХ (рисунок 4):

Рисунок 4. АЧХ системы для малого возбуждения при наборе параметров (17) и V = Е [0, 1 ; 1 , 6] с шагом

Лу = 0,01

На верхнем графике рисунка 4 овалом выделен участок, соответствующий субрезонансу, который более детально представлен на нижнем графике рисунка 4.

Диаграмма частота - амплитуда силы тока - амплитуда перемещений (V—а—А) показывает, что с ростом амплитуды силы тока амплитуды перемещений растут по квадратичному закону в согласовании с (6) и (7) (рисунок 5). Расчёт АЧХ и приведённой на рисунке 5 диаграммы проведено с использованием метода Ньютона.

Рисунок 5. Диаграмма частота - амплитуда силы тока - амплитуда перемещений в диапазонах V = Е

[ 0, 1 ;1 ,4 5 ] , а = Е [ 0 ; 0, 5 ]

Для оценки влияния параметра & построена поверхность в координатах v — кр — А , где частота возбуждения V варьируется в пределах ve[0,1; 1,4], а безразмерный конструктивный параметр - к е [0,1; 1,2]. Диаграмма на рисунке 6 демонстрирует рост амплитуд в системе при уменьшении параметра к (эквивалентно уменьшению жёсткости системы):

Рисунок 6. Диаграмма частота - конструктивный параметр - амплитуда перемещений в диапазонах V = Е [ 0 , 0 1 ; 1 , 4] , /ср = Е [ 0 , 1 ; 1 , 2 ] для малого возбужения

Для анализа динамики системы при большом возбуждении электромагнита принят новый набор параметров:

а = 1,0; у = 1,85; £ = 0,05; кр = 1,0; (18)

При увеличении степени возмущения возрастает мера нелинейности системы. Это можно проиллюстрировать через зависимость установившегося движения от начальных условий. Возьмем два набора:

Гх(С>) = 0Л5

:(0)

= 0

|х(0)=(1534 [х(0) = 1:014

На рисунках ниже приведены отклики системы (рисунок 7) и соответствующие им фазовые портреты (рисунок 8) для наборов начальных условий (19)(а) и (19)(б):

(19)

Рисунок 7. Отклики системы при начальных условиях № 1 (19)(а) и при начальных условиях №2 (19)(б)

I -Начальные условия №1 Начальные условия

О

ОЯ --0.6 -0.4 -0.2 5 0.2 0.4 о.е 0.9

15

0.5

-0.5

Рисунок 8. Фазовые портреты системы при начальных условиях № 1 (19)(а) и при начальных условиях

№2 (19)(б)

Из рисунков выше видно, что в зависимости от начальных условий система меняет характер своего движения. При (19)(б) система имеет малые амплитуды колебаний, фазовый портрет округлый. При (19)(а) наблюдаются большие амплитуды колебаний, фазовый портрет становится более резким, выделяются острые углы. Это говорит о высокой жёсткости системы - фактически, происходит ударное взаимодействие твердого тела с ограничением.

АЧХ на рисунке 9 подтверждает приведённые выше выводы. Как и в предыдущем случае, расчёт произведён методом Ньютона. Синяя ветвь соответствует прямому проходу кривой (у=0,1... 0,05... 2,4), красная - обратному (у=2,4...-0,07...0,1). Разные шаги прохода кривых мотивированы тем, что существуют значения частот V, при которых метод Ньютона не справляется с задачей поиска периодического движения. Выбор шага сделан таким образом, чтобы не попасть на эти значения. Более глубокое исследование АЧХ системы можно провести, используя метод продолжения по параметру.

Рисунок 9. АЧХ системы для большого возбуждения при наборе параметров (18)

Анализ реакции системы на внешнее воздействие (а^Ье,Тп, w, ф) выполнен для

набора параметров (17), соответствующего малому возбуждению электромагнита. Внешнее воздействие задаётся относительной шириной импульса w = 0,2, амплитудой а Ье = а

и моментами времени подачи триЬе = Ттп (п - число периодов). Интерес представляет такой режим функционирования НВК, при котором возбуждение магнитов совпадает во времени с импульсом сердечного сокращения / . Поэтому внешний импульс согласован по фазе с возбуждением электромагнитов, то есть ф = 0. Из рисунка 10 видно, что магнитная управляющая сила и внешнее возбуждение действуют симфазно для любых частот возбуждения (продемонстрировано на примере V = 0,1 и V = 0,5 ):

0.4

03$

0.3

026

„1

ч- 0.2

0.16

0.1

0 06

0

250 300 350 400 20 40 60 ВО 100

Рисунок 10. Внешняя возбуждающая сила [ех( и сила возбуждения электромагнита [т

Фазовые портреты для ряда частот возбуждения электромагнита V = [0,1 0,5 1,0 1,3 ] представлены на рисунке 11:

Рисунок 11. Фазовые портреты для малого возбуждения при v = [0,1 0,5 1,0 1,3] и при действии

внешней силы [ех{

Самопересечение фазовых траекторий говорит о полигармоничности отклика системы (рисунок 11). Таким образом, включение внешней ступенчатой силы fext приводит к тому, что после преодоления субрезонанса на частоте возбуждения v« 0,33 система меняет колебательный характер.

Заключение и выводы

В данной работе разработана математическая модель одностепенного магнитного подвеса с периодическим возбуждением и выполнен анализ его динамики. Исследование показало, что система имеет ярковыраженный нелинейный характер, нелинейность является жёсткой. Появление в уравнении движения внешней ступенчатой нагрузки приводит к качественному изменению фазовых траекторий, что свидетельствует о наличии бифуркации.

Благодарность

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 15-29-01085 офи_м).

Список литературы

1. Журавлёв Ю.Н. Активные магнитные подшипники: теория, расчёт, применение. СПб: Политехника, 2003. 206 p.

2. Magnetic bearings: Theory, design and application to rotating machinery / Ed. by G. Schweitzer, E.H. Maslen. Dordrecht; N.Y.: Springer, 2009. 535 p.

3. Банин Е.П., Гуськов А.М., Сорокин Ф.Д. Анализ современных подходов к проектированию искусственных желудочков сердца роторного типа // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 2. С. 250-268. DOI: 10.7463/0215.0755225

4. Hoshi H., Shinshi T., Takatani S. Third-generation blood pumps with mechanical noncontact magnetic bearings // Artificial Organs. 2006. Vol. 30. Iss. 5. Pp. 324-338.

DOI: 10.1111/j .15525-1594.2006.00222.x

5. Parnis S.M., Akay M.H., Frazier O.H. Newer-generation rotary blood pumps // Surgical treatment for advanced heart failure / Ed. by J.A. Morgan, Y. Naka. N.Y.: Springer, 2013. Pp. 149-160. DOI: 10.1007/978-1-4614-6919-3 12

6. Agarwal S., High K.M. Newer-generation ventricular assist devices // Best Practice & Research Clinical Anaesthesiology. 2012. Vol. 26. Iss. 2. Pp. 117-130.

DOI: 10.1016/j.bpa.2012.01.003

7. Богданова Ю.В., Гуськов А.М. Особенности проектирования устройства искусственного желудочка сердца: обзор работ // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. № 3. С. 162-187. DOI: 10.7463/0314.0705250

8. Maslen E.H., Allaire P.E., Noh M.D., Sortore C.K. Magnetic bearing design for reduced power consumption // Trans. of the ASME. J. of Tribology. 1996. Vol. 118. Iss. 4. Pp. 839-846. DOI: 10.1115/1.2831617

Science ¿Education

of the Baumail MSTU

Science and Education of the Bauman MSTU, 2017, no. 07, pp. 1-14.

DOI: 10.7463/0717.0001278

Received: 06.06.2017

Revised: 20.06.2017

© Bauman Moscow State Technical Unversity

Dynamics of Solid Body in Magnetic Suspension under Periodic Excitation

A.M. Gouskov1,2, S.V. Skoryukov1*

SBvSOOigyandexju

1Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia 2Blagonravov Institute of Mechanical Engeneering of RAS, Lab. of Vibromechanics, Moscow, Russia

Keywords: active magnetic suspension (AMS), hybrid magnetic suspension (HMS), control law, nonlinear oscillation under influence of electromagnet, periodic excitation

The article studies dynamics of ferromagnetic body in hybrid magnetic suspension (HMS). The body is supposed to have one degree of freedom and a nonlinear magnetic force dependence on the current and displacement. The magnetic force induced in the HMS is divided into a passive component and an active one. Specifying the law of current variation in the coil allows us to generate nonlinear oscillations under electromagnet action. To provide periodic excitation the appropriate law of the current variation in the electromagnet coil is proposed. The mathematical model includes external periodic step-excitation. The equation of motion is formed. The scales of similarity are highlighted in the system, and the equation of motion is reduced to dimensionless form.

The motion dynamics is studied numerically. The relaxation method was used to determine the periodic motions at different values of dimensionless frequency of the electromagnet excitation as well as to estimate the influence of other dimensionless parameters on the system dynamics. The amplitude-frequency curve analysis allows us to come to conclusion that the nature of system nonlinearity is rigid. Adding the external periodic step-excitation leads to the qualitative change in the nature of movement. This points to the occurrence of bifurcation.

References

1. Zhuravlev Yu.N. Aktivnye magnitnye podshipniki: teoriia, raschet, primenenie [Active magnetic bearings: theory, design, application]. St.Petersburg: Politekhnika Publ., 2003. 206 p. (in Russian).

2. Magnetic bearings: Theory, design and application to rotating machinery / Ed. by G. Schweitzer, E.H. Maslen. Dordrecht; N.Y.: Springer, 2009. 535 p.

3. Banin E.P., Gus'kov A.M., Sorokin F.D. Analysis of contemporary methods for designing rotary type ventricular assist devices. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Sci-

ence and Education of the Bauman MSTU], 2015, no. 2, pp. 250-268. DOI: 10.7463/0215.0755225 (in Russian)

4. Hoshi H., Shinshi T., Takatani S. Third-generation blood pumps with mechanical noncon-tact magnetic bearings. Artificial Organs, 2006, vol. 30, iss. 5, pp. 324-338.

DOI: 10.1111/j .15525-1594.2006.00222.x

5. Parnis S.M., Akay M.H., Frazier O.H. Newer-generation rotary blood pumps. Surgical treatment for advanced heart failure / Ed. by J.A. Morgan, Y. Naka. N.Y.: Springer, 2013. Pp. 149-160. DOI: 10.1007/978-1-4614-6919-3 12

6. Agarwal S., High K.M. Newer-generation ventricular assist devices. Best Practice & Research Clinical Anaesthesiology, 2012, vol. 26, iss. 2, pp. 117-130.

DOI: 10.1016/j.bpa.2012.01.003

7. Bogdanova Yu.V., Gus'kov A.M. Left ventricular assist device (lvad) design features: literature review. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2014, no. 3, pp. 162-187. DOI: 10.7463/0314.0705250 (in Russian)

8. Maslen E.H., Allaire P.E., Noh M.D., Sortore C.K. Magnetic bearing design for reduced power consumption. Trans.of the ASME. J. of Tribology, 1996, vol. 118, iss. 4, pp. 839-846. DOI: 10.1115/1.2831617