CC BY
40
НАУЧНЫЕ СТАТЬИ И ДОКЛАДЫ • МЕХАНИКА
УДК 539.3:621.6
Р. Г.ЯКУПОВ
ДИНАМИКА ТРУБОПРОВОДА ПРИ КРАТКОВРЕМЕННО ДЕЙСТВУЮЩЕЙ НАГРУЗКЕ
Рассматривается напряженно-деформированное состояние подземного трубопровода бесконечной длины при действии поперечной динамической нагрузки на участке ограниченной длины и ограниченной продолжительности действия. Трубопровод моделируется балкой на упругом основании. Уравнение движения теории изгиба балки решаем, используя интегральное преобразование Лапласа по времени. Полученные интегралы определены численно. Приведены графики изменения изгибающего момента по времени при разной продолжительности действия внешней силы и длине участка. Трубопровод; динамическая
сила; изгиб
Работа является продолжением темы, начатой в работе [1], где, в частности, приведен обзор литературы. Исследования связаны с поиском и анализом источников опасности для магистральных трубопроводов, которые относятся к опасным производственным объектам. Проблема повышения прочности и надежности магистральных нефтепроводов до сих пор остается актуальной.
Здесь К*, — модуль упругости и коэф-
фициент Пуассона грунта, Ь и /о — ширина поперечного сечения и единичная длина балки.
Поместим начало координат гОх с центром тяжести поперечного сечения балки посредине длины 2!,, направив ось х вдоль оси балки, ось г — по вертикали и используем обозначение , — высота поперечного се-
чения балки, рис. 1.
1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
Рассматриваются напряжения и деформации балки бесконечной длины, находящейся в грунте, при действии равномерно распределенной на длине 2L динамической нагрузки.
P(t) = Ро [Н(i) -H(t- i0)], где H(t) — функция Хевисайда
H(t) =
при
при
¿о — продолжительность действия силы. Окружающий трубопровод грунт моделируем двусторонним основанием Винклера и силу сопротивления грунта определяем по формуле
q = а - И7.
где а — коэффициент основания, Ш — прогиб балки. Коэффициент основания принимаем в виде [2]
0.12Д
а =
Рис. 1
Часть балки справа от начала координат , где приложена сила, назовем участком I, а остальную часть х > Ь — участком II.
Уравнение движения балки принимаем в форме
0
EJ,
дЧУ
дх4
aW = p(t) — pF
d2W
~dW~
(1)
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 05-01-97905).
где , — модуль упругости и плотность материала балки, — осевой момент инер-
ции и площадь поперечного сечения балки. Используем безразмерные величины
х с • t
Е
с~ = — Р
W =
W 1г
т =
М
~Éh?
12 h
и уравнение (1) приводим к безразмерному виду:
с)4
W fílW + /Зтс7 = /3-2 [Н(т) - Н(т - г0)]
дт2
(2)
¡32 = , г - радиус
где/31 = $> = £
инерции поперечного сечения балки. При известном прогибе безразмерный изгибающий момент определяется по формуле
т = / д£2.
Начальные условия — нулевые
при
На бесконечности величина и ее производные обращаются в нуль.
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Уравнение (2) решаем, используя интегральное преобразование Лапласа по времени
= / /(£,т)е STdr,
С+ІОо
(3)
/К'т) = 2я
F(í, s)efTds.
17,1 (1 — Є~^я)
,s(,s2 + А2) ’
где Сі, С2 — постоянные интегрирования, sh7£, ch7£ — гиперболические синус и косинус,
», = |, Д2 = |, 7 = ^У.^ + А.
На участке II внешняя сила отсутствует. Решение однородного уравнения, удовлетворяющее условию затухания на бесконечности, принимаем в виде
W-2
= е 7^Сз eos 7^ + C^sin, £> а. (6)
Постоянные Сз и С4 находим с помощью преобразованных граничных условий в сечении :
«7 = ш2; Ц = w'¿; ті = m2; gi = g-2-
Здесь и — безразмерная поперечная сила на стыке участков I и II. В результате имеем
Ci = С2 =
o,i(l — е TuS)sho7 ,s(,s2 + A2)(sin07 + eos 07)' o,i(l — e-n)S) cho7
,s(,s2 + A2)(sin07 — eos 07)!
С-i = —e-“7 [Ci(cos2 o7sho7 + sin2 07(^07) + + С2 sin 07 eos 07(sh 07 — eh 07)];
С4. = —e-“7 [C\ sin 07 eos o7(eho7 — sho7) + +C,-2(sin2 07 eh 07 + eos2 07 sh 07)] .
Изображения прогиба и изгибающего момента на участке I определяются выражениями
После применения преобразования Лапласа к уравнению (2) получим
^ + (/За-2 + &)& = у [1 - е-Т05] , (4)
где — изображение прогиба, — параметр преобразования. Общее решение неоднородного уравнения (4) для участка I, удовлетворяющее условию симметрии, записываем в форме
Л1(1-е"7ЪЯ)
«7 = -----Го-----Х
,s(,s2 + А2)
sin 7¿; sh7¿; sirfo eos 7^ dr^ eh70,
sin 70, + eos 70, sin 70, — eos 70,
02(1 - c"7^)
s \¡ s2 + A2
eos 7^ eh7^sh7o sin 7^sh7^ drfo
m 1 =
sin 70, + eos 70, eos 70, — sin 70,
«7 = C\ sin7^ sh7¿; + C-2 eos 7^ eh7¿;
где 0,2 = 6]_(h/\/P-
Выражения для и громоздки и здесь их не приводим. Особыми точками функции (7) являются полюс в начале координат з = = 0 и точки разветвления ±*Д. Для вычисления оригиналов искомых функций используем контур, приведенный на рис. 2, где стрелками показано направление обхода контура [3]. Внутри контура интегрирования подынтегральная функция не имеет особых точек. Поэтому интегрирование по замкнутому контуру, показанному на рис. 2 сплошной линией, в соответствии с теоремой Коши дает
= 0,
71
72
Тл
71
75
где подынтегральные выражения не выписаны подробно.
Согласно лемме Жордана интегралы по пути интегрирования и равны нулю. Из второго выражения (3) следует, что интеграл по пути интегрирования равен оригиналу. Оригинал функции определяется как сумма интегралов
f (£. т) = — -—: х 1 ; 2iri
\7і 72 Гл 71 7з
Определение оригиналов и по формулам (7) очень сложно. Поэтому в последующем моменты определяем в начале координат в сечении . Принимая в (7) значение
Wl =
0,1 (1
-ТолП
,s(,s2 + А2)
СІ17 о,
m і =
0-2 (1
-ТолП
sin 7 о, — cos 7 о, shyo,
stJs2 + A2 sin 70, + cos 7о, '
(8)
При интегрировании вдоль берегов разреза и комплексная величина приведена к виду
где
7 = а + iv, 7 = а — iv.
tp* = árceos
к = —= у/2
"2 = х sfx2
X
yfa
■ 4А2
т)~ = х V х* + 4 А2. Используя обозначение
sh7o,
г(7«) = — , .
sm7o + cos 7 о,
комплексную функцию г приводим к алгебраической форме
z\ = R\ + iR-2, Zi = R\ — i.R-2,
где
Ri =
AC + BD
Rl =
AD - В С
A2 + В2 ’ A2 + B2 ’
A = ch av (sino, a + cos aa);
В = sh av(coa aa — sin aa);
С = sh aa cos aa; D = ch aa sin aa.
После обратного преобразования второго выражения (8) получим
ТХГП\ 7Г
-------= TnrZ{a,h
о,2 2А v
д
ziaf{l) г . „ . , и ,
—[sinут — sinу(т — то)J ау У'*
1 Г 1
\/2 J г]у/х2 + А2
о
(i?l + i?2) COS AJ
(Ді -R2)srnAl — F^dx. (9)
2
Здесь I = {/А2 — у2; А\ = Ат + х -4-2 = А(т - т0) + х + Х = arccos ^==;
z(ak\/~K) = , sl^k^ ; Fi = 0; F2 = ü
v } smafcvA+cosafcvA
при 0 ^ г ^ t0; z(ak\fK) = ü, Fi = 1; F2 = = e-xi-T-T^ [(i?i + R2) eos A* + (i?i - R2) sin A.*] при T > То.
Рассмотрим случай, когда длина 2L достаточно большая. Тогда можно предположить, что участок I совершает плоскопараллельное движение, не испытывая изгиб. Изображения перемещений принимают вид
ai(l-e-njs) .
'№1 = 4*2+А2) ;
w-2 = е_7^(Сз cos7^ + Cf4sin7^), £ > a.
(10)
Постоянные интегрирования Сз и С4 определяем из условий
Wi = W2,
Ö2W2
ж
при
После вычислений находим
П1е^а(1 - сГп>°)
С г =
С4 =
,s(,s2 + А2)
«46^(1 - е"™)
cos 7 а — sin 70,), cos 7 о, + sin 70,).
(11)
s (s2 + A2)
Подставляя (11) в (10), находим
<7,i(1 - e-™)e-rt-a)
W2 =
m2 =
s (s2 + A2)
X [cos7(£ -n) -sin7(í -n)].
»,i(l - е-™)е-^-а) s (s2 + A2)
X [cos7(£ — n) + sin7(^ — a)]
(12)
Используем обозначение ( )
и выражения (12) приводим к виду
W2 =
0,1 (1
-njsU-7<
m-2 =
,s(,s2 + A2) o,i(l - e-™)e~rt ,s(,s2 + A2)
[cos7C - sin7C].
[cos7C + sin7C]
(1З)
Принимая в (13) значение то —> оо, получим изображения прогиба и момента при действии нагрузки в виде ступени. Оригинал изгибающего момента для этого случая приведен в [1], где знак следует изменить на противоположный.
На стыке участков I и II изображения прогиба и момента равны
0,1(1 -е-™) П1(1-е-7ЪЯ)
п,2 = —, о , Д9Ч ; т2 = е
,s(,s2 + А2)
,s(,s2 + А2)
(14)
Используя формулы соответствия [3]
^-F(s)»—o J
о
e~7bSF(s)
F(s) =
{О при т < т0: при ~ МА 'т):
А . д
•-о sin Д • т.
s'2 + А2
можно определить оригиналы в (14) аналитических табулированных функциях
Г -%(1 — cosAt) при 0 ^ t ^ т0:
W2 — \
[ [cos А(т — то) — cos Ат] при т > то; а‘2
т2 = д-Ф,
т
при
Ф={ ь
при
о
где Jq(z) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Интеграл от функции Jq(z) табулирован [4]. Таблица функций Ф(г) для значений 0 ^ г ^ 1 содержится в [4]. Для 1 ^ ^ 16 функцию Ф(г) можно вычислить
по формуле
7Г Z
Ф = —[7о(г)Я^(г) + Л(г)Яо(г)],
где Ji — функция Бесселя первого рода и первого порядка, До — функция Ханкеля нулевого порядка, штрих означает дифференцирование по аргументу.
ЧИСЛЕННЫЙ ПРИМЕР
Принимаем: ро = 10 кН/м, b = h = 0,1 м, Е = 2 ■
• 105 МПа, р = 8-103Кг/м3, £* = 3 МПа, р„ = 0,3, F = bxh, а = 0,125 МПа.
Подынтегральные функции в (9) при * = 0 и у = = 0 имеют неопределенности вида 0/0, а первый интеграл при у —>• А расходится. Неопределенности устраняются путем перехода к асимптотическим выражениям функций в числителе и знаменателе при * -4 0 и у -4- 0, вычисление определенного интеграла производилось до Д — е, где e принят равным £ = Д • 10 . Даль-
нейшее уменьшение не влияет на значение интеграла.
Вычисление интегралов (9) производилось численно по формуле
а ~ 65 знак момента изменяется на противоположный.
]М?сттттаб ттлст кривых и Л показан справа
7ГТЩ
й‘2
z(ak
+
■1Д
/
Д
z(akf)
~w~
[^3 (f + тє) + ^1П)Є] +
[sin ут — Fi sin у(т — то)] dy +
+
+ ^ [F3(l - Д • т) + Fa А • го] J cos
о
оо
- 4= Í , iе“'т Г№ + Лз) «-OS
V2 J í/Vx- + Д- L L
£
+ (Ri - R-i) sin — Fi^dx, (15) где ограничения на Fi и F2 остаются прежними:
при
при
Результаты расчетов mi приведены в виде графиков на рис. 3 и 4. Верхний предел в первом интеграле равен Д = 0,785 • 10-3. Безразмерное время т и произведение х-т принимают большие числовые значения. Благодаря множителю ехр(—хг) подынтегральная функция во втором интеграле уже при быстро стремятся
к нулю. Поэтому верхний предел несобственного интеграла принят равным .
Рис. 3
На рис. 3 приведены графики изменения момента тп1 по времени по формуле (15) при а = 50 и значении то -4- оо (кривая 1) и при двух значениях продолжительности действия то = 4 • Ю3 (кривые 1-2) и то = = 8 • 103 (кривые 1-3).
Как видно, в момент приложения внешней силы балка мгновенно деформируется на небольшую величину, затем прогибы растут и носят колебательный характер. В момент времени т = то момент тп1 также быстро падает до нуля.
На рис. 4 показаны кривые изменения тщ по времени при разных значениях а. Кривые 1-4 соответствуют значениям , , и . Начиная с
Рис. 4
Из приведенного следует, что с увеличением а величина момента и характер деформированного положения сильно изменяются.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Результаты могут быть использованы при проектировании новых технологий прокладки и ремонта магистральных трубопроводов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Якупов, Р. Г. Реакция трубопровода, находящегося в грунте, на действие динамической нагрузки / Р. Г. Якупов // Вестник УГАТУ. Уфа: УГАТУ, 2002. Т. 3, № 2. С. 110-114.
2. Айнбиндер, А. Б. Расчет магистральных трубопроводов на прочность и устойчивость / А. Б. Айнбиндер, А. Г. Камерштейн. М.: Недра, 1982.
3. Деч, Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и -преобразования / Г. Дёч. М.: Наука, 1976.
4. Ватсон, Г. Н. Теория бесселевых функций / Г. Н. Ватсон. М.: ИЛ, 1949. Т. 2.
ОБ АВТОРЕ
Якупов Радик Гиззатович,
проф., каф. сопротивления материалов. Дипл. инж.-мех. (УАИ, 1958). Д-р техн. наук по прочности и пластичности (ЛПИ, 1984). Иссл. в обл. механики твердого деформируемого тела, аэроупругости.
